Введение к работе
Актуальность темы. С самого начала развития теории банаховых пространств важным направлением исследований была и остается теория базисов. Потребовались десятилетия для решения следующей проблемы С. Банаха: в каждом ли сепа-рабельном банаховом пространстве существует базис? Отрицательный ответ дал П. Энфло, что сделало еще более актуальными проблемы существования базисов в конкретных банаховых пространствах, построения базисов с определенными свойствами, проверки базисности уже известных систем.
До сих пор остается нерешенной следующая проблема, поставленная Джерри Джонсоном в 1974 году: обладает ли базисом банахово пространство C(K,d) функций, определенных на компактном метрическом пространстве {К, d) и удовлетворяющих усиленному условию Гелъдера относительно 0 < а < 1 ? В работах 3. Чисельского было получено, что классические системы функций Фабера-Шаудера и Франклина являются безусловными базисами в С[0,1]. В 1969 году Р. Боник, Дж. Фрамп-тон и Э. Тромба доказали существование симметрического базиса в СІ{К) для всякого компакта К С Rn и произвольного 0<а < 1.
В реферируемой диссертации продолжена эта тематика. В пространствах функций, определенных и удовлетворяющих обобщенному усиленному условию Гелъдера на различных подмножествах вещественной оси в явном виде построены базисы
и исследованы их свойства (монотонность, интерполяционность, симметричность).
Цель работы. При различных ограничениях на модуль непрерывности u>(t) рассматриваются банаховы пространства C(S), SCR, функций, удовлетворяющих усиленному условию Гель-дера на S относительно w(t), сепарабельное подпространство C^(R) пространства C(R), и решаются следующие задачи:
Построение интерполирующего базиса в C(S) для всякой инъективной и всюду плотной на произвольном предком-пакте S последовательности узлов интерполяции.
Построение симметрического интерполирующего базиса пространства С(К), К —некоторый компакт из R.
Построение базиса и симметрического базиса в пространстве С2(Д), Д — множество Кантора, при более слабых, чем в общем случае, ограничениях на функцию w{t).
Построение интерполирующего базиса в банаховом пространстве C^(R).
Нахождение достаточных условий монотонности построенных базисов.
Методика исследований. При решении перечисленных задач применяются методы и результаты как из теории функций (модули непрерьшности, вогнутые функции, свойства изучаемых
классов функций), так и из функционального анализа (теория базисов, изоморфизмы). В диссертационной работе использованы конструкции, предложенные 3. Чисельским (построение изоморфизмов) и В.И. Гурарием (метод "присоединения вершин" при построении базисов в пространствах функций).
Научная новизна, теоретическая и практическая значимость. Ряд лемм, приведенных в 1.1, новыми не являются. Материал параграфа 1.3 является новым большей частью с конструктивной точки зрения — построен симметрический интерполирующий базис в пространствах С (К), в то время как существование симметрического базиса легко следует из работ других математиков. Все остальные результаты диссертации можно считать новыми без каких-либо оговорок.
Работа носит теоретический характер. Ее основные положения могут найти применение в различных вопросах теории функций, функционального анализа, в том числе в дальнейшем развитии теории базисов в функциональных пространствах.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на воронежских зимних математических школах (1995 г., 1997 г.), первой и третьей всероссийских школах-коллоквиумах по стохастическим методам геометрии и анализа (1994 г., 1996 г.), на семинаре по функциональному анализу в Харьковском государственном университете (рук. — проф. М.И. Кадец и проф. В.М. Кадец), на семинаре кафедры теории функций и
функционального анализа Воронежского государственного университета (рук. — проф. Е.М. Семенов), и неоднократно на семинарах по мартингальным и аналитическим методам (РГАС, рук. — доц. И.В. Павлов и доц. В.М. Гробер), на научно-технических конференциях РГАС.
Публикации. Результаты, полученные в диссертации, с разной степенью общности опубликованы в восьми работах, список которых приведен в конце автореферата. В диссертацию не вошел материал совместных с В.М. Гробером работ о базисах и полных системах в пространствах функций С(К) двух переменных
Бычков А.Б., Гробер В.М. Интерполяционные базисы и полные интерполяционные системы функций в пространствах С%(К) // Всеросс. школа-коллоквиум по стохастич. методам геометрии и анализа: тезисы докладов.— М.: ТВП, 1994.— С. 18.
Бычков А.Б., Гробер В.М. О базисах в пространствах С(К) // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки.— 1995.— №2.— С. 3-13.
и совместный с О.В. Гробером результат
Бычков А.Б., Гробер О.В. О базисных свойствах систем ти
па Фабера-Шаудера; Рост. гос. акад. строит.— Ростов н / Д,
1995.— 8 с— Ден. в ВИНИТИ №2368-В95 от 01.08.1995.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы (80 наименований). Каждая глава разбита на параграфы и заканчивается заключительными замечаниями. Работа проиллюстрирована тремя рисунками, изложена на 105 страницах.
