Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Совершенные пространства измеримых векторно-значных функций 13
1. Исходные обозначения и терминология 13
2. Определение и простейшие свойства совершенных пространств измеримых В-значных функций 19
3. Свойства совершенных пространств в слабой топологии 28
4. Свойства совершенных пространств в некоторых топологиях, промежуточных между слабой и сильной 65
5. Подпространство [L х] совершенного пространства 83
Глава 2. Интегральные операторы в совершенных пространствах измеримых векторнозначных функций 91
6. Исходные определения и факты 91
7. Сильная и слабая непрерывность интегрального оператора и критерий представимости в интегральном виде дуального к нему оператора 93
8. Секвенциальная непрерывность в слабой и нормальной топологиях интегрального оператора 102
9. Непрерывные операторы 124
10. Вполне непрерывные интегральные операторы 133
Литература 144
Список обозначений 149
Предметный указатель 151
- Определение и простейшие свойства совершенных пространств измеримых В-значных функций
- Свойства совершенных пространств в некоторых топологиях, промежуточных между слабой и сильной
- Сильная и слабая непрерывность интегрального оператора и критерий представимости в интегральном виде дуального к нему оператора
- Секвенциальная непрерывность в слабой и нормальной топологиях интегрального оператора
Определение и простейшие свойства совершенных пространств измеримых В-значных функций
В данной диссертационной работе изучаются совершенные пространства измеримых В-значных функций и некоторые классы линейных интегральных операторов, действующих в таких пространствах.
Пространства измеримых числовых функций являются классическим объектом в исследованиях по математическому анализу. В приложениях наиболее часто используются пространства Лебега, Орлича, Люксембурга. Все они содержатся в классе совершенных пространств, который введён в рассмотрение и изучался Ж.Дьедо-не, И.Га льпериным, Ж.Лоренц, В.Люксембургом. Большой вклад в создание теории совершенных пространств внесли советские математики Я.Б.Рутицкий, П.П.Забрейко, Ю.И.Грибанов. Совершенное пространство - это пространство измеримых функций, совпада- , щее со своим вторым дуальным и удовлетворяющее некоторым условиям отделимости. В общей теории таких пространств важным является тот факт, что дуальные друг к другу пространства данного типа находятся в двойственности в смысле Бурбаки и обладают целым рядом интересных свойств относительно различных топологий. Например, они равномерно ограничены и секвенциально слабо полны. При некоторых естественных ограничениях там имеют место критерий сильной сходимости, подобный теореме Витали о сходимости в пространствах Лебега, и удобный для применения критерий сильной компактности.
Многие задачи из различных разделов анализа сводятся к изучению интегральных операторов. К настоящему моменту общая теория таких операторов развита довольно подробно. Отметим здесь исследования М.А.Красносельского / 25 /, В.Люксембурга и А.Заа-нена / 45 /, П.П.Забрейко / 16,17 /, В.Б.Короткова / 21,23 /, Ю.И.Грибанова / .8-11 /, П.Шептицкого /50/. Для приложений наиболее интересны классы совершенных, нормальных и регулярных интегральных операторов. Эти классы операторов в совершенных пространствах измеримых числовых функций обладают целым рядом важных свойств непрерывности.
В последние два десятилетия при решении конкретных математических задач всё более широко используются векторнозначные функции. Этим объясняется возросший интерес к пространствам измеримых В-значных функций. Многие важные результаты по общей теории таких пространств получены совсем недавно в работах Ж.Брукса и Н.Динкуляну / 33,34 /, А.Макдональда / 46,47 /, Ю.Батта / 32 /, Ж.Буржина / 35 /, Н.Кака / 36,37 /, А.В.Бух-валова /5"/, Ж.Дистеля / 39 /.
Работа состоит из двух глав и разделена на десять парар-рафов. В первой главе изучаются свойства совершенных пространств измеримых В-значных функций в различных отделимых локально выпуклых топологиях, определяемых двойственностью между ними. В I приведены исходные определения и факты теории меры, векторного интегрирования и общей теории двойственности векторных пространств. Пусть(S tX. , О-О -пространство с Є" -конечной, неотрицательной и полной мерой, X и J -банаховы пространства в двойственности относительно билинейной формы , . Через Ly s LvCb/Lj O-обозначается пространство всех классов измеримых функций 4- " о А равных г , -почти всюду. В 2 определяется основной объект исследования первой главы - класс совершенных пространств измеримых В-значных функций и устанавливаются его простейшие свойства. Пусть L L 0 L - дуальные друг к другу совершенные пространства измеримых числовых функций. Совершенным прост-ранством измеримых В-значных функций называется нормальное векторное пространство и равномерно ограничены относительно неё, т.е. любое слабо ограниченное подмножество из 1_х ограничено в сильной топологии / теорема 2.2 /. В 3 изучаются свойства совершенного пространства _ в слабой топологии ( L « , I— у ) Доказаны достаточные признаки слабой фундаментальности и слабой сходимости ограниченных направленностей из 1 Далее устанавливаются критерии слабой фундаментальности и слабой сходимости последовательностей L. v / теоремы 3.2 и 3.3 /. л При доказательстве некоторых утверждений о свойствах пространства І в слабой топологии естественно возникает допол-л нительное предположение о банаховом пространстве д » состоящее в том, что оно обладает свойством Радона - Никодима / XG A/CS ДІ ) / Это значит, что любая абсолютно непрерывная относительно Р векторная мера "О 2-— X конечной вариации представима интегралом Бохнера. Например доказывается, что для секвенциальной слабой полноты пространства __ необходимо и достаточно; чтобы пространство X было секвенциально полным в топологии С"С X і д ) и X - CS ДІ 0 ) / теорема 3.4 / и устанавливается следующий критерий слабой квазиполноты
Свойства совершенных пространств в некоторых топологиях, промежуточных между слабой и сильной
С помощью доказанных утверждений и интересного результата Е.М.Никишина о возможности локального вложения в пространство L любого выпуклого множества ограниченного в топологическом векторном пространстве u , устанавливается следующая
Теорема 8.7. Пусть V Є гч,(.\Л-) . Любой слабо непрерывный вполне интегральный оператор А с ядром l -SvT- В .CX U-), действующий из нормируемого совершенного пространства L в совершенное пространство П , секвенциально непрерывен в топологиях их41Д1) \СМ ,0 ) Отметим два важных следствия доказанного свойства. В.Б.Короткое недавно установил, что любой интегральный оператор переводит любую слабо сходящуюся последовательность из L- в последовательность, сходящуюся по мере на каждом интегрируемом множестве / 23 /. Оказывается, что если V К. СіЛ- то любой вполне интегральный оператор А с ядром К Ь х"Т - В СХ ІЛ-3 » действующий из нормируемого совершенного пространства L в прост-переводит любую сходящуюся в топологии (_[_ \_ \ последовательность из LY в последовательность сходящуюся по мере на каждом интегрируемом множестве / теорема 8.8 / Если пространство L3=LL»,1, \/fc Q (U ),XeRXi3) т0 люб вполне интегральный оператор А с ядром l SxT-- f_X ІЛ-) действующий из нормируемого совершенного пространства І_ к в пространство L компактен по мере, т.е. он переводит любое ограниченное множество из Ly в относительно компактное в г -пространстве L множество. Подобные условия компактности по мере интегрального оператора А , действующего из идеального пространства L в идеальное пространство М установлены П.П.Забрейко / 17 /. В 9 установлены некоторые свойства о . -, -, У - и оО-непрерывных операторов, которые естественно возникают при рассмотрении вполне непрерывных операторов. В частности, в терминах секвенциальной непрерывности характеризуются а -непрерывные операторы и установлены условия а -непрерывности # -непрерывного оператора. В 10 исследуются вполне непрерывные операторы, действующие из нормируемого совершенного пространства Lv в норми-руемое совершенное пространство П . Установлено, что для полной непрерывности любого вполне совершенного и любого усиленно нормального -интегрального оператора А L - LH , 3 с ядром N -Sx.T- f _ СХ \Х\ необходимо и достаточно, чтобы он был оС - непрерывным / теоремы 10.5 и 10.6 /. Доказывается, что V -непрерывный слабо непрерывный оператор А \__ \\ вполне непрерывен, если оба оператора /\ и Д являются либо вполне совершенными, либо усиленно нормальными интегральными операторами / теорема 10.8 /. С помощью этих утверждений доказываются некоторые частные достаточные признаки полной непрерывности интегральных операторов, действующих в пространства 1_ч или из пространства j_« , а также устанавливаются достаточные условия полной непрерывности интегральных операторов А 1_у L- _ В заключении формулируем основные результаты работы: I. Установлены новые свойства совершенных пространств измеримых В-значных функций в слабой топологии и топологиях, промежуточных между нормальной и сильной. В частности, доказаны критерии слабой секвенциальной полноты и слабой квазиполноты [__ / теоремы 3.4 и 3.5 /, критерий совпадения классов относительно слабо компактных и относительно секвенциально сяабо компактных множество пространства L. / теоремы 3.9 и 4.7 /, и критерий согласуемости с двойственностью между _ и L м I топологии пространства / промежуточной между нормальной и сильной / теорема 4.6 /. 2.На класс вполне интегральных операторов Л Ly" Hi. обобщается утверждение о слабой непрерывности и критерий представимости в интегральном виде слабо сопряжённого к Д оператора /теоремы 7.2 и 7.3 /. 3. Для классов совершенных и нормальных интегральных опе раторов /4:LV - \Л , а если L нормируемое совершенное пространство, то и для класса вполне интегральных операторов Д . Ly-" установлено новое общее свойство непрерывности секвенциальная непрерывность в слабой и нормальной топологиях / теоремы 8.1, 8.4 и 8.7 /. На протяжении всей работы мы будем в основном придерживаться терминологии и обозначения монографий И.Данфорда и Дж.Шварца / 12 / и Н.Бурбаки / 3 /. Всюду в дальнейшем (_S Д. и, ) , СТ, А , 0 - пространства с 6 -конечными неотрицательными полньми мерами,( Т,ХХА } их произведение. Все рассматриваемые в работе векторные пространства предполагаются вещественными. Если X -банахово пространство, то через X обозначается сопряжённое к нему пространство. Пусть X - банахово пространство. Векторнозначная функция у S - X называется Т. - простой, если-}--, а измеримые множества Д попарно непересе-каются. Функция + -Ъ- X называется лл. - измеримой, если существует последовательность X -простых функций таких, что для ЛЛ. -почти всех е о Через L„=L vCS "X. ) будем обозначать векторное пространство всех классов измеримых функций из S в X совпадающих fv - - почти всюду. Как обычно будем отождествлять измеримую функцию с классом, которому она принадлежит.
Сильная и слабая непрерывность интегрального оператора и критерий представимости в интегральном виде дуального к нему оператора
Лемма 3.2. Для того, чтобы для каждого ограниченного множества при любой функции V = j і и любой последовательности измеримых множеств A \j0 необходимо и достаточно, чтобы совершенное пространство L было квазиполным в слабой топологии CLjL ).
Пусть для любого ограниченного множества (К L выполняется соотношение (1.20). Докажем, что совершен квазиполно в слабой топологии б С L_ L ) . Пусть ограниченная направленность )H3L_ фундаментальна в сла-бой топологии Є {\. U ) . Покажем, что существует функция е [_ такая, что направленностьСЧ, \ сходится к в слабой топологии &(_[_ L ) Фиксируем элемент хеX и рассмотрим в Lx ограниченную направленностьСх \- В силу (1.20) для любой функции Ч б 1 , и любой последовательности измери ільїх множеств г\ 0 , т.е. для ограниченной направленности C i )из L выполняется условие (1.6) леммы 3.1. С другой сторо ны, в силу фундаментальности ]в слабой топологии Q- (__ [_ ) конечно число при любом. Пусть (.S VaKaH последовательность попар но непересекающихся множеств, что S U S u. MS HCL)nX.(L при любом к . і, . Поэтому на основании утверждения (П) леммы сужение функции множества :11 (.L ) определяемой формулой (I.2I), на Q -алгебру измеримых подмножеств множества Ь является абсолютно непрерывной относительно rv мерой конечной вариации при любом к.ъ Л .В силу теоремы Радона-Никодима существует функция е\_ такая, что при любом A &XCL ). На основании (1,21), (1.22) и утверждения (Ш) леммы 3.1 функция _ И направленность (% сходится к в слабой топологии G-CL L). В силу произвольности ограниченной направленности 0 из \- » Фундаментальной в слабой топологии &CL?L ) это значит, что совершенное пространство L квазиполно в слабой топологии С1_ L ) Достаточность. Пусть совершенное пространство L квази-полно в слабой топологии 6(.LjL ). Докажем, что для любого ограниченного множества К из L выполняется условие (1.20). Пусть Кс\__ - ограниченное множество. Рассмотрим в L ограни IN ченное множество {.\\fl\-fe\C В слабо квазиполном пространстве любое слабо ограниченное множество относительно слабо компактно /30 , с. 183 /. Поэтому ограниченное множество WflV- VC в L относительно компактно в слабой топологии CCV-jL ). Фикси-руем функцию Ч" Є L -v. и рассмотрим относительно слабо компактное множество { \\,VV t-f е- К Ч банахова пространства L . В силу критерия слабой компактности в L /12, с.317 / для любой последовательности измеримых множеств A w V ф . Так как функция Ч еІГ произвольна, то это значит, что для множества К выполняется условие (1.20).D Теорема 3.1. Если совершенное пространство L квазиполно в слабой топологии &СІ- L ) , то для того чтобы ограниченная направленность Of ) из \_ была фундаментальна в слабой топологии (ГС -х - \-ч ) » необходимо и достаточно, чтобы направленность ( Х- Ас )в X была фундаментальна в топологии 6(Х. ) при лю 37 Необходимость. Пусть совершенное пространство L слабо квазиполно и ограниченная направленность (- ) из Lx фундаментальна в слабой топологии fr(L L Покажем, что направленность сіул.) фундаментальна в топологии (У\ У ) при любом А&ХС1?). Пусть множество А Є-XCL ). Фиксируем элемент е У . В силу включения - д е L Так как элемент ч е У произволен, это значит, что направленность ($A-yj d -} фундаментальна в топологии (Д У) . Достаточность. Пусть пространство L квазиполно в слабой топологии 6"(L L ) и для ограниченной направленности ij ) из 1_А направленность (\ . - -) фундаментальна в топологии 6 СХ І ) при любом А єХСІ?)« В силу леммы 3.2 для любой функции feu . и любой последовательности измеримых множеств 4WV0 , т.е. для С- 3 выполняется условие (1.6) леммы 3.1. Отсюда и утверждения (I) леммы 3.1 заключаем, что направленность ( ) фундаментальна в слабой топологии& З.П Для последовательностей совершенного пространства _к удается доказать критерии слабой фундаментальности и слабой сходимости без предположения о слабой квазиполноте пространства __ Теорема 3.2. Для того чтобы ограниченная последовательность (fvO в 1_л была фундаментальна в слабой топологии 6"CL _ \ ) . необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следую-щие два условия: 1) & ч Su С \1 \\-Чс1 и = 0 для любой функции Ye L и любой последовательности измеримых множеств h»\itf ; 2) последовательность С J .-f oi .) в X фундаментальна в X топологии & С X , У ) ПРИ любом /[ е Ц (L?) D Необходжлость. Пусть ограниченная последовательность С- } фундаментальна в топологии G"CLX 1_ ) .
Секвенциальная непрерывность в слабой и нормальной топологиях интегрального оператора
В силу произвольности А"Цц)и еУ это значит, что для ч ) выполняется условие 2) теоремы. Поэтому на основании теоремы 3.2 последовательность } фундаментальна в слабой топологии CL L ). Поскольку последовательность (. из \С произвольна, то получаем, что множество К секвенциально предкомпактно в слабой топологии 6 С L L VJ J. &
Теорема 3.7. Для того чтобы ограниченное множество К из Lv было относительно секвенциально компактным в слабой тополо-гии С 1_к ь L « ) необходимо, а если X S./v CS Д. cu.), то и достаточно, чтобы выполнялись следующие два условия: и любой последовательности измеримых множеств Яи V р ; 2) множество \ t сі Си - - в \ о в X относительно секвен циально компактно Е топологии (Х У) при любом Q Необходимость. Пусть ограниченное множество К из L относительно секвенциально компактно в слабой топологии 6(\-к jL4)« Поскольку относительно секвенциально компактное множество секвенциально предкомпактно, то в силу теоремы 3.6 для глножества К выполняется условие I). Докажем, что для У. выполняется и условие 2). Пусть множество и последовательность{ )с \ . Поэтому существует подпоследовательность(4w ) последовательно-сти С і О » схДяЩаяся в слабой топологии CLX jL J В силу теоремы 3.3 последовательностьС\ ol Сл} сходится в топологии 6"СХ3У). Так как последовательность ( и с-\ произвольна, то множество относительно секвенциально компактно в топологии G" СХ J У) при любом/\е Т. ( L ) , т.е. для К выполняется условие 2). Достаточность. Пусть для ограниченного множества К из Lx выполняются условия 1), 2) и . Фиксируем пос ледовательность Ly 4) из К . В силу условия I) теоремы для К выполняется условие I) теоремы 3.6, а в силу условия 2) и того факта, что любое относительно секвенциально компактное множество секвенциально предкомпактно, для К выполняется и условие 2) теоремы 3.6. Поэтому на основании теоремы 3.6 множество секвенциально предкомпактно в слабой топологии (.LXi L ). Следовательно , существует подпоследовательность (tv ) последователь-ности (Jr ) , фундаментальная в топологии $CL 5\— ) . В силу условия I) теоремы для(ц ) выполняется условие I) теоремы 3.3. Покажем, что дляС выполняется и условие 2) теоремы 3.3. Пусть множество At XCL ) В силу теоремы-3.2 последовательность (\ і d(v) дундаментальна в топологииб(.Х. У). С другой стороны, в силу условия 2) теоремы множество \д сІО ЦєУ. ]j относительно секвенциально компактно в топологии в ОС ). Поэтому последовательность СU w $u сходится в топологии 6СК У) Поскольку множество А є-ЇЦ?) произвольно, то это значит, что. для С? ц ) вы полняется условие 2) теоревд 3.3. Таким образом, в силу теоремы 3.3 последовательность ( ц S)сходится в слабой топологии CL L у, ) . В силу произвольности последовательности (."VO из К отсюда заключаем, что множество К относительно компактно в слабой топологии CL L ).0 Замечание. I. Если дополнительно предположить, что совершенное пространство L слабо квазиполно, то в силу леммы 3.2 условие І) в теоремах 3.6 и 3.7 является излишним. Например, это будет иметь место для пространства L ,л х 2. Для ограниченного множества К пространстваLх условие I) теорем 3.6 и 3.7 равносильно хорошо известному условию равномерной абсолютной интегрируемости его элементов в нуле и на бесконечности. Близкие по формулировке к теореме 3.7 с учетом предыдущего замечания 2 критерии секвенциальной слабой компактности подмно-жеств пространства L х имеются в работах Ю.Батта / 32 / и Ж.Брукса и Н.Динкуляну / 33 /. В теории двойственности векторных пространств хорошо известно, что любое слабо ограниченное множество слабо предкомпактно / 31, с.846; 30, с.184 /. Поэтому в силу теоремы 2.2 необходимым и достаточньм условием предкомпактности подмножества совершенного пространства L у в слабой топологии CL L ) является его ограниченность. Наконец установим критерий слабой компактности. Теорема 3.8. Для того чтобы ограниченное множество К из Lx было относительно компактным в слабой топологии (Lx L ), необходимо, а если K /vCS Y. $ч ) , то и достаточно, чтобы выполнялись следующие два условия: 1) &\ч Su p Г Ц\\-Ч [ _ Q для ЛЮ50Й функции Ч Є if". и любой последовательности измеримых множеств Ач v0 ; 2) множество {WT T J в X относительно компактно в топологии CCX J при любом Ас-1.(11 ) . Если дополнительно предположить, что совершенное пространство L слабо квазиполно, то в силу леммы 3.2 условие I) является излишним. О Необходимость. Предположим, что для относительно компактно- го в слабой топологии G"(LK!lL ) множества \( из Lw не выполняется условие I) теоремы. Тогда существует последовательность (-и) из К и число S О такие, что при любом WM для некоторой функции Ч в L -. и некоторой последовательности измершлых множеств л w V.
