Содержание к диссертации
Введение
1 Скорость сходимости методов аппроксимации решений нерегулярных операторных уравнений в гильбертовом пространстве 18
1.1 Классы методов аппроксимации решений нерегулярных операторных уравнений в гильбертовом пространстве 18
1.2 Прямые и обратные теоремы для итерационных методов решения нерегулярных линейных операторных уравнений в гильбертовом пространстве 25
1.3 Прямые и обратные теоремы для класса методов аппроксимации решений нерегулярных нелинейных операторных уравнений в гильбертовом пространстве 30
1.4 Обсуждение результатов главы 1 38
2 Необходимые и достаточные условия квалифицированной сходимости методов аппроксимации решений нерегулярных операторных уравнений в банаховом пространстве 40
2.1 Класс методов аппроксимации решений нерегулярных уравнений в банаховом пространстве 40
2.2 Необходимые условия степенной сходимости класса итерационных методов решения линейных уравнений в банаховом пространстве 45
2.3 Необходимые условия степенной сходимости класса итерационных методов решения нелинейных уравнений в банаховом пространстве 62
2.4 Задача Коши для линейного операторного дифференциального уравнения первого порядка 70
2.5 Логарифмическая сходимость методов аппроксимации решения некорректной задачи Коши в банаховом пространстве 73
2.6 Обратная теорема для класса методов аппроксимации решения некорректной задачи Коши в банаховом пространстве 83
2.7 Реализация условий истокопредставимости 89
2.8 Обсуждение результатов главы 2 92
3 Необходимые и достаточные условия квалифицированной сходимости класса конечно-разностных методов аппроксимации решения некорректной задачи Коши в банаховом пространстве 95
3.1 Класс конечно-разностных методов аппроксимации решения некорректной задачи Коши в банаховом пространстве 95
3.2 Оценка скорости сходимости конечно-разностных методов аппроксимации решения задачи Коши 100
3.3 Необходимые условия сходимости класса конечно-разностных методов аппроксимации решения задачи Коши 107
3.4 Обсуждение результатов главы 3 116
Заключение 117
Литература 118
- Прямые и обратные теоремы для итерационных методов решения нерегулярных линейных операторных уравнений в гильбертовом пространстве
- Необходимые условия степенной сходимости класса итерационных методов решения линейных уравнений в банаховом пространстве
- Обратная теорема для класса методов аппроксимации решения некорректной задачи Коши в банаховом пространстве
- Оценка скорости сходимости конечно-разностных методов аппроксимации решения задачи Коши
Введение к работе
В работе исследуются итерационные схемы аппроксимации решений нерегулярных операторных уравнений в банаховом пространстве. Пусть F : Х\ —> Xнелинейный оператор, Х\,Х2 — вещественные или комплексные гильбертовы или банаховы пространства. Рассмотрим уравнение
F(x) = О, хе Хі. (1)
Считаем, что уравнение (1) имеет по крайней мере одно решение х*. Предполагается, что оператор F является дифференцируемым по Фреше в окрестности точки ж*, а его производная F'(x) в этой окрестности удовлетворяет условию Липшица. Важнейшей качественной характеристикой уравнения (1), определяющей выбор методов численной аппроксимации ж*, является регулярность данного уравнения. На протяжении работы регулярность задачи (1) и соответствующего оператора F понимается в смысле следующего определения (см., например, [16]).
Определение 1. Уравнение (1) (оператор F) называется регулярным в окрестности решения х*, если для всех точек х из этой окрестности оператор F'(x): Х\ —> Хч имеет непрерывный обратный, определенный на всем пространстве Хч- В противном случае уравнение (1) (оператор F) называется нерегулярным.
Типичным примером нерегулярного оператора является оператор F, производная которого F'(x) вполне непрерывна для всех х из некоторой окрестности точки X*.
К теоретическому и численному анализу нерегулярных операторных уравнений в последние десятилетия проявляется растущий интерес специалистов различных направлений. Он объясняется тем, что к такого рода уравнениям сводится широкий спектр обратных задач математической физики и неустойчивых задач классического анализа [74],[62],[27], [22],[70],[72],[87],[89],[90],[94],[96].
Входные данные при решении прикладных обратных задач обычно бывают осложнены погрешностями 'измерений. В этих условиях нерегулярность уравнения (1) приводит к некорректности данного уравнения в смысле Адамара. Как следствие, традиционные численные методы оказываются малопригодными для аппроксимации решений нерегулярных уравнений (1). В теории некорректных задач разработан общий способ преодоления подобных трудностей. Он сводится к применению методов регуляризации, которые позволяют по данному приближенному оператору F задачи (1) и уровню погрешности аппроксимации S эффективно строить приближения к решению х* уравнения (1), сходящиеся к х* при 5 —> 0. Методам регу-
ляризации посвящена обширная литература (см., например, [74],[28],[13] и цитированные там источники). Большинство существующих схем аппроксимации решений нерегулярных уравнений с точными и приближенными данными имеет следующий общий вид. Пусть F — класс операторов F : Х\ —> Х2, в который входят как точный оператор задачи (1), так и допускаемые к рассмотрению его приближения F. Фиксируется параметрическое семейство отображений Эа : F —) Х\ такое, что lim3?a(F) = х*, где
а-*0
F — точный оператор задачи (1). Последнее соотношение означает, что элемент ха = 3la(F) можно рассматривать как приближенное решение уравнения (1), сколь угодно близкое к истинному решению х* при достаточно малом значении параметра регуляризации а Є (0,0]. Предположим, что задан приближенный оператор F, и величина S > 0 измеряет уровень погрешности аппроксимации. Пусть удалось согласовать выбор параметра регуляризации с уровнем погрешности а = <х(5) так, чтобы было ІіігтШ = О
и для элементов х6а — $ftQ()(.F) имела место сходимость lima;|Lj4 = х*. Тогда
приближенное решение х6,^ уравнения (1), полученное в условии неточных данных, обладает устойчивостью к малым вариациям этих данных.
Основной объект изучения в данной работе — аппроксимационные свойства итерационных методов решения нерегулярных уравнений вида (1). Мы будем рассматривать уравнения (1), в которых оператор F известен без погрешности, хотя изучаемые методы в рамках представленной выше схемы могут быть преобразованы в соответствующие регуляризующие процедуры для задачи (1) с приближенно заданным F. Значительная часть исследуемых аппроксимирующих конструкций введена в работах [7], [9], [11], там же положено начало их изучению. В настоящее время наиболее полно изучены схемы аппроксимации решений нерегулярных линейных операторных уравнений
Ах = /, хеХ (2)
в гильбертовом пространстве X, т.е. уравнений (1) с аффинным оператором F(x) = Ах - /, где А Є L(X)~f Є X. Обозначим через X*(A,f) множество решений уравнения (2). Предположим, что / Є R(A), так что X*(A,f) ф 0. Известно, что множество Х*(А, /) является замкнутым аффинным подпространством в X. Будем считать, что А — неотрицательный самосопряженный оператор, не являющийся, вообще говоря, непрерывно обратимым. Например, оператор А может быть вполне непрерывным. Зафиксируем произвольно элемент Є X и поставим задачу аппроксимации точки xt Є Х*(А, /), ближайшей к среди элементов множества Х*(А, /). Для построения приближений к xt используется параметрическое семей-
ство элементов
ха = (Е- 0(Л, а)А) + 9(Д a)f, а Є (0, а0]. (3)
Здесь Е — единичный оператор, функция (А, а) от оператора А при каждом значении параметра а Є (0, ао] понимается в смысле исчисления самосопряженных операторов [71]. Отметим, что схема (3) применима и для аппроксимации решения уравнения (2) с оператором А Є L(X), действующим в банаховом пространстве X, В этом случае функция 0(Д а) оператора А понимается в смысле исчисления Рисса-Данфорда [25].
Если оператор А Є L(Xi,X2), где Х\,Х2 — в общем случае различные гильбертовы пространства, то от уравнения (2) можно перейти к симметри-зованному уравнению А*Ах = A*f с неотрицательным самосопряженным оператором А*А Є L(Xi,X{). В этих условиях представляет интерес элемент х* = ХЇ, реализующий min ||ж — ||2, где
x(zX*(A,f)
Х*{А, /) = Arg min \\Ах - f\\2 = {х Є Хі : А* Ах = A*f}.
хєХі
Определяемый таким образом элемент xt называется -псевдорешением уравнения (2). Если множество решений уравнения (2) непусто, то это множество совпадает с Х*(А7 /), а -псевдорешение является ближайшим к элементом множества решений. Рассматривается следующий класс методов аппроксимации -псевдорешения уравнения (2):
ха = (Е- в(А*А, а)А*А) + в(А*А, a)A*f, а Є (0, а0]. (4)
В общие схемы (3) и (4) при соответствующем выборе порождающих функций 0 = Q(X,a) вкладывается большинство наиболее распространенных в вычислительной практике методов аппроксимации решений и псевдорешений нерегулярных линейных операторных уравнений: методы М.М. Лаврентьева и А.Н. Тихонова и их итерированные варианты, метод установления и др. В виде (3) и (4) записываются также многие популярные итерационные методы решения (2).
На основе схем (3), (4) и процедуры линеаризации эффективно строятся итерационные методы аппроксимации решений нелинейных уравнений вида (1) [16]. В регулярном случае переход от уравнения (1) к линеаризованному уравнению
F(xn) + F'(xn)(x-xn) = 0, хеХг (5)
приводит к классическому методу Ньютона-Канторовича
хп+і = хп - F,(xn)~1F(xn)1 п Є N0.
Если вместо (5) использовать симметризованное уравнение
F'*(xn)F{xn) + F'*(xn)F'(xn){x ~хп) = 0, хе Хи (6)
то получаем известный метод Гаусса-Ньютона
хп+1 = хп- (i^faOF'Ocn))-1 F'\xn)F{xn), п Є N0.
Методы Ньютона-Канторовича и Гаусса-Ньютона широко используются при решении различных классов регулярных операторных уравнений. В нерегулярной ситуации операторы F'(xn), F'*{xn)F'{xn) не являются в общем случае непрерывно обратимыми, поэтому указанные методы, вообще говоря, нереализуемы. Если же к линеаризованному уравнению (5) применить схему (3) с а = ап и полученный элемент хап выбрать в качестве новой итерационной точки, то приходим к итеративно регуляризованному варианту метода Ньютона-Канторовича
хп+1 = - в(Ґ(хп),ап)(Р(хп) - F'{xn){xn - 0). (7)
Здесь {ап}(ап > 0) - априори задаваемая последовательность параметров регуляризации. Применение схемы (3) к уравнению (6) аналогично приводит к итеративно регуляризованному варианту метода Гаусса-Ньютона
х„+1 = І - e(FH(xn)F'(xn), an)F"(xn)(F(xa) - F'(xn)(xa - {)), x0 Є Хъ
(8) Подчеркнем, что регуляризованные итерации (7) и (8) пригодны для аппроксимации решений уравнений вида (1), операторы которых не удовлетворяют условию регулярности.
Наряду с общими схемами (3), (4), в работе подробно исследуются методы решения нерегулярных линейных уравнений частного вида. Эти уравнения связаны с некорректной задачей Коши для абстрактного операторного дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве [60],[29],[31]. Именно, рассматривается проблема аппроксимации решения задачи
~ = Ащ *Є(0,П (9)
«(0) = wo, (10)
где A : D(A) СІ4І- замкнутый неограниченный оператор с областью определения D(A), плотной в банаховом пространстве X; щ Є D(A). Корректность задачи Коши (9), (10) зависит от расположения спектра оператора А. Обозначим
К((р) = {А Є С\{0} : | arg А| < ф) U {0}, <р Є [0,тг].
Будем говорить, что оператор А удовлетворяет условию секториальпости с углом
*(А)сК(ср0), ||Л(А,А)||<^ У\єС\К(<ро). (П)
Если оператор А в уравнении (9) является секториальным с углом (ро Є [0, 7г/2), то задача Коши (9), (10) некорректна и сводится к аппроксимации значения неограниченного оператора exp(L4), t Є (0, Т] на элементе щ. Если же секториальным с углом <>о [0,7г/2) является оператор (—А), то уравнение (9) является абстрактным параболическим [60, с.93], а задача (9),(10) оказывается корректной. Ее решение имеет вид u(t) = и(і)щ, где U(t),t Є [0, Т] — сильно непрерывная полугруппа линейных ограниченных операторов с генератором (—А). В этом случае некорректной оказывается задача с обратным направлением времени, в которой по известному значению и(Т) необходимо восстановить начальный элемент щ = и(0). При помощи замены т = Т — t эта задача сводится к некорректной задаче Коши вида (9), (10). Положив для задачи с обратным направлением времени и(Т) = f, uq = х, В = U(T), получим линейное нерегулярное уравнение Вх — f, т.е. уравнение вида (2). Для аппроксимации решения этого уравнения применимы, в частности, методы из класса (3).
Альтернативный аппарат аппроксимации решения нерегулярной задачи Коши (9), (10) доставляет введенный в [8] класс итерационных процессов конечно-разностного типа
yZ a"un+v = At^2(3vAun+v, 0 < n ^ N -k, At = —;
щ = ... = Uk_i = Щ.
Здесь N,k Є N, a aU}(3v Є Ж (и = 0,k) — параметры, выбор которых определяет конкретную разностную схему.
Опишем вкратце аппарат, применяемый в работе при исследовании аппроксимативных свойств схем (3),(4),(7),(8) и (12). Во-первых, систематически используются определения и факты, относящиеся к исчислениям различных классов операторов в гильбертовых и банаховых пространствах. Пусть оператор А Є L(X), где X — гильбертово пространство, является самосопряженным и его спектр расположен на отрезке [m, М] вещественной оси. Тогда имеет место спектральное разложение (см., например, [71])
М +оо
A = f XdEx = [ XdEx.
m-0 —оо
Здесь {Ех}, А Є (—со, +со) — семейство спектральных проекторов оператора А. Семейство {Ех} является непрерывным справа, т. е. \\E^ — Ех\\ —> О при /j, —у А + 0; кроме того, Е\Ер = Ех при Л ^ /и; Ex = О (нулевой оператор) при Л < т{(Ах,х) : ||ж|| = 1}; Ex = Е при Л ^ \\А\\. В случае, когда Л — собственное значение оператора А, оператор Ех — Ех-о является ортопроектором на собственное подпространство, соответствующее этому Л. Если функция (р : Ж —> С измерима, конечна и почти всюду определена относительно спектрального семейства {Ех} (т.е. относительно всех мер Лебега-Стилтьеса, порожденных функциями А —> \\Е\х\\2, х Є X), то определен оператор <р(А) : D((p(A)) Cl-^X,
<р(А) = [ tp{\)dEx, Dfr(A)) = LeX: [ \ip(\)\2d\\Exx\\'
m-0
(13)
При этом D((p(A)) = X и
м м
ср(А)х = j 4>{\)dExx, ЫА)х\\2 = J \cp(X)\2d\\Exx\\2, x Є D{
m—0 - m-0
(14) Если vraisup |<^(A)| < со, где существенная верхняя грань берется
по совокупности всех мер Лебега-Стилтьеса, порожденных функциями А —у \\Ехх\\2, х Є А", то выражения (13) определяют оператор <р(А) Є L(X) с нормой
\\<р(А)\\цх) = vraisup \<р(\)\ < sup |<р(А)|. (15)
{Ех} Хеа(А)
В случае вещественнозначной функции (р этот оператор, как и оператор А, является самосопряженным. Аналогично определяются функции от неограниченного самосопряженного оператора A : D{A) С X -> X, D(A) = X. Например, если функция ср непрерывна и ограничена на спектре с (А), то
+оо
ip(A)x= I
-сю
где {Ех} — семейство спектральных проекторов оператора А. Выражение (16) определяет линейный оператор <р(А), который является самосопряженным, если функция
Пусть теперь X — банахово пространство. Предположим сначала, что оператор А Є L(X), функция <р аналитична в окрестности спектра и (А) оператора А, а проходимый в положительном направлении контур Г лежит в указанной окрестности и охватывает множество сг(А). Тогда оператор <р(А) Є L(X) может быть определен формулой
Интеграл в (17) понимается в смысле Бохнера [25]. Если X — гильбертово пространство и А = А*, то представления (13) и (17) определяют один и тот же оператор. Формула (17) служит основой и для определения функции от неограниченного оператора А с плотной в X областью определения D(A). Если функция (р аналитична в окрестности (возможно, неограниченного) множества <т(А), а контур Г, также возможно неограниченный, окружает сг(А), то формула (17) определяет оператор (р(А) Є L{X) для достаточно широкого класса функций (р. Для оператора А, удовлетворяющего условию секториальности (11), в этоткласс входят, например, все аналитические функции s > 0 такая, что \s
При исследовании скорости сходимости методов аппроксимации решений нерегулярных уравнений в банаховом пространстве оказывается полезной техника интерполяции банаховых пространств. Мы используем вещественный метод интерполяции с помощью ^"-функционала [20], [77]. Пусть Xq и Х\ — банаховы пространства, непрерывно вложенные в линейное топологическое пространство X. Обычным образом вводится банахово пространство Хо + Х\:
Xq -f- Х\ = {х : х Є X, х = xq + xi, Xj Є Xy, j = 0,1}, \\х\\Хо+Хі= ^ inf „(IMUo + lkilk)-
Для произвольного і^Ои элемента х Є Xq + Х\ обозначим
K(t,x)= inf (\\х0\\х0 +t||a?i||Xl).
х=хо+Хі,ХоЄ-Х-о,хіЄА\
Пусть г Є (0,1) и q Є [1,оо]. Интерполяционное банахово пространство (Xq, Х{)ТА определяется как множество элементов х Є Xq + X\ с конечным
значением нормы |M|(x0,Xi)T)g> гДе
оо \ 1/<1
S[t-T'K(t,x)}4-ldt\ , q Є [1,(30),
|S||(Xo,Xi).., = S Ч0 , ч У
sup TK(t, ж), g = со.
^іЄ(0,оо)
Интерполяционные пространства (X, D(ATO)), m Є N используются при оценке областей определения дробных степеней оператора А.
Наконец, при исследовании класса конечно-разностных методов (12) привлекаются факты теории сильно непрерывных полугрупп линейных операторов (см., например, [31],[60]).
Целью работы является установление необходимых и достаточных условий квалифицированной сходимости итерационных процедур вида (3),(4),(7),(8) и (12) для аппроксимации решений соответствующих классов нерегулярных операторных уравнений. Удобно считать, что итерационный переход в рассматриваемых процедурах связан с последовательным вычислением приближений хап и пошаговым изменением параметра а = ап —у О, где п Є N — номер итерации. В качестве ап может выступать, например, параметр регуляризации из (7), (8), либо величина шага At из (12).
Определение 2. Будем говорить, что сходимость элементов хап, аппроксимирующих решение х*, квалифицирована по параметру ап, если с некоторой функцией d : (О, -Ьсо)' —> [0, +оо), limd(a) = 0, имеет место
a—fO
оценка
\\хап - х*\\ = 0{d(an)), ап -» 0. (18)
Выбор конкретной функции d фиксирует тот или иной порядок аппроксимации решения х* приближениями хап. В работе используются следующие три типа оценок скорости сходимости, охватывающие широкий диапазон асимптотик \\хап — х*\\ -» 0(п —у со): степенные оценки с d(a) = ар, р > О, логарифмические с d(a) = (— Ыа)~р,р > 0 и экспоненциальные оценки с d(a) = e-ra'P{r:p>0).
Актуальность данного исследования мотивируется следующими соображениями. В случае регулярных уравнений (1) и (2) для методов типа (3), (4) оценка скорости сходимости может быть установлена без привлечения дополнительной качественной информации о решении. Так, в случае уравнения (2) для метода А.Н. Тихонова погрешность аппроксимации имеет порядок О (а), итерационные методы при любом начальном приближении сходятся со скоростью геометрической прогрессии. Методы Ныотона-Канторовича и Гаусса-Ньютона решения уравнения (1) в случае регулярности этого уравнения локально сходятся с квадратичной скоростью. В нерегулярной ситуации положение качественно иное. Известно [13, гл.1, 3], что
в этом случае сходимость приближений к решениям (1) и (2), построенных по какой-либо устойчивой схеме, если и имеет место, то может быть сколь угодно медленной. Тем самым, установление квалифицированных оценок скорости сходимости приближений возможно лишь при наложении на искомое решение х*, либо на начальную невязку х* — тех или иных дополнительных условий. В классическом анализе это обстоятельство отчетливо проявляется при исследовании скорости сходимости в норме 1^2 частичных сумм ряда Фурье к порождающей этот ряд функции. Хорошо известно, что в общем случае указанная сходимость может быть сколь угодно медленной. Однако, при наличии априорной информации о повышенной гладкости раскладываемой в ряд функции (например, об ее принадлежности классу С^"1) или W), скорость сходимости частичных сумм Фурье оценивается степенной функцией количества слагаемых частичной суммы, при этом показатель степени в оценке зависит от т.
Аналогичная ситуация имеет место для изучаемых в работе методов аппроксимации решений нерегулярных операторных уравнений. Именно, достаточные условия степенной оценки скорости сходимости
\\ха - х*\\ ^ Ctap, р > 0, а Є (0, а0] (19)
для приближений (3) к решению х* = xt уравнения (2) в гильбертовом пространстве имеют вид истокообразного представления начальной невязки
х* - І Є R(Ap) (20)
с тем же, что и в (19), показателем р. Кроме того [16],[89], условие (20), достаточное для выполнения (19), весьма близко к необходимому условию в том смысле, что оценка (19) влечет истокообразное представление начальной невязки
Ж*-ЄД(Л*) Vge(0,p). (21)
Сказанное означает, что качество аппроксимации решения нерегулярного уравнения (2) элементами (3), находится в тесной связи с истокообразной представимостью начальной невязки. Возможность такого представления определяет более или менее высокую «гладкость» искомого решения. Утверждения о достаточности соотношения (20) и о необходимости (21) для выполнения оценки скорости сходимости (19) имеют прообразом прямые и обратные теоремы конструктивной теории функций. У истоков этой теории лежат классические теоремы Джексона и Бернштейна о качестве аппроксимации в связи с гладкостью приближаемых функций ([26],[75]). В случае, когда приближаемый объект есть числовая функция, а аппаратом аппроксимации являются алгебраические или тригонометрические по-
линомы, теоремы Джексона и Бернштейна являются соответственно прямой и обратной теоремами теории приближений. В настоящей работе роль погрешности приближения играет величина невязки ||жа — ж*||, а условие истокообразной представимости соответствует условию принадлежности приближаемой функции тому или иному классу гладкости. Как показано в 2.7, в случае дифференциального оператора А в задаче (9)-(10) подходящая истокопредставимость элемента означает определенную степень его гладкости в классической шкале пространств Соболева-Бесова. Таким образом, утверждения настоящей работы являются обобщениями прямых и обратных теорем теории приближений в применении к процедурам (3), (4), (7), (8) и (12), рассматриваемым как средства построения аппроксимаций элементов банахова пространства X, определенных уравнениями (1) и (2). Скажем несколько слов о предыстории представленного в работе исследования. Отправной точкой можно считать приведенные выше утверждения о связи оценки (19) с условиями (20) и (21). В работах [11],[17] эти утверждения были распространены на итерационные схемы (8). Именно, в [17] установлена связь между степенной оценкой скорости сходимости
\\хп-х*\\^С2арп, р^1/2, пЄЩ (22)
и условием истокообразной представимости начальной невязки
х* - Є R{{(F\xyF'(x*)Yy (23)
Было показано, что оценка (22) обеспечивается условием (23), а для выполнения этой оценки необходимо соотношение
z* - Є R(((Ff(x*yF'(x*))q) Vq Є (0, р). (24)
Кроме степенной сходимости, определяемой функцией d(a) = ар (см. (18)), исследовался случай более медленной — логарифмической сходимости с d(a) = (— \па)~р, р > 0. В [93] установлено, что условие
ж*-Є д((-1пА)-р), р>0 (25)
достаточно для выполнения логарифмической оценки
\\ха-х*\\^С3{-Ыа)-р. (26)
В свою очередь, оценка (26) влечет истокообразное представление
ж*-ЄєД((-Ьі4)-«) Vge(0, р). (27)
. 13
Исследование необходимых и достаточных условий более быстрой экспоненциальной скорости сходимости методов (3) и (8) в гильбертовом пространстве впервые проведено в главе 1 данной работы.
Другое направление обобщения первоначальных результатов о связи степенной скорости сходимости процедур аппроксимации решений нерегулярных уравнений и степенной истокопредставимости решений — распространение этих результатов на случай нерегулярных уравнений в банаховом пространстве. Начало этим исследованиям положено в работах [9],[10],[47],[48], где установлена достаточность условия (20) и необходимость условия (21) для выполнения оценки (19), если приближения ха к решению ж* линейного уравнения (2) в банаховом пространстве X, строятся с помощью одного из методов (3). Однако, в случае итерационных методов вида (3) необходимость условия (21) для выполнения оценки (19) не была там установлена. Этот пробел устранен в 2.2 настоящей диссертации. Сходная ситуация имела место для схемы (7) аппроксимации решений нелинейных уравнений (1) в банаховом пространстве. В [83] показано, что условие
Я*-ЄД((П**))Р), Р>1 (28)
влечет выполнение степенной оценки (22) для одного класса итерационных методов, в том числе и для методов, рассматриваемых в работе. В 2.3 данной работы доказана необходимость условия
x*-teR((F'(x*)y) \/qe(0,p) (29)
для выполнения оценки (22). Последнее условие близко к достаточному условию (28).
Вопрос об условиях, необходимых и достаточных для выполнения логарифмической оценки скорости сходимости методов вида (3) в банаховом пространстве, ранее изучен не был. В главе 2 настоящей работы исследование этого случая проведено для класса нерегулярных уравнений, порожденных некорректной задачей Коши (9), (10). Полученные здесь результаты аналогичны утверждениям из [93], установленным для уравнений (2) в гильбертовом пространстве. В 2.5 показано, что условие
x*-ER{A-p), р>0 (30)
достаточно для выполнения оценки (26) в банаховом пространстве. В свою очередь, необходимым условием выполнения этой оценки является представление
x*-t
близкое к (30). Этот факт установлен в 2.6.
Конечно-разностные схемы аппроксимации решений задачи Коши для абстрактных операторных дифференциальных уравнений на протяжении последних двадцати лет были предметом многочисленных исследований. Эти исследования направлены на установление свойства аппроксимации, получение оценок скорости сходимости в корректном случае. В некорректном случае исследовались регуляризационные свойства конечно-разностных схем [3], [4], [5], [68], [69], [6]. Многие из изучавшихся схем получены обобщением на бесконечномерный случай классических методов решения конечномерных дифференциальных уравнений и их систем. Рассматриваемые нами схемы (12) получены формальным применением к бесконечномерной задаче (9), (10) известной процедуры (см., например, [19]) конструирования конечно - разностных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе [8] установлены условия сходимости приближений, построенных по схеме (12), к решению некорректной задачи Коши (9), (10), но отсутствует оценка погрешности аппроксимации. В главе 3 данной работы приведены необходимые и достаточные условия квалифицированной сходимости приближений (12) к решению некорректной задачи Коши.
Выделим теперь основные результаты диссертации. Во-первых, получены необходимые и достаточные условия выполнения логарифмических оценок погрешности итерационных аппроксимаций решений нерегулярных линейных операторных уравнений. Во-вторых, найдены необходимые условия выполнения степенных оценок погрешности итерационных аппроксимаций в случае нерегулярных линейных -и нелинейных операторных уравнений в банаховом пространстве. Эти результаты обобщают утверждения, известные ранее для уравнений в гильбертовом пространстве. Близость полученных необходимых условий к достаточным указывает на неулучшаемость рассматриваемых оценок в существенном. В-третьих, установлены необходимые и достаточные условия степенной сходимости конечно-разностных аппроксимаций (12) для решения.задачи Коши (9), (10) в банаховом пространстве. Наконец, впервые получены необходимые и достаточные условия выполнения экспоненциальных оценок погрешности итерационных аппроксимаций для решений нерегулярных линейных и нелинейных операторных уравнений в гильбертовом пространстве. Тем самым, теория сходимости итерационных аппроксимаций в гильбертовом пространстве пополнена прямыми и обратными теоремами, которые относятся к ранее не изучавшемуся классу оценок скорости сходимости.
Завершая введение, опишем кратко содержание работы по главам. В главе 1 исследуется скорость сходимости итерационных методов аппрок-
симации решений нерегулярных операторных уравнений в гильбертовом пространстве. В 1.1 представлено описание исследуемых методов и приведен обзор известных результатов, касающихся необходимых и достаточных условий квалифицированной сходимости аппроксимаций, порождаемых этими методами. В 1.2 устанавливаются необходимые и достаточные условия сходимости аппроксимаций (3) с экспоненциальной скоростью. Необходимые и достаточные условия экспоненциальной сходимости итераций (8) получены в 1.3. Обсуждение результатов главы 1 и сравнение их с результатами других авторов содержится в 1.4.
Прямые и обратные теоремы для итерационных методов решения нерегулярных линейных операторных уравнений в гильбертовом пространстве
Пусть F : Х\ — X i — нелинейный оператор, Х\,Х2 — вещественные или комплексные гильбертовы или банаховы пространства. Рассмотрим уравнение F(x) = О, хе Хі. (1) Считаем, что уравнение (1) имеет по крайней мере одно решение х . Предполагается, что оператор F является дифференцируемым по Фреше в окрестности точки ж , а его производная F (x) в этой окрестности удовлетворяет условию Липшица. Важнейшей качественной характеристикой уравнения (1), определяющей выбор методов численной аппроксимации ж , является регулярность данного уравнения. На протяжении работы регулярность задачи (1) и соответствующего оператора F понимается в смысле следующего определения (см., например, [16]). Определение 1. Уравнение (1) (оператор F) называется регулярным в окрестности решения х , если для всех точек х из этой окрестности оператор F (x): Х\ — Хч имеет непрерывный обратный, определенный на всем пространстве Хч- В противном случае уравнение (1) (оператор F) называется нерегулярным. Типичным примером нерегулярного оператора является оператор F, производная которого F (x) вполне непрерывна для всех х из некоторой окрестности точки X . К теоретическому и численному анализу нерегулярных операторных уравнений в последние десятилетия проявляется растущий интерес специалистов различных направлений. Он объясняется тем, что к такого рода уравнениям сводится широкий спектр обратных задач математической физики и неустойчивых задач классического анализа [74],[62],[27], [22],[70],[72],[87],[89],[90],[94],[96].
Входные данные при решении прикладных обратных задач обычно бывают осложнены погрешностями измерений. В этих условиях нерегулярность уравнения (1) приводит к некорректности данного уравнения в смысле Адамара. Как следствие, традиционные численные методы оказываются малопригодными для аппроксимации решений нерегулярных уравнений (1). В теории некорректных задач разработан общий способ преодоления подобных трудностей. Он сводится к применению методов регуляризации, которые позволяют по данному приближенному оператору F задачи (1) и уровню погрешности аппроксимации S эффективно строить приближения к решению х уравнения (1), сходящиеся к х при 5 — 0. Методам регу ляризации посвящена обширная литература (см., например, [74],[28],[13] и цитированные там источники). Большинство существующих схем аппроксимации решений нерегулярных уравнений с точными и приближенными данными имеет следующий общий вид. Пусть F — класс операторов F : Х\ — Х2, в который входят как точный оператор задачи (1), так и допускаемые к рассмотрению его приближения F. Фиксируется параметрическое семейство отображений Эа : F —) Х\ такое, что lim3?a(F) = х , где а- 0 F — точный оператор задачи (1). Последнее соотношение означает, что элемент ха = 3la(F) можно рассматривать как приближенное решение уравнения (1), сколь угодно близкое к истинному решению х при достаточно малом значении параметра регуляризации а Є (0,0]. Предположим, что задан приближенный оператор F, и величина S 0 измеряет уровень погрешности аппроксимации. Пусть удалось согласовать выбор параметра регуляризации с уровнем погрешности а = х(5) так, чтобы было ІіігтШ = О и для элементов х6а — $ftQ()(.F) имела место сходимость lima;Lj4 = х . Тогда приближенное решение х6, уравнения (1), полученное в условии неточных данных, обладает устойчивостью к малым вариациям этих данных.
Основной объект изучения в данной работе — аппроксимационные свойства итерационных методов решения нерегулярных уравнений вида (1). Мы будем рассматривать уравнения (1), в которых оператор F известен без погрешности, хотя изучаемые методы в рамках представленной выше схемы могут быть преобразованы в соответствующие регуляризующие процедуры для задачи (1) с приближенно заданным F. Значительная часть исследуемых аппроксимирующих конструкций введена в работах [7], [9], [11], там же положено начало их изучению. В настоящее время наиболее полно изучены схемы аппроксимации решений нерегулярных линейных операторных уравнений Ах = /, хеХ (2) в гильбертовом пространстве X, т.е. уравнений (1) с аффинным оператором F(x) = Ах - /, где А Є L(X) f Є X. Обозначим через X (A,f) множество решений уравнения (2). Предположим, что / Є R(A), так что X (A,f) ф 0.
Необходимые условия степенной сходимости класса итерационных методов решения линейных уравнений в банаховом пространстве
Известно, что множество Х (А, /) является замкнутым аффинным подпространством в X. Будем считать, что А — неотрицательный самосопряженный оператор, не являющийся, вообще говоря, непрерывно обратимым. Например, оператор А может быть вполне непрерывным. Зафиксируем произвольно элемент Є X и поставим задачу аппроксимации точки xt Є Х (А, /), ближайшей к среди элементов множества Х (А, /). Для построения приближений к xt используется параметрическое семей ство элементов ха = (Е- 0(Л, а)А) + 9(Д a)f, а Є (0, а0]. (3) Здесь Е — единичный оператор, функция (А, а) от оператора А при каждом значении параметра а Є (0, ао] понимается в смысле исчисления самосопряженных операторов [71]. Отметим, что схема (3) применима и для аппроксимации решения уравнения (2) с оператором А Є L(X), действующим в банаховом пространстве X, В этом случае функция 0(Д а) оператора А понимается в смысле исчисления Рисса-Данфорда [25]. Если оператор А Є L(Xi,X2), где Х\,Х2 — в общем случае различные гильбертовы пространства, то от уравнения (2) можно перейти к симметри-зованному уравнению А Ах = A f с неотрицательным самосопряженным оператором А А Є L(Xi,X{). В этих условиях представляет интерес элемент х = ХЇ, реализующий min ж — 2, где x(zX (A,f) Х {А, /) = Arg min \\Ах - f\\2 = {х Є ХІ : А Ах = A f}. хєХі Определяемый таким образом элемент xt называется -псевдорешением уравнения (2). Если множество решений уравнения (2) непусто, то это множество совпадает с Х (А7 /), а -псевдорешение является ближайшим к элементом множества решений. Рассматривается следующий класс методов аппроксимации -псевдорешения уравнения (2): ха = (Е- в(А А, а)А А) + в(А А, a)A f, а Є (0, а0]. (4)
В общие схемы (3) и (4) при соответствующем выборе порождающих функций 0 = Q(X,a) вкладывается большинство наиболее распространенных в вычислительной практике методов аппроксимации решений и псевдорешений нерегулярных линейных операторных уравнений: методы М.М. Лаврентьева и А.Н. Тихонова и их итерированные варианты, метод установления и др. В виде (3) и (4) записываются также многие популярные итерационные методы решения (2). На основе схем (3), (4) и процедуры линеаризации эффективно строятся итерационные методы аппроксимации решений нелинейных уравнений вида (1) [16]. В регулярном случае переход от уравнения (1) к линеаризованному уравнению F(xn) + F (xn)(x-xn) = 0, хеХг (5) приводит к классическому методу Ньютона-Канторовича хп+і = хп - F,(xn) 1F(xn)1 п Є N0. Если вместо (5) использовать симметризованное уравнение F (xn)F{xn) + F (xn)F (xn){x хп) = 0, хе Хи (6) то получаем известный метод Гаусса-Ньютона хп+1 = хп- (i faOF Ocn))-1 F \xn)F{xn), п Є N0. Методы Ньютона-Канторовича и Гаусса-Ньютона широко используются при решении различных классов регулярных операторных уравнений. В нерегулярной ситуации операторы F (xn), F {xn)F {xn) не являются в общем случае непрерывно обратимыми, поэтому указанные методы, вообще говоря, нереализуемы. Если же к линеаризованному уравнению (5) применить схему (3) с а = ап и полученный элемент хап выбрать в качестве новой итерационной точки, то приходим к итеративно регуляризованному варианту метода Ньютона-Канторовича хп+1 = - в(Ґ(хп),ап)(Р(хп) - F {xn){xn - 0). (7) Здесь {ап}(ап 0) - априори задаваемая последовательность параметров регуляризации. Применение схемы (3) к уравнению (6) аналогично приводит к итеративно регуляризованному варианту метода Гаусса-Ньютона х„+1 = І - e(FH(xn)F (xn), an)F"(xn)(F(xa) - F (xn)(xa - {)), x0 Є Хъ (8) Подчеркнем, что регуляризованные итерации (7) и (8) пригодны для аппроксимации решений уравнений вида (1), операторы которых не удовлетворяют условию регулярности.
Наряду с общими схемами (3), (4), в работе подробно исследуются методы решения нерегулярных линейных уравнений частного вида. Эти уравнения связаны с некорректной задачей Коши для абстрактного операторного дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве [60],[29],[31]. Именно, рассматривается проблема аппроксимации решения задачи = Ащ Є(0,П (9) «(0) = wo, (10) где A : D(A) СІ4І- замкнутый неограниченный оператор с областью определения D(A), плотной в банаховом пространстве X; щ Є D(A). Корректность задачи Коши (9), (10) зависит от расположения спектра оператора А. Обозначим К((р) = {А Є С\{0} : arg А ф) U {0}, р Є [0,тг]. Будем говорить, что оператор А удовлетворяет условию секториальпости с углом /?о Є [0,7г), если (А)сК(ср0), Л(А,А) У\єС\К( ро). (П)
Обратная теорема для класса методов аппроксимации решения некорректной задачи Коши в банаховом пространстве
Если оператор А в уравнении (9) является секториальным с углом (ро Є [0, 7г/2), то задача Коши (9), (10) некорректна и сводится к аппроксимации значения неограниченного оператора exp(L4), t Є (0, Т] на элементе щ. Если же секториальным с углом о [0,7г/2) является оператор (—А), то уравнение (9) является абстрактным параболическим [60, с.93], а задача (9),(10) оказывается корректной. Ее решение имеет вид u(t) = и(і)щ, где U(t),t Є [0, Т] — сильно непрерывная полугруппа линейных ограниченных операторов с генератором (—А). В этом случае некорректной оказывается задача с обратным направлением времени, в которой по известному значению и(Т) необходимо восстановить начальный элемент щ = и(0). При помощи замены т = Т — t эта задача сводится к некорректной задаче Коши вида (9), (10). Положив для задачи с обратным направлением времени и(Т) = f, UQ = х, В = U(T), получим линейное нерегулярное уравнение Вх — f, т.е. уравнение вида (2). Для аппроксимации решения этого уравнения применимы, в частности, методы из класса (3). Альтернативный аппарат аппроксимации решения нерегулярной задачи Коши (9), (10) доставляет введенный в [8] класс итерационных процессов конечно-разностного типа yZ a"un+v = At 2(3vAun+v, 0 n N -k, At = —; щ = ... = Uk_i = Щ. Здесь N,k Є N, a aU}(3v Є Ж (и = 0,k) — параметры, выбор которых определяет конкретную разностную схему. Опишем вкратце аппарат, применяемый в работе при исследовании аппроксимативных свойств схем (3),(4),(7),(8) и (12). Во-первых, систематически используются определения и факты, относящиеся к исчислениям различных классов операторов в гильбертовых и банаховых пространствах. Пусть оператор А Є L(X), где X — гильбертово пространство, является самосопряженным и его спектр расположен на отрезке [m, М] вещественной оси. Тогда имеет место спектральное разложение (см., например, [71]) М +оо A = f XdEx = [ XdEx. m-0 —оо Здесь {Ех}, А Є (—со, +со) — семейство спектральных проекторов оператора А. Семейство {Ех} является непрерывным справа, т. е. \\E — Ех\\ — О при /J, —у А + 0; кроме того, Е\Ер = Ех при Л /и; Ex = О (нулевой оператор) при Л т{(Ах,х) : ж = 1}; Ex = Е при Л \\А\\. В случае, когда Л — собственное значение оператора А, оператор Ех — Ех-о является ортопроектором на собственное подпространство, соответствующее этому Л. Если функция (р : Ж — С измерима, конечна и почти всюду определена относительно спектрального семейства {Ех} (т.е. относительно всех мер Лебега-Стилтьеса, порожденных функциями А — \\Е\х\\2, х Є X), то определен оператор р(А) : D((p(A)) Cl- X, м м 12 со р(А) = [ tp{\)dEx, Dfr(A)) = LeX: [ \ip(\)\2d\\Exx\\ m-0 (13) При этом D((p(A)) = X и м м ср(А)х = j 4 {\)dExx, ЫА)х\\2 = J \cp(X)\2d\\Exx\\2, x Є D{ p(A)). m—0 - m-0 (14) Если vraisup (A) со, где существенная верхняя грань берется по совокупности всех мер Лебега-Стилтьеса, порожденных функциями А —у \\Ехх\\2, х Є А", то выражения (13) определяют оператор р(А) Є L(X) с нормой \\ р(А)\\цх) = vraisup \ р(\)\ sup р(А). (15) {Ех} Хеа(А) В случае вещественнозначной функции (р этот оператор, как и оператор А, является самосопряженным. Аналогично определяются функции от неограниченного самосопряженного оператора A : D{A) С X - X, D(A) = X. Например, если функция ср непрерывна и ограничена на спектре с (А), то +оо ip(A)x= I p(\)dExx, xeD(A), (16) -сю где {Ех} — семейство спектральных проекторов оператора А. Выражение (16) определяет линейный оператор р(А), который является самосопряженным, если функция /? вещественнозначна. Пусть теперь X — банахово пространство. Предположим сначала, что оператор А Є L(X), функция р аналитична в окрестности спектра и (А) оператора А, а проходимый в положительном направлении контур Г лежит в указанной окрестности и охватывает множество сг(А).
Интеграл в (17) понимается в смысле Бохнера [25]. Если X — гильбертово пространство и А = А , то представления (13) и (17) определяют один и тот же оператор. Формула (17) служит основой и для определения функции от неограниченного оператора А с плотной в X областью определения D(A). Если функция (р аналитична в окрестности (возможно, неограниченного) множества т(А), а контур Г, также возможно неограниченный, окружает сг(А), то формула (17) определяет оператор (р(А) Є L{X) для достаточно широкого класса функций (р. Для оператора А, удовлетворяющего условию секториальности (11), в этоткласс входят, например, все аналитические функции /?, для которых существует s 0 такая, что \s p(\) - О равномерно по argA при А Є К( ро), А — со.
Оценка скорости сходимости конечно-разностных методов аппроксимации решения задачи Коши
При исследовании скорости сходимости методов аппроксимации решений нерегулярных уравнений в банаховом пространстве оказывается полезной техника интерполяции банаховых пространств. Мы используем вещественный метод интерполяции с помощью "-функционала [20], [77]. Пусть XQ И Х\ — банаховы пространства, непрерывно вложенные в линейное топологическое пространство X. Обычным образом вводится банахово пространство Хо + Х\: XQ -f- Х\ = {х : х Є X, х = XQ + xi, Xj Є Xy, j = 0,1}, \\х\\Хо+Хі= inf „(IMUo + lkilk) Для произвольного і Ои элемента х Є XQ + Х\ обозначим K(t,x)= inf (\\х0\\х0 +ta?iXl). х=хо+Хі,ХоЄ-Х-о,хіЄА\ Пусть г Є (0,1) и q Є [1,оо]. Интерполяционное банахово пространство (XQ, Х{)ТА определяется как множество элементов х Є XQ + X\ С конечным значением нормы M(x0,Xi)T)g гДе оо \ 1/ 1 S[t K(t,x)}4-ldt\ , q Є [1,(30), S(Xo,Xi).., = S Ч0 , ч У sup TK(t, ж), g = со. іЄ(0,оо) Интерполяционные пространства (X, D(ATO)), m Є N используются при оценке областей определения дробных степеней оператора А. Наконец, при исследовании класса конечно-разностных методов (12) привлекаются факты теории сильно непрерывных полугрупп линейных операторов (см., например, [31],[60]). Целью работы является установление необходимых и достаточных условий квалифицированной сходимости итерационных процедур вида (3),(4),(7),(8) и (12) для аппроксимации решений соответствующих классов нерегулярных операторных уравнений. Удобно считать, что итерационный переход в рассматриваемых процедурах связан с последовательным вычислением приближений хап и пошаговым изменением параметра а = ап —у О, где п Є N — номер итерации. В качестве ап может выступать, например, параметр регуляризации из (7), (8), либо величина шага At из (12). Определение 2. Будем говорить, что сходимость элементов хап, аппроксимирующих решение х , квалифицирована по параметру ап, если с некоторой функцией d : (О, -Ьсо) — [0, +оо), limd(a) = 0, имеет место a—fO оценка \\хап - х \\ = 0{d(an)), ап -» 0. (18) Выбор конкретной функции d фиксирует тот или иной порядок аппроксимации решения х приближениями хап. В работе используются следующие три типа оценок скорости сходимости, охватывающие широкий диапазон асимптотик \\хап — х \\ -» 0(п —у со): степенные оценки с d(a) = ар, р О, логарифмические с d(a) = (— Ыа) р,р 0 и экспоненциальные оценки с d(a) = e-ra P{r:p 0).
Актуальность данного исследования мотивируется следующими соображениями. В случае регулярных уравнений (1) и (2) для методов типа (3), (4) оценка скорости сходимости может быть установлена без привлечения дополнительной качественной информации о решении. Так, в случае уравнения (2) для метода А.Н. Тихонова погрешность аппроксимации имеет порядок О (а), итерационные методы при любом начальном приближении сходятся со скоростью геометрической прогрессии. Методы Ныотона-Канторовича и Гаусса-Ньютона решения уравнения (1) в случае регулярности этого уравнения локально сходятся с квадратичной скоростью. В нерегулярной ситуации положение качественно иное. Известно [13, гл.1, 3], что в этом случае сходимость приближений к решениям (1) и (2), построенных по какой-либо устойчивой схеме, если и имеет место, то может быть сколь угодно медленной. Тем самым, установление квалифицированных оценок скорости сходимости приближений возможно лишь при наложении на искомое решение х , либо на начальную невязку х — тех или иных дополнительных условий. В классическом анализе это обстоятельство отчетливо проявляется при исследовании скорости сходимости в норме 1 2 частичных сумм ряда Фурье к порождающей этот ряд функции. Хорошо известно, что в общем случае указанная сходимость может быть сколь угодно медленной. Однако, при наличии априорной информации о повышенной гладкости раскладываемой в ряд функции (например, об ее принадлежности классу С "1) или W), скорость сходимости частичных сумм Фурье оценивается степенной функцией количества слагаемых частичной суммы, при этом показатель степени в оценке зависит от т.
Сказанное означает, что качество аппроксимации решения нерегулярного уравнения (2) элементами (3), находится в тесной связи с истокообразной представимостью начальной невязки. Возможность такого представления определяет более или менее высокую «гладкость» искомого решения. Утверждения о достаточности соотношения (20) и о необходимости (21) для выполнения оценки скорости сходимости (19) имеют прообразом прямые и обратные теоремы конструктивной теории функций. У истоков этой теории лежат классические теоремы Джексона и Бернштейна о качестве аппроксимации в связи с гладкостью приближаемых функций ([26],[75]). В случае, когда приближаемый объект есть числовая функция, а аппаратом аппроксимации являются алгебраические или тригонометрические по линомы, теоремы Джексона и Бернштейна являются соответственно прямой и обратной теоремами теории приближений. В настоящей работе роль погрешности приближения играет величина невязки жа — ж , а условие истокообразной представимости соответствует условию принадлежности приближаемой функции тому или иному классу гладкости. Как показано в 2.7, в случае дифференциального оператора А в задаче (9)-(10) подходящая истокопредставимость элемента означает определенную степень его гладкости в классической шкале пространств Соболева-Бесова.
Выделим теперь основные результаты диссертации. Во-первых, получены необходимые и достаточные условия выполнения логарифмических оценок погрешности итерационных аппроксимаций решений нерегулярных линейных операторных уравнений. Во-вторых, найдены необходимые условия выполнения степенных оценок погрешности итерационных аппроксимаций в случае нерегулярных линейных -и нелинейных операторных уравнений в банаховом пространстве. Эти результаты обобщают утверждения, известные ранее для уравнений в гильбертовом пространстве. Близость полученных необходимых условий к достаточным указывает на неулучшаемость рассматриваемых оценок в существенном. В-третьих, установлены необходимые и достаточные условия степенной сходимости конечно-разностных аппроксимаций (12) для решения.задачи Коши (9), (10) в банаховом пространстве. Наконец, впервые получены необходимые и достаточные условия выполнения экспоненциальных оценок погрешности итерационных аппроксимаций для решений нерегулярных линейных и нелинейных операторных уравнений в гильбертовом пространстве.
