Введение к работе
Актуальность темы. Дифференциальные операторы для функций бесконечного числа переменных (бесконечномерные дифференциальные операторы -б.д.о.і естественно возникают как б физике систем с бесконечным числом степеней свободы - квантовая теория поля, теория турбулентности, статистическая физика, квантовая электродинамика, так и б самой математике при исследовании нелинейных уравнекпи и теории случайных процессов с бесконечномерным фазовым пространством, исследование бесконечномерных дифференциальных уравнений (О.д.у.) стимулирует развитие соответствующего математического аппарата: теорию пространств функций бесконечного числа переменных, теорию интегрирования по кваїимерам б бесконечномерных пространствах.
Интенсивное 'изучение б.д.о. началось в конце 60-х годов. Эллиптические дифференциальные операторы второго порядка появились в работах Б.Б.Баклана, Г.Л.Чантладзе, Умемура в связи с задачей построения бесконечномерных диффузионных процессов. Систематические их изучение было начато Ю.Д.Далецким , Л.Гроссом, М.Пич. При этом центральное место занимал вопрос о разрешимости задачи Коши для соответствующего параболического уравнения и об интегральном представлении ее решения. Дальнейшее исследование б.д.о. в классах гладких функций, являющихся аналогами соответствующих конечномерных, либо в пространствах (обобщенных) мер, было продолжено в работах В.Ю.Венткуса, М.И. Вишка, Б.Ласкара, 0.Г.Смолянова, А.В. Угланова,Р.Л.Шахбагяна и других математиков. Изучались вопросы разрешимости для раз-
личных классов б.д.у. и наличия у них ц/ундамекталькых решений (Ф.р.).
Б диссертации предлагается иной подход к исследованию б.д.о., основанный на развитой автором теории пространств типа С.Л.Соболева Щи, Ф'/ккций бесконечномерного аргумента и их обобщений - пространств "у>* Он позволил, применял методы Функционального анализа, сравнительно просто исследовать широкие классы б.д.о., без привлечения специальной теории пространств обобщенных мер и сложной техники классического метода, исследовать б.д.у. с разрывными коэффициентами, изучить спект-ральньії- свойства о.д.о.. .широкий запас пространств серии t'y/« дает возможность для каждого оператора выделить те из них, в которых этот оператор обладает естественными свойствами.
При исследовании решений дифференциальных уравнений возникают интегралы по различным распределениям (мерам, кзазимерзм, обобщенный мерам!. Проблема интегрирования по распределениям важна так же в сбязи с задачами квантовой теории. Этому вопросу посвящено большое число работ, связанных в основном с интегрированием по "мере" Фейнмана. Значение интеграла по таким распределениям (континуальных интегралов) определяется, в частности, тем, что они позволяют представлять решения различных задач, связанных с уравнениями, содержащими дифференциальные и псевдодифферекциальные операторы (формулы Фейнмака-Каца-Нелъсо-на). Математически обоснованное применение континуальных интегралов к решению конечномерных уравнении дано Ю.Л.Далецким. что касается фейнмановских интегралов іф.и.), б книге О.Г.Смолянова
ii Е.Т.Шавгулидзе ("Континуальные интегралы" М.:МГУ, 1990) при-
В>їДЄКЬі нСе ИЗВвСТКЫ»; К НаСТОЯШрМУ ВреМсНИ ОПрвДёЛсКИЯ ф.И. (,-
-интегралы), описаны широкие классы ^ -интегрируемых функции.
Однако задачи математической Физики приводят к необходимости значительного расширения этих классов. В сеязи с этим вводятся различные определения и обобщения континуальных интегралов и соответствующих распределений. В диссертации предлагается одно из таких обобщении - понятие "А-квазймеры", которое используются в ней для описания структуры фундаментальных функций б.д.о.. При изучении б.д.о. одной из важных задач является построение соответствующих классов пространств (основных и -обобщенных'! /функций. Такие классы вводились многими авторами. Общий подход к построению теории' обобщенных функций бесконечномерного аргумента был предложен С.В.Фоминым, Им было замечено, что в бесконечномерном случае естественно рассмотрение не пары пространств - основных и сообщенных элементов, а четверки - основных ц обобщенных мер н функции. Зто направление было развито в работах В.И.Авербуха, о.Г.Смолянова, Ю.Л.Далецкого, А.В.Угланова и других авторов. Другой путь к построению пространств Функции бесконечномерного аргумента, как взвешенных бесконечных тензорных произведений гильбертовых пространств, был предложен Ю.М.Еерезанскнм и Ю.С.Самопленко и получил дальнейшее развитие в работа:-; их учеников. Различные классы пространств гладких Функций вводились так же в работах П.М.Блехера, М. И.Вииика, А.В.Марченко, Р.Л.Шахбаглна, П.Крэ, М.Крэ, Б.Ласкара в связи с исследованием б.д.у.. При этом, как правило, вопросы связанные
с детальным исследованием вводимых семейств пространств (интерполяционные свойства, теоремы вложения и т.д.) не рассматривались .
Пространства функций бесконечного числа переменных, конечного порядка гладкости, можно было бы определить по аналогии с конечномерным случаем. На этом пути автором [1,2] была введена и изучена шкала пространств типа Соболева Щ ., . Как и в конечномерном случае, в ней сравнительно просто устанавливаются теоремы о разрешимости и гладкости решении б.д.у.. Однако, в связи с отсутствием в бесконечномерном случае вложений W/„ с> С, доказать кдассическув глад-кость построенных решений не представлялось возможным, ото обстоятельство, а так же отсутствие компактности б шкале Щ^ , приводит к необходимости введения ины". шкал пространств, лишенных этих недостатков. Б диссертации определяется такая серия пространств огп,ь , проведено их исследование, установлены теоремы еложєния. Эта серия не перекры-
вается известными классами функциональных пространств и содержит в себе шкалу* V>2 и
Цэль работы. - Исследование линейных дифференциальных операторов с бесконечным числом переменных и построение необходимого для этого математического аппарата: а) пространств W^nt J'pf< Функции бесконечного числа переменных, исследование свойств введенных пространств, б) специальных распределений на гильбертовом пространстве, описание функций, интегрируемых по этим распределениям.
Методы исследования. Используются современные методы функционального анализа, в частности, теории обобщенных функций и Функционального интегрирования. Применяются методы комплексного анализа, теория эллиптических и параболических систем. Для исследования б.д.о. используется разработанные автором теория пространств Щи.Лри и метод интегрирования по А-квазимерам.
Научная новизна. Построена 'широкая серия пространств Функций бесконечномерного аргумента и установлены теоремы вложения для них.
Выделены специальные распределения (А-квазимеры) на гильбертовом пространстве, описаны семейства интегрируемых по ним функции, которые для случая Ф.и. расширяют известные классы Фв~ -интегрируемых Функций.
Найдены формулы фундаментальных функций (ф.ф.) и фундаментальных решений (ф.р.) задачи Кэши для систем б.д.у. с постоянными коэффициентами. Установлены теоремы разрешимости в ~"рь (задачи Коши для) систем б.д.у.. Описаны классы б.д.о., для которых ф.ф. и ф.р. определяются А-квазимерами.
Выделены пространства Лр,ь> в которых оператор Фейнмана описывает невозмущекную динамику бесконечночастичной системы и классы потенциалов (зависящих от времени), при которых существует динамика возмущенной системы.
Описаны свойства б.д.о. ьысшего порядка с переменными коэффициентами, для которых имеют место теоремы разрешимости и гладкости решений в" 1 i,- .
Приложения. Определённые б диссертации пространства находят применения: при исследовании спектральных свойств б.д.о.;
для доказательства существования динамики бесконечночастичных
- /z
систем; при построении ядерных оснащении . iio , используемых
для Поучения квантовых систем; при доказательстве разрешимости б.д.у: и изучении свойств этих решений (теоремы вложения); в теории представлений бесконечномерных групп; при изучении интегральных представлений положительно определенных функций. Определенные ь диссертации А-квазимеры применяются: для представления решений дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений б виде континуальных интегралов; для описания структуры
ф.ф. и ф.р.
Отметим, что пространства Щ, .. Л* ..построены по гауссовой мере f< . Изложенные в диссертации идеи и методы могут быть обобщены для исследования аналогичных пространств, построенных по "произвольной" дифференцируемой мере № . Пу>їь такого обобщения для соболеЕскнх пространств намечен автором в работах [17,193 и е настоящее время развивается Ю.Г.Кондратьевым и Т.о.Пикзлекко.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинара:-; по дифференциальным уравнениям в Воронежском университете (руководители профессора С.Г.Крейн и В.П.Глушко), на Всесоюзной конференции по дифференциальным уравнениям, посвященной памяти И.Г.Петровского (Москва, 1976 г.), на Всесоюзных школах по теории операторов в функциональных пространства:-: - Минск (1932 г.), Ульяновск (1990 г.), в МГУ им. М.В.Ло-
моисеева ка семинара:-: по дифференциальным уравнениям и мерам на бесконечномерных пространствах (руководитель профессор 0.Г.Смоляное1, в институте математики А.К.Украины (Киев) на семинаре по оператора}.! математической Физике (руководитель профессор j]. U. Бе ре ганский), в институте прикладной математики ДВО РАН і Владивосток} на семинаре по дифференциальным уравнениям ('руководитель профессор В.В.КатрахоЕ), в Московском энергетическом институте на семинаре кафедры математического моделирования (руководитель Ю.А.Дубинский).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы б работах 11-Г.61.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав (разбитых на параграфы) и списка литературы. Кажд&ч глава имеет свою нумерацію параграфов, которые рагбиты на пункты. Нумерация Формул, теорем и т.д. внутри каждого параграфа своя и состоит ив двух чисел (параграф, порядковый номер). При ссылке ка другую главу - эта глава явно указывается. Б диссертации "6" страницы, в списке литературы 133 наименований.
