Введение к работе
Актуальность темы. Голоморфные функции, опеределеиные на бесконечномерном пространстве, впервые стали рассматриваться в начале века в работах Д.Гильберта и В.Вольтерра. Современная же теория голоморфных отображений в локально-выпуклых пространствах (л.в.п.) берет свое начало с работ Л .Нахбина 60-х годов. В дальнейшем эти исследования были продолжены многими математиками; С.Дайнином, П.Боландом, Р.Рианом, Дж.Муджайком и другими. При этом под голоморфной Функцией, заданной мл л.в.п. X понималась непрерывная Q-голоморфная Функция, то есть голоморфная на любом конечномерном подпространстве из X. Развитие теории бесконечномерной голоморфности на пространствах последовательностей естественным образом привело к рассмотрении наряду о основным - полиномиальным и мономиального разложения
т т.
l к а z . . z, , т . . . м. t к
* к
где суммирование осуществляется по всем Финитным последовательностям неотрицательных целых чисел (т.). Впервые монпми-альное разложение в современной бесконечномерной голоморфности было использовано Р.Боландом и С.Дайнином при изучении голоморфных Функций на ядерных пространствах о базисом. В теории счетных систем дифференциальных уравнений задачу а существовании г'оломОрфного ^решения- такой системы, проходячого через заданную точку и представймого в виде мономиального рядд, впервые поставил К .П .Персидский", им» же и его учениками были проведены другие исследования счетных систем дифференциальных уравнений: дифферемцируемооть решения ечетмрй оиотемы по начальным данным, устойчивость решения задачи Копій для счетных систем ураонеий в частных производных чл т.д..Счетные системы
интегро—дифференциальных уравнений исследовались и применялись 3.И.Халиловым и Ю.Ф.Коробейником при решении смешанной задачи для уравнения в частных:производных с нераэделяюцимися переменными методом Фурье.
Цель работы. Получение критерия того, что G-голоморФная функция, -заданная на пространстве последопательностей X, может быть представлена в виде мономиального ряда, абсолютно и равномерно сходящегося нл компактных подмножествах из X ; исследование вложения пространства голоморфных Функций в протрдм-
dtoo G-голоморфмых Функций, представиМых в виде мономиального рида; изучение сходимости мономиального ряда; изучение сходимости некоторых Функциональных рядов, имеющих важные приложения ; исследование топологий на пространствах голоморфных Функций .
Методика исследований. Систематически используются методы теории бесконечномерной голоморфности, основанные на синтезе идей функционального анализа и теории Функций многих комплексных переменных; привлекаются результаты и методы работ Р.Риаил для мономиальных разложении голоморфных Функций, определенным на пространстве последовательностей.
Теоретическая и практическая ценность. В работе получен рил новых результатов по мономиальным рядам и Функциям, представники такими рядами. Эти результаты носят теоретический характер . Они могут быть использованы при анализе решений счетных систем дифференциальных уравнеий, при анализе нелинейных псев-додиФФеренциальных уравнений.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре им. М .Г*.Хапланова Ростовского гоо-
университе (руководитель - профессор В.П.Эахарюта), на научное семинаре кафедры математического анализа РГУ (Руководитель профессор Ю.ф.Коробейник), на VI (1987 г.) и VII (1989* г-.' конференциях " Комплексный анализ и дифференциальные уравме-ния "в п. Черноголовка, Северо-Кавказской школе-комференци» "Функциональные пространства, сингулярные операторы и их приложения " в- г. Теберде (1988 г.), на расширенных заседания] ИПМ им. И.Н.Рекуа в г .Тбилиси в 1988 и 1990 годах, на XIV «ко ле по теории операторов, в Функциональных пространствах (198' г". ) в г.Новгороде, на семинаре отдела математической физикі
Математического института им. В .А .Стеклова АН СССР (1990 г.).
Публикации, fib теме диссертации опубликовано 8 работ, спи сок которых приводится в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа сое тоит из .введения, трех глав и списка литературы из названий Ойъем диссертации - 143 страницы машинописного текста.
