Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В различных разделах функционального анализа, таких, например, как геометрия банпхоиых пространств, теория наилучшего приблвгасстш широкое применение ползали ироскшюины? "rrc-i;.
Mx;;Cwicw u«y«V»»rt y~r с іуііца 30-х годов изучались проекторы (ограниченные идемпотентные операторы) с единичной нормой, являющиеся естественным обобщением ортогональных яросхторов в гильбертовых пространствах. При их изучении естественно ставятся две проблемы:
(ЕР)-вопрос о существовании проектора с единичной нормой;
(UP)-Bonpoc о единственности тахого проектора.
Проблемами (ПР> л (UP) занимались такие математики как А.Тэйлор, Г.Ьоненбласт, Л.Б.Канторович, Р.Джеймс, Л.Нахбин, Г'.П.Акллоп. М.З.Соломяк. ИЛнндсішгграусс, М.И.Кадсн, Ч.Бсс-сага, А.Пелчинскіш, Л.Андо, В.И.Гурарий и другие. Большой вклад я {усшсннс проблемы (UP) внес Б.П.Одннец.
Задача (ЕР) а некоторых случаях леїхо разрешима. Например, если D - А'\ существует проектор ш В = D~ на канонический образ D. В то :кс время в общем случая (сстестпсшто, нерефлехеивного) пространства D вопрос о существовании и, тем более, сдинст-ікліности проектора ш D" на D открыт.
Так, например, известно, что не существует проектора ,Р:,т-*с0 . Это объясняет интерес к проекторам P.D" -» D. Для классического нространетаа Джеймса вопрос о сущестаоїшпш и едішетжнности тахого проектора был поставлен в 60-е годы Ч.Б*:е-сигон и ие был решен классическими методами.
Другой известный результат о существовании проектора P:D"-*D относіггся к нормированным векторным решеткам. В
этом классе пространств такой проектор с единичной нормой существует при условии порядковой полунепрерывности н монотонной полноты нормы.
В векторных решетках можно построить достаточно много проекторов с единичной нормой - такой проектор существует на полосу в условно полной нормированной векторной решетке (нормированном К-пространствс). Представляет интерес поэтому доказательство того, что некоторые подпространства являются волосами. В диссертации »та задача решается для подпространств сингулярных операторов.
Естественным обобщением, с одной стороны, нормированных, с другой стороны, упорядоченных пространств являются ре-шеточне-нормнрованные пространства. На них обобщаются многие результаты, касающиеся упорядоченных пространств.
К проблемам (ЕР) и (UP) тесно примыкают некоторые задачи геометрии функциональных пространств: например, описание сопряженных пространств к пространствам Джеймса, разложение пространства регулярных операторов в прямую сумму непрерывной н сингулярной компоненты, получение аналогичного разложения для операторов в решеточно- нормированных пространствах и другие.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ, Обобщение классического пространства Джеймса. Описание сопряженных четного порядка к обобщенным пространствам Джеймса. Доказательство теорем о существованин н единственности проекторов с единичной нормой из D" на D н D~ на D" для пространств типа Джеймса и их сопряженных четного порядка. Изучение операторов в векторных решетках и рс-шеточпо-нормированных пространствах.
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе применяются методы геометрии банаховых пространств, теории упорядоченных и решеточно-нормнрованных пространств.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Основные результаты работы являются новыми. Укажем некоторые из них:
-введена шкала пространств /, для любого о>1. обебтяттмт
-получено полное описание нормы в пространствах, сопряженных к Jр любого четного порядка;
-доказана единственность проектора с единичной нормой из D" на D для пространств Jf я их сопряженных любого четного, а также первого порядка;
-дано условие единственности проектора для идеальных пространств измеримых фушшнй;
-для операторов, действующих на упорядоченных и решеточно-нормированиых пространствах, доказано существование разложения на порядково непрерывную и сингулярную составляющую;
-доказано существование проехтора из пространства регулярных операторов на подпространство сингулярных операторов.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТІІЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы а дальнейших нсследованнях по теории банаховых, упорядоченных и решеточно-нормнрованных пространств.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на XVI Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (Нижний Новгород, 1991), на городских семинарах по полуупорядоченным пространствам н геометрии банаховых пространств в РГПУ им. А.И.Герценд, а также на Гер-
«
ценовских чтениях в 1994 я 1995 годах.
ПУБШІКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 4 работы, которые отражают ее основное содержание.
ОБЪЕМ И СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Первая глава посвящена решению проблемы существования и единственности проектора с едпшршой нормой в нерефлексивных банаховых пространствах. Во второй главе исследуются упорядоченные и решеточно-нормированные пространства.
