Введение к работе
Актуальность темы. В 70-е годы прошлого века Ф. Наттерером, Дж. Нитше 1 и Р. Скоттом 2 был предложен аппарат доказательства сходимости метода Галёркина, основанный на построении и изучении свойств операторов проектирования. Ограниченность норм семейств галёркинских проекторов оказалась ключевым моментом в обосновании сходимости и устойчивости метода Галёркина, Галёркина-Петрова, Ритца, метода кол-локации; схемы получения апостериорных оценок погрешностей приближенных решений и т.д.
Однако результаты и методы полученные Дж. Нитше и Ф. Наттерером для сингулярно возмущенных задач не применимы по ряду причин. Во-первых, ввиду сильной неравномерности расчетной сетки. И, во-вторых, невозможности выделить простую главную часть оператора задачи, поскольку старшая производная "давится" малым параметром є. Рассматриваемые для этого класса задач проекторы не являются ортогональными в L/2[a, b] или интерполяционными, что усложняет их изучение.
В связи с этим Блатовым И.А., Стрыгиным В.В. 3 был предложен метод оценки норм галёркинских проекторов, основанный на построении двойственного (биортогонального) базиса в тестовом пространстве. Этот метод позволил доказать равномерную по параметру сходимость в норме пространства непрерывных функций метода Галёркина на сетках Н.С. Бахвалова для сингулярно возмущенных краевых задач. Вместе с тем аналогичные результаты, для получивших в настоящее время широкое распространение сеток Шишкина, до сих пор не были получены.
Кроме того, при решении сингулярно возмущенных краевых задач универсальным приёмом является использование подвижных сеток, адаптирующихся (подстраивающихся) к особенностям решения задачи. Одна-
xNatterer F., Uniform convergence of Galerkin method for splines on highly nonuniform mesh // Math.
Comput. - 1977. - V. 31. - P. 457-468.
2Scott R., Optimal L estimates for the finite element method on irregular mashes // Math. Comput. -
1976. - V. 30, N 136. - P. 681-697.
3Блатов И.А., Стрыгин В.В. Элементы теории сплайнов и метод конечных элементов для задач с
погранслоем. - Воронеж: ВГУ, 1997.
ко, несмотря на то, что подвижные адаптивные сетки активно и успешно используются при решении прикладных задач, например, при моделировании процессов гидро- и газодинамики, 4 методам их построения посвящена обширная литература, 5 вопросы строгого обоснования сходимости адаптационных алгоритмов к некоторому предельному разбиению и получения оценок погрешности приближенного решения на этом предельном разбиении существенно менее изучены. Отсутствует математическое обоснование сходимости последовательностей адаптивных сеток в апостериорно ориентированных алгоритмах адаптации в рамках метода конечных элементов для сингулярно возмущенных краевых задач.
В связи с вышесказанным, в настоящее время актуальными являются задача оценки норм галеркинских проекторов на пространства типа конечных элементов в случае сильно неравномерных сеток Шишкина, а также построение основ математической теории обоснования сходимости алгоритмов адаптации для указанных задач. Решению этих вопросов и посвящена диссертационная работа.
Цель работы - получение оценок норм галеркинских проекторов, распространение метода биортогональных базисов для сингулярно возмущенных краевых задач в случае использования кусочно-равномерных сеток Шишкина; разработка и исследование вычислительных алгоритмов апостериорной адаптации на основе метода конечных элементов Галёркина.
Для достижения поставленной цели в диссертационной работе выполнена следующая программа исследований.
Доказательство равномерной ограниченности норм галеркинских проекторов для некоторых классов сингулярно возмущенных краевых задач на сетках Шишкина.
Доказательство сходимости метода конечных элементов Галёркина для рассматриваемых классов задач.
4Гильманов А.Н. Методы адаптивных сеток в задачах газовой динамики. - М.: Наука. ФИЗМАТ-
ЛИТ, 2000. - 248 с.
5см., например, Liseikin V.D., Grid generation methods, Springer, Berlin, 1999 и библиографию там
Разработка и обоснование апостериорно ориентированных вычислительных алгоритмов адаптации для решения сингулярно возмущенных краевых задач в случае неизвестной границы пограничного слоя.
Получение оценок погрешности приближенных решений предложенного метода.
Методика исследований. При получении основных результатов используются методы теории функционального и математического анализа, теории операторов, теории аппроксимаций, обыкновенных дифференциальных уравнений, вычислительной математики.
Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые результаты
I. Впервые получены равномерные по совокупности значений малого параметра и шага сетки оценки норм галёркинских проекторов на пространства сплайнов для семейства кусочно-равномерных сеток Г.И. Шишкина.
П. Метод оценки норм галёркинских проекторов, основанный на изучении двойственных базисов, распространен на класс сингулярно возмущенных задач на кусочно-равномерных сетках Г.И. Шишкина. Доказаны теоремы сходимости метода Галёркина.
Сформулирован абстрактный алгоритм адаптации для решения операторных уравнений в банаховых пространствах. Доказана теорема обосновывающая эффективную работу данного алгоритма.
Для двух классов сингулярно возмущенных краевых задач сформулированы алгоритмы адаптации расчетной сетки к пограничному слою. Доказаны теоремы о сходимости адаптационного процесса и получены оценки погрешности приближенного решения на предельном разбиении.
Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Полученные в диссертационной работе результаты могут найти применение в теории операторов и в численных методах. Кроме того, данные результаты можно рассматривать как первые шаги в разработке методов математического обоснования сходимости подвижных адаптивных сеток в методе конечных элементов Галёркина для сингулярно возмущенных краевых задач.
Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались на семинарах Самарского государственного университета, научных конференциях Воронежского государственного университета, Поволжского государственного университета, на весенних математических школах "Понтрягинские чтения "(г. Воронеж, ВГУ, 2008, 2010 гг.), на международной научно-технической конференции "Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем "(г. Пенза, 2009 г.).
Публикации работы. Автором диссертационных исследований (лично и в соавторстве) опубликовано 10 печатных трудов. Работы [1], [10] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ. В совместных публикациях соавтору принадлежат постановки задач.
Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы, содержащей 90 источников. Общий объем диссертации - 117 страниц.
