Содержание к диссертации
Введение
1. НСК-поверхности в псевдоевклидовом пространстве 14
1.1. Пространство Е"+г 14
1.2. Уравнения непараметрических НСК-поверхностей в Е"+ 25
1.3. Конформное представление непараметрических НСК-поверхностей 35
1.4. Теорема Бернштейна для двумерных НСК-поверхностей 39
2. НСК-графики 46
2.1. Параболичность конформного типа 46
2.2. Асимптотическое поведение графиков 66
3. Системы уравнений типа НСК 69
3.1. Классы уравнений 69
3.2. Теорема Бернштейна для А-поверхностей 73
3.3. Поведение «на бесконечности» 80
3.4. Трубки класса Л+ 83
Библиография 90
- Уравнения непараметрических НСК-поверхностей в Е"+
- Теорема Бернштейна для двумерных НСК-поверхностей
- Асимптотическое поведение графиков
- Теорема Бернштейна для А-поверхностей
Введение к работе
Объектом исследования настоящей диссертации являются двумерные пространственноподобные поверхности нулевой средней кривизны (в дальнейшем НСК-поверхности) в псевдоевклидовом пространстве, а также системы дифференциальных уравнений, описывающие такие поверхности.
Проводимые в диссертации исследования уходят своими корнями в теорию минимальных поверхностей в евклидовом пространстве, которая, с одной стороны, продолжает бурно развиваться в настоящее время по разным направлениям, а с другой — имеет результаты, ставшие классическими и широко известными благодаря работам Ф. Альмгре-на, С.Н. Бернштейна, Л. Берса, Дж. Дугласа, И.С.С. Ниче, Р. Оссер-мана, А.В. Погорелбва, Дж. Саймонза, Г. Федерера, Р. Финна, У. Флеминга, А.Т. Фоменко, а также в самые последние годы — Ю.А. Ами-нова, Э. Бомбьери, А.А. Борисенко, Э. Де Джиорджи, Э. Джусти, О.В. Иванова, В.М. Миклюкова, У. Микса, Й.Х. Сабитова, Л. Саймона, В.Г. Ткачева, А.А. Тужилина, Д. Хофмана и др.
В настоящее время возрос интерес к поверхностям нулевой средней кривизны в псевдоримановых многообразиях, что обусловлено применением разрабатываемого математического аппарата в теории релятивистской струны — одного из активно развивающихся направлений современной физики (см. [2]). Важные результаты по этой тематике, установленные Р. Бартником, Л. Саймоном [40], С. Ченгом и С. Яу [62, 64], К. Экером [44], недавно получили свое развитие в работах В.М. Миклюкова [31], А. Трайбергса, X. Чоя [63], А.А. Клячи-на [12] и В.А. Клячина [14] (см. также работы [17]—[15]).
Минимальные непараметрические поверхности xn+i = /(xi,..., хп) (графики) в пространстве Rn+1 переменной х = (жі,... ,xn,xn+i) опи- — 4 — сываются квазилинейным дифференциальным уравнением (0.1) = о, A ( f*> ) + + A f An где / - /(хь ..., xn), a |V/|2 = Д + ... + /і.
В 1915 г. С.Н. Бернштейн доказал свою знаменитую теорему, утверждающую, что при п = 2 любое целое решение / = /(^1,2^) уравнения (0.1) является линейной функцией переменных х\,Х2. Эта теорема дала толчок развитию теории минимальных поверхностей в различных направлениях. В 60-е годы в цикле работ Ф.И. Альмгре-на [39], Э. Бомбьери, Э. Де Джиорджи, Э. Джусти [43], У. Флеминга [49], Дж. Саймонза [51] была решена известная проблема о справедливости аналога теоремы Бернштейна в пространствах размерностью выше трех.
Ведя исследования в этом направлении, разные авторы получали результаты, обобщающие теорему Бернштейна и другие структурные теоремы для минимальных поверхностей. Так, например, в работах Л. Берса [41, 42], В.М. Миклюкова [27, 29], И.С.С. Ниче [55, 56], Р. Ос-сермана [57], Р. Финна [45]—[48] теорема Бернштейна была распространена на различные классы уравнений типа минимальных поверхностей. В статьях Л. Саймона [52], В.М. Кессельмана [11] были получены геометрические обобщения теоремы Бернштейна для поверхностей с квазиконформным гауссовым образом, а в работе В.Г. Ткачева [58] данная теорема была установлена для двумерных р-минимальных поверхностей.
В 1970 г. в работе [61] Калаби предложил рассматривать дифференциальное уравнение ^ U - l'v/1») +--- + дГп(^і -1) = ' (0-2) где |V/|2 = /^ + --. + /^ < 1, описывающее максимальные гиперповерхности в пространстве Минковского. Калаби установил справедливость теоремы Бернштейна для уравнения (0.2) при п < 4. Несколько позже, в работе [62], Ченгом и Яу было показано, что для уравнения (0.2), в отличие от уравнения (0.1), теорема Бернштейна справедлива при всех п > 2. — 5 —
Другой традиционной задачей теории минимальных поверхностей является описание асимптотического поведения поверхности «на бесконечности». Исследования, ведущиеся в этом направлении, базируются на том факте, что сужение координатной функции на минимальную поверхность будет гармонической функцией в метрике этой поверхности. Тем самым имеется риманово многообразие, на котором a priori задан класс гармонических функций. В связи с этим важное значение приобретает знание конформного типа данного многообразия. Из работ, в которых рассматривалось асимптотическое поведение НСК-поверхностей «на бесконечности», можно привести, например, работы Л. Берса [41, 42], Л. Саймона [52], В.М. Миклюкова [27]—-[31].
Отметим, что кроме непараметрических поверхностей в работах [28, 32] исследовались минимальные поверхности трубчатого типа и поверхности с краем — минимальные ленты, а в работах [31], [14]—[16] аналогичные поверхности в пространстве Минковского.
Целью диссертационного исследования является следующее.
Получение аналогов теоремы Бернштейна для двумерных про-странственноподобных НСК-поверхностей в псевдоевклидовом пространстве, заданных в непараметрической форме.
Получение признаков, гарантирующих параболический тип индуцированной метрики двумерных пространственноподобных непараметрических поверхностей и их применение для исследования поведения таких поверхностей «на бесконечности».
Изучение систем дифференциальных уравнений, описывающих двумерные непараметрические НСК-поверхности в псевдоевклидовом пространстве.
Основные результаты диссертации основаны на использовании па-раболичности конформного типа метрик рассматриваемых поверхностей, возможности глобальной конформной параметризации таких поверхностей и применении методов теории функций.
Все представленные в диссертации результаты, кроме приводимых в обзорно-подготовительном 1.1, являются новыми. Работа носит те- — 6 — оретический характер. Главными в ней являются следующие результаты: аналог теоремы Р. Оссермана (о глобальном представлении) для целых двумерных непараметрических пространственноподобных НСК-поверхностей в псевдоевклидовом пространстве; обобщения теоремы С.Н. Бернштейна для систем квазилинейных дифференциальных уравнений, описывающих двумерные непараметрические НСК-поверхности в псевдоевклидовом пространстве; признак параболичности типа метрики обобщенной поверхности, геометрический признак параболичности типа метрики про-странственноподобной непараметрической поверхности; теоремы о геометрических свойствах решений класса систем дифференциальных уравнений типа НСК.
Результаты диссертации могут быть использованы при исследовании НСК-поверхностей в псевдоевклидовом пространстве, а также при изучении свойств решений некоторых нелинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными.
Результаты диссертации докладывались на научных конференциях профессорско-преподавательского состава ВолгГУ (1996-1999 гг.); на летней школе-конференции «Алгебра и анализ», посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева (июнь 1997 г., г. Казань); Международной конференции по геометрии «в целом» (сентябрь 1997 г., г. Черкассы, Украина); молодежной научной школе-конференции по теории функций (сентябрь 1998 г., г. Казань); Международной конференции по анализу и геометрии, посвященной 70-летию Ю.Г. Решетняка (август— сентябрь 1999, г. Новосибирск).
Основные результаты диссертации изложены в работах [20]—[26].
Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на девять параграфов, и изложена на 95 страницах. В работе используется подчиненная нумерация. При этом нумерация параграфов и формул подчинена нумерации глав, нумерация определений, лемм, теорем, при- — 7 — меров и замечаний — нумерации параграфов. Библиография диссертации содержит 64 наименования.
Первая глава диссертации посвящена обобщению теоремы С.Н. Бернштейна на непараметрические пространственноподобные НСК-поверхности в псевдоевклидовом пространстве, заданные над плоскостями с различными индуцированными структурами.
В 1.1 напоминаются некоторые понятия геометрии псевдоевклидова пространства Е"+г, обобщаются известные факты теории поверхностей евклидова пространства. В частности, на псевдоевклидов случай распространяется хорошо известное условие изотермичности локальных координат, заданных на двумерной НСК-поверхности. В случае Е3 это условие служит основой для получения представления Вей-ергптрасса, играющего ключевую роль при исследовании минимальных поверхностей в этом пространстве. В целом 1.1 носит обзорно-подготовительный характер.
Пространство Е"+г рассматривается в настоящей диссертации как прямая сумма вида где v принимает в качестве значений 0, 1 или 2, а любой его элемент X как сумма
Х = У + х, УЄЕ^Г2, xGEJ.
При этом в Е"+г выбираются координаты г/і,..., ?/n+r_2, #i,#2 таіі) что в них выполнено: X = {yh...:lJn+r-2,XUX2),
У = (yi,...,?/n+r-2,0,0), х = (0,...,0,Я1,я2), и в зависимости от v метрика в Е"4"'' = Е"+~2 ф Е2, имеет вид г ?г+г—2 ds2 = — ^2 dyf + Yl dy2 + dx\ + dx2,, при v = 0,
2=1 І—Г+1 r—\ n+r—2 ds2 = - J2 dv\ + E dy2 - dx\ + dx\, при v = 1, i—l i—r — 8 — r-2 n+r-2 ds2 = — Y2 dy} + Yl dy2 — dx\ — dx\, при v = 2.
1=1 z = r—1
Ортонормированный базис, ассоциированный с этими координатами, обозначим через ei,..., en+r.
Непараметрическими поверхностями в псевдо евклидов ом пространстве называются поверхности, являющиеся графиками отображений вида у = f(a) : Q С К -> ЕР1Г2, где f(a:) = (fi(x):..., /n+I—2(^), 0,0) — некоторая вектор-функция класса С'2. В случае i/ = 0 (соответственно v = 1, г/ = 2) мы говорим, что поверхность задана над евклидовой плоскостью (соответственно плоскостью Минковского, антиевклидовой плоскостью).
В проводимых исследованиях рассматриваются поверхности, у которых первая фундаментальная форма положительно определена. Такие поверхности для краткости называются пр остр аисте, еннопод о б-ными [7, С. 96].
Квадрат линейного элемента длины метрики непараметрической поверхности вычисляется по формуле ds2 = (e2n+r_i + ^2)dx\ + 2(р, q)dxidx2 + (e2n+r + q2)dxl, где p2, q2, (p, q) — скалярные квадраты и произведение векторов р = їХі iiq = ,2BE?+'\
В 1.2 найдены дифференциальные соотношения, описывающие двумерные непараметрические НСК-поверхности. В векторной форме эти соотношения можно записать двумя эквивалентными способами: (e2+r + q2)pa4 - (р,q)(pa;2 + qXl) + (е2п+г_г + p2)q^2 = 0, д /&,_+q2p _ (mU + а (_ім)р + «Ці+р\\ = 0 а^ і w х w ч дх2\ w L w где W = y(e2+r+ q2)(e2+r_1+р2) - (p,q)2. Для каждого значения у вид этих соотношений детализируется. При этом возникают три разные пары уравнений НСК-поверхности — над евклидовой — 9 — плоскостью, плоскостью Минковского и антиевклидовой плоскостью, соответственно.
В 1.3 известная теорема Р. Оссермана [33] распространена на псев до евклидов случай следующим образом.
Теорема 1.3.1. Предположим, что целая непараметрически заданная НСК-поверхностъ М в Щ+г — Е"+~2 ф Е2 имеет знакоопреде-ленную метрику. Тогда существует линейное преобразование вида xi - ии
Х2 = ащ + Ьщ, Ь > О, такое, что если для & = 1,2,..., n + ?ч — 2 положить ft{ui,u2) = fk{ui,aui + bu2), то будут справедливы утверждения: u\,ii2 — изотермические координаты на Л4; fl(u\,U2) — гармонические функции; если положить и = щ + іщ, с = а — ib, Е Это утверждение является ключевым результатом первой главы. На его основе найдены аналоги теоремы Бернштейна для решений систем, описывающих непараметрические пространственноподобные НСК-поверхности над двумерными плоскостями различных типов. С геометрической точки зрения данные результаты выражаются следующими двумя утверждениями. Теорема 1.4.5. Предположим, что целая непараметрическая прост-ранственноподобная НСК-поверхностъ М. в Е"+г = E"j^-2 0 Е2 заключена внутри многогранного угла, определяемого неравенствами (а,-,х)>7»> і = 1,..., n-2 + z/, где 7f = const, а а,- Є Е"+г — постоянные векторы, ортогональные подпространству переменных у\,... ,yr-v, проекции которых на плоскость переменных уг~и+\,.. . ,г/п+г_2 линейно независимы. — 10 — Тогда Ai является двумерной плоскостью, лежащей в (г — и + 2)-мерной плоскости вида (а,-,Х>=7,'> Ъ = const, г = 1,..., п — 2 + v. Теорема 1.4.6. Любая целая непараметрическая пространственно-подобная НСК-поверхность М. в Е+2 = Е^фЕ2 является двумерной плоскостью. Пусть Тт.М — касательное пространство к Л4 в точке т. Обозначим через д первую фудаментальную форму поверхности ЛІ, индуцированную из Ej?+r, по формуле где X, Y Є ТтМ С ТШЕ"+Г — произвольная пара векторов. В евклидовом пространстве первая фундаментальная форма поверхности всегда невырождена и положительно определена, а значит является римановой метрикой. В псевдоевклидовом пространстве ситуация иная. Здесь первая фундаментальная форма поверхности может быть вырожденной — иметь ранг меньше чем к. Более того, возможно даже, что равенство будет выполнено для любых X, Y Е ТтЛ4. Вырождение может происходить как в отдельных точках, так и всюду на М. Договоримся, для краткости, называть поверхности со всюду вырожденной первой фундаментальной формой изотропными, а со всюду невырожденной, соответственно, неизотропными. Если поверхность М. неизотропна, то как и в евклидовом случае, мы будем говорить о метрике д поверхности М.. Данная метрика может быть как знакоопределена, так и индефинитна (псевдориманова). Всюду ниже, где идет речь о метрике поверхности М. С Е"+г, б)гдет подразумеваться именно эта метрика. В настоящем исследовании будут рассматриваться поверхности с положительно определенной метрикой. Мы будем называть их пространств еннопоЗобными. Замечание 1.1.1. Если в (п + г)-мерном линейном пространстве V введено псевдоевклидово скалярное произведение ()г сигнатуры (г, гс), то в V также можно определить псевдо евклидов о скалярное произведение (v)n сигнатуры (п,?1), по формуле Равенство (1.3) означает, что между пространствами Е"+г и Е +г существует линейный изоморфизм сохраняющий длины векторов, но меняющий знаки их скалярных квадратов на противоложные. При этом изоморфизме поверхностям с положительно (отрицательно) определенной метрикой одного пространства однозначно ставятся в соответствии поверхности с отрицательно (положительно) определенной метрикой другого пространства. Тем самым любой результат сформулированный для поверхностей с метриками одного знака можно соответствующим образом переформулировать для поверхностей с метриками другого знака. В частном случае, когда поверхность является -мерной плоскостью изометричной евклидову пространству Е (соответственно пространству Минковского Ef, антиевклидову пространству Е), будем говорить, что эта плоскость евклидова (соответственно плоскость Минковского, антиевклидова). Обозначим через NmM. нормальное пространство к М. в точке т, то есть совокупность всех векторов Y Є TmE"+r ортогональных ТтЛ4. Случай псевдоевклидова пространства существенно отличается от евклидова тем, что в нем равенство выполняется лишь в случае, когда то есть когда форма д невырожденна в точке т, при этом Если равенство (1.4) имеет место, то можно однозначно определить операции ортогонального проектирования на ТтМ. и NmM. Взятие проекций на ТтМ и NmM будет обозначаться через (-)т PI (-)N соответственно. На любой неизотропной поверхности М. существует единственная без кручения связность V, согласованная с метрикой д. Эту связность можно получить стандартной процедурой переноса Леви-Чивита [18, С. 19—20] связности D объемлющего пространства, по формуле в которой X Є ТтАІ — фиксированный вектор, a Y = Y(m) — С -гладкое векторное поле касательное к М.. Определение 1.1.1. Второй фундаментальной формой поверхности М. называется билинейное отображение Bm(X,Y) : TmM х ТтМ - Nro7W, определенное по формуле Bm(X,Y) = (2?xY)N, в которой X, Y — произвольные продолжения X,Y в окрестность т в Е+ до С -гладких векторных полей, касательных к М. Определение 1.1.2. Средней кривизной поверхности Л4 в точке т называется вектор Нш Є Nm.M, определенный по формуле где {6}І=І — произвольный ортонормированный базис в ТтЛ4. Далее нас в основном будут интересовать поверхности, у которых средняя кривизна Нт обращается в нуль в каждой точке. В евклидовом пространстве такие поверхности локально минимизируют площадь поверхности, в соответствии с чем их называют минимальными. В псевдоевклидовом пространстве такого свойства уже нет. Здесь поверхности нулевой средней кривизны являются экстремалями функционала площади, но в общем случае они площадь ни максимизируют, ни минимизируют (см., например, [17]). Договоримся для краткости называть поверхности, у которых средняя кривизна равна нулю в каждой точке НСК-поверхностями (то есть поверхностями нулевой средней кривизны). Для дальнейших целей напомним два хорошо известных понятия — градиента и лапласиана функции в метрике, для случая произвольного псевдориманова многообразия (Ti,h). Будем обозначать точки многообразия Ті буквой х. Пусть dim Ті = N, TxTi — касательное пространство к Ті в точке х Є К и V — связность без кручения в Ті, согласованная с метрикой h. Классический результат С.Н. Бернштейна [З, С. 251—258] утверждает, что при п = 2 любое целое решение уравнения (0.1) является линейной функцией. В данной формулировке этот результат справедлив в случае п 7, в то время как при п 8 существуют нелинейные решения (0.1) (см. [39, 43, 49]). Известно также, что в евклидовом пространстве для непараметрических минимальных поверхностей коразмерности больше 1 теорема Бернштейна не выполняется даже в двумерном случае: Данный факт вытекает из работы Оссермана [33], где дана классификация всех двумерных непараметрических минимальных поверхностей в Е4. В случае же псевдоевклидова пространства теорема Бернштейна в ее первоначальной формулировке не выполняется далее для гиперповерхностей, что отражает специфику этих пространств. Однако, как установлено в работах Калаби [61], Ченга и Яу [62], аналог этой теоремы имеет место для максимальных гиперповерхностей в пространстве Минковского Е"+1, заданных над евклидовой гиперплоскостью, а в работе [59] получено обобщение этих результатов для максимальных поверхностей размерности п в Е"+ , взаимно-однозначно проектируемых на n-мерную евклидову плоскость. Тем самым в псевдоевклидовых пространствах проблема Бернштейна не может быть поставлена без каких-либо ограничений для всего класса непараметрических НСК-поверхностей фиксированной размерности. В отмеченных работах такими ограничениями являются пространственноподобность НСК-поверхности и ее взаимно-однозначная проектируемость на евклидову плоскость наибольшей в данном псевдоевклидовом пространстве размерности. При переходе к НСК-поверхностям коразмерности больше 1 или к поверхностям заданным над плоскостями с псевдоеевклидовыми метриками ситуация еще больше усложняется. Результаты настоящего параграфа (теоремы 1.4.1—1.4.4) устанавливают аналоги теоремы Бернштейна для уравнений (1.27)—(1.32). Рассмотрим сначала уравнение (1.27) НСК-поверхности над евкли — 40 — довой плоскостью. Теорема 1.4.1. Пусть п 2 и — целое решение уравнения НСК-поверхности над евклидовой плоскостью (1.27), удовлетворяющее одному из условий: 1 + р2 0, W2 0, или 1 + q2 0, W2 0. (1.43) Тогда, если для некоторых постоянных а,-;-, а;, /3;, 7i (г, j = 1,... , п — 2) выполняются неравенства п-2 a ijfr+j(xux2) + ixl + РІХ2 7», (1-44) и при этом det{a,j} ф 0, то i(xi}x2) является линейной вектор-функцией переменных Х\,х2, причем найдутся такие постоянные j i: что п-2 J2 aijfr+j(xi,х2) + ацхі + РІХ2 = 7г -i=i Доказательство. Рассмотрим в Е"+ = Е"+, 2фЕ2 целую непараметрическую поверхность Л4, заданную вектор-функцией X(xh Х2) = (fl(xhX2), ..., fn+r-2{Xl,X2),XhX2). Поверхность М имеет нулевую среднюю кривизну и, благодаря любому из условий (1.43), положительно определенную метрику. Поэтому, согласно теореме 1.3.1, на поверхности М можно с помощью линейного преобразования вида (1.34) ввести изотермические координаты щ,и2. В этих координатах поверхность М задается вектор-функцией Х Ы,и2) = {fl{ui,u2),...J +r_2(uuu2))UUaui + bu2), где f?(ui,u2) = fi(uuaui + bu2), і = 1,... ,п + r - 2. Очевидно, линейность вектор-функцииf(rci, x2) no x\,x2 равносильна линейности вектор-функции f (ui,u2) = f(ui,au\ -f- bu2) по щ,и2. Рассмотрим линейные комбинации целых гармонических по щ,и2 функций. Из (1.44) следует ограничен-нось этих линейных комбинаций снизу Тогда no теореме Лиувилля для гармонических функций заключаем, что они константы. Пусть, например, Благодаря условию det{aij} ф 0, функции f +j(u\,U2) можно линейно выразить через щ,и2: где sr+j:lr+j,mr+j — некоторые постоянные. В силу положительной определенности метрики М. имеют место неравенства хЙ о, х: о. Используя (1.45), перепишем их в развернутом виде Из неравенств (1.46) делаем вывод об ограничености частных производных /j Ul(wi,U2), flu2{uiiui) ПРИ г = 1, ,? Поскольку частная производная гармонической функции, очевидно, гармоническая функция, то, по упоминавшейся теореме Лиувилля, эти производные также постоянны. Отсюда вытекает утверждение теоремы. Теорема доказана. Заметим, что случай п = 2 для уравнения (1.27) является выро-лсденным, а условие (1.44) теоремы 1.4.1 не имеет смысла, поскольку оно должно содержать п — 2 = 2 — 2 = 0 неравенств. На самом деле в данной ситуации условие такого рода является излишним, и будет справедливо следующее утверлсдение. Теорема 1.4.2. В случае п = 2 любое целое решение (1-42) уравнения НСК-поверхности на евклидовой плоскостью (1.27), для которого выполняется одно из условий (1.43), является линейной вектор-функцией ПеремеННЫХ 2 1, Х2. Доказательство. Как и при доказательстве предыдущей теоремы рассмотрим НСК-поверхность М. в Щ.+2 = Е Б2, заданную вектор-функцией Х{х) = (/і(яі,я2),...,Л(яі,Я2),яі,а;2). Из условий (1.43) следует положительная определенность метрики поверхности Л4. Тогда по теореме 1.3.1 существует линейное преобразование вида (1.34), вводящее на этой поверхности изотермические координаты ui,U2. В этих координатах поверхность М описывается вектор-функцией Пусть непараметрическая пространственноподобная НСК-поверх-ность М. задана, как и в теореме 2.1.3, над областью Q, являющейся внешностью некоторого компакта УС С Е , вектор-функцией Для произвольного постоянного вектора є Є Е"+г введем в рассмотрение функцию /е(х) = (х(х),е). Через С(/е) обозначим множество предельных значений этой функции (то есть множество всех ее частичных пределов) при (жь г) — сю. С помощью теоремы 2.1.3 доказывается следующее утверждение, описывающее структуру этого множества. Теорема 2.2.1. При сделанных относительно поверхности М. предположениях либо С(/е) состоит из одной точки расширенной прямой R, либо совпадает со всей этой прямой, то есть C{fe) = R. Доказательство этого утверждения будет дано ниже для более общей ситуации (теорема 3.3.1). Отметим важные следствия этого утверждения. Следствие 2.2.1.1. Если поверхность М. расположена в полупространстве (х5е) с1 +оо, то существует предел Следствие 2.2.1.2. Если поверхность М. лежит в слое между двумя параллельными гиперплоскостями (х е) = С\, (х?е) = с2 то Щ стремлении х —» со она асимптотически приближается к некоторой гиперплоскости вида (х?е) = с {рис. 2.3), то есть существует предел В заключении настоящей главы установим одну геометрическую версию теоремы Лиувилля для субгармонических функций. Определение 2.2.1. Пусть є Є Е"+г — произвольный неизотропный вектор. Будем говорить, что средняя кривизна Нт поверхности М в точке m неотрицательна (неположительна) в направлении вектора е; если выполняется неравенство (Нт,е)е2 0 (соответственно (Нт,е)е2 0). Справедливо утверждение. Теорема 2.2.2. Пусть АЛ — целая двумерная пространственнопо-добная поверхность в Е"+г = Е"+ 2 ф Е2; заданная в непараметрическом виде. Предположим, что Л4 не пересекает некоторую неизотропную гиперплоскость Ш, а ее средняя кривизна Нт в каждой точке т Є ЛЛ ортогональна Е2 и неотрицательна в направлении нормали к И, внешней по отношению к тому из полупространств, разделенных гиперплоскостью П; которое содержит поверхность Л4. Тогда Л4 лежит в некоторой гиперплоскости Пі параллельной П. Доказательство. Пусть е — вектор нормали к П, внешний по отношению к полупространству содержащему поверхность М.. Тогда гиперплоскость П будет иметь вид (х, е)е2 = с, где с = const, а указанное полупространство будет задаваться неравенством (х,е)е2 с. Пусть х — х(х) — вектор-функция, задающая ЛІ. Так как поверхность М. — целая, а координатные функции x\,x i гармоничны в ее метрике, то по теореме 2.1.2 на этой поверхности можно ввести изотермические координаты и\,щ таким образом, что областью изменения комплексной переменной и = щ + гщ будет вся плоскость Си. Очевидно, что тогда координатные функции a?i(ui,U2), 2( 1, 2) будут гармоническими по переменным U\,U2 Рассмотрим целую функцию /e(u) = (х(ж(м)),е)е2 переменных u\,U2. В силу неравенства (Нт,е)е2 0, данная функция является субгармонической по переменным Ui,U2, и ограниченной сверху. Из теоремы Лиувилля для субгармонических функций (см., например, [37, С. 84—85]) вытекает, что функция fe(u) постоянна. Пусть, например, fe(u) = с = const. Это равносильно тому, что (х( ),е)е2 = с. Теорема доказана. В заключение заметим, что теоремы 2.2.1 и 2.2.2 близки полученным ранее в работах [28, 32] результатам для минимальных трубок евклидова пространства и аналогичному результату работы [14] для максимальных трубок в пространстве Минковского. Очевидно Et = f_1(Ef), Pt (соответственно Qt) есть прообраз части поверхности Л4, находящейся в полупространстве (у,е) t (соответственно (у, е) t), a Dtut2 прообраз части поверхности Л4 находящейся в слое между двумя параллельными гиперплоскостями її(іі) и П( ) В силу предположения 1), множество Et компактно в D. Справедливо утверждение. Лемма 3.4.1. Пусть Л4 — Л+ -трубка с проекцией (а,Ь). Тогда для произвольной пары чисел t\,t2 Є (a ,b), t\ 2, выполняется равенство : cap (Ptl,Q 2; ) = - -, h - ч где J 0 — некоторая константа. Доказательство. Покажем сначала, что интеграл J = J IV/edsf О, где V/e — модуль градиента в метрике dsr, не зависит от t. Возьмем произвольно пару чисел Т\,ТЧ Є (а,Ь), для определенности считая т\ т%. Тогда по формуле Стокса нетрудно получить равенство / Afeda= J h{Vfe,v)dsf=0, (3.16) в котором через /i(v) обозначено скалярное произведение в метрике поверхности dsr, через v — вектор внешней единичной нормали в метрике dsi к dDTliT2, а через da — элемент площади в этой метрике. Но, очевидно, dDnT2 = Еп U ЕТ2. Поскольку Et есть линии уровня функции t — /е(#), то, неограничивая общности, можно считать, что v чим = і / (і на ЕТ2 и v = — у(е) L на Еп. Подставляя в (3.16), полу / V/e fef= / V/e fcf. ETl ET2 В вариационной задаче c (Ptl,Qt D) miJ\Vcp(x)\2da, (3.17) — 85 — положим 1, xePh, ip(x) = \ \ Цх) xG Dt і IV f I2 Тогда при x Є Ait2 будем иметь V 2 = -г-1—Je v2 и, следовательно, {h - h) будет справедливо неравенство ( 2 - l)J Откуда, воспользовавшись формулой Кронрода—Федерера [4], получим оценку Чтобы убедиться в наличии равенства, достаточно заметить, что функция р(х) гармонична в метрике поверхности Т и, следовательно, доставляет минимум в вариационной задаче (3.17). Лемма доказана. Для целых Л-трубок можно аналогичными рассуждениями установить следующую «двустороннюю» версию предыдущего утверждения. Лемма 3.4.2. Пусть М. — Л+ -трубка в целом , и ti, Є R (h Ц) — произвольная пара положительных чисел. Тогда _ .— 2J cap (Dutl,D \D2it,;D) = где J 0 — некоторая константа. Следующие теоремы описывают геометрическое строение Л+-трубок. Их доказательства базируются на методе развитом в работах [28, 32]. Теорема 3.4.1. Пусть М С R — трубчатая в целом поверхность класса Л+. Если существует гиперплоскость П не пересекающая Л4, то Л4 содержится в некоторой гиперплоскости П\, параллельной П. — 86 — Доказательство. Пусть плоскость П задается уравнением (У,Р) = с, где р Є R (р ф- 0) — фиксированный вектор, ас — постоянное число. Предположим для определенности, что поверхность М. расположена в полупространстве определяемом неравенством (у,р) с, и рассмотрим гармоническую в метрике dsi функцию /р(ж) = (f(#),p). Зафиксируем произвольным образом точку х Є D и зададим произвольную постоянную с\ fp(x ). Обозначим через О компоненту связности открытого множества {х : /р(х) с\}, содержащую точку x(Q\ Очевидно О ф 0 , а функция fp(x) — с\ ограничена на О и обращается в 0 на дО. Пусть К С О — произвольное компактное множество. Зафиксируем Ц так, чтобы /С С D0,t0 и будем рассмативать t to. Зададим локально липшицеву функцию ср(ж), допустимую при вычислении емкости конденсатора (/С, D \ D,u D). Тогда функция 9(х) = (fAx) - ci) 2M будет обращаться в 0 всюду на границе множества С? П- - , Воспользовавшись формулой Стокса, нетрудно получить равенство / h(4g,Vfp)da = - J gkfpda. Поскольку Д/р = 0, то из последнего соотношения следует, что / ip2\Vfp\2da = -2 / (/p-cOMV V/p) . (3.18) Замечая, что \h(S7 p, V/p) Vy?V/p, и применяя к правой части (3.18) интегральное неравенство Копій, получим Откуда нетрудно видеть, что Учитывая, что -f(x) = 1 при x Є /С, и, переходя к точной нижней грани по всем р(х) допустимым для вычисления емкости конденсатора (/С, D \ Dtt , -D), будем иметь / IV/pl o- 4с2сар (/C,I \ D-ilt\D). к. Откуда в силу свойства монотонности емкости (2.20) и леммы 3.4.1, получаем /V/p2 Mf. Устремляя t к +оо, делаем вывод, что V/p = 0 на /С. В силу произвола в выборе /С С О, заключаем, что fp(x) = fp(x ) при всех х Є О, а в силу произвола в выборе константы с\ и всюду в D. Это означает, что поверхность М. расположена в гиперплоскости (у,р) = /Р(# )-Теорема доказана. Требование, чтобы трубка Л4 лежала в полупространстве молено несколько ослабить, что вытекает из следующей теоремы. Теорема 3.4.2. Пусть Л4 — трубчатая относительно вектора є Є R поверхность класса А+, имеющая своей проекцией (а,+оо). Пусть р Є "EiN — некоторый фиксированный вектор, и пусть p{t) =max(y,p). Предположим, что p(to) ро оо при некотором to Є (а,+оо). Тогда либо p{t) ро пРи t to, либо lim 0. (3.19) t- +oo t Доказательству теоремы предпошлем следующее вспомогательное утверждение [32]. Лемма 3.4.3. Пусть (H,h) — риманово многообразие. Предположим, что на "Н задана гармоническая в метрике h функция и(х), такая, что при любых t,t\,t 2 Є (а,6) (t\ 2) множества Тч(и) — {х : и(х) = і}, MhM = {х : tx и(х) t2}, компактны в М. Пусть v(x) другая гармоническая в метрике h функция. Тогда функция v(t) = max v(x) выпукла вниз на (а,Ь). Доказательство теоремы 3.4.2. Пусть, как и в предыдущей теореме, /P0r) = (f(s),p), /eW = (f(x),e). Допустим, что p(t) PQ при некотором t tQ. Выберем точку х Є D так, чтобы выполнялись неравенства /Р( (1)) А), Л( (1)) іо Обозначим через О компоненту связности множества {х : fp(x) ро}, содержащую точку х 1\ и зададим произвольно компакт К С О. Положим t — maxfe(x) и возьмем произвольно число t t1.Уравнения непараметрических НСК-поверхностей в Е"+
Теорема Бернштейна для двумерных НСК-поверхностей
Асимптотическое поведение графиков
Теорема Бернштейна для А-поверхностей
Похожие диссертации на О проблеме конформного типа подмногообразий псевдоевклидова пространства
