Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Одним из важнейших разделов современного комплексного анализа является исследование операторов, действующих на пространствах аналитических функций.
Сюда входят вопросы изучения свойств решений однородных линейных уравнений и разрешимость неоднородных линейных уравнений.
Первый вопрос приводит к так называемой задаче спектрального синтеза, которая была впервые сформулирована в 1947 году Лораном Шварцем в его классической работе [1}. Проблематика этой теории состоит в следующем: пусть X — линейное топологическое пространство, г — полутруппа линейных опер аторов, действующая в X; требуется описать т-инвариантные замкнутые подпрострг нства, ки хорые топологически порождаются своими конечн мерными т- инвариантными подпространствами.
Про такие подпространства говорят, что они допускают спектральный синтез (относительно пблуг руппы т).
Если т имеет одну образующую, тг речь идет о восстановлении всех инвариантных подпространств по собс гвенным и корневым подпространствам этой образующей.
В круг задач спектралы ого синтеза инвариантных пространств входит, кроме выяснения возможности алпроксимадии его элементов линейными комбинациями корневых векторов, также построение и оценка скорости сходимости аппроксимирукэтгей последовательности.
К первым результатам спектрального синтеза можно отнести теорему Жордана о приведении магрицы к каноническому виду и нахождение общего решения однородного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Дальнейшее развитие теория спектрального синтеза нашла при исследовании дифферешшальньп: уравнений бесконечного порядка с постоянными коэффициентами. В этих задачах возникают замкнутые инвариантные относительно оператора дифференцироьания подпространства в пространствах аналитических функций.
Указанная тематика широко исследовалась в работах С. Пинкерле, Р. Кармикаэля, Мутля, Р. Воаса, А. О. Гельфонла, А. Ф. Леонтьева, Б. Ма-льгранжа, Л. Эренпрайса, В. П. Паламодова, Л. Хермандера, П. Лелона, А. Мартино, Ю. Ф. Коробеііника, Й. Ф. Красичкова-Терновского, К. О. Ки-зелмана, В. В. Напалкова, Б. А. Тейлора, К. А. Беренстейна, О. В. Епифанова, В. В. Моржакова, Л. Грумана, Д. С. Стругшы, Р. С. Юлмухаметова и др.
Результаты по разрешимости неоднородных дифференциальных уравнений бесконечного порядка с постоянными коэффициентами, с полиномиальными коэ ф фициентами в обычных и о бо бщенныхлроизводных (в смысл е Гельфонда- Леонтьева) производных в классах функций, аналитических в областях, и целых функций в разное время получали С. Пинкерле, Ф. Шу-рер, Е. Гилъб, О. Перрон, Р. Кармикаэль, Мугль, Р. Боас, А. О. Гельфонд, А. Ф. Леонтьев, Б. Мальгранж, Ю. Ф. Коробейник, А. Мартино, В. В. Напалков, Л. Груман, О. В. Епифанов, В. А.Ткаченко, А- С. Кривошеев и др.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. 1) Изучить вопрсс аппроксимации элементов инвариантных пространств аналитических отображений в некоторой области элементами этого же пространства, аналитическими в большей области.
-
Исследовать задачу ашгроксимацизрешений систем однородных уравнений свертки с несколькими неизвестными функциями в областях С посредством элементарных решений (экстЕэненциальных полиномов).
-
Найти условия допустимости спектрального синтеза для оператора типа Эйлера в пространстве голоморфных функций в областях Сп.
-
Найти условия допустимости спектрального синтеза для оператора единичного сдвига в пространствах целых функцию экспоненциального типа одной переменной.
-
Рассмотреть проблему замкнутости образа возмущения операторов свертхи и близких к ним.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. Исследования, проводимые в диссертации основаны на использовании аппарата преобразования Лапласа, Бо-реляи Коши, а также результатах из функционального анализа, связанных с линейными отображениями в различных функциональных пространст-
вах.
Указанные методы позволяют сводить задачи из теории линейных операторов кпроблемам аналитического продолжения голоморфных функций, а вопрос замкнутости образа методами теории компактных операторов сводятся к аналогичному для хорошо изучгнных операторов свертки.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.
Найдены условия аппроксимации эле ментов инвариантных пространств аналитических отображений, в некоторой области элементами этого же пространства, аналитическими в большей области. Эти условия формулируются в терминах инвариантности области относительно некоторой группы гладких преобразований.
Найдены условия на области комплеь сной плоскости, при которых решения системы однородных уравнений свертки с несколькими неизвестными функциями допускают сколь угодно точное приближение элементарными решениями. Ранее подобные результаты были известны лишь для случая выпуклых или звездных в одном направ.тении областей.
Изучена задача спектрального синтеза для операторов типа Эйлера, в частности, для пространства целых функций найдены точные условия на матрицу, порождающую оператор типа Эйлера, при которых синтез всегда имеет место.
Полностью описаны области комплексной плоскости пересекающиеся с любой прямой, параллельной мнимой оси, по интервалу, для которых любое замкнутое двусторонке инвариантное относительно оператора единичного сдвига подпространство в пространстве целых функций экспоненциального типа, связанных с указанной областью, допускает спектральный синтез. Ранее эта задача рассматривалась лишь в очень частных случаях.
Найдены новые условия на линейные операторы, при которых их образ будет замкнут. Для разностных операторов приводится критерий замкнутости о браза в терминах нулей крайних коэф фиыиектов для широкого класса областей.
АПРОБАІІИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертадии докладывались на семинаре под руководством Б. В. Шабата, под руководством Ю. А. Казьмина в МГУ, на семинарах в Институте математики УНЦ РАН, в Башкирском, Ростовском, Сыктывкарском госуниверситетах, в Математическом институте им. В. А. Стеклова.
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в. работах [79]-{89].
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Список литературы содержит 99 наименований. Объем диссертации — 191с.
