Содержание к диссертации
Введение
1. Постановка задачи. Основные ограничения 13
2. Асимптотическое решение N - го порядка в проекции ОС - окрестности на ось OJC 17
3. Асимптотическое решение /1/ -го порядка в проекции Л - окрестности на ось ОЗС 26
4. О методе стационарной фазы 38
5. "Склейка" решений 44
6. Глобализация решения нулевого порядка 57
7. Преобразование УЧ ПРИ переходе к другим ненулевым сечениям 63
8. Случай замкнутой кривой. "Условие квантования" 69
9. Глобализация решения первого порядка и его построение в случае замкнутой кривой 75
10. Пример 88
Библиография 95
- Асимптотическое решение N - го порядка в проекции ОС - окрестности на ось OJC
- О методе стационарной фазы
- Преобразование УЧ ПРИ переходе к другим ненулевым сечениям
- Глобализация решения первого порядка и его построение в случае замкнутой кривой
Асимптотическое решение N - го порядка в проекции ОС - окрестности на ось OJC
Различные задачи математической и теоретической физики приводят к .дифференциальным уравнениям, которые содержат малый параметр при старшей производной. Для построения приближенных решений таких уравнений эффективно применяются асимптотические методы. Широкий класс задач исследуется методами, связанными с теорией пограничного слоя (см.[з],[4], [б]). С.А. Ломовым и его сотрудниками интенсивно разрабатывается метод регуляризации (см. 21]
Однако указанные методы не работают в случаях, когда исследуются быстро колеблющиеся решения.
Для обыкновенных дифференциальных уравнений в классических работах Грина и Лиувилля был развит асимптотический метод построения быстро колеблющихся приближенных решений, который впоследствии был применен Вентцелем, Крамерсом и Бриллюэном к задачам квантовой механики и получил название метода ВКБ (см., например, ,[40]). Этот метод в основном применяется в тех случаях, когда решение ищется в области, которая не содержит.точек поворота. [26]
Существенным достижением последних двух десятилетий было создание метода канонического оператора В.П. Маслова ([22], [24]-). Этот метод позволил построить асимптотику в целом для ряда важнейших задач математической физики. В разработку теории метода канонического оператора включился ряд ведущих математиков в СССР и за рубежом (см.[7] , [20], 28], [29] , fl2J -[l9] ).
Отметим ещё большой цикл работ по асимптотическим методам в теории дифракции волн, выполненных В.М. Бабичем, B.C. Булдыревым и их сотрудниками (см.[і] ,[27]).
Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве объединяют в себе различные черты как обыкновенных дифференциальных уравнений так и уравнений с частными производными. В связи с этим развитие асимптотических методов построения приближенных решений таких уравнений является актуальной задачей. Первая попытка применения метода В.П. Маслова к дифференциальным уравнениям в банаховом пространстве была сделана С.Г. Крейном в простейшей ситуации, когда ядро и коядро соответствующего операторного коэффициента одномерны (см. [9], [iOj). Настоящая работа посвящена исследованию более общей ситуации в случае произвольных конечных размерностей ядра и коядра и неотрицательности индекса.
Перейдем к формулировкам основных результатов. В I говорится о постановке задачи и накладываются основные ограничения. А именно в вещественном банаховом пространстве Е задан полиномиальный операторный пучокгде Л к. - линейные, ограниченные операторы, действующие в t . Рассматривается дифференциальное уравнение где / - искомая функция со значениями в комплексификации пространства JE f /t - малый вещественный параметр. Гладкая функция называется формальным асимпто тическим решением порядка Ъ уравнения (2), если Нашей задачей является построение формального асимптотического решения /V - го порядка для уравнения (2). Наложим ряд ограничений на заданный операторный пучок. 1. На вещественной плоскости (Х,Х) задана такая ограниченная кривая , лежащая в полосе , что оператор при каждом [0/1] является полуфредгольмовым оператором с постоянной размерностью коядра, равной /I , и размерностью ядра, большей или равной /I
О методе стационарной фазы
Пусть JC V/ 11/ . В этом случае функция О ГА) = JC Л 5 ГА) на не имеет на множестве ]/ \ ]/ стационарных точек. Действительно (Х) -Х Х(К) , где Л (К) б у \V , следовательно $ (ЛІ О . В этом случае согласно методу стационарной фазы интеграл будет величиной порядка выше любой степени /Ъ (см., пример, [38J). Таким образом построенная функция будет формальным асимптотическим решением /V -го порядка уравнения (1.2) для В этом параграфе кратко говорится о результатах из теории метода стационарной фазы и приводится вывод явной формулы для второго члена асимптотики в этом методе. Нам придется рассматривать интегралы вида с финитной функцией і(К) и гладкой функцией Q (h) .Из теории метода стационарной фазы известно, что в случае, когда Qf\) не имеет стационарных точек на носителе f(X) f то при \і 0 этот интеграл будет иметь порядок малости выше любой степени П, , если же функция 0 (\) имеет одну стационарную точку До на носителе Ф(К\ причем 0 (\ 0 , то Теперь, пользуясь формулами (4.4), (4.7) и (4.9), выпишем Аналогично считаются Ct0 /X f j и Л, ///j Для случая j"[no) 0. В этом случае будем иметь следующие формулы Пользуясь этими формулами, вычисляем Q (4ij) и &І(4І9) для случая Q /Зо] С . Заметим, что для достаточно гладких функций Я (h) lAdfhj Мы привели подробный вывод формулы для второго члена асимптотики в методе стационарной фазы в связи с тем, что в известной нам литературе имеются лишь указания для её вывода, содержащие порой существенные опечатки (см., например, Гзв/). В этом параграфе в случае незамкнутости кривой / строится формальное асимптотическое решение /v -го порядка на отрезке [Сі, о] в виде где являются асимптотическими решениями N -го порядка в соответствующих проекциях Л (Л/ окрестностей. Пусть кривая / имеет вид, указанный на рисунке 3. VjVfV (V) V, V)- проекции U, W, LL кривой / на ось ОХ (соотв. на ось О Л ).
Преобразование УЧ ПРИ переходе к другим ненулевым сечениям
После этого известным методом ортогонализации (CM.[8_J) ИЗ системы векторов 6L (Щ получим ортонормированную систему которая будет удовлетворять двум выше указанным условиям.
"Условие квантования" мы получим для формального асимптотического решения нулевого порядка, которое находится по следующей схеме. 1) По найденной системе \ ct Ш , ёЩ и e ft) оп-ределяем cLi ft,IC=ljh) , Л и /З . 2) Затем находимгде Со - некоторый фиксированный корень уравнения (8.2). Мы предполагаем, что кривая / замкнута и считаем, что Далее, для того, чтобы функция в (6.9) была однозначной, необходимо при нашем построении совпадение 7 ,/ Л) и %(x,hl Посмотрим, чем же они могут отличаться. Функции CL0 (х) и 0. (х) в силу отмеченного выше, совпадают. Множитель Є. возникает в результате последова тельного "подклеивания" решений (см. 5). Таким образом условие однозначности решения (6.9) принимает следующий вид Здесь bid Г - индекс Маслова кривой / , который вводится следующим образом. Для этого точку X - поворота назовём положительной (отрицательной), если при переходе через неё в направлении увеличения параметра I знак функции -X (Л/ меняется с плюса на минус (с минуса на плюс). Тогда по определению ШІ Г равен разности между числом положительных и отрицательных точек JC - поворота на кривой / . Заметим, что условие (8.6) всегда имеет смысл, так как {. x/wf является ортонормированной системой, а следовательно с0=еів (ЗШЄ О). Поэтому получим следующее окончательное условие "склейки" Таким образом для замкнутой кривой / формальное асимптотическое решение rfc и) будет однозначной функцией лишь для счётной последовательности п параметра ІІ Б этом параграфе выводится система дифференциальных уравне ний, гладко разрешимая на всём отрезке [0,1] , решение Q, LM которой вместе с Yi( ) позволяют построить формальное асимп тотическое решение первого порядка уравнения (1.2) на отрезке [а, о] по формуле цю -где j) (і) и 4L(i) определяются по Yi(i) к fa/i) » a /) определена на 0,1]. Затем выводится условие его однозначности, которое имеет прежний вид (8.6).
Глобализация решения первого порядка и его построение в случае замкнутой кривой
Множитель Є. возникает в результате последова тельного "подклеивания" решений (см. 5). Таким образом условие однозначности решения (6.9) принимает следующий вид Здесь bid Г - индекс Маслова кривой / , который вводится следующим образом. Для этого точку X - поворота назовём положительной (отрицательной), если при переходе через неё в направлении увеличения параметра I знак функции -X (Л/ меняется с плюса на минус (с минуса на плюс). Тогда по определению ШІ Г равен разности между числом положительных и отрицательных точек JC - поворота на кривой / . Заметим, что условие (8.6) всегда имеет смысл, так как {. x/wf является ортонормированной системой, а следовательно Поэтому получим следующее окончательное условие "склейки" Таким образом для замкнутой кривой / формальное асимптотическое решение rfc и) будет однозначной функцией лишь для счётной последовательности п параметра ІІ В этом параграфе выводится система дифференциальных уравне ний, гладко разрешимая на всём отрезке [0,1] , решение Q, LM которой вместе с Yi( ) позволяют построить формальное асимп тотическое решение первого порядка уравнения (1.2) на отрезке [а, о] по формуле определяются по Yi(i) к fa/i) » a /) определена на 0,1]. Затем выводится условие его однозначности, которое имеет прежний вид (8.6). В проекции ОС - окрестности \д/ на ось ох решение первого порядка ищется методом ВКБ в виде -Используя формулу (9.2) и тождество уравнение (9.4) можно переписать в виде где X/i) гладкая функция на всем отрезке О, I]. Следовательно (см. 2) можно определить VJ (Ь) .
