Содержание к диссертации
Введение
1. Геометрия пространств Карно — Каратеодори в условиях минимальной
1.1. Предварительные сведения 59
1.2. Сравнение геометрий локальных однородных групп 79
1.3. Геометрический анализ на пространствах Карно — Каратеодори с полями класса С ,а а ^ 0 87
1.4. Пространства Карно — Каратеодори с весовой фильтрацией 107
1.5. Приложения метрических результатов и доказательство локальной аппрокси-мационной теоремы 110
1.6. Доказательство леммы 1.1.32 120
2. Формула площади 125
2.1. Субриманова формула площади для гладких отображений 125
2.2. Субриманова формула площади для липшицевых отображений 146
3. Формула коплощади 158
3.1. Предварительные сведения 158
3.2. Свойства множеств уровня 166
3.3. Характеристическое множество 190
3.4. Множество вырождения 196
3.5. Формулы коплощади 198
4. «Графики» липшицевых функций и минимальные поверхности на груп
4.1. «Графики» и формула площади 202
4.2. Минимальные поверхности 220
Заключение 227
Список литературы
- Сравнение геометрий локальных однородных групп
- Субриманова формула площади для липшицевых отображений
- Характеристическое множество
- Минимальные поверхности
Сравнение геометрий локальных однородных групп
В субримановом случае интерес для изучения представляют контактные отображения неголономных структур, так как они в некотором смысле «переносят» субриманову структуру прообраза на образ. Существование таких отображений показано разными авторами; см., например, [239, 240, 306, 307]. Подчеркнем, что для решения задач геометрической теории меры на пространствах Карно — Каратеодори необходим субриманов аналог дифференциру-емости классов отображений. Как показано в [303] (см. также [230]), развитие субримановой теории дифференцируемости невозможно без знания тонких локальных свойств изучаемых классов пространств Карно — Каратеодори: аппроксимация однородными группами, теорема Рашевского — Чоу, локальные аппроксимационные теоремы и др. И если в классическом, «гладком», случае эти результаты широко известны, то при минимальной гладкости базисных векторных полей вопрос об их справедливости долгое время оставался открытым.
Формулы геометрической теории меры полезны в исследовании параметризованных поверхностей в субримановой геометрии, что является является трудной и малоизученной проблемой. Одним из примеров таких поверхностей является «график» отображения. Сложность исследования состоит в том, что из-за особенностей неголономной структуры отображение-график» липшицева в субримановом смысле отображения в общем случае не является регулярным, следовательно, известные на сегодняшний день теоремы об аппроксимации «касательным» отображением с «удобными» свойствами и вычислении площади неприменимы. Тем не менее, изучение «графиков» отображений и решение новых задач об их свойствах, в частности, нахождение аналитических выражений для вычисления площади, актуально в силу их немаловажной роли в развитии теории минимальных поверхностей на неголоном-ных структурах, имеющей приложения для решения разнообразных практических задач. Отметим работы А. Д. Веденяпина и В. М. Миклюкова [19], Дао Чонг Тхи и А. Т. Фоменко [41], А. В. Киселева [59], А. А. Клячина [60], А. А. Клячина и В. М. Миклюкова [61, 62], В. А. Клячина [63, 64, 65, 66, 67, 68, 69], В. А. Клячина и В. М. Миклюкова [70, 71, 72, 73], В. М. Миклюкова [78, 79, 80, 81, 82, 83], В. М. Миклюкова, А. А. Клячина и В. А. Клячина [84], В. М. Миклюкова и В. Г. Ткачева [85, 86], А. А. Тужилина и А. Т. Фоменко [106, 107], А. Т. Фоменко [108, 109, 110, 111, 112, 113], H. Federer и W. H. Fleming [174], A. T. Fomenko [180, 181], V. A. Klyachin и V. M. Miklyukov [238], сборник [261] и др., в которых получен ряд важных свойств минимальных поверхностей как на евклидовых пространствах, так и на более общих структурах, таких, как структуры лоренцевой геометрии.
Степень разработанности темы. Серьезное изучение структур субримановой геометрии начато относительно недавно, в 1970-е гг, и большинство основных результатов о локальных свойствах пространств Карно — Каратеодори было доказано в модельном случае: для пространств, базисные векторные поля которых достаточно гладкие (см., например, [119, 140, 179, 205, 227, 266, 272, 284] и др.). Результаты о субримановой дифферен-цируемости, позволяющие ставить задачи геометрической теории меры на неголономных пространствах, сначала были получены для групп Карно (см., например, [278, 302]), а также для пространств Карно — Каратеодори с достаточно гладкими базисными полями (см., например, [22, 23, 24, 25, 26, 303]). Отметим, что применяемые в большинстве работ методы напрямую не переносятся на «негладкий» случай; таким образом, условие уменьшения гладкости превращает вопросы, имеющие несложное решение в классическом случае, в тонкие проблемы анализа и геометрии.
В классическом анализе формула площади (1) доказана для разнообразных классов отображений р : U — К , f/ С Кте, n к, удовлетворяющих некоторым условиям регулярности. Эти классы включают непрерывно дифференцируемые и липшицевы отображения; а также отображения классов Соболева; аппроксимативно дифференцируемые отображения, обладающие Л/"-свойством Лузина (см., например, [209]); и др. Формула коплощади (2) впервые получена А. С. Кронродом [74] в 1950 г. для функций р : К — К, а затем обобщена на отображения р : Л4п — Л/" , п к, римановых пространств и спрямляемых подмножеств евклидовых пространств в работах H. Federer [172, 173]. Далее появились многочисленные обобщения на отображения р : Жп — Жгп, п, т к, с 7Y -с-конечным образом (/з(Кте) [274], отображения классов Соболева [209], бесконечномерный аналог для пространств Винера [125, 256], различные приложения [171, 201, 245] и т. д.
Приведенные примеры явным образом показывают тенденцию найти аналоги формул геометрической теории меры на метрических структурах как можно более общей природы. При распространении (1) на новые объекты существенный прогресс (по сравнению с классическими результатами, изложенными в [173]) впервые достигнут в 1994 г., когда B. Kirchheim [237] доказал формулу площади для липшицевых отображений, определенных на евклидовом пространстве и принимающих значения в произвольном метрическом пространстве. В работе L. Ambrosio и B. Kirchheim [127] этот результат распространен на липшицевы отображения спрямляемых метрических пространств в произвольное метрическое пространство, и доказан аналог формулы коплощади для липшицевых отображений, определенных на 7іте-спрямляемом метрическом пространстве, со значениями в К , п к (см. также [47, 228], где развиты подходы работы [21] для исследования метрических структур, а также впервые получена формула коплощади для отображений 7 те-спрямляемых метрических пространств в Ті -спрямляемые метрические пространства, п к). В [50] выведены различные варианты формулы площади для таких классов отображений, как классы Соболева [91] и ДУ-отображения [126] со значениями в метрическом пространстве и определенные на М.п. Метрический аналог теоремы о неявной функции, а также необходимые и достаточные условия на образ и прообраз липшицева отображения, определенного на 7іте-спрямляемом метрическом пространстве и принимающего значения в произвольном метрическом пространстве, для справедливости формулы коплощади, получены впервые в [48, 228, 229].
Субриманова формула площади для липшицевых отображений
Достоверность и апробация. Результаты диссертации и их доказательства опубликованы в Замечание 55. В формулировках некоторых результатов работ [27] и [230], содержащих оценки сравнения метрических структур локальных групп и пространства Карно — Кара-теодори (утверждения о расхождении траекторий [27, Теорема 5, Теорема 3, Теорема 7], [230, Theorem 2.3.1, Theorem 2.4.1, Theorem 2.5.4, Remark 2.3.3, Remark 2.4.2, Remark 2.5.5] и ло-кальные аппроксимационные теоремы), допущена следующая неточность: вместо О [є +м) (здесь предполагается, что а 0) напечатано 0{р{и,и )м В последующих работах [56, 233] эти неточности устранены и они нигде не повлияли на вывод других результатов. Верные формулировки результатов в наиболее общем случае приведены в [56, Теорема 12, Теорема 8, Теорема 9, Замечание 6].
По итогам исследований сделаны доклады на следующих конференциях: International Conference on Analysis and Mathematical Physics «New Trends in Complex and Harmonic Analysis» (7-12 мая 2007 г., Восс, Норвегия); Международная конференция «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященная 100-летию со дня рождения академика И. Н. Векуа (28 мая - 2 июня 2008 г., Новосибирск, Россия); «Geometric analysis and nonlinear partial differential equations» (EMS Conference) (3-10 июня 2007 г., Бедлево, Польша); Conference in Geometric Analysis and its applications (21-24 января 2008 г., Берн, Швейцария); IV Петрозаводская международная конференция по комплексному анализу (29 июня - 5 июля 2008 г., Петрозаводск, Россия); XI Romanian-Finnish Seminar (14-19 августа 2008 г., г. Альба Июлия, Румыния); Международная конференция «Дифференциальные уравнения,функциональные пространства, теория приближений», посвященная 100-летию со дня рождения С. Л. Соболева (5-12 октября 2008 г., Новосибирск, Россия); International Conference «Geometric and Asymptotic Group Theory with Applications» (9-12 марта 2009 г., Хобокен, США); Семинар по анализу Национального университета Сингапура (2009, 2010, 2011 гг, Сингапур); International Conference «Contemporary Analysis and Geometry» (14-20 сентября 2009 г., Новосибирск, Россия); Topology, Geometry and Dynamics: Rokhlin Memorial dedicated to the 90th anniversary of the birthday of Vladimir Rokhlin (1919-1984) (11-16 января 2010 г., Санкт-Петербург, Россия); 19th St. Petersburg Summer Meeting in Mathematical Analysis (5-10 июля 2010 г., Санкт-Петербург, Россия); Школа-конференция молодых ученых по геометрическому анализу (2-8 августа 2010 г., Республика Алтай, Россия); Международный математический конгресс 2010 г. (ICM 2010, 19-27 августа 2010 г., Хайдерабад, Индия); 7th School on Analysis and Geometry on Metric Spaces (19-24 июня 2011 г., Левико Терме, Италия); XVIth Conference on Analytic Functions and Related Topics (26-29 июня 2011 г., Хельм, Польша); International Conference Calculus of Variations and PDEs (9-12 июля 2012 г., Щавница, Польша); Международная конференция «Дни геометрии в Новосибирске - 2012», посвященная 100-летию со дня рождения академика А. Д. Александрова (30 августа - 1 сентября 2012 г.); Международная конференция «MCTM - 2013» (5-9 июля 2013 г., Суздаль, Россия); Международная школа-конференция «Управление и оптимизация неголономных систем» (10-13 июля 2013 г., Переславль-Залесский, Россия); Международная конференция «Геометрия и анализ на метрических структурах» (4-7 декабря 2013 г., Новосибирск, Россия); также принят доклад на Международный математический конгресс 2014 г. (ICM 2014, 13-21 августа 2014 г., Сеул, Южная Корея
Основной объект, изучаемый в диссертации, — пространства Карно — Каратеодори. Рассматривается и частный случай пространств Карно — Каратеодори: многообразия Карно. Определение 1.1.1 ([132]; ср. [205, 230, 272]; см. также [56, Определение 1]). Фиксируем связное риманово С-многообразие М топологической размерности N. Многообразие М называется пространством Карно — Каратеодори, если в касательном расслоении ТМ существует фильтрация
Пространства Карно — Каратеодори, описанные в определении 1.1.1, называются эквирегулярными (см., например, [205]), так как размерности под-расслоений НІ не зависят от точки. Поскольку в диссертации рассматриваются только эк-вирегулярные пространства Карно — Каратеодори, под термином «пространство Карно — Каратеодори», если не оговорено специально, будем понимать эквирегулярное пространство Карно — Каратеодори.
Замечание 1.1.8. В доказательствах некоторых теорем мы используем возможность соединения любых двух точек (локальной) группы Карно (см., например, определения 1.1.24 и 1.1.26) кривой, состоящей из конечного числа сегментов интегральных линий горизонтальных (относительно структуры этой группы Карно) векторных полей. Это свойство не выполняется без условия 3) определения 1.1.1. Иными словами, часть результатов получена только для многообразий Карно, так как в каждой точке локальная однородная группа — это группа Карно.
Замечание 1.1.9. Группа Карно является примером многообразия Карно. Пример 1.1.10 (стандартный пример многообразия Карно; см., например, [230, Пример 2.1.3]). Пусть М — связное гладкое риманово многообразие, в касательном расслоении ТШ которого существует подрасслоение НШ, порождающее за М — 1 шагов все касательное расслоение с помощью операции коммутирования. Для горизонтального подрасслоения НШ выберем С -гладкие векторные поля Хі,... , dim_ffi на окрестности 1А, составляющие базис И\ = НШ в каждой точке и Є Ы. Обозначим символом Ні(и) подпространство касательного пространства, порожденное всеми коммутаторами полей Хі,... , Х( тщ до порядка г — 1 включительно, г = 2,... , М. Напомним, что поля Хі,... , Х ІШЯІ удовлетворяют условию Хёрмандера [218] на Ы, т. е. для каждой точки и Є Ы имеем ТиШ = Нм(и). Условие (экви) регулярности [205] состоит в том, что число dim Ні(и) не зависит от выбора и ЕЫ для всех г 1; кроме того, выше мы предположили, что М = тіп{п Є N Ти1А = Нп(и)}.
Определим по индукции поля ХІ, і = 1,... , N, составляющие базис в каждой точке и Є Пример 1.1.11 (многообразие Карно с С -гладкими векторными полями; см., например, [230, Пример 2.1.4]). Рассмотрим, как в предыдущем примере, С -гладкие векторные поля Х\,..., Х(Цтн Є Н на окрестности U С М, образующие базис подрасслоения Ні = НШ в каждой точке и Є U. Предположим, что размерности
Характеристическое множество
Теперь нужно выбрать максимально возможное количество линейно независимых столбцов из блоков, соответствующих минимальным степеням. В первом блоке возможно выбрать не более чем щ линейно независимых векторов. Далее, рассмотрим столбцы от щ-\-1 до щ+щ и соответствующий «диагональный» блок. В нем возможно выбрать не более чем П2 линейно независимых -мерных элементов.
Предположение, что существует более чем П2 линейно независимых столбцов, приводит к противоречию. Действительно, так как «диагональный» блок — это (щ х гг2)-матрица, существует элементарное преобразование, под действием которого как минимум П2 — Щ столбцов зануляются. Применим это преобразование к столбцам матрицы Dtp(x). Тогда первый (п\ + П2) х [п\ + П2)-блок содержит п\ + П2 — П2 столбцов размерности п\ (точнее, эти столбцы принадлежат пространству W11 х 0П2: их последние щ координат — нули). Напомним, что максимальное число линейно независимых столбцов равно щ, и они уже выбраны в первом «диагональном» блоке. Предположим, что в этом блоке количество линейно независимых столбцов строго меньше, чем п\ -\-П2- Тогда, так как rankD (x) = N, «недостающий» столбец может быть «заменен» только столбцом большей степени, чтобы обеспечить максимальность ранга матрицы. Таким образом, минимально возможная сумма степеней может быть получена, только если среди первых п\ + П2 столбцов существует п\ — п\ + П2 — П2 линейно зависимых. Поэтому соответствующая сумма степеней равна п\ + 2п2 Применяя далее аналогичные рассуждения для степеней 3,..., М, приходим к выводу, что минимально возможная сумма степеней линейно независимых векторных полей {Х р} _- равна v. Утверждение 1) доказано.
Утверждение 2) также следует из приведенных выше аргументов, так как, во-первых, зависимы. Предположим противное, т. е. что ранг матрицы Dtp(x) равен N и, следовательно, существуют N линейно независимых столбцов матрицы Dip(x). Матрица Dtp(x) имеет блочно-«диагональную» структуру, где блок к — это (п х п )-матрица. Таким образом, в каждом блоке только п столбцов могут быть линейно независимыми. Следовательно, сумма степеней векторных полей, соответствующих (т. е. имеющих одинаковые с ними номера) этим линейно независимым столбцам, равна и.
Из структур матриц Dip(x) и Dtp(x) следует, что соответствующие столбцы матрицы Dip(x) также линейно независимы и сумма степеней соответствующих векторных полей равна и, что противоречит условию теоремы.
Отсюда следует, что А С Х. Покажем, что х С А. Пусть х Є Х. Так как rankD (x) N, любые N столбцов линейно зависимы. Наша цель — показать, что для любого набора столбцов матрицы Dip(x) существует преобразование Т матрицы Dip(x), зануляющее хотя бы один из векторов Cij и сохраняющее блочно-«диагональную» структуру исходной матрицы. Обозначим этот столбец символом . Здесь мы предполагаем, что jo — минимальный номер столбца с таким свойством. Положим к = degX . — 1. Из-за блочно-«диагональной» структуры Dtp(x), номе-ра ненулевых элементов столбца с . не меньше, чем dim_fffc + 1, и не больше, чем dimi7fc__i. Предположим без ограничения общности, что ij0 = divaHk + 1. Так как столбцы с меньшими номерами нельзя занулить с помощью элементарных преобразований, получаем, что jo = dim Hfc + 1.
Применим преобразование Т к матрице Dtp(x) и рассмотрим образы jo столбцов с номерами ii,... , ij0. Заметим, что можно рассматривать образ столбца с номером ij0 = dim_fffc + 1 как элемент пространства Rdim-"fc. Учитывая структуру матрицы D p(x), получаем jo = dim-fffc + 1 векторов (столбцов), принадлежащих пространству Rdim-"fc (так как компоненты с номерами, большими, чем dirnHf , нулевые). Таким образом, ранг набора равен divaH jo. Следовательно, ранг {X ip,... ,X i ip} строго меньше чем N. Так как наборы из N столбцов с соответствующей суммой степеней, равной и, можно сформировать только из столбцов с номерами, не превосходящими dim Лгу (см. лемму 3.1.14), видно, что если сумма степеней равна и, то ранг этого набора меньше, чем N. Учитывая лемму refsum и то, что r&nk(D j?(x)) = N, получаем \ С А.
Докажем п. 2). Обозначим множество в (3.1.4) символом В. Предположим противное и рассмотрим такую точку х Є В, что rank(D (x)) N. Из доказанного утверждения 1 следует, что х Є А, и, таким образом, приходим к противоречию, так как А Г) В = 0. Следовательно, В С D.
Пусть теперь х Є D. Так как rankD (x) = N, имеем rankD (x) = N и х Z. Рассмотрим произвольный набор из N линейно независимых столбцов матрицы he-дифференциала Dip(x). Тогда набор столбцов с теми же номерами матрицы Dip(x) также линейно независим, и х Є В. Следовательно, D С В.
Замечание 3.2.5. Обратим внимание на то, что отображение ф = -ровх действует на точки окрестности нуля в К . Следовательно, касательная плоскость к множеству уровня ф (t) лежит в К и пересечение То[ф (t)] П Вох2(0,г) определено корректно.
Доказательство теоремы 3.2.4. Разобьем доказательство на 6 шагов. На первом шаге выберем подходящий базис {WJ}JL- касательного пространства Т = То[ф ()] к множеству уровня. На втором шаге определим две проекции векторов из То[ф (і)]. В частности, первая проекция 7Г сопоставит базисному вектору Wj некоторый вектор pj той же степени, а вторая проекция сопоставит стандартный вектор тЛ из набора \ ei,... , ем г каждому базис-ному вектору Wj из То[ф (t)]. На третьем шаге покажем, что гапк( т ) 1 = N (здесь и далее обозначение а%ф обозначает действие вектора а% на ф, і = 1,... , N), где а на четвертом шаге докажем, что сумма степеней оч, і = 1,... , N, равна щ(х). Следовательно, сумма степеней TTJ, j = 1,... , N — N, совпадает с v — щ(х). Далее, на пятом шаге выведем, что лебегова мера Вох2(0, r)Plspan{pi,... ,pN_fr} равна Crv v x, где Сне зависит от г. Окончательно на шестом шаге докажем, что длина M.Wj ПВох2(0, г) равна 0{г ) для достаточно малых г 0, и, применяя этот результат, покажем, что 7г(Т П Вох2(0,г)) совпадает с о(г)-окрестностью множества S П Вох2(0,г) в подпространстве S, где S = spanjpi,... ,рлг_ }, а величина о(г) рассматривается относительно квазиметрики d2. Из этого результата следует утверждение теоремы.
Существует также «градуировка» строк матрицы А. А именно, можно выделить М блоков Лі,... , AM. Здесь Лі состоит из строк, ненулевые элементы которых, имеющие наибольший номер, принадлежат столбцам с номерами из [dim_ff/_i + l,dimi ]:
Предположим, мы преобразовали блоки fc\Vfc, к = / + 1,... , М, I М— 1, и пусть Vi ф 0 (в противном случае преобразовывать нечего). Заменим блоки Лі-\-\,. . . ,Лм проекциями их векторов-строк на (span{.Aj}) П span{Ai, ,Лм}. Грубо говоря, мы удаляем «часть», коллинеарную Лі, из векторов-строк блоков Лі-\-і, ... , Лм. Эта проекция не меняет блоки В \ Vfc для к = I + 1,... , М, I М — 1, из-за «треугольной» структуры матрицы А.
Минимальные поверхности
В диссертации разработан новый оригинальный подход к исследованию субримановых структур, выявлены их новые тонкие локальные свойства, и решен ряд новых трудных задач теории пространств Карно — Каратеодори: 1) показано, что для пространств Карно — Каратеодори с С -гладкими базисными полями существует адекватное определение локальной группы; 2) выведены разнообразные количественные оценки сравнения локальных метрических структур и пространства Карно — Каратеодори; результат является новым и для пространств с гладкими полями; 3) доказаны локальные аппроксимационные теоремы; 4) исследованы локальные структуры и базовые метрические свойства пространств Карно — Каратеодори с весовой фильтрацией.
Как продолжение результатов о локальном строении пространств, даны ответы на открытые вопросы и решены трудные задачи геометрической теории меры на метрических структурах: 1) введены адекватные аналитические выражения для субримановых якобиана и коэффициента коплощади; 2) исследовано поведение «римановой» и «субримановой» мер на поверхностях-образах гладких контактных отображений, определенных на многообразиях Карно; 3) доказаны формулы площади как для достаточно гладких контактных, так и для липши-цевых относительно субримановых (квази)метрик отображений, определенных на многообразиях Карно; 4) исследовано поведение «римановой» и «субримановой» мер на поверхностях уровня гладких контактных отображений, определенных на многообразиях Карно; 5) доказаны формулы коплощади для достаточно гладких контактных отображений, определенных на многообразиях Карно.
Вышеперечисленные задачи являются базовыми в геометрической теории меры на пространствах Карно — Каратеодори. Аналитические определения субриманова якобиана и коэффициента коплощади введены впервые. Разработанные методы и полученные результаты применены для исследования и получения основных свойств «графиков» функций, кроме того, впервые выведены важные аналитические свойства классов минимальных (относительно внутренней, специфичной для каждой из поверхностей меры) поверхностей на группах Карно: 1) доказана формула площади для классов поверхностей-«графиков» липшицевых относительно субримановых (квази)метрик отображений, определенных на группах Карно; 2) для классов таких поверхностей-«графиков» найдены необходимы условия минимальности, а также для ряда случаев — достаточные, в том числе, и в терминах субримановой средней кривизны.
Все основные результаты получены впервые. Их ценность состоит в том, что они позволяют выявлять новые свойства неголономных структур в условиях минимальной гладкости векторных полей, что является полезным для моделирования и решения прикладных задач. Например, результат работы [132] (теорема Рашевского — Чоу на многообразиях Карно с С -гладкими векторными полями) можно интерпретировать, как решение задачи теории управления о множестве достижимости. Полученные локальные метрические результаты оказались полезными и при исследовании неэквирегулярных пространств [101, 102, 291], а также при развитии теории дифференцируемости на многообразиях Карно (см., например, [303]).
Подчеркнем, что разработанные методы исследования сложных структур и определенных на них отображений являются принципиально новыми, и они позволили решить сложные задачи общего характера.
Результаты о локальных аналитических свойствах геометрии субримановых структур и формуле площади носят законченный характер, что дает возможность активно применять их, как и в классическом анализе, в постановке и решении разного рода задач, с возможным применением к прикладным проблемам.
Одна из рекомендаций дальнейшего развития результатов диссертации — уменьшение гладкости отображений в теореме о формуле коплощади, и изучение множеств уровня в минимальных предположениях на гладкость. При этом могут оказаться полезными развитые в ходе доказательства формулы площади для липшицевых отображений идеи и подходы для работы с поверхностями, имеющими достаточно «нерегулярный» характер. Такое исследование будет значительным продвижением в теории спрямляемости на неголономных структурах, содержащей на данный момент множество открытых вопросов.
Результаты о поверхностях-«графиках», а также методы и новые понятия дали возможности выводить уравнения минимальных поверхностей в терминах субриманова дифференциала, т. е., в удобном для дальнейшего их решения и изучения свойств решений виде. Полученное аналитическое описание открывает возможности ставить как аналоги классических задач теории минимальных поверхностей, так и выявлять специфические для суб-римановых структур вопросы. В частности, это описание в перспективе будет полезно при доказательствах таких свойств, как условия существования поверхностей, регулярность и устойчивость, а также при исследовании зависимости характера поверхности от контура 7. Помимо этого, методы и результаты являются адаптируемыми на новый случай структур сублоренцевой геометрии (см., например, [157, 207]), являющейся неголономным обобщением геометрии Минковского (см., например, [84]), которые в настоящий момент малоизучены.
