Введение к работе
Целью работы является изучение некоторых обратных задач теории меры.
Под обратной задачей понимается следующее. Пусть некоторая теорема Т справедлива в классической теории меры. Ставится задача: найти условия на функции множества (сокращённо, ф.м.), вообще говоря, не предполагающие аддитивность и какие-либо её форды, при выполнении которых, утверждение, аналогичное теореме Т справедливо.
Например, в классической теории меры справедлив принцип огра-точенности - теорема Никодима: если Я3 = f} - семейство счёт-га-аддитивных скалярных мер, определённых не ^-алгебре.2 и для побого множества Е Є 2
sup{ I f(E)l , у f } < <=<=> , го
sup{lf(E)l, ftT, E62 } < со.
Тогда обратная задача формулируется следующим образом. Пусть на в -алгебре (или на каком-либо классе множеств) задано некоторое семейство ф.м., о свойствах которого заранее ничего не известно. Требуется выяснить условия, при выполнении которых, семейство ф.м. будет равномерно ограниченным. Одной из первых работ, посвященных решению этой задачи была статья Добракова И. (Rocz. PoL. low. malem.- 19!Ь.-V. lh.-ЛІ 2 (Ser.I)-P.Z01-Z05 ). Полностью задача решена Климкиным В.М. (Матем. сб.- 1989. - Т.180 - №3. - С.385-3^5).
Рассмотрим один из примеров, приводящих к задачам подобного рода. Пусть - 6" -алгебра подмножеств множества Т , пусть Ґі - {м} - семейство всех конечных монотонных ф.м., заданных на 2. .В теории игр (Ауман Р., Шэпли Л. Значения для неатомических игр. - М.: Мир, Т977. - 357 с.) важную роль играет пространство 6V(T,Z) - банахово пространство функций множества, пре-дставимых в виде разности двух ф.м. из класса /А. ,для любой ф.м.
llfll-Lnffyuirn + ?СТ), у=/*-Э,/и1,Э Є/Л}.
В силу теоремы Аумана - ІІІепли, утверждающей, что для любой ф.м. f Є BV(T, )
где sup берется по множеству всех конечных возрастающих последе вательностей множеств вида 0=Еог=.Е±<= .. .<=- ,=Т , равномерная ограниченность семейства ф.м. <= BV(T,Z) является необходимым уг ловием ограниченности семейства Т в пространстве BV(T, 2).
Таким образом, возникает вопрос, при каких условиях семействе скалярных ф.м. будет равномерно ограниченным.
Естественно, что при выяснении условий, достаточных для выло/ нения утверждений, аналогичных классическим теоремам теории мері появляются те или иные классы неаддитивных ф.м.
В связи с ятим возникает проблема изучения теории неаддитивні ф.м. Действительно, всякий результат, касающийся неаддитивных ф м., является некоторым достаточным условием выполнения соответс вующей обратной задачи теории меры. И подобно тому, как в класс! ческой теории меры шел переход от скалярных функций к векторным и многозначным, так и в теории неаддитивных ф.м. идет аналогичн: процесс.
Из сказанного следует целесообразность и полезность изучения различных классов неаддитивных ф.м. со значениями в частично уп рядоченном пространстве, являющихся основным
объектом исследования данной диссертации. Отметим, что всяки класс ф.м. со значениями в частично упорядоченном пространстве включает в себя класс многозначных ф.м., то есть таких функций, значениями которых являются непустые подмножества хаусдорфова т пологического пространства, а также класс ф.м. со значениями в группе с квазинормой.
Актуальность темы. Т. Предложенный взгляд на задачи теории м ры позволяет выяснить границы применения аппарата теории меры д решения ее собственных задач, а также найти подходы к решению н которых задач, которые ранее не были решены в рамках классическ теории меры.
2. В последнее время интенсивно изучаются ф.м. с неклассичес кими областями определения (см., например, работы Алексюка В.Н. Нлимкина В.Ы.,Пахаева Б.В., Свистулы М.Г.) и с неклассическими множествами значений (см..например, работы Артштейнэ Ц., древне ского Л., Толстоногова А.А., Малюгина С.А., Алякина В.А., Прек^ пани А.-М.). Пзрвое связано с внутренней логикой развития теору меры и ее потребностями, а также с идеями квантовой механики. Второе, наряду с чисто теоретическим интересом, объясняется прі ложениями многозначных ф.м. в различных областях математики: в
атематической экономике, теории оптимального управления, теории гр, теории вероятности.
Различные классы неадцитивных ф.м. в последнее время являются бъектом исследования большого числа работ (см..например, работы обракова И., Пап Е., Гусельникова Н.С , Савельева Л.Я., Рашкина .Д., Никифорова В.М.), что вызвано как задачей развития общей еории ф.м., так и тем, что свойства этих более широких классов ф. . позволят в области аддитивных функций получить либо новые ре-ультаты, либо новые и более простые доказательства известных ра-ее утверждений.
В связи с вышесказанным представляется актуальным получение ут-ерждений, аналогичных классическим теоремам теории меры, для не-дцитивных ф.м. со значениями в частично упорядоченном пространст-е (в частности, для многозначных ф.м. и для ф.м. со значениями в рулпе с квазинормой) на наиболее широких классах множеств.
Методика исследования. В диссертации используется и развивается редложенный Климкиным В.М. (Изв. ВУЗов.Матем. - 1975. - №2.-С. I6-IT8) метод изучения многозначных ф.м., как функітий множества о значениями в частично упорядоченной полугруппе с определенными войствами, или, как мы будем говорить в дальнейшем, в частично порядоченной полугруппе с базисом.
Научная новизна.
- Для семейства неадцитивных ф.м. со значениями в частично упо-
ядоченном пространстве доказаны теоремы о продолжении одной из
орм равномерной непрерывности с т -класса Р на т -класс 2.=>Р
о соотношении между различными формами равномерной непрерывности а т -классе Z .
Для неаддитивных ф.м., заданных на классе множеств, более бщем, чем f-кольцо, а именно,на т -классе с ^-свойством, : принимающих значения в частично упорядоченном пространстве, до-азаны теоремы Брукса-Джеветта, Никодима, а также критерий Кафьеро іавномерного отсутствия ускользающей нагрузки.
Доказаны аналоги теорем Дьедонне и Гротендика для произволь-юго топологического пространства (Т,п) и для семейства неэдитив-іьк слабо регулярных ф.м., заданных на алгебре Z => /j , со начениями в частично упорядоченном пространстве (теорема Гротен-[ика) и в равномерном пространстве (теорема Дьедонне).
Доказано условие, при выполнении которого регулярная, непре-
рывная сверху в нуле ф.м., заданная на алгебре 2 , содержащей
класс всех открытых множеств 5 -топологического пространства,
и принимающая значения в частично упорядоченном пространстве, обладает свойством отсутствия ускользающей нагрузки.
-Доказана теорема о продолжении непрерывной сверху в нуле, обладающей свойством отсутствия ускользающей нагрузки с/, -квазитреугольной субмеры, заданной на m -классе Z и принимающей значения в частично упорядоченной полугруппе с базисом, на 6" -кольцо Z => 2 до L -квазитреугольной субмеры, непрерывной в нуле на 2
Практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение при исследовании ска лярных и векторных аддитивных ф.м., при исследовании многозначных мер, а также при изучении вопросов, связанных с равномерной непре рывностью семейства неаддитивных многозначных ф.м. и с продолжени ем неаддитивных многозначных ф.м.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на ХІУ, ХУ научных конференциях молодых ученых Самарского госуниверситета (1989, 1990), на XII, XIII, ХУ и ХУІ Всесоюзных школах по теории операторов в функциональнах пространствах (Тамбов, 1987; Самара, 1988; Ульяновск, 1990; Нижний Новгород, 1991), на Воронежской зимней школе по теории функций и дифференциальным уравнениям в ма тематическом моделировании (1993), на семинаре "Дифференциальные уравнения и меры на бесконечномерных пространствах" в Московском госуниверситете (1993), на семинаре кафедры математического анализа Ростовского госуниверситета (1993).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ. В работах I и 2, выполненных в соавторстве, Климкину В.М. принадлежит постановка задач.
Структура и объем работы. Предлагаемая работа изложена на 134 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 95 наименований.
