Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ Известно, что для отображения (р W -* Жк существует понятие дифференциала как линейного отображения L . Ш.п -» Ш.к такого, что
<р(у) - <р(х) = Ну -х) + о(у - х)
В этом случае L = Dy>(x)
В случае п < к, если <р — гомеоморфизм класса С1 и rank D(p(x) — п, то в некоторой окрестности каждой точки х справедливо соотношение
(1 - o(l))\D
Якобиан
J(x,
характеризует локальное искажение меры (здесь D
/
J{x,y)dx = Hn{V{A)), (2)
fu(ip(x))J(x,
где A — измеримое, U — открытое множество в Ж, а и — неотрицательная измеримая функция на fp(U) (Здесь символ Нп обозначает п-мерную меру Хаусдорфа)
В случае, когда п > к, а ср — отображение класса С1, справедлива формула коплощади
f
У Е* V_1(e)
(4)
\
где U — открытое множество в К Здесь коэффициент коплощади
y/det(Dip(x)Dip*(x))
в (4) характеризует искажение ft-мерной меры пространства в направлении, ортогональном ядру дифференциала Dip{x) при отображении <р Формула (4) применяется, в частности, в теории регулярности решений уравнений с частными производными, теории внешних форм, теории потоков и в задачах о минимальной поверхности (см , например, [1]) Например, формула Стокса легко может быть получена с помощью формулы коплощади (см , например, [2], [3]) Обобщение теоремы о неявной функции на лишшщевы отображения утверждает [4] (см также [5]), что прообраз >p~1(z) 7ifc-no4TH каждой точки z Є Rk — ^"^-спрямляемое множество Заметим, что утверждение о прообразе точки может быть выведено с помощью формулы коплощади для липшицевых отображений
Впервые формула коплощади была установлена А С Кронродом в 1950 г [6} в частном случае ср Ш2 -> Ж Позже, в 1959 г, Н Federer [7] обобщил эту формулу на случай липшицевых отображений римановых многообразий, а в 1969 г — на лишшщевы отображения спрямляемых множеств евклидовых пространств [4] Результаты, касающиеся формулы коплощади, изложены также в [8], [9], [10] В 1978 г М Ohtsu-ka доказал аналог формулы коплощади для липшицевых отображений (р Ж —» Rm, п,т ^ к, образ (p(Rn) которых Т-^-сг-конечен [11] Бесконечномерный аналог формулы коплощади доказан Н Airault и Р Malli-avm'oM в 1988 г [12] для случая пространств Винера Этот результат также изложен в книге [13]
В 2000-2003 гг различные свойства формулы коплощади исследовались для отображений классов Соболева в работах [5], [14], [15], [16]
Как было отмечено ранее, формулы (2) и (4) обобщаются и на случай липшицевых отображения римановых многообразий Самым простым примером риманова многообразия является поверхность в евклидовом пространстве, заданная как образ некоторого открытого множества U с R при регулярном отображении, т е , при взаимно-однозначном отображении класса С1, дифференциал которого имеет максимальный ранг
I. Обобщением таких многообразий являются образы измеримых множеств в W1 при липшицевом отображении со значениями в мет-
рическом пространстве Интерес представляют Нп-спрямляемые метрические пространства Метрическое пространство Y называется 7in-спрямляемым, если существует не более чем счетный набор {Д } липши-цевых отображений, определенных на измеримых множествах {Вг} С К.п, такой, что Hn(Y \ []/Зг(Вг)) = 0 Иными словами, пространство Y
с точностью до множества нулевой W-меры представимо как объединение образов измеримых множеств Вг при липшицевых отображениях / Вг —> Y Примером Нп-спрямляемого метрического пространства является риманово многообразие с измеримым (но не обязательно непрерывным) римановым тензором, удовлетворяющим некоторому условию невырожденности, а также многообразие с особенностями
Современные тенденции развития геометрической теории меры приводят к необходимости обобщения формул (2) и (4) па метрические структуры как можно более общей природы, такие как, например, многообразия с особенностями В этом направлении нами получены следующие результаты
j J(
Y X
f f(x)Jk(MD(
Здесь MD(ipyx), J~(ip,x)i Jk(MD((f,x)) — метрические дифференциал, якобиан и коэффициент коплощади, они являются обобщениями дифференциала, якобиана и коэффициента коплощади, Y — Нп-спрямляемое метрическое пространство, в формуле (5) X — метрическое пространство, а в (6) — 'Н^-спрямляемое метрическое пространство, п > к, а функция /, принимающая значения в произвольном банаховом пространстве, такова, что произведение f(x)J'k(MD((p,x)) интегрируемо Геометрический смысл метрических якобиана и коэффициента коплощади — искажение соответственно И-меры и Нк-ыеры, а метрический дифференциал — полунорма на К", для каждого направления и є га-1
определенная следующим образом
MD(cp,x)(u)= Іші
dx(
В случае, если X = Шп, MD(ip, х)(и) равен норме производной в направлении и
Определение метрического дифференциала, или т-дифференциала, введены L Ambrosio [17] в 1990 г для кривых в метрическом пространстве В этой же работе доказана метрическая дифференцируемость лип-шицевых кривых в метрическом пространстве См также результаты о метрической дифференцируемости и длине кривых в книге [18] Понятия метрического дифференциала и метрического якобиана для отображений, определенных на R, п > 1, введены В Kirchheim'oM [19] в случае липшицева отображения открытого множества в Жп в метрическое пространство Он решил также вопрос, связанный с формулой площади в этом случае
Аналитические выражения для якобиана и коэффициента коплоща-ди показывают, что дифференциал отображения ср — инструмент для описания искажения меры Известно, что в общем случае в метрическом пространстве нет линейной структуры, поэтому понятие дифференцируемости нельзя вводить в обычном смысле Заметим, что для того, чтобы найти локальное искажение меры отображения (р Шп —> Шт, достаточно найти значения полунормы || }}dv(x) на Sn_1 и затем применить соотношения
,Hn{V{Q(x,r))) \-,,J[ drr-\u) у1
где Q(x,r) — куб в Rn, а где S"-1 — единичная сфера в Ш.п Заметим также, что
„г, / w чи і dE(
\\DV{x№\ = iQ_bm o j—^ , (8)
где ds — евклидово расстояние Очевидно, в (7) и (8) не используется линейная структура образа Поэтому такой подход может быть исполь-
зован и для случай липшицевых отображений со значениями в метрическом пространстве
Вопросы, связанные с доказательством (5) и (6) рассматривались в работе L Ambrosio и В Kirchheim'a в 2000 году Формулы, о которых идет речь, были доказаны в частном случае, т е , когда область определения отображения — 7^-спрямляемое метрическое пространство, а область значений — соответственно сепарабельное метрическое пространство или Mfc, п ^ к.
Одним из основных методов, использованных в этих работах, — изометрическое вложение метрического пространства в банахово Он позволил в первой работе свести случай измеримого множества к открытому, а во второй — линеаризовать задачу
В тонких задачах анализа представляет интерес внутренний метод исследования свойств метрического дифференциала, без использования изометрических вложений Такой подход существенно отличается от подхода работы [20] Отметим, что недавно были разработаны «внутренние» методы для исследования задач геометрической теории меры на сложных геометрических структурах [21], [22] Поэтому нахождение «прямых» методов для работы с отображениями, определенными на измеримых множествах и их метрическими образами, а не с изометрическими вложениями в бесконечномерное банахово пространство, представляет особый интерес Разработка «прямых» методов позволила нам получить более общие результаты сравнительно с результатами работ [19], [20]
Как упоминалось ранее, нами доказана формула коплощади для отображений, определенных на 7іп-спрямляемом метрическом пространстве со значениями в Тїк-спрямляемом метрическом пространстве, тогда как в работе [20] эта формула доказана для отображений со значениями в евклидовом пространстве Созданный новый метод можно рассматривать как обобщение подхода к задачам геометрической теории меры, изложенного в [23] для отображений евклидовых пространств класса С1 Рассматриваемая нами ситуация является существенно новой из-за того, что в образе возникает множество нулевой меры, которое не «параметризуется» отображениями подмножеств R*, и доказательство того, что такое множество не влияет на левую часть формулы коплощади, является отдельной сложной задачей
Заметим, что в (6) размерность ядра m-дифференциала не менее п — к почти всюду на Е т-Коэффициент коплощади для отображения, заданного на М.п, определяется как
Jk(MDM)=.kk( J [д^Х*)]*)"1' (9)
Вп-1П(кет(МО(ір,х)))±
где Sn_ l — единичная сфера в Жп
Предположим теперь, что формула (6) справедлива для липшице-ва отображения ip Е —+ X, где X — произвольное метрическое пространство Возникает естественный вопрос о геометрических свойствах метрического пространства X, обусловленных выполнением (6) Нами найдены необходимые и достаточные условия на образ и прообраз лип-шицева отображения для справедливости формулы коплощади (6) В частности, показано, что И^-спрямляемость образа — не только достаточное, но и необходимое условие
Основное средство исследования при решении этой задачи — доказанный нами метрический аналог теоремы о неявной функции, утверждающий, что почти все множества уровня липшицева отображения, определенного на измеримом множестве в Шп, такого, что размерность ядра его метрического дифференциала не менее п — к почти всюду, Нп~к -спрямляемы
Сначала мы рассматриваем липшицевы отображения, определенные на измеримом множестве Е С К" и принимающие значения в произвольном метрическом пространстве X, такие, что dimker(MD(^,x)) > п — к для "Нта-почти всех х є Е Такие требования на ip минимальны, так как, во-первых, множества нулевой Н"-меры не влияют на интегралы в формуле коплощади [4], [24], и, во-вторых, из определения т-коэффициента коплощади (9) следует, что размерность ортогонального дополнения ядра тп-дифференциала не должна превышать к на Е почти всюду
В ходе решения задачи мы установили, что если образ <р{Е) является Т^-с-конечным, то dimker(MD((p,х)) $= п — к 7г-почти всюду Следовательно, класс рассматриваемых нами отображений включает отображения, рассмотренные в работе [11]. В качестве следствия мы установили, что формула коплощади справедлива и для отображений
(р, принимающих значения в метрическом пространстве, образ которых Т^-ст-конечен, и для которых верно dimkerM>((,a;) < п — к почти всюду
Как упоминалось ранее, разработанные нами методы имеют более широкую область применения Например, с помощью этих методов доказан аналог теоремы Степанова, т е , m-дифференцируемость более широких классов отображений сравнительно с ситуацией, рассмотренной в [19] Далее, введен аналог аппроксимативной метрической диффе-ренцируемости и установлена (аппроксимативная) метрическая диффе-ренцируемость отображений, обладающих одним из следующих свойств
Ш ЬШМу))<о0 (10)
у-*х,уЄЕ \Х - У\
(
EJ ЪШ,Ф)) < n (11)
V-*x \Х — у\ /
для почти всех х Є Е Используя эти результаты, мы доказали формулы площади и замены переменной для более широких классов отображений, определенных на измеримом множестве Е с И со значениями в метрическом пространстве
Известно [25], что непрерывные квазимонотонные отображения класса Соболева [26] W* 1ос(0, X) и непрерывные отображения класса Соболева W*loc(f2, X), q > п, обладают свойством (10) и JV-свойством, поэтому формулы площади и замены переменной для них выглядят так же, как и в случае липшицевых отображений Отображения классов Соболева Wg(l,X), q > 1 (в случае, если X — сепарабельное метрическое пространство) и отображения класса BV [17] со значениями в метрическом пространстве обладают свойством (11) [27], [28], и для них, как и для всех отображений с таким свойством, имеет место следующее равенство
J u(ip(x))J(MD&p(
A X
где Y,v С E, \Тчр\ = 0, а принимающая значения в произвольном банаховом пространстве функция и такова, что произведение u(ip(x))J(MDa.p((p,ж)) интегрируемо
Все результаты о необходимых и достаточных условиях распространены на отображения, определенные на ^"-спрямляемом метрическом пространстве, область определения которых с точностью до множества нулевой меры представима как объединение счетного числа измеримых множеств, на каждом из которых отображение липшицево
Для отображений, определенных на спрямляемых метрических пространствах, определения метрических якобиана и коэффициента ко-площади вводились следующим образом Известно, что для отображений <р К —» Кт и ф <р(Шп) —> М.1 справедливо цепное правило D(ip о (р)(х) = Di/j(
Лмр(Уо/зд,/?д-Ч*))) (12)
J{lp'x) j{MD{^p;\x))) ' (12)
кроме того, показано, что оно не зависит от выбора отображения / (здесь f30 — одно из «параметризующих» отображений)
Определение m-коэффициента коплощади формулируется с помощью тех же соображений, что и (12)
II. Все вышеперечисленные результаты были связаны со спрямляемыми метрическими пространствами, структура которых напоминала структуру римаповых многообразий Но существуют также и неспрям-ллемые метрические пространства, геометрия которых не может быть сравнима с римановой Особый интерес представляют пространства Карно — Каратеодори Субриманова геометрия естественно возникает в теории субэллиптических уравнений, контактной геометрии, теории оптимального управления, неголономной механике, нейробиологии и других областях [21,23,29-39] Таким образом, эта теория имеет множество приложений Кроме того, в ней известно много внутренних нерешенных задач Одной из таких задач является задача об аналоге формулы коплощади на субримановых структурах
Известные частные случаи пространств Карно — Каратеодори — это группа Гейзенберга и группа Карно В 1982 г Р Pansu доказал формулу коплощади для функций, определенных на группе Гейзенберга [40] Да-
лее, в работе [41] J Hemonen распространил эту формулу для гладких функций, определенных на группе Карно Аналог формулы коплощади доказан для ВУ-фупкций, определенных на пространствах Карно — Каратеодори, в работе R Monti и F Serra Cassano [42] Еще один результат, касающийся доказательства аналога (4), принадлежит V Magnani В 2000 г он доказал неравенство коплощади для отображений групп Карно [43]. Равенство было доказано только для случая отображения группы Гейзенберга в евклидово пространство Шк [44] До настоящего момента вопрос о справедливости формулы коплощади для отображений нильпотентных групп был открыт даже для модельного случая отображения двух групп Гейзенберга
Мы доказываем формулу коплощади для контактных гладких отображений <р Мі —» М2 многообразий Карно Заметим, что все полученные результаты являются новыми и для частного случая пространств Карно — Каратеодори групп Карно
Как упоминалось ранее, впервые аналог формулы коплощади для неголономного случая был рассмотрен в работе Р Pansu [40] Основная идея (которая потом использовалась и в работах других авторов) состояла в доказательстве субримановой формулы коплощади через ри-манову
J У ' J Jn2(v,x)
M2 ^-1^)
і і dHv*(z) j dH^-^iu) (13)
М2 >-1(г)
Здесь Ni,N2 — топологические, a v\, v-i — хаусдорфовы размерности соответственно прообраза и образа, известно, что в субримановом случае топологические и хаусдорфовы размерности отличаются Как видно из (13), для осуществления этой идеи требуется понять, как соотносятся меры на самих пространствах и множествах уровня, а также рима-нов и субриманов коэффициенты коплощади Известно, что вопрос о
сравнении мер на пространствах решается довольно просто, тогда как исследование геометрии множеств уровня, а также нахождение субри-манова коэффициента коплощади нетривиальны Основные проблемы связаны со спецификой субримановой метрики Неэквивалентность ри-мановой и субримановой метрик проявляется, в частности, в том, что «риманов» радиус субриманова шара радиуса г может меняться от г до гм, М > 1, где константа М зависит от структуры пространства Таким образом, сразу возникает вопрос, насколько «хорошо» касательная плоскость приближает множество уровня (так как «обычного» порядка касания о(г) здесь, очевидно, не достаточно поверхность уровня может «выскочить» из шара раньше, чем требуется), а также существует ли субриманова метрика такая, что можно описать геометрию пересечения шара с поверхностью уровня Но даже при наличии ответов на эти вопросы возникает еще один как соотносятся хаусдорфова размерность образа с мерой пересечения шара и поверхности уровня.
В данной работе мы решаем все перечисленные проблемы В первую очередь, все точки, в которых дифференциал отображения не вырождается, разделены на два множества регулярное и характеристическое Далее, мы определяем такую субриманову метрику с?2, используя которую молено посчитать меру пересечения шара и касательной плоскости Построение d,2 основано на том, что шар в этой метрике «асимптотически» равен декартову произведению евклидовых шаров
В(х,г)ыВП1(х,г)хВп*(х,г2)х хВПм{х,гм), М> 1,
где N, пг, г = 1, , М, — (топологические) размерности шаров, и при пересечении плоскостью форму получившегося множества определить достаточно легко (в отличие, например, от случая, если шары заменить па кубы, так как кубы имеют разные формы сечений) При исследовании приближения поверхности уровня касательной плоскостью вводится «смепіанная» метрика, обладающая как римановыми, так и субримановыми свойствами Нами доказано, что в точках регулярного множества касательная плоскость приближает поверхность уровня достаточно хорошо относительно этой метрики, откуда возникает возможность вычисления (римановой) меры этого пересечения, которая, кстати, выражается через хаусдорфову размерность образа она сравнима с г1'1-"2 Из этих результатов мы получаем соотношение мер в
регулярных точках множеств уровня
Несколько сложнее обстоит дело с характеристическим множеством, так как именно в точках этого множества возникает эффект «скачка» поверхности из шара, и поэтому здесь нельзя ориентироваться на меру пересечения шара и касательной плоскости Заметим также, что во всех перечисленных работах прообраз имеет групповую структуру, которая существенно используется в доказательстве того, что мера всех характеристических точек на множестве уровня равна нулю В случае отображения пространств Карно — Каратеодори групповой структуры, вообще, нет ни в образе, ни в прообразе, а аппроксимация пространства локальной группой Карно недостаточна для адаптации разработанных методов Мы решаем эту задачу с тем предположением, что «дополнительные» поля, на которых вырождается he-дифференциал отображения <р в характеристических точках, обладают следующим свойством если в Hk/Hk-i(x) (см определение ниже) количество таких «дополнительных» векторов равно т,к > 0, то существуют ти векторов из Hik/Hik-i(x) такие, что их образы имеют степень к, они линейно независимы между собой и с образами Нік-і(х) Нами создан новый «внутренний» метод исследования свойств характеристического множества В частности, показано, что в характеристических точках 7iNl~N2-uepa пересечения субриманова шара и касательной плоскости к множеству уровня эквивалентна г в степени V\ — vq(x) < v\ — v% Далее, доказано, что 7-^1-iV2-мера пересечения поверхности уровня с субримановым шаром сколь угодно велика по сравнению с r^1_t/2, то есть, эквивалентна гр1(1-,2 (но не обязательно эквивалентна rt/1"l/0^) Отсюда мы выводим, что пересечение характеристического множества с каждым множеством уровня имеет нулевую Ті"1-"2-меру
Автор выражает благодарность научному руководителю С К Водопьянову за постановку задачи, постоянное внимание к работе и неоценимую помощь в развитии различных возможностей и улучшении результатов, возникших в ходе решения задачи Автор благодарит В Kirch-heim'a за указание на статью [11]
ЦЕЛЬ РАБОТЫ Цель работы состоит в том, чтобы
1) получить необходимые и достаточные условия для справедливости формулы коплощади для липшицевых отображений, определенных
на ^"-спрямляемых метрических пространствах со значениями в произвольном метрическом пространстве,
2) доказать формулу коплощади для гладких контактных отображений пространств Карно —- Каратеодори
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ В работе развиты новые методы работы с измеримыми множествами, метрическими пространствами, структурами неголономиой геометрии, гладкими контактными отображениями пространств Карно — Каратеодори Использованы также классические методы анализа
НАУЧНАЯ НОВИЗНА Все основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми и снабжены строгими доказательствами
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ Результаты работы имеют теоретическое значение Методы и результаты работы могут быть применены в теории уравнений с частными производными, в геометрической теории меры, теории метрических пространств, пространств Карно — Каратеодори, в решении задач о минимальных поверхностях на неголономных структурах и др
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ Результаты диссертации докладывались на XLII - XLV Международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2004 - 2007 гг, 4 Диплома первой степени), на Международной школе-конференции, посвященной 75-летию академика Ю Г Решетняка (Новосибирск, 23 августа - 3 сентября 2004 г), на Российской конференции, посвященной 50-летию Института математики им С Л Соболева СО РАН «Математика в современном мире» (Новосибирск, 17-23 сентября 2007 г), на Международных конференциях «Analysis on Metric Measure Spaces» (Bedlewo, Poland, July 15 - 23, 2004), «Analysis and Partial Differential Equations» (Bedlewo, Poland, June 19 - 23, 2006), «Geometric Analysis and Applications» (Urbana — Champaign, USA, July 12 - 15, 2006), «Global Differential Geometry and Applications» (Munster, Germany, August 14 -19, 2006), International Congress of Mathematicians (Madrid, Spam, August 21 - 30, 2006), «New Trends m Complex and Harmonic Analysis» (Voss, Norway, May 7 -12, 2007), «Geometric Analysis and Nonlinear PDE 2007» (Bedlewo, Poland, June 3 - 10, 2007), «Geometric Function Theory and Nonlinear Analysis» (Naples, Italy, October 11 -14, 2007), на Международных школах «School on Neuromathematics and Vision» (Pisa, Italy,
September 4-9, 2006), «5th School On Analysis on Metric Spaces», Trento, Italy, June 24 - 29, 2007
По результатам работы получены две первых премии на конкурсе им. М. А. Лаврентьева (2005, 2006 гг), и медаль на Открытом конкурсе на лучшую научную работу студентов по естественным, техническим и гуманитарным наукам в вузах Российской Федерации (2005 г)
ПУБЛИКАЦИИ Результаты диссертации опубликованы в [47-72]
ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 81 наименования
