Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Приближения Зейделя по системам элементов гильбертова пространства Стр.15
1. Приближения Зейделя Стр.15
2. Аналог неравенства Весселя и слабая сходимость приближений Зейделя Стр.19
3. О сильной сходимости приближений Зейделя Стр.29
4 Аналог теоремы Фишера-Рисса Стр.39
5. Приближения Зейделя по конечным системам элементов Стр.44
6. Распространение результатов приближения по конечным системам на случай счетных систем элементов Стр.54
Глава II. Бесконечные матричные уравнения Стр.59
1. Два представления б.м.у. в гильбертовом пространстве Стр.59
2. Критерий существования приближенных решений б.м.у Стр.66
3. Теорема Маркова и критерий совместности б.м.у Стр.70
4. Необходимое условие единственности решения б.м.у. и другие признаки его существования Стр.76
5. О некоторых частных решениях б.м.у Стр.80
Литература Стр.86
- Аналог неравенства Весселя и слабая сходимость приближений Зейделя
- Распространение результатов приближения по конечным системам на случай счетных систем элементов
- Критерий существования приближенных решений б.м.у
- Необходимое условие единственности решения б.м.у. и другие признаки его существования
Введение к работе
Настоящая работа посвящена вопросу аппроксимации в гильбертовом пространстве и общей теории бесконечных матричных уравнений. Рассматривается случай, когда приближения к каждому элементу гильбертова постранства строятся как конечные линейные комбинации элементов некоторой наперёд заданной счётной системы
Ч>і>Ч>г,- - , «А, (I)
из этого же пространства. Бе а конечно е- мат -ричное уравнение, /б;м.у;/ - это одно из общепринятых названий счётной совокупности линейных уравнений
TZ.a.il(U=6i,LeH, (г)
где OLcki $L " данные, а о к - неизвестные действительные числа.
Целью настоящей работы является обоснование и изучение свойств предлогаемого в ней способа построения приближений в гильбертовом пространстве и приложение полученных результатов к общей теории б.м.у.
Изучению вопросов построения приближений конечными линейными комбинациями некоторой счётной системы элементов гильбертова пространства посвящена обширная литература. Если система ортогональна, то для построения приближений используется широко известный метод Фурье /см., например, [2], стр. 88-93, ЦЗЗ , стр. I6I-I68, С 4 ] , стр. 273-275, [5] , стр. 39-40/. С помощью определителей Грамма можно сделать то же самое, если система элементов неортогональна, но линейно независима /см. Сб1 , стр. 49I-5II, С7] , стр. 42-46 [8 J ,
стр. 18-29/. Такие способы построения приближений широко использовались и используются для решения различных видов уравнений / см. СИ , стр. 11-28, L7] , стр; 174-179, 333 -338, LI0] , стр. I0I-I27, [15] , стр. 214-217, [16] , стр; 369-396, и т.д./; Представляют большой интерес и такие способы, которые позволяют строить приближения по любым, например, линейно зависимым системам элементов.В книге С9] ,стр. 31-165, показано,как а помощью одного из таких способов значительно расширяются возможности приближённого решения граничных задач. При этом нет необходимости отыскивать элементы нарушающие линейную независимость системы, что , зачастую, является довольно трудоёмкой задачей. Многие из способов построения приближений оказываются полезными при изучении свойств систем элементов гильбертова пространства. К сожалению, не всякая последовательность приближений, построеная последним из выше упомянутых способов, будет сходиться даже покоординатно.
О 6.M.yv же в книге А.В.Канторовича, В.И.Крылова / И, стр. 29/ говорится:. "Теория бесконечных систем уравнений с бесчисленным множеством неизвестных начала разрабатываться в конце прошлого века; в настоящее время имеется обширная литература, посвященная ей. До сих пор, однако, эта теория не получила вполне законченного вида'.' Действительно, записанные в равносильном виде
б.м.у. изучались Кохом в случае, когда сходится ряд
С uLK\,
-5--Гильбертом - с вполне непрерывной билинейной формой на 4^
и сходящимся рядом
YLBzL)
Шмидтом - со сходящимися рядами
Рассматривались уравнения типа Рисса, у которых сходится ряд
Большой вклад в изучение б.м.у. внесли советские математики. Рассматривались уравнения, у которых сходятся ряды
І см. СНІ > стр. 534-536/, регулярные уравнения ,у которых для всех L Є IN]
и вполне регулярные , у которых для всех
іє/NI
где б <1 /см, \3-~\ , стр. 37-54/. Не прекращались исследования и в более позднее время. Назовём, например, работы Грибанова Ю.И. / см. [І2І , стр. 31-40, [із] , [2б] ,стр. 339-349/ , Рогожина B.C. / см. [25 J , стр. 73-82/ и других. Все выше, перечисленные б.м.у. так или иначе связаны с какой-либо задачей математики или математической физики, а потому, яв -
- б -
лшотся частными видами б.м.у., в силу условий, наложенных либо на их коэффициенты, либо на свободные члены, либо на искомые решения. Наиболее общий из этих видов рассмотрен в книге Кука / [14] , стр. 52-54/, при условии существования ассоциирующей матрицы обратной к матрице коэффициентов уравнения. Отсутствие общей теории б.м.у. , конечно же, сужает круг их применения.
Поэтому тема настоящей диссертации, посвященной способу построения приближений по произвольным системам элементов в гильбертовом пространстве и общей теории б.м.у., является актуальной.
Для решения поставленных в работе вопросов используются методы гильбертова пространства и, частично, итеррационные методы и методы функциональных пространств.
Все полученные в работе результаты являются новыми. Это обусловлено, в основном, тем, что новым является предложен -ный здесь способ построения приближений в гильбертовом пространстве. Для произвольных счётных систем элементов такого пространства доказаны новые аналоги неравенства Бесселя и теоремы Фишера-Рисса, критерии полноты и минимальности. Для конечных систем элементов так же доказаны аналоги неравенства Бесселя, теоремы Фишера-Рисса и критерий линейной независимости.
Для произвольного б.м.у. указаны критерий существования последовательности приближённых решений и критерий существования точного решения. Для б.м.у.,имеющего приближённые решения, указан способ их оценки, если они найдены указанным в работе способом, пригодным для любого б.м.у. При этом, как обычно, точным решением б.м.у. (2 ^ называют всякую такую конкретную последовательность действительных
чисел fc-(/(), для которой все ряды в левой части равенств ( 2) сходятся и выполняются сами эти равенства, а последова-тельность последовательностей действительных чисел L —LL{)k названа в работе последовательно с; тью приближенных решений б.м;у. (2) , если длявсех L
fX? і (П.)
&^ Цос-кі-к =ві .
_ (з)
IX, -й член этой последовательности назван /7.-м при -ближённым р е ш а н. и е м б.м.у; (2 )
Предложенный в работе способ построения приближений в гильбертовом пространстве осуществим и тогда,когда система элементов линейно зависима. Получающаяся при этом последовательность всегда слабо сходится. Коэффициенты последующих элементов этой последовательности достаточно просто полу -чаются из коэффициентов предыдущих. Это даёт возможность,при использовании этого способа для решения конкретных практических задач,использовать вычислительные машины. При этом процесс будет самоисправляющимся. Теоретически любая счётная система элементов гильбертова пространства может быть исследована на полноту и минимальность.
Из результатов работы следует, что при решении любой конечной системы линейных уравнений метод Зейделя можно осуществить так, что последовательность приближённых решений будет минимизировать эвклидову норму невязки. Указана точная оценка этой невязки. Последовательности компонент приближённых решений будут суммами членов некоторых возвратных последовательностей с одними и теми же коэффициентами для всех компонент.Это, в некоторых случаях, поможет получать точное решение конечной системы линейных уравнений за конечное чис-
ло шагов без трудоёмких вычислений.
Теоретически любое б.м.у. может быть исследовано на совместность, а это расширит круг и практически рассматриваемых таких уравнений. Показано как любое б.м.у. можно свести к равнозначному, у которого либо все столбцы, либо все строки принадлежат гильбертову пространству. В предположении , что в первом случае можно найти скалярные произведения любых столбцов, а во втором - всех строк, указаны возможности нахождения приближённых решений за конечное число шагов и оценки степени приближения. Указаны, случаи, когда гарантирована покоординатная сходимость последовательности приближённых решений к точному;
Работа состоит из введения и двух глав. Глава I состоит из 6-ти, а глава II - из 5-ти параграфов.
В 1, главы I, даётся описание, способа построения приближений в гильбертовом пространстве /-/ Пусть в этом пространстве задана система элементов (I ). Не нарушая общности, будем считать её нормированной. Тогда,для любого фиксированного -fG-H для каждого натурального П приближения строятся при помощи равенства
К—-і іде
л 4-і к-і
Хгьк = /»* -jZ*n-l,jfy-gXn,j4>jK,/C*ri. (5)
а - о
Здесь
Так как равенство С 5 ) имеет много общего с основным равенством метода Зейделя- приближённого решения конечных сие-
тем линейных уравнений, то линейные комбинации (4 ) названы в работе приближениями типа Зейделя или, просто, приближениями Зейделя для элемента X по системе элементов ( I ) .
Наряду с числами х п. к используются числа
(7)
При этом,
п,
Э^ПК —2-л C-LK -
Подпространство, порождённое в Ц первыми П элементами системы Сі) , обозначим Ил, , а подпространство порождён ное всей системой, - Но* Ортогональные проекции элемента с на эти подпространства обозначим, соответственно, P/if и Р0 С . Проекцию Рл X часто называют элементом наилучшего приближения элемента _ элементами подпростран-ства И а.» а Pol - элементом наилучшего приближения элемента X эле-:.", ментами подпространства Hq Традиционные способы построения приближений указываются для линейно независимых систем элементов ( I) и, для каждого натурального ҐЬ , линейная комбинация, которая является приближением, совпадает с Рп -f .
їеоремаї.І Пусть система элементов (I) линейно независима. Для того чтобы для каждого J1 є. // и для всех ГЬЄ./М выполнялось равенство fl/г/ - Рп4- » необходимо и достаточно, чтобы система элементов (і) была ортогональной.
Отсюда следунт, что предложенный способ построения приближений не является ни частным случаем ни обобщением какого -либо из традиционных и может совпадать с каким- либо из них только тогда, когда система элементов ортогональна. Если же
в равенстве ( 5 ) положить у? -^ = 0 для j > К , то предлагав -мый в работе способ построения приближений будет совпадать со способом, рассмотренным в книге Алексидзе М.А. С9І . Наоборот, если способ книги С9І применить к системе элементов
Уі, ^Pij ^2? У>±) ч?г>^3}" -'Vkjt/kj-—*^rvj ,
то получится предлагаемый способ.
2 является основным в главе I. Здесь доказаны аналог неравенства Бесселя и основная
Теорема 2.2. Для любого -f г/ последователь -ность приближений GLtiJ- слабо сходится к Го Х-
Это даёт возможность показать, что для любого натурального fb оператор (гп» п ~? П п является линейным ограниченным оператором, доказать критерий полноты системы элементов ( I ) и получить много других следствий.
В 3 рассматриваются условия сильной сходимости после -довательности ( Cx^-f ) Доказаны несколько критериев такой сходимости, в часности, на языке псевдосходимости / CI7 3 , стр. 38/. На основе критериев полученны несколько достаточных условий, из которых следует: если сильная сходимость последовательности (G^rtf) и не всегда имеет место, то она гарантирована для достаточно широкого класса систем элементов ( I) .
Основным результатом 4 является аналог теоремы Фишера-Рисса.
Теорема 4.1. Если для последовательности ком -плексных чисел А/с , числа Jt/ік определены равенством (5) и величина
К-1
- II -
ограничена при Al-»oo t то существует и притом единственный элемент Є Но t Для которого /1^ ~(-,<Рк) для всех/С^/ш.
Как следствие этой теоремы, получен критерий минимальности системы элементов ( I ) .
В 5 указан способ построения приближений (х^для элемента С є Н по конечной системе нормированных элементов
Доказаны неравенство аналогичное неравенству Бесселя, теорема аналогичная теореме Фишера-Рисса и критерий линейной независимости системы элементов ( 9 )
Показано, что последовательность приближений {Q-tt f) п. сильно сходится к ортогональной проекции im-f Это позволило результаты 5 перенести на случай счётных систем элемен -тов (I ) , что и сделано в 6. Тем самым, получены новые аналоги неравенства Бесселя и теоремы Фишера-Рисса, критерии полноты и минимальности для систем элементов.
Аналог неравенства Весселя и слабая сходимость приближений Зейделя
Представляют большой интерес и такие способы, которые позволяют строить приближения по любым, например, линейно зависимым системам элементов.В книге С9] ,стр. 31-165, показано,как а помощью одного из таких способов значительно расширяются возможности приближённого решения граничных задач. При этом нет необходимости отыскивать элементы нарушающие линейную независимость системы, что , зачастую, является довольно трудоёмкой задачей. Многие из способов построения приближений оказываются полезными при изучении свойств систем элементов гильбертова пространства. К сожалению, не всякая последовательность приближений, построеная последним из выше упомянутых способов, будет сходиться даже покоординатно.
О 6.M.yv же в книге А.В.Канторовича, В.И.Крылова / И, стр. 29/ говорится:. "Теория бесконечных систем уравнений с бесчисленным множеством неизвестных начала разрабатываться в конце прошлого века; в настоящее время имеется обширная литература, посвященная ей. До сих пор, однако, эта теория не получила вполне законченного вида . Действительно, записанные в равносильном виде где б 1 /см, \3- \ , стр. 37-54/. Не прекращались исследования и в более позднее время. Назовём, например, работы Грибанова Ю.И. / см. [І2І , стр. 31-40, [із] , [2б] ,стр. 339-349/ , Рогожина B.C. / см. [25 J , стр. 73-82/ и других. Все выше, перечисленные б.м.у. так или иначе связаны с какой-либо задачей математики или математической физики, а потому, яв лшотся частными видами б.м.у., в силу условий, наложенных либо на их коэффициенты, либо на свободные члены, либо на искомые решения. Наиболее общий из этих видов рассмотрен в книге Кука / [14] , стр. 52-54/, при условии существования ассоциирующей матрицы обратной к матрице коэффициентов уравнения. Отсутствие общей теории б.м.у. , конечно же, сужает круг их применения.
Поэтому тема настоящей диссертации, посвященной способу построения приближений по произвольным системам элементов в гильбертовом пространстве и общей теории б.м.у., является актуальной.
Для решения поставленных в работе вопросов используются методы гильбертова пространства и, частично, итеррационные методы и методы функциональных пространств.
Все полученные в работе результаты являются новыми. Это обусловлено, в основном, тем, что новым является предложен -ный здесь способ построения приближений в гильбертовом пространстве. Для произвольных счётных систем элементов такого пространства доказаны новые аналоги неравенства Бесселя и теоремы Фишера-Рисса, критерии полноты и минимальности. Для конечных систем элементов так же доказаны аналоги неравенства Бесселя, теоремы Фишера-Рисса и критерий линейной независимости.
Для произвольного б.м.у. указаны критерий существования последовательности приближённых решений и критерий существования точного решения. Для б.м.у.,имеющего приближённые решения, указан способ их оценки, если они найдены указанным в работе способом, пригодным для любого б.м.у. При этом, как обычно, точным решением б.м.у. (2 называют всякую такую конкретную последовательность действительных чисел fc-(/(), для которой все ряды в левой части равенств ( 2) сходятся и выполняются сами эти равенства, а последова-тельность последовательностей действительных чисел L —LL{)K названа в работе последовательно с; тью приближенных решений б.м;у. (2) , если длявсех L IX, -й член этой последовательности назван /7.-м при -ближённым р е ш а н. и е м б.м.у; (2 ).
Предложенный в работе способ построения приближений в гильбертовом пространстве осуществим и тогда,когда система элементов линейно зависима. Получающаяся при этом последовательность всегда слабо сходится. Коэффициенты последующих элементов этой последовательности достаточно просто полу -чаются из коэффициентов предыдущих. Это даёт возможность,при использовании этого способа для решения конкретных практических задач,использовать вычислительные машины. При этом процесс будет самоисправляющимся. Теоретически любая счётная система элементов гильбертова пространства может быть исследована на полноту и минимальность.
Из результатов работы следует, что при решении любой конечной системы линейных уравнений метод Зейделя можно осуществить так, что последовательность приближённых решений будет минимизировать эвклидову норму невязки. Указана точная оценка этой невязки. Последовательности компонент приближённых решений будут суммами членов некоторых возвратных последовательностей с одними и теми же коэффициентами для всех компонент.Это, в некоторых случаях, поможет получать точное решение конечной системы линейных уравнений за конечное число шагов без трудоёмких вычислений.
Теоретически любое б.м.у. может быть исследовано на совместность, а это расширит круг и практически рассматриваемых таких уравнений. Показано как любое б.м.у. можно свести к равнозначному, у которого либо все столбцы, либо все строки принадлежат гильбертову пространству. В предположении , что в первом случае можно найти скалярные произведения любых столбцов, а во втором - всех строк, указаны возможности нахождения приближённых решений за конечное число шагов и оценки степени приближения. Указаны, случаи, когда гарантирована покоординатная сходимость последовательности приближённых решений к точному;
Распространение результатов приближения по конечным системам на случай счетных систем элементов
В 1 даны общие определения, касающиеся б.м.у. и указана возможность двух типов их представлений, тесно связанных с действительным гильбертовым пространством с-2 А именно, либо в виде означает ряд, который является суммой произведений соответствующих компонент двух числовых последовательностей, первая из которых может и не принадлежать пространству С , а вторая обязательно принадлежит. При этом, если для последователь -ности числовых последовательностей С =(" покоординатно по состоящему из элементов &i (&L\)j базису пространства с2, выполнено равенство то этой последовательности числовых последовательностей "С взаимно однозначно соответствует последовательность приближённых решений б.м.у. Числовой же последовательности,для которой покоординатно выполнено само равенство ( 10 ) , взаимнооднозначно соответствует точное решение б.м.у. Аналогично, для равенства ( II) . Если для некоторой числовой последовательности выполнено это равенство для всех L Є /МІ ,то ей взаимнооднозначно соответствует точное решение б.м.у. , а такой последовательности числовых последовательностей, что для всех с взаимнооднозначно соответствует последовательность прибли -жённых решений. Это даёт возможность к изучению общей теории б.м.у. привлечь результаты главы I, перенесённые на случай действительного гильбертова пространства С% .
Для каждого б.м.у. представлений вида( 10) бесконечно много. При одних представлениях элемент _. может принадле -жать подпространству HQ , при других нет. Как показано в 2, существование такого представления, что 1. є tjо необходимо и достаточно, для того чтобы у б.м.у. существовала последовательность прибли жённых решений. Отсюда, например, следует, что всякое б.м.у. с верхней треугольной матрицей, диагональные элементы которой отличны от нуля, всегда имеет последовательность приближённых решений. Очевидно, существование такого представления в виде (10) , что _ Є Но является необходимым для существования у б.м.у. точного решения.
В 3, на языке последовательностей приближённых решений, сформулирован и доказан критерий существования точного решения б.м.у. При этом, использована известная теорема Маркова, которая представляет собой критерий совпадения суммы двойного ряда по столбцам с его суммой по строкам.
В 2,3 показано как,с помощью результатов главы I,можно найти приближённые решения любого б.м.у., если оно их имеет, как оценить степень приближения, указано когда и как с помощью этих приближённых решений можно найти точные.
В 4 доказано необходимое условие единственности точного решения б.м.у. Это условие состоит в том, чтобы при любом представлении б.м.у. в виде (II) система элементов L pc) была полной в С . Так же указаны возможности нахождения приближённых и точных решений б.м.у. за счёт его представления в виде (II) и результатов главы І. В конце, на основе результатов 1-4, даются ответы на некоторые вопросы общей теории б.м.у.
В 5, для любого б.м;у., рассмотрен вопрос о некоторых частных типах его точных решений. Показано, что любое б.м.у. спомощью его представлений в виде ( II) и результатов главы I может быть полностью исследовано и решено относительно таких решений. Класс этих решений достаточно широк.
В работе формулы нумеруются двумя числами: первое - номер параграфа, второе - номер формулы внутри этого параграфа. Внутри каждого параграфа теоремам приписывается одно число - их порядковый номер. При ссылках же - два: номер параграфа и номер теоремы в этом параграфе. То же самое относится и к леммам. Если в главе II делается ссылка на какой-либо результат главы I , то перед соответствующим номером ставится цифра "I". Каждому следствию приписываемся его очередной номер за теоремой, из которой оно получено. При ссылке указывается и само следствие и теорема.
Определения не выделяются, выделяются определяемые понятия. Они печатаются в разбивку. Не выделяются и замечания.
Начала доказательств теорем и следствий и лемм отмечается знаком "??", а конец - ".!!". Если доказательство начинается со слова "Необходимость", то знак "??" отсутствует. При представлении б.м.у. в видах (10) и (її") элементы VV и J. разные, хотя и обозначены одинаково. Это необходимо для удобства применения результатов главы І в главе II. Везде /А/ - множество натуральных чисел, j - пространство ВСЄХ Последовательностей действительных чисел, С пространство всех последовательностей действительных чисел суммируемых с квадратом, S - символ Кронекера.
Критерий существования приближенных решений б.м.у
В предыдущем параграфе мы, частично, коснулись вопроса сильной сходимости последовательности приближений Зейделя Ссц-f к проекции IQ j- . Например, в следствии 3, теоре -мы 2.2, говорится о том, что такая сходимость будет иметь место для любого L Є f-j , если Но конечномерно. А из следствия 4, теоремы 2.1, легко получить, что выполнимость равенства является необходимой и достаточной для такой сходимости. Здесь рассмотрим вопрос сильной сходимости более под робно. Из следствия б, теоремы 2.1, вытекает, что последовательностью приближений Зейделя для разности J--Q будет последовательность (dn-f" &ntf) Тогда, по (2.i) , С помощью этой теоремы доказывается Теорем а2. Для того чтобы при любом -f. = И последовательность приближений Зейделя fl/i T сильно сходилась к проекции о 5 » необходимо и достаточно, чтобы в //о существовало подмножество, линейная оболочка которого расположена всюду плотно в г/о , и для каждого элемента этого множества их последовательности приближений Зейделя сильно сходились. Необходимость. Достаточно заметить, что в качестве всюду плотного в И о множества, о котором говорится в формулировке теоремы, можно взять само /70 . Достаточность. Пусть в Ц0 существует подмножество /V t линейная оболочка которого расположена всюду плотно в Но и последовательности приближений Зейделя к его элементам сильно сходятся к этим элементам. Пусть - любой элемент из п и г о -f его проекция на Но» Тогда, для любого 0 найдётся такая линейная комбинация где Ц; к ,К 1 2; . . .; т , принадлежат , что Для достаточно больших \Ъ будет, выполнено неравенство Тогда, используя предыдущую теорему, получаем Откуда и следует, что последовательность (Giri) сильно сходится к Р0 с .!! Следствие!!. Для того чтобы при любом с последовательность приближений Зейделя (Э-/г -f сильно сходилась к проекции Р0 X. , необходимо и достаточно, чтобы последова -тельность приближений Зейделя к элементу i/V сильно сходилась К Ц? для всех К Z , Достаточно заметить, что линейная оболочка системы элементов (i.I) всюду плотно расположена в rf0 и любое приближение Зейделя к элементу T i совпадает с Ц ± !! Теперь укажем некоторые необходимые и достаточные условия сильной сходимости приближений Зейделя при фиксированном Для того чтобы для данного элемента JL ё: {-/ последовательность его приближений Зейделя GL -f сильно сходилась к проекции f0 f- » необходимо и достаточно, чтобы величина сходилась к нулю при /г-? со , Необходимость. В силу (І.І2) , имеем Если (Q-п. С.) сильно сходится к Р0 j_ , ТО HQ-nfll и (Q-nlyf) сходятся к (I P0f \\ при/г- . Значит, в силу (3.4) , величина О /г стремится к нулю при/2,-? СХР . Достаточность. Пусть величина О гь стремится к нулю при /-г -v со . Тогда, из ( 3.4) , получаем, что сходится к . Этого достаточно для сильной сходимости, так как (GinS.) сходится к Pof- слабо.!! Следствие]!. Для того чтобы для данного Н последовательность его приближений Зейделя Q-nj- сильно сходилась к проекции Ро j- » необходимо и достаточно, чтобы величина сходилась к нулю при ҐЬ-9 оо . Преобразуем величину О/г Дважды применяя (Д.І2) и меняя порядок суммирования, получаем
Необходимое условие единственности решения б.м.у. и другие признаки его существования
Про последовательность - — (С ) будем говорить, что она является точным покоординатным решением уравнения (1.5} , а последовательность числовых последовательностей ZT (С( )к будем называть последовательностью приближённых покоординатных решений. При этом, для того чтобы С - ("Сц ) было точным или приближённым покоординатным решением (1.5) , необходимо и достаточно, чтобы где QL\ -(А І Х-І(Г) , было, соответственно, точным или приближённым решением б.м.у. (1.1} . В связи с этим, равенство (1.5) будем называть представлением первого типа б.м.у. (i.l) в пространстве z . Теорема I говорит о том , что такие представления существуют и их бесконечно много. С другой стороны, можно множителиулк подобрать так, чтобы все вновь полученные строки коэффициентов принадлежали пространству &% , а, затем, Я с выбрать обратными норме с. -й строки. Тогда получится б.м.у. (і.З) , у которого все строки коэффициентов приндлежат пространству и их нормы равны единице. Договоримся ряд, который представляет собой сумму произведений соответствующих компонент двух числовых последовательностей, первая из которых может не принадлежать, а вторя точно принадлежит пространству Е,% » обозначать ( , ) . Тогда, если положить ґ —(Ск) , Р ( ІК)К ,A L & 1 , уравнение (і.З) можно завимать в виде где всеі принадлежат пространству &2 иН Н-1 Эти равенства нас будут интересовать с точки зрения существования либо такой последовательности действительных чисел J.0 ( Cf ) , которую будем называть точны м р е-ш е н и е м уравнения (1.8) , что все ряды ±0 кр ) сходятся и выполняются все равенства (1.8) , либо такой последовательности числовых последовательностей -//г."( С- )к » что при любых С ,П Є/ ряды (-frij i) сходятся и имеют место равенства Последовательность (- .) назовем последовательностью приближенных решений уравнения ( 1.8). Тоже очевидно, что для того чтобы числовая последовательность 4- -(t td) была точным или приближенньш решением уравнения ( 1.8) , необходимо и достаточно, чтобы последовательность " -(уик"-/«) была, соответственно, точным или приближенньш решением б.м.у. (I.I) . Поэтому, совокупность равенст (1.8) назовем представлением в рого типа б.м.у. ( 1.1 ) в пространстве с . Вполне естественно к (1.5) и (1.8) применить результаты главы 1, что автоматически трансформируется на б.м.у. (I.I) и позволяет не накладывать на него никаких ограничений. При этом нужно иметь в виду, что элементы J. и \ рк в (1.5) и (1.8) различны. В предыдущем параграфе все обозначения вводились в соответствии с обозначениями главы I. Роль гильбертова пространства п играет пространство с , a /-JQ - подпространство порожденное в 2 системой элементов («-Аг) и т.д. Возможность рассмотрения б.м.у. в общем виде подчеркивает Т е о р е м а I. / К р и т е р и я существования приближенных решений/. Для того чтобы б.м.у. ( I.l) имело последовательность приближенных решений, необходимо и достаточно, чтобы для него существовало такое представление первого типа, что rl0 Необходимость. Пусть последовательность числовых последовательностей Ь п - (х/к ) есть последовательность приближенных решений б.м.у. (I.l). Положим ХІ 1 , Пі - 2 , ті 1 . Теперь ГІ и /7 выберем так, чтобы выполнялось неравенство и хотя бы одно CL K , K-l;2,j . . . /TZ , было отлично от нуля. Л А 0 - тз.к, чтобы выполнялось неравенство.
