Введение к работе
Актуальность теми. Данная работа тесно связана с изучением следующей общей проблемы. Пусть 'X - вещественное сепара- . больное банахово пространство. Норма элемента ОС Є X обозначается /ос/ . Пусть KC"t) -непрерывная функция на полуоси "і > О и ^/М- - регулярный комплексный борелевс-кий заряд на X » имеющий конечную вариацию на каадом шаре
конечного радиуса. В конкретных ситуациях функция К. и заряд ^/^ обычно подчиняются дополнительным условиям согласования. Напршгер, от |^ часто требуется сущоствование аналитического продолжения с оценками в угол |ал^-Л\ С'С комплексной плоскости, а от. У10 - то пли инно ограничения на рост (или убывание) на бесконечности, например \M-\Q<) < ьо (заряд ограниченной варианта; здесь и в дальнейшем \М-\ - мера, значение которой на шіожоство совпадает о вариацией ^/^ на этом мно-лество). Расстатравается потоіпдиал
u(x)i= 5 КО*-?/) d/*(V. (і) x
В епроделеніпес условиях потенциал существует (как интеграл Лебега) всюду или в каком-то смисле "почти" всюду. Если это так, то требуется внясішта, г.нтокаот ли из тривиальности потенциала 7р:гоиалыюсть заряда ^/-i . Если это так, то будем говорить їпіся», что гслоот кзето единственность для уравнения
- 4 -и называть ядро неособым.
Классический результат на эту тему - известная теорема М.Рисса, которую в введенных обозначениях можно сформулировать следующим образом. Пусть \ =. )]. с евклидовой нормой,
К 00 = "С , где -п < Л < О .и ^М - заряд ограниченной вариации, т.е. \j^\ (Х_)<.р .-В таком случае потенциал 1) существует почти всюду по мере Лебега и, если 1А-(.эс)-0 почтя всоду, то _/< = О , т.е. имеет место единственность для уравнения (2).
В 70-е годы в овязи с изучением изометрий подпространств
лебеговых 1_ -пространств А.И.Плоткин С 23}рассмотрел
случай К ("-.)-"t с Л>0 , когда Х-вещественная ось.
|Я . Оказалось, что единственность сохраняется при всех
Х> О » кроме четных (очевидно, что при четных Л един
ственности нет). В дальнейшем А.Л.Колдобский С 1"0 показал,
что этот результат дословно сохраняется во всех |R и, бс;ее
того, во всех сепарабельних гильбертовых пространства*. Отметим,
что несколько позже, но независимо этот результат получил В.ЛПН-
де, который применил один технический првеи, оказаввннся веоька
полезным бо многих других случаях (см, в связп с эти него поня
тие системы Линде). .-:.'
Заметим, что изучение подобных проблем в случае бесконечно-, мерных пространств представляет несомненный пнтероо для теораи случайных процессов. Например, при расскотрении процессов с
L -реализациями естественно, возникают распределения и ш-
теициалы на гильбертовом пространстве. -..-,
Опуская целый ряд других результатов, перейдем к розуяьта- . там, тесно связанным с темой данной диссертации.
Обозначим через Хо стандартное |К. но снабжен
ное покоординатной JL -нормой. Через Jip обозначается бес
конечномерное пространство последовательностей, суммируемых в
степени Р^ \ . .
В работах Е.А.Горина л А.Л.КолдобскогоСЮ}, ll) среди прочего был изучен случай j^(-fc)=:-fc , А>0 (или линейной комбинации таких ядер), в указанных пространствах.
В конечномерной ситуации использовалась техника обобщенных функций, и один из центральных моментов состоял в установлении аналитических свойств преобразования Фурье от \ос\ . Оказывается, что вне координатных плоскостей преобразование Фурье является вещественно-аналитической функцией, которая вырождается в том и только в том случае, когда *Уг целое и, кроме того, выполняется хотя бы одно из следующих условий: -Vp <С п ;
р четное; р и ^ур ~ 7* оба нечетные. В этих и только в этих случаях уравнение (2) над Лр тлеет (разнообразные) нетривиальные решения.
В бесконечномерном -р ядро, отвечающее -fc , оказывается особиа тогда п только тогда, когда -^/р целое.
Хотя отвот в бесконечномерной ситуации подсказывается ко-иечиокзрпой, тохппка, связанная о обобщенными функциями теперь по работает. В работая Е.А.Горпна и А.Л.Колдобского было пред-логеао несколько доказательств "бесконечномерной" теоремы, причем нказтарио. аз пах тробуят специфического варианта леммы Картам о сояратсп.
Хотя прз Js>0 щезяекать лкау Картана но обязательно, пешітка распространять тоорзиу Рясса на бесконечномерные пространства вряд да Оудет усдезной без информация такого сорта,
поскольку б бесконечномерном случав нет аналога меры Лебега, . и нельзя сослаться на теорему фубиш даже для доказательства существования потенциала (хотя в конечномерном случае допустима тем большая сингулярность потенциала, чем выше разморность пространства). Использование же леммы Картана мо&ет быть успешным только в том случае, когда известно, насколько обширная часть пространства остается непокрытой, если в качестве покрывающей используется последовательность шаров с убывающими к Q радиусами.
В дальнейших кратких публикациях и докладах Е.А.Горина была намечена обширная программа исследований на эти темы. Цель- отоіі программы, с одной стороны, - выяснение некоторых топологических вопросов, возникающих в связи с леммой Картана, а с другой, -расширение класса ядер, приводящих-к единственности, особонко d , бесконечномерной ситуации.
Данная диссертация связана с реализацией этой прогрекаї, причем в том, что касается теорем единственности, - в случае пространств типа J.t и при довольно жестких дополшиельнж. предположениях относительно ядер.
Цель ваботы состоит в выяснении некоторых гоокэтрачесюк вопросов, возникающих в связи с применение:! леїгаї Картала о бесконечномерной ситуации и в получения достаточно обідах тборсі единственности для уравнений типа (2) в бесконечноаэргся банаховых пространствах типа пространства сукмируеиих последовательностей.
Методы исследования. В работе широко вспольаустсл метода классического функционального анализа, абстрактной теория дари, классические интегральные преобразования Фурае С Лапласа, погоды
:-7-
тэоряи обобщенных функций и методы теории аналитических функцій. Даучноя новизна. Среди новых результатов в работе
получены теоремы о возможности (или невозможности) покрытия подпространств банахова пространства последовательностью окрестностей тонких подмножеств;
дано необходимое условие ядерности счетно-нормированного пространства в терминах покрытия гомотетиями окрестности нуля;
для каддого бесконечномерного банахова пространства и убивающей.к нули последовательности положительных чисел предъявлен компакт, который не покрывается никакой последовательностью паров о данными радиусами (аналог примера А.Н.Колмогорова);
предлояон новый локальный вариант теоремы о преобразовании фурьо свортки обобщенных функций;
- дайн повыв Еарианты теорем единственности для уравнений
. D свертках па полуоси;
- предъявлен широкий класс идентифицирующих потенциалов в
<5ескоиеплс?лоршх пространствах специального типа и впервые полу
чен бэспопв'чномерпка аналог теоремы М.Рисса.
Пт^гогп?єсу.пл ттаиноетт,. Работа носит теоретический характер л п значстсжюЯ кзрэ поспящопа проблемам лігаейной топологии, тгор^з «эру и функционального анализа. .Результаты могут иметь ерзлозсягл а теории ЛупЕцпойальніс: уравнений и в теории случай-ют процессов,
iJWSUJSZ&JZ&Sll* Результаты диссертации были представлены па Ясяпнскк чтсігопс в Ш7 в апрапе 1992 г., на 23-й конференцій) Jhsosesoro г.птс?,».а?;тззспого обдаства в июне 1992 г. (в сов-'_ кготглз свобг^ззяз Е.Л.Горгт а автора), а такае докладшзались па семинара сэ теорія функций а фуїдавіональному анализу в МИГУ
- 8 -и на кафедре математического анализа МПГУ.
Публикации. Тезисы упомянутых выше сообщений опубликованы
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав со сплошной нумерацией параграфов (5+3+4) и описка литературы, содержащего 39 наименований. Все основные предложения (теоремы, леммы, наиболее важные пршеры и замечания) имеют двойной индекс: первый указывает номер параграфа, вторе:: - номер предложения в параграфе, и этот принцип отражен в автореферате. Полный текст диссертации занимает 125 страниц машинописи. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
