Содержание к диссертации
СОДЕРЖАНИЕ стр.
ВВЕДЕНИЕ 4
Гл. I. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ИЗВЕСТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 19
Гл. 2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ СИММЕТРИЧНЫХ ПРОСТРАНСТВ .
§ 2.1. Одно интерполяционное неравенство 28
§ 2.2. Некоторые обобщения и их следствия 40
Гл. 3. СГЛАЖИВАЩИЙ АППРОКСИМАЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС И ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ТЕОРЕМЫ.
§ 3.1. Сглаживающий аппроксимационный процесс (общий случай) 49
§ 3.2. Интерполяционные теоремы для полунорм, построенных по резольвенте неограниченного замкнутого оператора 60
§ 3.3. Обобщенный сдвиг и интерполяционная теорема 64
§ 3.4. Сглаживающий аппроксимационный процесс, построенный по ограниченной полугруппе 71
Гл. 4. ПРОСТРАНСТВА ГЛАДКИХ ЭЛЕМЕНТОВ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДЯЩЕГО ОПЕРАТОРА ОГРАНИЧЕННОЙ ПОЛУГРУППЫ .
§ 4.1. Некоторые свойства пространств
§ 4.2. Пространства
§4.3. Интерполяционные свойства пространств
Гл. 5. ПРОСТРАНСТВА ГЛАДКИХ ЭЛЕМЕНТОВ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДЯЩИХ ОПЕРАТОРОВ СИСТЕМЫ КОММУТИРУЮЩИХ ГРУПП .
§ 5.1. Пространства
§ 5.2. Пространства
БИБЛИОГРАФИЯ
Введение к работе
Работы С.Л. Соболева, СМ. Никольского, Л.Н. Слободецкого, О.В. Бесова и их сотрудников дали мощный толчок к изучению пространств функций, обладающих той или иной степенью гладкости в смысле интегральных метрик. Эти пространства нашли многочисленные применения в теории дифференциальных уравнений, математической физике, вычислительной математике. Естественным обобщением задач, рассмотренных в указанных работах, явились задачи о построении и исследовании в произвольном банаховом пространстве линейных подмножеств, состоящих из элементов, обладающих той или иной степенью гладкости относительно заданного неограниченного линейного оператора, действующего в этом пространстве. Ж.Л. Лионе и Ж. Петре [28] с помощью развитых ими интерполяционных методов констант и средних построили промежуточные пространства между банаховым пространством Е; и областью определения степени производящего оператора (j ограниченной полугруппы операторов, действующей в 9 «П. Грисвард [24] распространил их метод на более широкий класс операторов - позитивных операторов (см. [18], [і]). С.Г. Крейн ( [14],[25]) несколько обобщил конструкцию указанных авторов, введя понятие сглаживающего аппроксимационного процесса, с помощью которого и вводятся промежуточные пространства гладких элементов.
В результате синтеза идей работ [іб] и 4] во второй главе диссертации получено обобщение интерполяционных неравенств К.К. Головкина. Вместо степенных весов рассмотрены произвольные веса, вместо функционалов типа максимизации (в _4] так называются нормы в пространствах функций на полуоси, инвариантные относительно операторов растяжения и операторов возведения аргумента в степень) - нормы в произвольных симметричных пространствах, обладающие порядковой полунепрерывностью.
В третьей главе полученные интерполяционные неравенства применяются к доказательству новых интерполяционных теорем для пространств гладких элементов, построенных по сглаживающему аппрок-симационному процессу. В качестве примеров рассмотрены пространства, строящиеся по резольвенте позитивного оператора, по ограниченной полугруппе операторов, по оператору обобщенного сдвига, связанного с обыкновенным дифференциальным оператором второго порядка.
Важной проблемой в теории промежуточных интерполяционных пространств является установление эквивалентности норм, построенных различными способами. Теоремы об эквивалентности норм позволяют при исследовании конкретной задачи выбирать ту из эквивалентных норм, которая для этого наиболее удобна. В теории интерполяции наиболее сильным орудием для установления эквивалентности норм являются так называемые теоремы о реитерации (см.[і8), [і], [і5J,J22J).Оригинальный метод, не связанный с интерполяцией,был предложен К.К.Головкиным ([з],[б]) для дифференциально-разностных норм в пространствах скалярных гладких функций.Этот метод основан на некоторых нетривиальных алгебраических тождествах, берущих своё начало от работы А. Маршо 1927 г. (_30J). В четвертой и пятой главах диссертации методы и результаты К.К. Головкина переносятся на пространства гладких элементов банахова пространства, построенных по ограниченной полугруппе операторов и по системе коммутирующих групп операторов.
Следует отметить, что гладкие элементы обычно выделяются следующим образом: по элементу строится некоторая функция на полуоси (0,с7°) , норма которой (называемая К.К. Головкиным параметрической полунормой) должна принадлежать некоторому идеальному банахову пространству г , функций на полуоси. Во всех перечисленных выше работах требовалось чтобы оператор растяжения имел в пространстве р норму, равную единице (в большинстве работ г оС Oj . ). В диссертации удалось избавиться от этого ограничения и рассмотреть тот случай, когда F - произвольное (иногда сепарабельное) симметричное пространство.
Перейдем к формулировкам основных результатов.
Первая глава диссертации носит вводный характер, в ней приведены основные определения и теоремы других авторов, используемые в работе. Сформулируем основной результат второй главы.
Определение I. Параметрические полунормы {v.r) и 2,1 / называются ( F5)(j - эквивалентными относительно симметричного пространства F и неотрицательной функции Q(4T) , если существуют такие постоянные Сд , С 0 , что для любого ЯЛ = _Л. , имеем
При ссылках внутри одной главы указываются два соответствующих числа, при ссылках в одной главе на другую к соответствующим двум числам добавляется третье означающее номер главы. Например (4.2.10) означает формулу (2.10) четвертой главы. Завершение доказательства теорем в диссертации отмечается символом I I .
Автор выражает глубокую благодарность профессору С.Г. Крейну за постановку задач и руководство работой.
