Введение к работе
Актуальность темы. В диссертации рассматривается построение базисов всплесков в случае, когда пространства кратномасштабного анализа образованы сдвигами нескольких функций (мультивсплески) и в случае, когда пространства кратномасштабного анализа образованы сдвигами одной функции, каждое своей, но циклически повторяющейся со сжатием в 23 раз для j + 1-го пространства.
Понятие "wavelet" (всплеск) с 80-х годов широко используется в теоретических и прикладных исследованиях. Большой вклад в развитие теории всплесков внесли I.Meyer, S.Mallat, И. Добеши, К. Чуй, A. Cohen, W.M. Lawton, И.Я. Новиков, М.А. Скопина, В.Ю. Протасов, В.Г. Захаров, Ю.А. Фарков, и другие.
Ортонормированным всплеском называется функция ф(х)7 такая, что множество функций {i})jfi(x) = 2^2,ф{2^х — к) : k,j Є Z} образуют ортонормированный базис пространства L2(M).
Строить базисы ортогональных всплесков обычно начинают с построения КМА - кратномасштабного анализа (кратномасштабной аппроксимации пространства L2(M)), после того, как это понятие ввели Meyer Y. и Mallat S.
Определение 1 Последовательность {Vj}jez вложенных замкнутых подпространств пространства L2(M)
... с V- с Vj+1 с ... (1)
называется его КМА, если удовлетворяет условиям:
б) П, Ъ = {0};
в) f{x) Є Vj ^ f{x - І/У) Є Vj (/ Є Z);
г) fix)eVJ^fi2x)eVJ+lijeZ);
д) найдется такая функция <р{х), которую называют
масштабирующей, что множество {(fix — n)}nez - ОНБ пространства
V0.
Известно (Малла), что для выполнения (1) необходимо и достаточно, чтобы
^) = ^2^^1^),^ = (^,^1^), (2)
что равносильно тому, что
ф{и) = т{и/2){и/2), т{и) = Е hve2mvu), т{и) Є L2[0,1). (3)
Функцию т(и) называют маской функции ср.
Необходимое условие ортогональности дает
Теорема А (Малла). Пусть {(f(x + k)}kez- ортонормированная система, и т(си) определена в (3). Тогда
\т(и)\2 + \т(и + 1/2)|2 = 1 (4)
По схеме С.Малла пространства всплесков Wj определяются, как ортогональные дополнения Vj до Vj+і, а ортогональный всплеск ifj(x) строится так, чтобы система {i/jj:k{x)}kez при каждом j Є Z была ортонормированным базисом пространства Wj.
Условия а)-д) в определении КМА не являются независимыми. При фактическом построении конкретного КМА наиболее трудным является условие д), согласованное с остальными условиями определения 1, даже если его заменить на формально более слабое условие д'), что система {tp(х — n)}nez образует базис Рисса порождаемого ей подпространства Vo = Span{Lp(x — n)}neZ, то есть существуют такие положительные числа А и В, что
жЕ w2)1/2 ^ її Е ад1 (ж - n)iiL2(R) < в(Е кі2)1/2.
Наиболее существенный вклад в преодоление указанной выше трудности внес С.Малла, заметивший, что из (2) и (3) следует, что для
гладких т(и) функция ф{ио) - преобразование Фурье будущей функции <р(х) - должна быть Ь2-пределом последовательности (pN{uo) = Yij=i m(ij)-Реализуя эту идею, он нашел довольно широкие дополнительные к (4) достаточные условия на т(си)} обеспечивающие ортогональность в L2(M) системы \}р[х — n)}nezi порождаемой маской т(и) по правилу
№) = ПтФ> Ф) = (Г1ФШх). (5)
3=1
Более того, оказалось (И. Добеши), что при довольно слабых дополнительных к д) и (1) ограничениях на tp(x) (типа ф{со) непрерывна в нуле и ф(0) = 1) порождаемая функцией tp система подпространств
Vj = {/W = ^Сз,Шк {Cj,k}keZ Є /2(Z)} (6)
автоматически образует кратномасштабный анализ пространства L2(M).
Теорема Б (Малла). Если т(си) - непрерывно дифференцируемая в окрестности точки си = 0 1-периодическая функция, которая удовлетворяет (4) и
inf |тН|>0, (7)
то бесконечное произведение в (5) сходится в L2(M), ф и (f из (5) принадлежат L2(M), система \jp{x — k)}kez ^ ортонормированная, функция (f(x) порождает КМ А пространства L2(M) в соответствии с правилом: Vj = Span{(fij^ ' к Є Z}, j Є Z.
Позже, развивая технику Малла, Коэн при некоторых дополнительных ограничениях уменьшил множество, на котором т(и) не обращается в ноль, получив таким образом необходимые и достаточные условия ортогональности системы сдвигов масштабирующих функций.
Теорема В (Коэн).Пусть т(си) является тригонометрическим многочленом, удовлетворяющим условию (4), причем функция (f(x) определена с помощью т(си) и своего преобразования Фурье по формулам (5). Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) {(f(x — k)}kez — ортонормированная система;
2) существует компактное множество К} конгруэнтное [—1/2,1/2] по модулю 1, содержащее некоторую окрестность нуля, и такое, что
іп/к>о infeeK\m(2-k^)\ > 0.
Условие 2) здесь не так прозрачно, как условие (7), и Коэн в той же работе с помощью этой теоремы получил следствие, аналогичное теореме Б Малла, заменив в (7) границу 1/4 на 1/6 в случае, когда т(и) — тригонометрический полином.
Конструкцию г\) для заданного КМА определяет следующая
Теорема Г (Малла). Пусть ф(х) = J2l/eZ(—l)l/~lhi-l/Lpi7l/(x), где hv - коэффициенты из (2). Тогда система {iftj^(x)}j^ez является ортонормированным базисом пространства L2(M).
Параллельно с развитием общей теории всплесков строились различные конкретные ортогональные базисы всплесков - на основе целых функций экспоненциального типа (Мейер, на основе сплайнов (Баттл, Лемарье; К.Чуй), знаменитые всплески с компактным носителем (И.Добеши), обобщение всплесков Хаара на базе ортогональных на отрезке многочленов Лежандра (Донохо), койфлеты, всплески Добеши с несколькими нулевыми степенными моментами (Coifman), периодические всплески (Мейер; Осколков-Offin), всплески для представления аналитических и гармонических функций в круге, кольце и полуплоскости (Субботин-Черных), всплески на сфере (Скопина), р-адические всплески (Скопина), биортогональные всплески на группах Виленкина (Фарков) Почти одновременно с этим наметилась тенденция расширения понятия всплеска, которая продолжается до сих пор. При этом понятие всплеска обобщалось в разных направлениях: условие ортогональности системы {ц){х — к)} заменялось на ее биортогональность некоторой другой системе {ф(х — к)} (Коэн, Добеши), строились ортогональные "почти-всплески" на основе КМА со своей масштабирующей функцией tpj для каждого пространства Vj, j Є Z (Берколайко, Новиков; К. de Boor), вэйвлет-пакеты Coifman'а и Мейера; разрабатывались системы представления многомерных
сигналов (выборок (samples) значений функций нескольких переменных), использующие от КМА только идею вложения систем подпространств со все более "мелкомасштабными" базисными функциями Swelden'a.
Цель работы. Главной целью настоящей работы является расширение палитры ортогональных всплесков на базе сужения систем почти-всплесков Новикова-Берколайко, ограничиваясь только двумя (в общем случае -п) масштабирующими функциями с сохранением почти всех свойств классических ортогональных всплесков, включая конструкцию всплесков с помощью бесконечного произведения масок, алгоритмы прямого и обратного дискретного всплеск-преобразования.
Методы исследования. В диссертации использовались методы математического анализа, теории функций, линейной алгебры.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер. Предложенные алгоритмы позволяют построить множество новых ортонормированных базисов, обладающих свойствами, подобными свойствам классических всплесков, даже используя только уже известные классические маски.
Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на Всероссийской конференции "Современные методы теории функций и смежные проблемы"(Воронеж, 2011); на Всероссийских молодежных конференциях "Проблемы теоретической и прикладной математики"(Екатеринбург, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012); на летних Школах СБ. Стечкина по теории функций (2011, 2012, 2013); на Международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики посвященной 90-летию со дня рождения профессора Л.А.Толоконникова (Тула, 2013); на семинарах в Институте математики и механики УрО РАН.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-6]. Из них статьи [1,2] опубликованы в изданиях из списка,
рекомендованного ВАК. Результаты, вошедшие в диссертацию, получены автором самостоятельно.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем работы — 121 страница. Список литературы содержит 53 наименования.
