Содержание к диссертации
Введение
Глава 0. Предварительные сведения 27
1.Идеальные пространства измеримых функций 29
2. Исчисление порядково ограниченных операторов 45
3.Измеримые вектор-функции 52
Глава I. Интегральное представление операторов 55
1.Критерий интегральной представимости линейных операторов 55
2.Доказательство критерия интегральной представимости . 72
3.Приложения к представлению нелинейных интегральных операторов Урысона 82
4. Пространства со смешанной нормой и обобщённая теорема Колмогорова - Нагумо 85
5.Интегральное представление некоторых классов линейных операторов 91
Глава II. Пространства измеримых вектор-функций . 102
1.Основные определения. Простейшие свойства 102
2.Функционалы на пространствах вектор-функций 109
3. Общие теоремы о непрерывности операторов в пространствах вектор-функций 120
4.Плотность конечнозначных функций в пространствах вектор-функций 129
5.Обобщённая теорема Иосиды - Хьюитта 136
6.О выпуклых множествах, замкнутых относительно сходимости по мере 141
7.Свойство Радона - Никодима в пространстве Е (X) 152
Глава III. Интерполяция линейных операторов в пространствах вектор-пункций и приложения к изучению пространств функций многих переменных 171
1.Комплексный метод интерполяции линейных операторов в пространствах вектор-функций 171
2.Другие методы интерполяции линейных операторов в пространствах вектор-функций 186
3. Интерполяция сублинейных операторов с приложениями к оценкам максимальных функций в пространствах со смешанной нормой 196
4.Сингулярные интегральные операторы в пространствах вектор-функций 206
5.Приложения сингулярных интегральных операторов - базисы в пространствах измеримых вектор-функций; сопряжённое к пространству Харда аналитических вектор-функций 216
6.Пространства Соболева векторнозначных функций с приложениями к пространствам с доминирующей смешанной производной .225
7.Изучение обобщённых пространств Бесова на основе пространств измеримых вектор-функций 243
8.Описание следов пространств Соболева 255
Литература 269
- Исчисление порядково ограниченных операторов
- Пространства со смешанной нормой и обобщённая теорема Колмогорова - Нагумо
- Общие теоремы о непрерывности операторов в пространствах вектор-функций
- Интерполяция сублинейных операторов с приложениями к оценкам максимальных функций в пространствах со смешанной нормой
Введение к работе
Изучение интегральных операторов, т.е. операторов, действующих по формуле
где интеграл понимается в смысле Лебега, началось одновременно с возникновением функционального анализа (Вольтерра, Гильберт, Карлеман и др.). Тем не менее, задачи об описании их свойств и выявлении интегральных операторов в более общих совокупностях операторов остаются актуальными, что показывает поток журнальной и монографической литературы (отметим Красносельский и др.[ї], Коротков[4,7], Халмош и Сандер[і]). В недавней монографии Халмош и Сандер[ї] пишут во введении (стр.УІ); "Почему мы изучаем интегральные операторы? ...возможный ответ заключается в том ..., что теория интегральных операторов является первопричиной всего современного функционального анализа и остаётся и сегодня богатым источником нетривиальных примеров. Основное внимание в книге уделено важнейшим связям, на которых основан предмет... Какие операторы могут быть представлены как интегральные операторы? -такие проблемы являются центральными.
Пространства измеримых вектор-функций со значениями в (бесконечномерном) банаховом пространстве (БП) начали встречаться в математической литературе с начала 1930-х годов (Бохнер, й.М. Гельфанд, Данфорд, Л.В.Канторович, Филлипс). С тех пор пространства измеримых вектор-функций нашли себе применение во многих областях математического анализа и смежных дисциплин: в теории дифференциальных уравнений (см., например, Массера и Шефер[ї], где при исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений в ЕЛ использованы пространства вектор-функций весьма общего вида;
в теории уравнений в частных производных применения связаны как с абстрактными уравнениями в БП, так и с некоторыми классами задач для уравнений с обычными числовыми функциями, см. Соболев[ї]), во многих методах построения интерполяционных простарнств (Лионе и Петре [ї], Крейн и др. [і]), в теории вероятностей (например, в теории случайных процессов; огромное количество работ посвящено законам больших чисел, центральной предельной теореме, мартингалам для случайных величин, принимающих значения в БП), в выпуклом анализе и оптимизации. Особенно много работ связано с аналитическим представлением векторных мер и линейных операторов. При аналитическом представлении пространства вектор-функций выступают в качестве пространств ядер.
В 1928 году на Международном математическом конгрессе в Болонье Ф.Рисе[ї] предложил исчисление для непрерывных линейных функционалов в пространстве непрерывных функций ClQ,i] . Это исчисление позволило вычислять модуль, положительную и отрицательную компоненты функционалов, которые по своим свойствам во многом аналогичны обычным модулю, положительной и отрицательной компонентам числовой функции. Построения Ф.Рисса опирались на рассмотрение естественного поточечного отношения порядка между функциями в С [0,1] .В Ї930-х годах Л.В.Канторович (см., например, итоговую работу Канторович[ї]) в рамках построения общей теории векторных решёток (абстрактных пространств с "хорошим" отношением порядка) развивает исчисление линейных порядково ограниченных операторов и функционалов в них, очень частным случаем которого является конструкция Ф.Рисса. Тогда же он применяет его к решению абстрактных функциональных уравнений. Далее, вплоть до рубежа 1960-х - Ї970«х годов, построенное исчисление операторов было мало связано с приложениями в других областях анализа (исключение составляет интересный подход к спектральной теории самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве, см. ВулихЩ, глава П, который, однако, не привёл к получению новых результатов). Б последнее время положение в существенном изменилось: по-видимому, одним из первых результатов такого сорта была теорема 1ЛЛ - критерий интегральной представимости операторов в L , один из основных результатов диссертации (см. также, например, решение проблемы Б.Саймона мажорации компактных операторов в Доддс и Фремлин[і], исследования по выпуклому анализу, см. Акилов и Кутателадзе[ф.
Основная цель работы - решение проблемы интегральной представимости операторов и построение теории пространств измеримых векторнозначных функций и их приложений на основе самого исчисления порядково ограниченных операторов и функционал) в и на основе идей, связанных с этим исчислением, в тех случаях, когда оно само принципиально неприменимо.
Исчисление порядково ограниченных операторов
Здесь же исследованы функционалы на E[i-J .В п.ї.5.4 на основе теорем об интегральном представлении из 1,2 показано, что если резольвента оператора Шрёдингера является интегральным оператором, то резольвента оператора Шрёдингера с магнитным векторным потенциалом тоже является интегральным оператором.
Глава _П "Пространства измеримых вектор-функций" посвящена развитию их общей теории. Если Е1 - БИП на ( "ГД и) , X - БП, то через Е (Л/ обозначается БП всех измеримых функций і . Т X таких, что функция t Ц( llv входит в Е1 , с нормой ІІІ II ІІ IJ(tilL Иг- . В теореме ЇЇ.ЇД устанавливаются необходимые и до статочные условия совпадения в случае, когда р - БИП. Этот результат служит основой для применения абст рактных пространств вектор-функций к пространствам функций мно гих переменных. В 2 начинается изучение и классификация функци оналов на Е. (X) ; выделяется класс Е(Х) функционалов, допу скающих естественное интегральное представление; в случае "хоро ших" Е описывается Е(Х) . Изучается также возможность пред ставления вектор-функциями двух классов операторов. В 3 начина ется другое основное направление исследования пространств вектор нозначных функций, имеющее важные приложения в различных областях анализа, разработкой некоторых из которых мы займёмся в главе JU. Пусть имеется оператор XI Е " L . Через Е X обозначим множество простейших функций в Е(Х) вида: Рассмотрим векторнозначное расширение Ц оператора tf на ЕХ t действующее по формуле Начало исследованию непрерывности операторов такого рода вць) положила известная работа Марцинкевича и Зигмунда[ї]. Оператор 1( вовсе не обязан быть непрерывным (если X - не гильбертово пространство; именно в этом смысле надо понимать сказанное выше о том, что часть проблематики работы нетривиальна только, если X - не гильбертово пространство). Автору удалось установить связь между порядковыми свойствами Ы (свойство иметь модуль) и вопросом о непрерывности W . Теорема П. ЗЛ позволяет строить в случае не порядково ограниченного оператора XI "хорошее" пространство X (сепарабельное, рефлексивное, с безусловным базисом) такое, что U не действует ни в одном из пространств LiCXj ./[ р оо . Это впервые делает интересным доказательство не порядковой ограниченности оператора II . Многочисленные приложения этой схемы к задачам математического анализа приводятся в главе Ш(контрпримеры, связанные с описанием сопряжённых к пространствам Харди п (X) и Соболева Wp(X) Х-значных функций; контрпримеры на базисы в L(X) , на совпадение пространств Соболева Wp(R X) и бесселевых потенциалов L (XJ ). Хорошо известно, какую важную роль в анализе играют вопросы аппроксимации функций данного класса функциями более простого вида. В случае пространств Е (X) такими простыми функциями являются элементы Е@ X » определяемые формулой (2). В теореме ЇЇ.4.Ї даны необходимые и достаточные условия для плотности L X в Ь(Х) при фиксированном бесконечномерном БП X -(грубо говоря, необходима и достаточна сепарабельность El ; нетривиальна необходимость). Доказательство основано на результатах 3 и свойствах іб-топологии, впервые привлечённой автором для решения конкретных задач. В 5 получена обобщённая теорема Иосиды - Хьюитта о строении сопряжённого Е(Х) , которое удаётся представить в виде прямой суммы (в смысле теории БП): о где ЕСХ) -функционалы, допускающие интегральное представление, а Е(Х) - - "сингулярная" компонента. Сама классифи Ё( Г и Разложение (3) идейно связаны с соответствующими фактами из исчисления функционалов на БИЛ. Однако, это лишь формальная аналогия; доказательство требует совсем других идей, так как в отличие от случая сопряжённого к БИЛ, где имеется много естественных проекторов, наличие проектора в Е(Х) приходится получать совсем из других соображений. Простейший случай, когда (3) нетривиально - Е_= L (этот частный случай независимо получен в Левин[2]). В 6 обобщённая теорема Иосиды - Хьюитта применяется к выявлению свойств выпуклых, замкнутых по мере, ограниченных по норме множеств в Е (X), роднящих их с компактными множествами (хотя никакой компактности по существу может и не быть). Получены приложения к оптимизации выпуклых функционалов на таких множествах. В 7 исследуется следующая задача. Пусть (J) - некоторое свойство, которым может обладать данное БП X (пишем Рассматривается справедливость утверждений типа - 14 -Задача (4) естественна в том смысле, что хорошо иметь информацию о свойствах более сложного пространства Е(Х) , исходя только из свойств "кирпичей", из которых оно построено, - Е и X . Такого рода задачи для различных свойств ( J ) рассматривались уже давно (теорема Филлипса[2]: если X рефлексивно, то L(X) рефлексивно, \ р «о ). В теореме _1.7.Ї доказано, что (4) справедливо, если (vP) - интенсивно исследуемое с конца 1960-х годов свойство Радона - Никодима CRW) . Доказательство опирается на теоремы представления из 2. Подробно анализируются другие подходы к доказательству этого факта, причём полученные результаты имеют и самостоятельный интерес. В теореме 1Л.Ч собраны различные результаты типа (4), как принадлежащие автору, так и известные. В главе _Ш "Интерполяция линейных операторов в пространствах вектор-функций и приложения к изучению пространств функций многих переменных" рассматриваются различные методы интерполяции линейных операторов применительно к пространствам вектор-функций. Результаты об интерполяции применяются к классическим линейным и нелинейным операторам анализа. Далее, прежде всего, на основе интерполяции, строится теория обобщённых пространств Соболева и Бесова. Подчеркнём, что пространства вектор-функций применяются к изучению пространств Бесова.
Пространства со смешанной нормой и обобщённая теорема Колмогорова - Нагумо
Если иметь в виду не только задачу о вычислении интерполяционных пространств, но и приложения интерполяции к конкретным операторам, то нужно учитывать тот факт, что для классических операторов уже известны многочисленные -оценки, поэтому наиболее интересны те методы, которые позволяют из пространств получать новые функциональные пространства. В этом отношении комплексные методы малоперспективны: из L можно получить только другие и . В 2 исследуется задача об интерполяции (К) именно с этих позиций. Прежде всего отмечается, что интерполяция сразу по изменяющимся Е и X невозможна, если мы выходим за границы степенного преобразования. Причина заключается в той же теореме Колмогорова - Нагумо из главы_І. В 3 будет показано, что интерполяция по Е при фиксированном X возможна любым методом. Примеры показывают, что при фиксированном Е интерполяция по X возможна не всегда. В частности, она невозможна в случае наиболее популярных вещественных методов. В 2 доказывается, что такая интерполяция при определённых условиях возможна в случае \j -метода В.И.Овчинникова[і], позволяющего по 1Г строить пространства Орлича.
В 3 на основе теоремы Хана - Банаха - Канторовича получено расширение области действия теоремы Янсона[ї] об интерполяции сублинейных операторов. Затем результаты 2,3 применяются к следующим конкретным задачам в пространствах Орлича со смешанной нормой: Ї) оценки максимальных операторов (весовые и невесовые; обобщение J_ -результатов Феффермана - СтейнарЕ] и В.М.Кокила швили[3]); 2) теорема Карлесона - Ханта; 3) сингулярные интегральные операторы (с.и.о.) в весовом случае; 4) мультипликаторы интегралов Фурье (интерполяция теоремы П.И.Лизоркина[ї]).
В 4 систематически изучаются с.и.о. с общими ядрами Каль дерона - Зигмунда в пространствах В случае с.и.о. исследовались Дж.Шварцем, Кальдероном и др. В теореме Ш.4.Ї установлено, что с.и.о. не являются порядково ограниченными. Этот результат, вместе с изложенной схемой из П.З, является источником контпримеров. В теореме Ш_.4.4 доказано, что с.и.о. действует в _(Л )) і р , тогда и только тогда, когда LKJ рефлексивно. Отметим, что достаточность получается при помощи ф -интерполяции и никакого другого доказательства неизвестно (доказательство для IT (J- ) не обобщается наІЦІ-.,) опять-таки в силу теоремы Колмогорова - Нагуш). В 5 приведены приложения с.и.о. к вопросу о базисности системы t i 3Cm\taBti\ » где гх " тригонометрическая система, а {хт} - произвольный базис в X Показано, в частности, что ІЄ зсЛ - базис в L (L\ тогда и только тогда, когда 1_м рефлексивно. Построены примеры рефлексивных X таких, что эта система - не базис в іГ(Х). Тут же получены аналогичные результаты о справедливости равенства нр(хУ- цр,(х ) 4 р г-о, где п - пространство Харди. В 6 начинаются приложения построенной теории к пространствам дифференцируемых функций многих переменных. Сам С.Л.Соболев [lj ввёл пространство Wp (Q.? X ) - естественный векторнозначный аналог Wp(Al) . в 6 исследуются пространства W E(Rj9Xj ,т.е. обобщение идёт одновременно и по пути Х-значности и по пути перехода от Г-метрики к Е -метрике. Обобщения и в том и в другом направлении были известны (Гривар[ї], МураматурҐ/, А.Х.іУдиевЩ, В.С.Климов[ї-3] , Дональдсен и ТрудингерЩ и др.), тем не менее, многие важные проблемы пространств W и Соболева - Орлича W LM ещё совсем не были разработаны. На основе развитой теории в 6 решены следующие задачи: ) исследована связь с пространствами бесселевых потенциалов; 2) дано описание сопряжённого W (Х) » 3) описана интерполяция пространств W ВІХ) различными методами; 4) впервые исследованы на основе теорем П.7 банаховы свойства W Ь-(Х) . Большинство результатов являются новыми уже, если Е— L и X - любое бесконечномерное, или Е - СП, а X - одномерное (т.е. случай числовых функций). Техническим средством решения ряда из этих задач является исследование мультипликатора г-—;—тг А при o/=Jn. в предложении JD.6.2 и теореме JI.6.Ї, где используются результаты 4. В 6 на основе подхода к пространствам к пространствам с до-минирующей смешанной производной (введённым в случае L -мет-рики С.М.Никольским) как пространствам типа W 4E,(W 2Е ) решены задачи об описании сопряжённого к ним и совпадения с соответствующим пространством бесселевых потенциалов с доминирующей смешанной производной (введённым С.М.Никольским и П.И.Лизоркиным). 7 посвящен изучению липшицевых пространств -/УСХ Е) л Кальдерона и Ю.А.Брудного и обобщённых пространств Бесова Ё обычных числовых функций при помощи приёма Кальдерона[і], позволяющего вложить эти пространства дополняемым образом в пространства вектор-функций. Общие пространства Bv п с других позиций рассматривались К.К.Головкиным[ї,2J и самим 0.В.Бесовым[2,з]. В 7 на основе результатов 1—3 получены различные интерполяционные формулы для пространств Липшица и Бесова, а также впервые исследованы их банаховы свойства. Рассмотрены пространства с нестепенной -гладкостью, введённые А.С.Джафаровым[1]; развит новый подход к получению теорем вложения для них на основе интерполяции -методом.
В 8 дано описание следов пространства Соболева W Е (R ) на R WL п. , где Е - подходящее СП, в виде пространства типа Соболева - Слободецкого (которое, по-видимому, отлично от какого либо пространства типа Бесова при Е IT ). Это описание получено при помощи результатов об интерполяции из 7, классической теоремы о следах С.М.Никольского - 0.В.Бесова и дальнейшего развития конструкции Кальдерона. Показана схема применения полученного результата к получению оценок решений неоднородных краевых задач.
Общие теоремы о непрерывности операторов в пространствах вектор-функций
Буквами X?Y обозначаются абстрактные векторные пространства (например, Щ). Буквами К Q обозначаются пространства измеримых функций. Буквами x,v} з обозначаются элементы векторных пространств;. Ь у Є - числовые функции (для функций из Е могут употребляться все четыре буквы). В случае функ ций со значениями в БП д пишем f , а со значениями в X — Q . Функционалы обозначаются буквами х эв или Р, j . Значение функционала х на элементе х обозначается как х (х) , так и х; х . Отметим, что символом обозначается убывающая перестановка функции 1 (см. Крейн и др.[і]). 0.0.2) Если рассматривается одно множество Т і то точки из Т обозначаются t . Если рассматриваются два множества Т и Т« » то Т =1 , 1] s T . Для обозначения точек в а употребляем буквы s и t ; если одновременно используется одномерная переменная, то употребляется буква т . 0.0.3) Для обозначения последовательностей в качестве индексов используются латинские буквы - {.3 ,.),( и т.д., а для обозначения направлений «- греческие - {эс, } { Ча} и т.д. 0.0.4) Если не оговорено противное, то все результаты работы справедливы как для действительных, так и для комплексных векторных пространств, но для определённости, как правило, предполагается, что пространства действительны. Случай комплексных скаляров требует лишь минимальных изменений. Это касается, в частности, теории идеальных пространств (см. [RAJ, стр.377-378). Все векторные пространства предполагаются отличными от \0} . 0.0.5) Все операторы и функционалы, если не оговорено противное, предполагаются линейными. Если X Y - Ш, то В (Л,УЗЕЛ всех линейных непрерывных операторов из X в Y . 0.0.6) Пусть X - векторное пространство, Y - некоторое линейное множество линейных функционалов на X . Через б (X, Y) обозначается слабая топология на X , наведённая Y . Она порож-дается множеством полунорм р(ос) =і(зс) І t где эс 1 . Черезх обозначается каноническое отображение X в пространство функционалов на Y : ОїїлХ ) =00 )- «єХ х Y Говорят, что Y тотально на X , если Y разделяет точки на X : для любого х д, хіО, найдётся ас Y такой, что х (х) р 0 . Если X - локально выпуклое пространство (в частности, ЕП), то X - его топологическое сопряжённое. 0.0.7) Пусть X - БП. Подпространство (не обязательно замк-нутое) Y в X называется ї-нормирующим, если llccH = =sctp{ х,х : хеУ} ц» ( s 1} . Через Вх-{хСг Х: Их[[ $ і} обозначается единичный шар пространства X . 0.0.8) Знак включения употребляется в двух смыслах. Если X и Y - БП, то запись ХС Y означает, что существует изоморфное вложение X в Y ( X Cpl Y означает, что такого вложения не существует). Если L и F - пространства функций, то cF означает просто теоретико-множественное вложение. 0.0.9) Мера Лебега в R обозначается dt или d t Если лхг - вес, то ufcbt - весовая мера: ц(Д) = S fl Ji I,0 Идеальные пространства (ИЛ) измеримых функций - это просто определяемые объекты, частными случаями которых являются пространства LT , Орлича, Марцинкевича, Лоренца и многие другие, Терминология, связанная с этими пространствами, проста и позволяет формулировать результаты в общем виде, являясь удобным языком. При этом может быть выявлено, является результат специфическим для [_ -теории или нет (для неспециалиста будет удивительно, какое множество привычных L -результатов допускает простую общую формулировку). Кроме изложения самой теории ШІ и примеров ШІ этот параграф преследует ещё и другую цель - подготовить на простых примерах почву для более абстрактных построений теории пространств порядково ограниченных операторов, изложению которой посвящен 2. Более подробно с излагаемым материалом можно познакомиться в [КАІ.
Начнём с соглашений о характере пространства с мерой. Через (Т 2 jo.) (возможно с индексами) будет обозначаться пространство Т с б"-алгеброй Z) измеримых множеств и полной б" -конечной мерой JLL на Т, . Через Z (к) обозначим множество всех АХ »)л (А) . Читатель, нерасположенный к столь большой степени общности, может без ущерба для нетривиальности всего дальнейшего считать, что (Т 1?и.)есть отрезок Г О, і] с мерой Ле побега или область в пространстве к с мерой Лебега.
Через (T,I,u) , или просто S , обозначим множество всех измеримых п.в. конечных функций на (T,I?JJ-) С действительными значениями и обычным отождествлением эквивалентных функций. Так как для теории операторов важно, чтобы теория могла быть применима и к комплексным пространствам, сразу сделаем замечание, что условие вещественности не является нигде существенным.
Нас будет интересовать отношение порядка между функциями из S или его подпространств (например, L ). Для двух функций полагаем а , если 4 ) п»в» Ясно, что при этом S становится упорядоченным пространством, причём каждые две функции \& S имеют супремум VQ 5 и инфимум і определяемые формулами
Интерполяция сублинейных операторов с приложениями к оценкам максимальных функций в пространствах со смешанной нормой
Идеал F в К-пространстве называется полосой, если для каждого множества М в F , имеющего супремум э = М в Е , имеем Q Q F . Несложно показать, что для любого множест-ва М дизъюнктное дополнение М всегда полоса, а тогда И всегда полоса. Полоса М называется полосой, порождённой множеством М . Конструктивного описания эта операция не имеет, что не мешает ей иметь важные приложения к конкретным вопросам (см. основную теорему об интегральном представлении ниже).
С каждой полосой г в К-пространстве Е связан канонический проектор [ PJ из Е на Г . Если ., то полагаем В силу определения К-пространст ва этот супремум существует в Е , а в силу определения полосы [Ч()-Ь- . Для произволь ного it. полагаем . Очевидно, что L FJ является линейным оператором, отображающим Е на F и оставляющим элементы F на месте. Любой элемент Е единственным образом представим в виде ти , где, причём a-m{,l = lF l( , т.е. Наличие проектора (речь всегда идёт о построенном выше каноническом проекторе) на каждую полосу и наличие разложения (15) является важнейшей отличительной чертой К-пространств -не надо объяснять как полезно иметь большой .запас проекторов. Не беда, что в отличие от формулы (5) эти проекторы, как правило, не удаётся явно выписать - уже факт существования этих проекторов, как мы убедимся в этом в главах ЖД, даёт многое.
Далее нам придётся использовать различные неравенства относительно порядка в К-пространствах. В случае порядка в дело обстояло просто, так как в олучае формул с конечным числом линейных операций и операций взятия супремума и инфимума двух элементов дело сводится к проверке числовых неравенств в силу того, что все эти операции проводятся поточечно. Проверка подобного рода неравенств в абстрактных К-пространствах, исходя только из основных определений, вызвала бы проведение громоздких рутинных рассуждений. К счастью, в любом К-пространст-ве справедлив принцип сохранения соотношений А.И.Щщша (см. стр.367), заключающийся в следующем. Пусть у нас имеются два выражения 1(( )...)9 и tr(o,r,.;3:h\ , составленные с помощью конечного числа линейных операций и операций V и А , где все переменные 2 ,. ,эсн. могут принимать значения в произвольной ВР. Тогда неравенство и г " имеет место в произвольной ВР
Е для любых значений аргументов тогда и только тогда, когда неравенство m v выполняется, если мы вместо 7Ci,.,J XtL подставим цроизвольные действительные числа (бесконечный аналог этого принципа, конечно, не верен). Для примера отметим, что так становится очевидным неравенство I (f Q)-(i.VQ))c-f-и.» . Далее мы пользуемся принципом Едина без пояснений.
Наконец, упомянем о банаховых решётках (БР), т.е. ВР, являющихся БП с монотонной нормой. БР, являющаяся К-пространством, называется банаховым К-пространством. Эти понятия пригодятся нам в 2 в связи с пространствами функционалов на БИЛ.
В этом параграфе излагается исчисление порядково ограниченных операторов в ИП, построенное в основном Л.В.Канторовичем в середине 1930-х годов. Кроме того, значительный вклад был сделан его учениками Б.З.Вулихом и А.Г.Пинскером (см. Канторович и др.ВД), а также японским математиком Х.На-кано[ї]. Как уже было сказано, мы хотим придать смысл формулам, аналогичным формулам (ї)-(5) 1 для случая операторов. Прежде всего выделим разумное пространство операторов, где это можно сделать. Все рассматриваемые здесь операторы и функционалы линейны.
Пусть Е4 - ИП на ( 1,, ), Е - ИП на (%I2fjjz) . Оператор U .- Е„ называется порядково ограниченным ( -ограниченным), если он переводит множества, (о)-ограниченные в Е"А , в множества, (отграниченные в Е . Прежде, чем обсудить обширность этого класса операторов, мы приведём одну характериза-цшо таких операторов.
Оператор и Е" Е называется положительным, если из 0, I rEi, следует, что V. 0 . Оператор li. F „ называется регулярным, если tl- Uj-lt, где Ц Е Е- положительные one--.-раторы.
Предложение 2.1. Оператор является (оОграниченным тогда и только тогда, когда он регулярен.
Обозначим через Ц(Е,Е) множество всех (отграниченных операторов. Оно, очевидно, является линейным. Введём вС(Е,ф отношение порядка. Будем писать, что \{ -0 , если 1І - положительный оператор. Пишем 11W , если U V G (другими словами, если ll -V 7V }j.). Легко видеть, что мы ввели отношение порядка в L(E Е\, удовлетворяющее условиям (6) и (7) из 1. Важнейшую роль играет следующая теорема Л.В.Канторовича (в случае функционалов на CEtyil установлена Ф.РиссомЦ]).
