Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. О некоторых компактных операторах в равномерных пространствах непрерывных функций 14
1. Компактные операторы взвешенной подстановки в равномерных пространствах 14
2 Компактные комбинации.операторов.взвешенной подстановки 27
3 Приложения к диск-алгебре 38
ГЛАВА II. Спектры компактных операторов, индуцированных сшмащими голоморфными отображениями или векторными полями 46
1. Некоторые вспомогательные результаты 49
2 Спектры компактных операторов индуцированных сжимающими голоморфными отображениями (операторы первого типа) 63
3 Спектры компактных операторов индуцированных сжимающими голоморфными вектор-.. ными полями (операторы второго типа) 73
Литература 100
- Компактные операторы взвешенной подстановки в равномерных пространствах
- Компактные комбинации.операторов.взвешенной подстановки
- Спектры компактных операторов индуцированных сжимающими голоморфными отображениями (операторы первого типа)
- Спектры компактных операторов индуцированных сжимающими голоморфными вектор-.. ными полями (операторы второго типа)
Введение к работе
І. Непустота и компактность - единственные свойства подмножества комплексной плоскости (L , наличие которых эквивалентно существованию ограниченного оператора банахова пространства с данным спектром. Дополнительными свойствами обладают спектры операторов, более тесно связанных с дополнительными структурами пространства. Классический пример - вещественность спектра эрмитова оператора гильбертова пространства, совпадение нормы и спектрального радиуса в этом случае. Сравнительно новый пример дает теорема Камовица и Шейнберга [3 , согласно которой спектр непериодического автоморфизма Т Д.—*" А полупростой коммутативной банаховой алгебры А содержит единичную окружность (по поводу разнообразных доказательств и обобщений этой теоремы см., в частности, статью Е.А.Горина [8]). Кроме того, спектр Т в этом случае - связное подмножество плоскости .
Если реализовать полупростую коммутативную банахову алгебру А в виде алгебры непрерывных функций на компакте Q ее максимальных идеалов, то каждому эндоморфизму (в частности, каждому автоморфизму) Т А—> А будет отвечать такое непрерывное отображение (гомеоморфизм) [р: Q—> Q , что (Т-)С) —f(Ц>(хУ) Для всех ієА и ie(J , т.е. Т реализуется в виде оператора подстановки (композиции). Этим объясняется тот факт, что теорема Камовица и Шейнберга стимулировала изучение спектральных свойств операторов подстановки и более общих операторов вида й і—>. 2t(fiP) t действующих в функциональных алгебрах и подпространствах Е <= C(Q) . Конеч- но, специальные высказывания о спектре оператора подстановки возможны лишь при наличии дополнительной информации (о динамике подстановки, пространстве Е , структуре Q ), поскольку в таком виде, даже в предположении заглкнутости Е в C(Q.) , реализуется, как это вытекает из теоремы о слабой компактности шара сопряженного пространства, каждый оператор банахова пространства с нормой не больше I.
В работах Леви [19] , [20) и Джонсона [Зі] среди прочего были найдены простые доказательства теоремы Камовица и Шейнберга. Кроме того, вскоре выяснилось (см. |42] , [7] ), что спектр авто морфизма полупростой коммутативной банаховой алгебры, вообще говоря, не обладает специальной симметрией. Следующий пример, который мы кратко опишем, принадлежит Е.А.Горину. Пусть J( - такой компакт в (Г , который содержится в кольце - $121 * Ч та. содержит кольцо --<\Z\^2 . Предположим дополнительно, что Jnz А плотно в К Рассмотрим пространство А=А(К)Сс- С (К) функций из С(К) » аналитических на УК . От носительно поточечных линейных операций и SW.P - нормы А образует банахово пространство. Очевидно, что спектр оператора f(.2)\—> zfez) в А совпадает с К Вместе с тем, от- носительно умножения пространство А образует, как можно показать, полупростую коммутативную банахову алгебру (без единицы), пространство максимальных идеалов которой "совпадает" с группой Ж целых чисел (гельфандовское представление сопоставляет последова- тельность лорановских коэффициентов), а введенный оператор становится автоморфизмом этой алгебры. Тем не менее, в ряде естественных ситуаций, связанных с алгебрами гладких функций, в структуре спектра автоморфизмов и взвешенных автоморфизмов была обнаружена круговая симметрия. Кроме того, в этих случаях был проведен довольно детальный анализ тонкой структуры спектра. К этому кругу вопросов относятся некоторые работы Камовица [32] , [33) , [34] , [35] , [36] , ряд работ А.К.Китовера [12] , Ш , [14] , А.Б.Антоневича [I], [2], А.Б.Антоневича и А.В .Лебедева [3] , А.Б.Антоневича и Сериня Алиу Ло [4] , А.В.Лебедева [16] , [17] , [18] и другие, связанные с исследованием интегро-функциональных уравнений, фредгольмовым спектром, теорией индекса и т.д.
Другое направление, возникшее в связи с теоремой Камовица-Шейнберга, - изучение спектров эндоморфизмов и взвешенных эндоморфизмов. Любопытно, что спектры эндоморфизмов алгебры С(10,1]) были описаны Монтадором [38] только в 1974 году, результат которого в конце 70-х годов был распространен на общее С (GO в работах Сериня Алиу Ло [22] и В.Г.Курбатова [15] . Оказалось, что в этом случае спектр - либо диск 1АЫ 1 , либо конечное объединение замкнутых подгрупп окружности 1А1=4 , возможно, дополненное точкой 0 . В работах А.К.Китовера (см.,в частности, [13] , [I4| ) были полностью описаны спектры взвешенных эндоморфизмов С(Q.) и других равномерных алгебр в дополнительном предположении, что подстановка сохраняет границу Шилова (в специальном случае диск-алгебра подобные результаты были раньше получены Камовицем [34] ). Грубо говоря, в такой ситуации при переходе от С(О) к подалгебре спектр сохраняется (в частности, сохраняются свойства круговой симметрии спектра), тогда как, вообще говоря, он может сзщественно измениться. Как отмечается в [42] (см. также [29] ), спектр эндоморфизма равномерной алгебры в общем случае, "повидимому, не обладает никакими специальными свойствами", кроме очевидного: Д принадлежит спектру при всех натуральных и , если Я - точка границы спектра. Во всяком случае, имея спектры S± , S^ эндоморфизмов равномерных алгебр, можно сконструировать эндоморфизм со спектром StUSx или со спектром S1Si= { Я = Л±\ ' Я±е S± ?
Л ^ >Л? -Со сказанным тесно связано третье направление, возникшее в связи с теоремой Камовица-Шейнберга. Речь идет об изучении спектров эндоморфизмов и близких линейных преобразований классических алгебр и пространств. Стандартным объектом такого сорта является диск-алгебра, т.е. алгебра А всех непрерывных функций в диске \i\
В аналитической ситуации в отличие от С(0.) нетривиальный эндоморфизм может оказаться компактным оператором. Критерии компактности взвешенного эндоморфизма диск-алгебры дал Камовиц [35] . Он же в наиболее интересных случаях описал спектр такого оператора. Данная диссертация в своей основной части посвящена развитию этого направления и в тексте мы приведем точные формулировки результатов Камовица.
2. Диссертация состоит из двух глав, разбитых на параграфы. Нумерация предложений стандартная, по главам.
В первой главе даются критерии компактности операторов типа взвешенной подстановки в замкнутых подпространствах пространства CCQ) всех непрерывных функций на (метрическом) компакте Q.
В I осуществляется элементарный подход к теме, использующий только теорему Арцелла, в 2 - более специальный, с привлечением метрики сопряженного пространства. Этот способ позволяет нам детально исследовать случаи компактности для сумм операторов взвешенной подстановки (в аналитической ситуации). В 3 дано приложение к описанию спектра взвешенного эндоморфизма диск-алгебры. Этот пример уточняет один результат, полученный автором совместно с Е.А.Гориным (доклад в ХУБ Воронежской Зимней математической школе, январь 1983 года). В главе I упомянутые выше результаты Камовица обобщаются в различных направлениях: мы стараемся использовать инвариантные термины, но среди конкретных следствий получаются многомерные варианты теоремы Камовица о компактности (полидиск, шар в ) и ее обобщения.
Во второй главе более детально исследуются специальные ситуации, связанные с аналитическими функциями многих переменных. В 2 главы П, отправляясь от голоморфного отображения ограниченной области Dc (С в себя, мы даем описание спектра оператора взвешенной подстановки для широкого класса банаховых модулей над многомерной "диск-алгеброй". Методов Камовица в многомерной ситуации недостаточно и нам приходится применять дополнительные соображения и понятия (линеаризация по Пуанкаре, ре-зонансность, теория возмущений). В 3 главы П рассматривается интегральный оператор, ассоциированный с голоморфным векторным полем. Дается критерий компактности такого оператора, а в предположении компактности дается описание спектра.
3. Назовем теперь основные результаты работы.
Пусть Q - компакт, А - замкнутое подпространство в С(й) , If'- Q~~"* & - непрерывное отображение и (Т-f )(*)= ~2t(x)f(if(ic)) , т.е. Tf^u-(fif) , причем ггеС(&) и оператор Т действует из А в С(&) . Точки х± , %z топологического пространства Y будем называть компактно связанными, если существует такой связный компакт Кс Y , что Jr^^e f^ . Замкнутое подмножество Е <=- 61 называется множеством пика относительно А , если существует такая последовательность Ре А , что 1| || ^ 1 , Р(эс)=-1 для всех /2/ и всех х є Е и, кроме того, вне каждой окрестности множества Е последовательность $Q X равномерно сходится к нулю. Точкой пика относительно Д называется одноточечное множество пика.
ТЕОРЕМА 1.6 ГЛАВЫ I. Если оператор / компактен, то для каждой компоненты Y компактной связности множества (хе Q: 21CJO) ф О ] и каждого множества Е пика относительно А имеем: либо IP(Y) с Е , либо if(Y)[)E- р.
Если Q является локально связным компактом, то получается следующий критерий компактности.
ТЕОРЕМА I.I4 ГЛАВЫ I. Пусть Г - множество точек пика относительно А . Предположим, что для каждого компакта оператор сужения А—»С(К) компактен. В таком случае оператор f тогда и только тогда компактен, когда для каждого связного компакта Y<^ jxe Q, \ гб(х)Ф О ] либо (p(Y) - точка, либо //>(Y) ^ Q\ Г.
Теоремы 1.6 и I.I4 в конкретных случаях приводят к простым критериям компактности. К числу таких случаев относятся алгебры аналитических функций в полидиске (теорема I.II главы I), шаре (теорема 1.10 главы I), алгебра функций в цилиндре, аналитических в плоских сечениях (теорема I.I3 главы I).
Отправной точкой исследования в 2 главы I служит то простое замечание, что оператор Ті А—> С СО.) тогда и только тогда компактен, когда отображение х —> Т о^ из Q в А непрерывно из Q, в исходной топологии в А в метрической топологии сопряженного пространства (здесь <Г - мера Дирака, рассматриваемая как функционал над А ) В теореме 2.4 главы I мы даем (довольно сложно формулируемый) критерий компактности оператора вида ft н-* и^(f Lf>t) + Uz ( Р IP ) в С (Q), использующий это соображение. Сложность заключается не в доказательстве, а в формулировке результата. При переходе к аналитическим функциям формулировка упрощается, так как "внутри Q, " обе топологии часто совпадают и, кроме того, "помогают" теоремы единственности.
Сохраняя обозначения из теоремы I.I4 главы I, положим и допустим, что исходная топология на 6- совпадали ет с метрической А - топологией (это типично для аналитической ситуации). Пусть Т^= U±'(flft) + uz'^foLfa) ' ^4^ %і6-)с (J. , ic~l,A .
ТЕОРЕМА 2.5 ГЛАВЫ I. Оператор Т тогда и только тогда компактен, когда: а) если Ц(Х)ф lf/x) и ШСХ)єГ , то &К(Х)= О ; б) если 10 (ос)- LP(X) <=, Г , то 2Xt(oc)-\r гс^(Х)~ О и lttoc)\\S - (Г II > 0 ' при Z -^ X.
В конкретных случаях II - S (| # удается вычислить явно или оценить и это приводит к явным критериям компактности.
Пусть В - единичный шар в (L и Д=А(В ) - аналог диск-алгебры.
ТЕОРЕМА. 2.7 ГЛАВЫ I. Оператор f ь-> ^^0)^^^) компактен в А(В ) тогда и только тогда, когда осуществляется одна из следующих возможностей:. а) < у ^ - соп^ ; б) id = С&Я4І, IP Ф соя4^6 , )U>(^)|^1 во всех точках, где Хл(2)ф0у в) {Г)=с&ґі4і: , и> ф а>тм. , /(/>(2)|<2 во всех точках, где г/^фо-у
Г) у = СОП4І , 6? ^ COflх) если %С*)Ф((2) , //^(2)1=-1 , то ^/*) = О , г2) если yc*)=^(Z) , /у.<г)| = 1 , то ^ф+#2(г)= О at, іш-ш*-и(да>,шічш*іш* . о при —* 2 , где {&,о) - евклидово скалярное - II - произведение в (L и \а\ - евклидова норма.
Другое приложение теоремы 2.5 главы I дано в 3 главы I. Мы реализуем диск в виде верхней полуплоскости Jm 2 ~ъ О и рассматриваем подстановку z i—^ LfCZ) = Z + Сл)0 -+ gcz-) , где &>0= с^<^ f ^ Сы0н- ЄС2)) ^J?0 > О , ЄС2) анали-тична при ТтіуО и ()—> О при |Н|—^ <*> . Показано (теорема 3.2 главы I), что спектр оператора О. і—=> ZC-(fU>) составляет спираль [ Д : Я = 2/0) ез^> 6&J>0^ у^&О]
Во второй главе рассматриваются вопросы описания спектров операторов, действующих в банаховых пространствах аналитических функций на ограниченных областях ])c(t ,
Обозначим через алгебру всех голоморфных функ ций на .D и положим . Пусть - банахов А(Х>)- модуль (причем вложение непрерывно; топология на KoC(V) - это топология равномерной сходимости на компактах). Рассматриваются операторы двух типов. Оператор первого типа определяется функцией И <= А и непрерывным отображением LD: Х> —> D , голоморфным в D :
Легко убедиться, что Т компактен в X .
Операторы второго типа определяются так. Пусть - голоморфное векторное поле, определенное в некоторой окрестности множества D , причем во всех точках границы ЪТ) поле ^ трансверсально к ^D и направлено внутрь D (относительно границы делаются некоторые несущественные предположения). Через ^>Ct,Z) обозначим решение уравнения \Х/ = f(\X/)c начальным условием ^^0,^) = 2 . Решение существует при всех і ^0 и IfCfa) => да2єР и ЬО , Пусть LL -регулярная конечная борелевская комплексная мера на полуоси ^ у. О .Мы полагаем (Tf )(2)= [ Zl(lf(ll))f(f(iz))du(h , где^еА(Б). О
В I главы П собраны необходимые для дальнейшего вспомогательные результаты. В 2 дается доказательство теоремы, дающей описание спектра оператора первого типа. Заметим, что упомянутое отображение ID : D -^ > имеет в точности одну неподвижную точку в D и будем считать ее началом координат в (Г . Пусть (p(z) =- Дг -+ о(г) , т.е. А - линейная часть [0 в начале координат. Обозначим через fliif) мультипликативную полугруппу в , порожденную числом 0 и совокупностью всех нерезонансных собственных чисел отображения А (Напомним, что собственное значение оС называется резонансным, если ^р— ^і " " V Для некоторых собственных чисел о^,- --j о^ и неотрицательных целых tniy-- ,^^ с ]EL m- ^ «2- ). - ..... J,
ТЕОРЕМА 2.1. ГЛАВЫ П. Спектр оператора Т первого типа совпадает с 36(0) /7(1/0 .
В 3 главы П изучается спектр оператора Т второго типа (ассоциированного с полем |" и мерой LL ). При k
Легко проверить, что ф (ь е X , если А е X и ^ ^ 0 . Обозначим через \) вариацию меры JM и предположим, что fllfbll //-ЛлЛ ^ - ІЗ -
ЛЕММА 3.4 ГЛАВЫ П. Оператор Т второго типа тогда и только тогда компактен, когда д({0]) = 0.
ТЕОРЕМА 3.1 ГЛАВЫ П. В предположении компактности спектр оператора второго типа составляют 0 и числах*
Дт= U(o)j е djbc(-b) } о где т. - точка решетки Ж^ , а ъ ~ С^±> ~ ' ' > ^nJ ~ на^Р собственных чисел дифференциала поля ^ в неподвижной точке (которая считается совпадающей с началом координат).
4. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [24] , [25] , [26) . Они докладывались на ХУЛ (1983) и ХУШ (1984) Воронежских Зимних Математических Школах, на конференции по методам алгебры и анализа в Тарту (1983), на семинаре по банаховым алгебрам и комплексному анализу в МГУ (руковод.Е.А.Горин и В.Я.Лин) и в Институте математики и механики АН Азерб.ССР.
Автор считает приятным долгом принести глубокую благодарность своему научному руководителю Е.А.Горину за постановку задач, постоянное внимание и поддержку, а также В.Я.Лину за помощь и многочисленные консультации по теме главы П. Автор благодарен также кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ, где он был студентом, стажером и аспирантом, а также руководству Института математики и механики АН Азерб.ССР за предоставленную ему возможность повышения квалификации в МГУ. х) Интеграл в следующей ниже формуле для Дт сходится при любом /we 7Z^ (см. замечание 3.2. I) стр. 76 ).
Г Д А В А I
Компактные операторы взвешенной подстановки в равномерных пространствах
Непустота и компактность - единственные свойства подмножества комплексной плоскости, наличие которых эквивалентно существованию ограниченного оператора банахова пространства с данным спектром. Дополнительными свойствами обладают спектры операторов, более тесно связанных с дополнительными структурами пространства. Классический пример - вещественность спектра эрмитова оператора гильбертова пространства, совпадение нормы и спектрального радиуса в этом случае. Сравнительно новый пример дает теорема Камовица и Шейнберга [3 , согласно которой спектр непериодического автоморфизма полупростой коммутативной банаховой алгебры А содержит единичную окружность (по поводу разнообразных доказательств и обобщений этой теоремы см., в частности, статью Е.А.Горина [8]). Кроме того, спектр Т в этом случае - связное подмножество плоскости .
Если реализовать полупростую коммутативную банахову алгебру А в виде алгебры непрерывных функций на компакте Q ее максимальных идеалов, то каждому эндоморфизму (в частности, каждому автоморфизму) Т А— А будет отвечать такое непрерывное отображение (гомеоморфизм) [р: Q— Q , что (Т-)С) —f(Ц (хУ) Для всех ієА и ie(J , т.е. Т реализуется в виде оператора подстановки (композиции). Этим объясняется тот факт, что теорема Камовица и Шейнберга стимулировала изучение спектральных свойств операторов подстановки и более общих операторов вида й і— . 2t(fiP) t действующих в функциональных алгебрах и подпространствах Е = C(Q) . Конечно, специальные высказывания о спектре оператора подстановки возможны лишь при наличии дополнительной информации (о динамике подстановки, пространстве Е , структуре Q ), поскольку в таком виде, даже в предположении заглкнутости Е в C(Q.) , реализуется, как это вытекает из теоремы о слабой компактности шара сопряженного пространства, каждый оператор банахова пространства с нормой не больше I.
В работах Леви [19] , [20) и Джонсона [Зі] среди прочего были найдены простые доказательства теоремы Камовица и Шейнберга. Кроме того, вскоре выяснилось (см. 42] , [7] ), что спектр авто морфизма полупростой коммутативной банаховой алгебры, вообще говоря, не обладает специальной симметрией. Следующий пример, который мы кратко опишем, принадлежит Е.А.Горину. Пусть J( такой компакт в (Г , который содержится в кольце - $121 Ч та. содержит кольцо -- \Z\ 2 . Предположим дополнительно, что Jnz А плотно в К Рассмотрим пространство А=А(К)С с- С (К) функций из С(К) » аналитических на УК . От носительно поточечных линейных операций и SW.P - нормы А образует банахово пространство. Очевидно, что спектр оператора f(.2)\— zfez) в А совпадает с К Вместе с тем, от носительно умножения пространство А образует, как можно показать, полупростую коммутативную банахову алгебру (без единицы), пространство максимальных идеалов которой "совпадает" с группой Ж целых чисел (гельфандовское представление сопоставляет последовательность лорановских коэффициентов), а введенный оператор становится автоморфизмом этой алгебры. Тем не менее, в ряде естественных ситуаций, связанных с алгебрами гладких функций, в структуре спектра автоморфизмов и взвешенных автоморфизмов была обнаружена круговая симметрия. Кроме того, в этих случаях был проведен довольно детальный анализ тонкой структуры спектра. К этому кругу вопросов относятся некоторые работы Камовица [32] , [33) , [34] , [35] , [36] , ряд работ А.К.Китовера [12] , Ш , [14] , А.Б.Антоневича [I], [2], А.Б.Антоневича и А.В .Лебедева [3] , А.Б.Антоневича и Сериня Алиу Ло [4] , А.В.Лебедева [16] , [17] ,[18] и другие, связанные с исследованием интегро-функциональных уравнений, фредгольмовым спектром, теорией индекса и т.д.
Другое направление, возникшее в связи с теоремой Камовица-Шейнберга, - изучение спектров эндоморфизмов и взвешенных эндоморфизмов. Любопытно, что спектры эндоморфизмов алгебры С(10,1]) были описаны Монтадором [38] только в 1974 году, результат которого в конце 70-х годов был распространен на общее С (GO в работах Сериня Алиу Ло [22] и В.Г.Курбатова [15] . Оказалось, что в этом случае спектр - либо диск 1АЫ 1 , либо конечное объединение замкнутых подгрупп окружности 1А1=4 , возможно, дополненное точкой 0 . В работах А.К.Китовера (см.,в частности, [13] , [I4 ) были полностью описаны спектры взвешенных эндоморфизмов С(Q.) и других равномерных алгебр в дополнительном предположении, что подстановка сохраняет границу Шилова (в специальном случае диск-алгебра подобные результаты были раньше получены Камовицем [34] ). Грубо говоря, в такой ситуации при переходе от С(О) к подалгебре спектр сохраняется (в частности, сохраняются свойства круговой симметрии спектра), тогда как, вообще говоря, он может сзщественно измениться. Как отмечается в [42] (см. также [29] ), спектр эндоморфизма равномерной алгебры в общем случае, "повидимому, не обладает никакими специальными свойствами", кроме очевидного: Д принадлежит спектру при всех натуральных и , если Я - точка границы спектра. Во всяком случае, имея спектры S± , S эндоморфизмов равномерных алгебр, можно сконструировать эндоморфизм со спектром StUSx или со спектром S1Si= { Я = Л±\ Я±е S±
Компактные комбинации.операторов.взвешенной подстановки
Оператор Т тогда и только тогда компактен, когда для каждого /с выполняются следующие условия: б/V = conJ: ; либо o V —Соплі , либо (х)1 1 , для всех JCCV ., для которых гс(зі)фО. В частности, если # Х) 0 при всех х є Q. (например, если Т - эндоморфизм), то Т компактен в том и только в том случае, когда в — соп і и либо о = ССУГЫЛ. , либо с/.(х) 1 при всех х є. Q , т.е. отображение IP переводит весь цилиндр Q внутрь некоторого плоского диск-сечения.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что оператор Т компактен. Будем считать, что СИ) a A(Q) и А( ) с: ALQ) ; здесь ACT)) - диск-алгебра, вложения естественные. Рассмотрим суже ние Т\С(1) , (Та) (, )= U(Z,4)Q(pU,4)) . Пусть Ы :I- Q, некоторый путь, причем 00(Т) z. WK при всех Те.1 . Оператор Q, — Х.(( )(Т)) Q(J3(UJ(T))) будет компактным оператором в Ш) . Так . w(t) W , то гі(оо(Т)) = 0 . из теоремы 1.8 теперь вытекает, что множество значений функций миССї) сводится к точке. Согласно лемме І.І2 множество W„ линейно связно, так что для любой пары точек из WK существует соединяющий их путь. Следовательно, /W - константа, а так как j? - непрерывная функция и VC/ плотно в VK , то B\VK-=cond. При доказательстве второго утверждения, касающегося поведения с \ , недостаточно только рассмотрения сужения T\A(D). Мы должны доказать, что если &O,10)GVK , (20,4) = 0 \%\- 1, и lc(z0,i0) фО , то о (г )= 90 при всех (2 )е VK . Пусть % - общее значение j8 на V (мы уже доказали, что J9V = соп с ). Точка ( }Т0) принадлежит границе Шилова и является точкой пика для алгебры A(Q) . Далее, ( ,4,) 0 , так что (С }%) lf( WK) % силу леммы 1.10 множество \Х . линейно связно. Ввиду компактности Т отсюда в силу теоремы 1.6 вытекает, что yWK сводится к (С о)Т0) . Тем самым установлена необходимость. Для доказательства достаточности при данном і 0 рассмотрим компакт гС = {х = (Я ): гггх) ] . Так как К Ч: » то К! содержится в некотором конечном объединении \U "L/VW . Далее, f\V. - TL , 1 L Ы . Можно считать, что a(U= , 1 N M ичто UUC 1 на KMVL (Л--1/ VN) . Компактность оператора Т теперь проще всего установить непосредственно на основе теоремы Витали:: если ЦІ ( 1 , то можно выбрать подпоследовательность, для которой Р ( 5 Т.) и t ( ?; " ) равномерно по J .$ с 1 сходятся. Теорема до Теперь мы вернемся к теореме 1.6. В случае произвольного компакта теорема 1.6 не обращается. Действительно, если Q - компакт с одной предельной точкой, то утверждение теоремы 1.6 выполнено для каждого оператора рассматриваемого вида просто потому, что в Q нет связных подмножеств, кроме одноточечных. Однако для локально связных компактов Q, теорема 1.6 обращается. Напомним, что компакт Q, называется локально связным, если каждая его точка имеет фундаментальную систему связных компактных окрестностей. Вместо доказательства обращения теоремы 1.6 в этой ситуации мы установим несколько более общий факт. I.I4. ТЕОРЕМА. Пусть & - локально связный компакт и А= ACQ.) =- ССО.) - замкнутое подпространство. Пусть Г - множество точек пика относительно А . Предположим, что для каждого компакта К,a Q\ Г естественный оператор сужения ACQ)- — С (К) компактен. В таком случае оператор fcx) - zt(x)f(U (x)) в том и только в том случае компактен, когда для каждого связного компакта Yc={x: гссх ф О J либо (i (Y) - точка, либо ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. В стороны необходимости - это следствие теоремы 1.6 (и не зависит от предположения локальной связности).. Для доказательства достаточности будем использовать лемму 1.2. Пусть 0 .Из предположенной локальной связности вытекает существование таких связных компактов U,---, Vw , что V { X . U( )=t О ] и X V -WN Э {х: \исх)\ъ є J . по условию либо lf\VL = = согы t либо у(\) г Й\Г . Следовательно, у- образ множества SJC: \и(х)\ і \ состоит из конечного числа точек и компакта, не пересекающегося с Г. Сужение шара {f A : llfil 1} на этот If- образ будет предкомпактно по условию теоремы (добавление конечного множества точек к KJ cr Q\ Г ничего не меняет). Тем самым наш one - 27 ратор компактен в соответствии с леммой 1.2. Теорема доказана. I.I5. ЗАМЕЧАНИЕ. Если А = CCQ.), то Г= Q, , и мы получаем обращение теоремы 1.6. Условие Г Q может выполняться и в менее тривиальной ситуации, например, если А есть диск-алгебра, реализованная в виде алгебры непрерывных функций на границе диска. Из теорема I.I4 легко вытекает теорема 1.10. Отправляясь от нее, легко получить также обобщения теоремы I.I3.
Спектры компактных операторов индуцированных сжимающими голоморфными отображениями (операторы первого типа)
Пусть f - представитель ростка f в некоторой связной окрестности Vc D точки 0 . Существует такое Nv , что LP (D) « V при всех N ,- Nv , Так как -f = = AwTNf = Д і0 и V связна, то fv(z)= ff (а Ь)) для всех г є V . При N ъ Nv функция = Ґfv ЦЫ ПРИ надлежит А(В), не зависит от выбора N и удовлетворяет соот ношению Tf = Л fc if l{ - Л- Я fv f -= Л f - Ее рос ток в точке 0 совпадает с М , ибо і = д і о у =: і . Единственность і с указанными свойствами следует из связности X) . Утверждение б) тривиально. Из лемм 2.2, 2.3, 2.5 и 2.6 следует, что для доказательства теоремы нам достаточно показать, что множество ZKT) всех (ненулевых) собственных значений оператора Т в О совпадает с П((Р)\{0} . В следующей лемме мы докажем это в том (единственно важном для дальнейшего) частном случае, когда линейное приближение А отображения if (в нуле) является "общим" и сжимающим линейным эндоморфизмом (L11 . Общность А означает, что все его собственные значения о(; (1st ft} просты, отличны от 0 и мультипликативно независимы (т.е. если т- « Ж и 2. пг фО , то т 1 &d Ф і ). Мы называем А сжимающим, если все J о . і 1 . Очевидно, что множество общих сжима Is ющих эндоморфизмов всюду плотно в пространстве всех сжимающих эндоморфизмов. 2.7. ЛЕММА. Если линейное приближение А отображения If в точке 0 является общим, то ЛСТ) = П((/ )\{0] . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Согласно лемме 1.3 эндоморфизм А является сжимающим; а так как он предполагается общим, то все его собственные значения нерезонансны. Поэтому к ростку LP отображения W в точке 0 применима теорема Пуанкаре о локальной линеаризации (см. [5], стр.176). Таким образом, в точке 0 существует такой росток W системы координат W , биголоморфно свя-занной с исходными координатами г , что в этих координатах Так как спектр А прост, то, не ограничивая общности, можем считать, что в координатах W преобразование А диагонально: А=г cUaa Го г"; Л] . Пусть # , Л(\х/) г=,И.а \Х/ (здесь и далее а = (&, , о) = (Z+f, \х/ w±h- IX ; 6L s. ). Тогда где x = c 1 o . Если CL - собственный вектор оператора Т с собственным значением \ФО , то из (47) следует, что Так как & Ф О , а числа » мультипликативно независимы, то из (48) легко следует, что существует единственное значение мультииндекса о , для которого & 0 и Я = оС . Поэтому є Пе ) (соответствующее собственное подпространство 1_д оператора Т одномерно и порождается ростком =\х/ ),
Обратно, если Д е. Г7«р)\{0} , то Д = о для единственного значения мультииндекса а , и, согласно (47), росток &=w является собственным вектором оператора Т с собственным значением Я . Лемма доказана. Пусть { В { - некоторая последовательность комплексных (/гхл.) - матриц, стремящаяся к нулю. Рассмотрим возмущения Ш отображения W : Ш (2) = U (2)+ В 2 ,Ze 5 . Фиксируем такое открытое подмножество V в ID , что ір(Т))с.\[с:\7 =.Т) ; если /с достаточно велико, то W (D)ci V ; поэтому мы можем (и будем) считать, что последнее включение справедливо для всех /С . Из леммы 1.2 следует, что последовательность компактных линейных операторов Т : X— " X , Тк1 = $оШ сходится (по операторной норме) к оператору Т . Пусть crtTK) - спектр оператора Т. Для каждой последовательности множеств О с , /С = 1,2,---, обозначим через wnojj. подмножество в (Г , состоящее из всех предельных точек всех тех последовательностей { / с } для которых = о при каждом /с . Так как операторы Т , Тк компактны, то все ненулевые точки их спектров изолированы. Поэтому из стандартных результатов теории возмущений (см. напр. [И] , стр.269, теорема 3.16) вытекает справедливость следующей леммы. Для каждого линейного отображения С : С — обозначим через П(С) мультипликативную подполугруппу (с единицей) в , порожденную 0 и спектром С . -мов А : — сходится к сжимающему эндоморфизму А , ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть d(h) ,&(А \ - спектры отображе ний А , А ; так как А = Ак , то ясно, что (f (А) — = ст(У(к#) . Отсюда сразу следует включение ПСА) = а. Ест ЛСА ) Так как отображение Д сжимающее, то спек тры сУСА всех отображений Ак с достаточно большими номера ми /с лежат в круге радиуса 1 - 1(/\) 1 . Отсюда следует, что если некоторая последовательность Л = Г\(Аи) сходится к Я Ф О , то показателей степеней в мультипликативном пред ставлении каждого Лк. через собственные значения отображе ния Аг ограничены в совокупности; поэтому переходя к под-последовательности К-, , можно считать, что эти показатели (при подходящей нумерации собственных значений) для больших к-, І стабилизируются. Учитывая, что собственные значения Ак сходятся к собственным значениям А , получаем, что А =. ПСА") . Стало быть біт ПСА d ПСАЇ . Лемма доказана.
Спектры компактных операторов индуцированных сжимающими голоморфными вектор-.. ными полями (операторы второго типа)
Означает суммирование по всем таким т ,т"є. Z+ , для которых m -hm r? и т Ф О . Так как, то найдется такое /# Ж+ , что -Я Ф О ж t О для всех тех w"e z f Д 1 которых л7?" /г) . При rnh соотношение (81) принимает вид ибо в сумму Ц о Um,fmii входять лишь такие слагаемые Um, f ,, , для которых т" /й (т.е. fm„-0 ) Поскольку Ф О , из (82) следует, что \ mo)u! s , и так как Д ± О , то 1С(О)Ф0. Покажем теперь, что если гссо)ФО и Д = гсСС) и $ для некоторого th е 7L+ , то найдется такой ненулевой росток -f (= 00 , что Т = Д -Р . Для этого достаточно показать, что найдется такой ненулевой сходящийся степенной ряд XI $ wm коэффициенты которого при любом /7? е ХГ удовлетворяют соотношению (81). Положим эти равенства определяют коэффициенты f при w / . Из условия X — ггсо)и о г» следует, что соотношения (81) выполняются для любого т , для которого \т\ \т\ . Так как гс(О) О и и = /х при /г)Ф /г) (условие в) опреде-ления 3.7), то при \т\ //г?/ соотношения (81) можно предста вить в виде Так как в правую часть (84) входят лишь такие коэффициенты L , ДДя которых \т"\ \т\ , то формулы (83) и (84) опреде ляют набор коэффициентов Sf 7 , удовлетворяющих ус - 90 -ловиям (81). Поэтому остается лишь показать, что соответству ющий степенной ряд L { w сходится в достаточно ма лой окрестности нуля. Пусть с = max Re о . ; тогда оС О шкекту у —оС1т\ для всех т& 7Z.X . Поэтому из условий 1С(О)Ф0 , (73) и конечности меры \) следует, что найдется такое С 0 , что для всех тФ ґ& . Так как функция (0Р+І) (? при О ограничена, то найдется такое р О , что для всех - , О . При достаточно малых \Х/ степенной ряд - # W сходится; поэтому существует такое и- С , что для всех п) & Я+ . Покажем по индукции, что для всех m =7L Справедливость неравенства (88) при \т\ \&\ следует из формул (83). Пусть Ь/ гй - целое неотрицательное число; допустим, что (88) справедливо для всех тех т& ж} , для которых lm\ z Ы. Пусть т . Ж+ и //77/= Г\/+1 ; тогда из индуктивного предположения и соотношений (84), (85) и (87) следует, что Отсюда в силу (86) следует, что \У \ «с Є . Таким образом, неравенство (88) справедливо для всех т «= Ж+ , а это гаранти рует сходимость степенного ряда 2— f \X/m для всех доста ете. "" точно малых \х/ . Лемма доказана. Так как гс е. А(зэ) и LPСІ,г)— С при -Ь — +оо , то оператор Т индуцирует - линейное отображение ЧГ J О — 0Q . Это отображение можно определить следующим образом. Пусть f&00 ; тогда найдется представитель J? ростка f ; определенный в такой окрестности Уз О , для которой W (V) с- V при всех / , О Функция Uz) = J 2(if и,гУ)-Р(У U,2}) duch о голоморфна в V и мы можем положит Т і == к Ясно, что 0,0 J. если с;е X - собственная функция оператора Т : X— X с собственным значением Д , то росток Q, &00 этои функции в начале координат является собственным вектором отображения Х„; ( — 00 с тем же собственным значением Д . Сле дующая лемма показывает, что при ЛФ О верно и обратное. венный вектор. Тогда существует единственная функция FeAOScX росток которой в точке 0 совпадает с J? , причем F является собственной функцией оператора Т : X — X с собст 6,0 венным значением А .
