Введение к работе
Актуальность темы. Одним из важных разделов современного анализа является теория нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах с конусами, созданная М.А. Красносельским и его учениками.
Ценность этой теории обуславливается, в частности, её многочисленными приложениями в различных задачах естествознания: в задаче о критическом режиме ядерного реактора, в теории волн на поверхности тяжёлой жидкости, в задачах о формах потери устойчивости упругих систем, в задачах геометрии в целом, в теории устойчивости, в теории нелинейных краевых задач, в математической экономике и т. д.
Естественно возникает вопрос о её распространении на более широкие классы пространств чем банаховы и, в частности, на F-npo-странства (пространства Фреше). Этот класс пространств, кроме банаховых, включает в себя такие важные пространства как счётно-нормированные и пространства Ьр(0<р<1), 1р(0<р<1).
Развитию теории нелинейных операторных уравнений в F-npo-странствах и посвящается данная диссертационная работа.
Цель работы и основные задачи. Основными целями диссертационной работы является разработка следующих вопросов:
доказательство новых теорем существования неподвижных точек вполне непрерывных операторов, действующих в F-пространст-вах;
доказательство признаков существования неподвижных точек у операторов, действующих в F-пространствах, которые представляются в виде суммы сжимающего и вполне непрерывного операторов;
выделение класса уплотняющих операторов и доказательство теорем существования у них неподвижных точек в F-пространствах;
получение признаков существования неподвижных точек монотонно компактных операторов, действующих в F-пространствах с конусом, без свойства непрерывности исследуемых операторов;
теоремы существования неподвижных точек монотонных уплотняющих операторов, действующих в F-пространствах с конусом, без предположения непрерывности исследуемых операторов;
приложение полученных результатов в конкретных функциональных F-пространствах.
Методика исследования. Результаты диссертации получены новыми или усовершенствованными известными методами исследования нелинейных операторных уравнений. В математических конструкциях диссертации использованы также известные методы функционального анализа, теории функций действительного переменного, теории нелинейных уравнений с монотонными операторами, развитой в работах М.А. Красносельского, И.А. Бахтина и ряда других математиков.
Научная новизна. В диссертации предпринята удачная попытка распространения основных теорем о неподвижных точках нелинейных операторов с банаховых пространств на F-пространства.
При естественных ограничениях на F-пространства, которые автоматически выполняются для банаховых пространств, доказаны теоремы существования неподвижных точек вполне непрерывных операторов, операторов, представимых в виде суммы сжимающего и вполне непрерывного операторов, уплотняющих операторов.
Эти теоремы являются развитиями известных принципа Шаудера и теорем М.А. Красносельского, Р.Л. Фрум-Кеткова и Б.Н. Садовского.
На F-пространства с конусом распространены известные теоремы И.А. Бахтина о неподвижных точках монотонно компактных и монотонных уплотняющих операторов, вообще говоря, не обладающих свойством непрерывности.
Полученные результаты применяются к исследованиям в конкретных функциональных F-пространствах некоторых классов интегральных, интегро-функциональных и бесконечных систем дифференциальных уравнений.
Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер. Они значительно расширяют область исследования и приложения теории нелинейных операторных уравнений.
Результаты диссертации нашли некоторые приложения в теории нелинейных интегральных, интегро-функциональных и бесконечных систем дифференциальных уравнений
Полученные в диссертации результаты дополняют соответствующие исследования в банаховых пространствах и могут быть использованы в исследованиях, проводимых в Воронежском, Ярославскоми, Белгородском государственных университетах, в НИИ проблем управления РАН, в Воронежском государственном педагогическом университете.
Апробация работы. Материал диссертации докладывался на Воронежской весенней математической школе (2007 г., 2008 г.), на Воронежской зимней математической школе (2008 г.), на научном семи-
наре по функциональному анализу под руководством доктора ф.-м. наук, профессора И.А. Бахтина (ВГПУ, 2009 г.), на семинаре по математическому анализу под руководством доктора ф.-м. наук, профессора Б.Н. Садовского (ВГУ, 2009 г.), научной конференции студентов, аспирантов и преподавателей физико-математического факультета ВГПУ (2000).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах, автора [1] - [14], список которых приведен в конце автореферата. В совместных публикациях [1], [3], [5], [8], [9], [12], [13] соавтору принадлежит постановка задач.
Работы [13], [14] соответствует списку ВАК для кандидатских диссертаций.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести параграфов и списка цитируемой литературы из 66 наименований. Общий объем диссертации - 94 страницы.
