Введение к работе
Актуальность темы. Всплеском, в самом общем виде, называют определенную на числовой осп функцию ф, имеющую нулевое среднее и достаточно быстрое убывание на бесконечности. Термин всплеск предложен К.И.Осколковым в качестве эквивалента английского термина wavelet (фр. - ondelette), что буквально переводится как маленькая (имеется в виду продолжительность) волна, волночка. Термин всплеск лучше отражает суть дела, так как выше упомянутые свойства означают, что функция ф представляет собой затухающее колебание. Всплески используются или в качестве ядра интегрального преобразования
(И^/)(о,Ь) = 4= f/Ш Iі—) A, <*, Ь Є R, а > 0;
\ а I
или в качестве генерирующей функции для построения базиса при помощи дилатаций, т.е. сжатий с сохранением нормы п Ь2(И)
ф}{і) := Vio(t) := 2"2ф(2Ч), j Є Z,
и сдвигов
Фік{і) = Ф}{Ь- k2~j) = 2ІІ2ф{2Н-к), к Є Z.
Теория всплесков лежит на пересечении чистой математики, вычислительной математики, преобразования сигналов и изображений. Всплесковый анализ находит все более широкое применение в различных областях науки, так как он дает более подробную информацию о сигнале, изображении или операторе, чем стандартный анализ Фурье. Интегральное всплесковое преобразование дает одновременно локальную информацию о функции и о ее преобразовании Фурье, причем при анализе высокочастотных составляющих функции локализация более сильная (для повышения точности), а при анализе низкочастотных -локализация более слабая (для получения полной информации). Вспле-сковые ряды очень удобны для приближенных вычислений, поскольку количество операций, необходимых для вычисления коэффициентов разложения, так же, как и количество операций для восстановления
функции по ее всплесковым коэффициентам, пропорционально количеству отсчетов функции. Перечисленные особенности всплесков делают их очень популярными в самых различных приложениях: при анализе свойств сейсмических и акустических сигналов; при обработке и синтезе различных сигналов, например, речевых; при анализе изображений; для изучения турбулентных полей; для сжатия больших объемов информации и т.д. Важной областью применения всплесков является конструктивное описание различных функциональных пространств и построение безусловных базисов в них.
Данная работа посвящена изучению свойств всплесковых базисов в пространствах дифференцируемых функций и построению новых ор-тонормированных всплесковых базисов с различными дополнительными свойствами.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке грантов РФФИ 95-01-00135, 98-01-00044 и "Университеты России".
Цель работы:
- исследовать аппроксимативные свойства периодических всплесков
Мейера в пространстве непрерывных функций;
построить безусловные базисы всплесков в анизотропных пространствах Бесова и Лизоркина-Трибеля и изучить с их помощью непрерывность псевдодифференциальных операторов, действующих в этих шкалах;
сконструировать всплески с компактным носителем, сохраняющие локализованность при возрастании гладкости;
исследовать асимптотику нулей специальных полиномов Бернштей-на, возникающих при построении всплесков с компактным носителем и сохраняющих локализованность при возрастании гладкости;
построить нестационарные бесконечно дифференцируемые всплески с компактными носителями, изучить их локализованность и их базисные свойства в пространствах Соболева;
Методика исследований. Основными методами исследований являются методы математического анализа и теории функций. Новизна методов состоит:
- в использовании тензорного произведения разномасштабных
всплесков для построения базисов в анизотропных пространствах
Бесова и Лизоркина-Трибеля;
в исследовании образов всплесков при действии псевдодифферен-(иальных операторов;
в применении полиномов Бернштейна для построения масштабиру-эщих фильтров всплесков с компактным носителем;
в разработке нестационарного кратномасштабного анализа для :онструирования бесконечно дифференцируемых всплесков с компахт-!ым носителем.
Научная новизна. Основные результаты работы состоят в следу-ощем.
-
Доказано, что периодические всплески Мейера для любого нату->ального к являются /г-оптимальным базисом пространства непрерыв-1ых функций С(0,1), что является положительным ответом на вопрос І.Л. Ульянова.
-
Построены безусловные базисы всплесков в анизотропных про-:транствах Бесова и Лизоркина-Трибеля; как следствие получен безусловный базис в анизотропных пространствах Соболева W^s\ s) = (su...,sn), рє(1,со).
-
Доказаны теоремы о непрерывном действии анизотропных псев-юдифференциальных операторов в шкале анизотропных пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля, включающей в себя шкалу анизотропных пространств Соболева.
-
Сконструированы всплески с компактным носителем, сохраняю-цие локализованность при возрастании гладкости.
-
Доказано, что предельными кривыми для нулей специальных по-шномов Бернштейна, возникающих при построении всплесков из тункта 4), являются две лемнискаты, связанные с областью сходимости юлиномов Бернштейна в комплексной плоскости.
6) Построены нестационарные бесконечно дифференцируемые
зсплески с компактными носителями, изучена локализованность этих
зсплесков и доказано, что они являются безусловным базисом для всех
іространств'Соболева одновременно.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использо-заны для дальнейшей разработки теории всплесков, теории аппроксимации, для изучения псевдодифференциальных операторов.
Аппробация работы. Результаты этой работы докладывались
на конференциях: Саратовская зимняя математическая школа п теории функций (1992, 1994, 1998, 2000); Воронежская зимняя матемг тическая школа (1991, 1993, 1995, 1997, 1999); Международная летня научная школа С. Б. Стечкина (1994, 1995, 1997, 1999, 2000); Me» дународная конференция "Теория приближения функций и оператс ров", посвященная 80-летию С. Б. Стечкина (2000); симпозиум "Ряді Фурье и их приложения" (1999); Крымская осенняя математическа школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам (199( 1991, 1995, 1999); Международная конференция по функциональном анализу, Валенсия, Испания (2000); Международная конференци "Всплески и их приложения", Гуангжоу, Китай (1999); Междунаро^ ная конференция "Всплески и кратномасштабный анализ" Гон-Кош Китай (1999); Международная конференция по нелинейному аналі зу сигналов и изображений, Анталия, Турция (1999); Междунаро; ная конференция "Математические вопросы преобразования сигнале и изображений", Институт Г. Пуанкаре, Центр Э. Бореля, Парий Франция (1998); Международный математический конгресс, Берлін Германия (1998); Международная конференция "Геометрические а< пекты анализа Фурье и функционального анализа", Киль, Германії (1998); Международная конференция "Всплески на сфере", универсі тет Потсдама, Берлин, Германия (1996); Международная конференци "Всплески", Берлин, Германия (1995); Международная конференци "Распознавание образов", Иерусалим, Израиль (1994); Междунаро, ная конференция "Всплески и их приложения", Сингапур, (1994); Мея дународная конференция по теории аппроксимации, Маратеа, Италі: (1994); ежегодный конгресс SIAM, Филадельфия, США (1993); Мей дународная конференция, посвященная 70-ти летию профессора Ж П.Кахана, Париж, Франция (1993);
на семинаре В.Б. Демидовича, СВ. Конягина и Б.С. Кашин СВ. Конягина в МГУ (2000); на семинаре О.В. Бесова и Л.Д. Кудря: цева в МИРАНе (1992, 1993); на семинаре СБ. Стечкина в МГУ (199 19S4); на семинарах Н. Дин (1993,1995) и A.M. Олевского (1995) в Тел; Авлвском университете; на семинаре И. Линденштраусса в Иерусалш ском университете (1993, 1995); на семинарах А. Коэна (1993, 1995) И. Мейера (1995) в Парижском университете; на семинаре Ж. Гарей. Куэрве, университет Аутонома, Мадрид, Испания (1992).
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-L8], список которых приведен в конце реферата. Из совместных работ диссертацию включены только результаты автора.
Структура и объем работы-Диссертация объемом 214 страниц остоит из пяти глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, одержащего 88 наименований.
