Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Решение линейных дифференщалшых уравнений методом Лаппо-Данилевского 21
1. Основные свойства решений линейных дифференциальных уравнений 21
2. Общий вид решения линейного дифференциального уравнения 24
3. Канонический вид Биркгофа решения дифферен циального уравнения 30
4. Решение линейного дифференциального уравнения с малым коэффициентом 37
ГЛАВА II. Формальная теошя конечномероморшых линейных дифференциальных уравнений 44
5. Формальное расщепление 44
6. Исследование структуры решения 62
ГЛАВА III. Аналитическая теошя конечномероморшых линейных дифференциальных уравнений 76
7. Асимптотическое решение 76
8. Построение решения методом последовательных приближений 79
9. Пример 95
Литература 101
- Общий вид решения линейного дифференциального уравнения
- Решение линейного дифференциального уравнения с малым коэффициентом
- Исследование структуры решения
- Построение решения методом последовательных приближений
Общий вид решения линейного дифференциального уравнения
В случае, когда JQ —Q и точка В1 является полюсом оператор-функции А г%\ , И.А.Лшпо-Данилевский JI8J построил решение уравнения (0.9), как функцию от В и операторов /\к (/( Є Ж) . В работе Н.П.Еругина jllj отмечается, что этим же способом можно построить решение уравнения (0.9) и в случае существенно особой точки / . Глава І в целом посвящена уточнению и обобщению этого результата. В I приведены основные свойства решений линейных дифференциальных уравнений. 2 посвящен обобщению результата И.А.Лаппо-Данилевского на случай произвольного комплексного банахова пространства _J73 и существенно особой точки %i . для некоторого Z і . Обозначим через Уі область где О J J2 Z t а через \/ - область, лежащую на конечном числе листов римановой поверхности &7 В все точки которой при проектировании на плоскость попадут в область у Кроме того, пусть Тогда имеет место следующая теорема. уравнения (0.9) у (і) с начальным условием есть равномерно целая функция операторов f\ , представимая композиционным рядом о {PJHH ---, } где Щр ь\ - некоторые функции от pr , j , рацио нальные числа с/ , ?{ определены приведенными в I8j на стр. 188 рекуррентными соотношениями из которых, в частности, вытекает, что если А ... А/ неотрицательны, то В теореме 1.4 решение уравнения (0.9) найдено в неудобном для исследования виде. В частности, трудно что-либо сказать о поведении решения в окрестности особой точки ] f=(? . Оставшаяся часть главы I посвящена уточнению структуры решения, которое заключается в разложении У(2) на более простые множители. Такое разложение может быть сведено к задаче о факторизации обратимой в области V оператор-функции, имеющей в нуле изолированную особенность. Эта задача изучалась, в частности, в работах [з - 6J , 1_37.Для матриц-функций нужная факторизация была построена Биркгофом (см. ]_34j , j_35] ) Приведем лемму, которая позволяет применить теорему 0.1 из -[б]для факторизации решения уравнения (0.9) в случае, когда в этом уравнении AKJ при К 0 . Лемма 1.2. Предположим, что в уравнении (0.9) операторы /\к Є J при К 0 Тогда решение этого уравнения имеет вид где НєЗ , $ -IeJ , J при К О . Обозначим через расширенную комплексную плоскость. Сформулируем основной результат 3. Теорема 1.7. Если при К О операторы г\иЄ J , то решение уравнения (0.9) имеет вид где НЄ J » LJ(2) голоморфная, обратимая при /«?/ Z , Ь (.2) - целая относительно Z" , обратимая при всех Я ЕФО оператор-функции, оператор-функция // ( имеет вид причем операторы п f 1=/ п) являются взаимно дизъюнктными одномерными проекторами из L ( Р )» і 1 /L. Р и К1 ... Kh - некоторые, отличные от нуля целые числа. Кроме того, Ц)(о) 1 и коэффициенты /"д. ряда /(=-00 принадлежат J при К О . На основании леммы о факторизации близкого к единичному элемента банаховой алгебры ( [7 J , стр. 51 ) получен основной - 15 -результат 4. Теорема 1.8. Существует такое п О , что при выполнении неравенства решение уравнения (0.9) имеет вид ?КЄПЄ к(3) 3&)- голоморфная, обратимая при // Z (Е) - целая относительно 2 , обратимая при всех f % ФО оператор-функции, fy(o)=X ЭД?И этом оператор-функции , для всех 2 Є Vi являются равномерно голоморф к} --«х» » удовлетворяющего неравенству (0.11). В теореме 1.8 также приведены формулы для коэффициентов композиционных рядов, которые определяют оператор-функции L(E) В главах П - Ш рассматривается конечномероморфное уравнение (0.1) в окрестности особой точки Zi = е = . Исследование решения уравнения (0.1) У (г) обычно разделяют на две самостоятельных задачи. Первая задача - найти /() решение соответствующего формального уравнения (0.3). Вторая задача - зная і (2) определить асимптотические свойства z/ (ё). Иногда рассматривается и третья задача - построить У(2) в виде равномерно сходящегося ряда в некоторой области ЫС I , имеющей предельную точку =о« (см. J23J , [28-29] ). В главах П - Ш рассматриваются эти три задачи для конечно- мероморфного уравнения (0.1). Первая задача, являющаяся, на наш взгляд, наиболее важной и сложной, носит чисто алгебраический характер. Поэтому в 5 главы П уравнение (0.3) рассматривается в линейном пространстве _J73 Решение уравнения (0.3) строится следующим образом: сначала это уравнение расщепляется на два независимых уравнения, одно из которых конечномерно, а другое имеет не более чем регулярную особенность и конечномерный старший коэффиодент (теорема 2.1), а затем известными способами строится решение каждого уравнения (теорема 2.2).
Решение линейного дифференциального уравнения с малым коэффициентом
Предположим, что в уравнении (3.1) матрица-функция А сю голоморфна при \Z\ \Z0\ Тогда теорема 3.2 справедлива для любого нормального сектора $ . В некоторых случаях теорема 3.2 справедлива для сектора, являщегося объединением нескольких смежных секторов Стокса.
Предположим, что для уравнения ( 3.1) все полиномы шеют одинаковые порядки р относительно % г . Это будет иметь место, в частности, если в таком разложении пространства в котором матрицы операторов /\ имеют вид оператор /\о \лн г\ не имеет кратных собственных значений. Положим -р/(Г Пусть т - луч Стокса.для уравнения (3.1). Если выполне-но наше предположение, то луч, полученный поворотом луча 2 на. угол tyоС , также является лучом Стокса. Обозначим его . 2" . . Через T f обозначим следующий за ним в положительном на- . правлении луч Стокса, а через о0 0 - сектор, заключенный между лучами Тр.. и Т„+ / . Следствие. .3.1. В описанных выше условиях утверждение теоремы 3.2 справедливо для сектора S о v Доказательство. Достаточно показать возможность такого выбора контуров интегрирования / j.(E) , чтобы остались справедливыми утверждения лемм 3.2 - 3.4. Выберем точку 20 на луче - биссектрисе сектора jol)y которая делит этот сектор, на сектора о i и ог . Раствор этих секторов не превосходит /оС , поскольку раствор сектора О 0/и не превосходит 2.У/с( . контуры интегрирования I\, (Z) выберем из тех же соображений, что и в теореме 3.2. Отметим, .. что в случае I ФJ все контуры //.. (I) будут типа б). Теперь непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости лемм 3.3 - 3.4. Лемма 3.2 в условиях нашего следствия становится тривиальной. Доказательство окончено. Сектор называется асимптотическим сектором для уравнения (3.1), если существует такое решение У С В) этого уравнения, что в любом собственном подсекторе с S матрица-функция y(Z) (у. (2) допускает асимптотическое разложение при о 2 - . с э . Из теоремы 3.3 вытекает, что построить решение уравнения (3.1) методом теоремы 3.2 можно лишь в асимптотическом секторе. В работе [32J приведен критерий асимптотичности сектора S из которого, в частности, следует, что в условиях следствия 3.1, построить решение уравнения (3.1) методом теоремы 3.2 в секторе о можно в том и только в том случае, когда S - асимптотический сектор. 9. Пример В комплексном банаховом пространстве рассмотрим оператор-функцию /\ (gj : , — - (JS)» Действующую на функцию X СTJG-J? следующим образом: А (Ю [х (TjJ e J3F У К (г, г, Ю х(й) с/ъ, (3-26) где ядро непрерывно по Т; Г в квадрате %Я ] точке х [-JF jr] и имеет полюс порядка Z--f ( т= -/,2 ...) ъ - разложение функции f\ (z Т Ъ) в РЯД Лорана в окрестности точки Z = о = Рассмотрим векторное интегро-дифференциальное уравнение и предположим, что коэффициенты /\. (Tf ) (6=-/ О ... г -і) представляют собой вырожденные ядра интегральных операторов. Тогда (3.27) является конечномероморфным дифференциальным уравнением. Положим для определенности, что f\Cz, Т, Gr; =2sl/7 + Sin TCOS + Z (c0sr- (3.28/ где /7 3, функция / y (2 Г Ъ) голоморфна no Z в окрестности точки.
Исследование структуры решения
Операторы при К 0 вполне непрерывны и являются пределами по норме пространства J/3 конечномерных операторов (совокупность таких операторов обозначим через J ). Наиболее полные результаты получены в случае, когда оператор-функция/)(щ) конечномероморфна в окрестности точки Zf .
Перейдем к изложению основных результатов .диссертации. Положим - разложение оператор-функции /\ (g) в ряд Лорана в некоторой выколотой окрестности / точки Bf . В случае, когда JQ —Q и точка В1 является полюсом оператор-функции А г%\ , И.А.Лшпо-Данилевский JI8J построил решение уравнения (0.9), как функцию от В и операторов /\к (/( Є Ж) . В работе Н.П.Еругина jllj отмечается, что этим же способом можно построить решение уравнения (0.9) и в случае существенно особой точки / . Глава І в целом посвящена уточнению и обобщению этого результата. В I приведены основные свойства решений линейных дифференциальных уравнений. 2 посвящен обобщению результата И.А.Лаппо-Данилевского на случай произвольного комплексного банахова пространства _J73 и существенно особой точки %i . Положим Zf = О , для некоторого Z і . Обозначим через Уі область где О J J2 Z t а через \/ - область, лежащую на конечном числе листов римановой поверхности все точки которой при проектировании на плоскость попадут в область Тогда имеет место следующая теорема. Теорема 1.4. Для всех В0 Є Vi и? У решение -уравнения (0.9) у (і) с начальным условием есть равномерно целая функция операторов f\ , представимая композиционным рядом о {PJHH ---, } где Щр ь\ - некоторые функции от pr , j , рацио нальные числа с/ , ?{ определены приведенными в I8j на стр. 188 рекуррентными соотношениями из которых, в частности, вытекает, что если А ... А/ неотрицательны, то В теореме 1.4 решение уравнения (0.9) найдено в неудобном для исследования виде. В частности, трудно что-либо сказать о поведении решения в окрестности особой точки ] f=(? . Оставшаяся часть главы I посвящена уточнению структуры решения, которое заключается в разложении У(2) на более простые множители. Такое разложение может быть сведено к задаче о факторизации обратимой в области V оператор-функции, имеющей в нуле изолированную особенность. Эта задача изучалась, в частности, в работах [з - 6J , 1_37.Для матриц-функций нужная факторизация была построена Биркгофом (см. ]_34j , j_35] ) Приведем лемму, которая позволяет применить теорему 0.1 из -[б]для факторизации решения уравнения (0.9) в случае, когда в этом уравнении AKJ при К 0 . Лемма 1.2. Предположим, что в уравнении (0.9) операторы /\к Є J при К 0 Тогда решение этого уравнения имеет вид где НєЗ , $ -IeJ , J при К О . Обозначим через расширенную комплексную плоскость. Сформулируем основной результат 3. Теорема 1.7. Если при К О операторы г\иЄ J , то решение уравнения (0.9) имеет вид где НЄ J » LJ(2) голоморфная, обратимая при /«?/ Z , Ь (.2) - целая относительно Z" , обратимая при всех Я ЕФО оператор-функции, оператор-функция // ( имеет вид причем операторы п f 1=/ п) являются взаимно дизъюнктными одномерными проекторами из L ( Р )» і 1 /L. Р и К1 ... Kh - некоторые, отличные от нуля целые числа. Кроме того, Ц)(о) 1 и коэффициенты /"д. ряда /(=-00 принадлежат J при К О . На основании леммы о факторизации близкого к единичному элемента банаховой алгебры ( [7 J , стр. 51 ) получен основной - 15 -результат 4. Теорема 1.8. Существует такое п О , что при выполнении неравенства решение уравнения (0.9) имеет вид ?КЄПЄ к(3) 3&)- голоморфная, обратимая при // Z (Е) - целая относительно 2 , обратимая при всех f % ФО оператор-функции, fy(o)=X ЭД?И этом оператор-функции , для всех 2 Є Vi являются равномерно голоморф к} --«х» » удовлетворяющего неравенству (0.11). В теореме 1.8 также приведены формулы для коэффициентов композиционных рядов, которые определяют оператор-функции L(E) В главах П - Ш рассматривается конечномероморфное уравнение (0.1) в окрестности особой точки Zi = е = . Исследование решения уравнения (0.1) У (г) обычно разделяют
Построение решения методом последовательных приближений
Сравнивая это соотношение с предельными равенствами (3.14), получаем Є (2) О , что и доказывает асимптотическое равенство (3.24).
Замечание 3.1. Если S I. , то теорема 3.2 остается справедливой для сектора If] Т. Предположим, что в уравнении (3.1) матрица-функция А сю голоморфна при \Z\ \Z0\ Тогда теорема 3.2 справедлива для любого нормального сектора $ . В некоторых случаях теорема 3.2 справедлива для сектора, являщегося объединением нескольких смежных секторов Стокса. Предположим, что для уравнения ( 3.1) все полиномы шеют одинаковые порядки р относительно % г . Это будет иметь место, в частности, если в таком разложении пространства в котором матрицы операторов /\ имеют вид оператор /\о \лн г\ не имеет кратных собственных значений. Положим -р/(Г Пусть т - луч Стокса.для уравнения (3.1). Если выполне-но наше предположение, то луч, полученный поворотом луча 2 на. угол tyоС , также является лучом Стокса. Обозначим его . 2" . . Через T f обозначим следующий за ним в положительном на- . правлении луч Стокса, а через о0 0 - сектор, заключенный между лучами Тр.. и Т„+ / . Следствие. .3.1. В описанных выше условиях утверждение теоремы 3.2 справедливо для сектора S о v Доказательство. Достаточно показать возможность такого выбора контуров интегрирования / j.(E) , чтобы остались справедливыми утверждения лемм 3.2 - 3.4. Выберем точку 20 на луче - биссектрисе сектора jol)y которая делит этот сектор, на сектора о i и ог . Раствор этих секторов не превосходит /оС , поскольку раствор сектора О 0/и не превосходит 2.У/с( . контуры интегрирования I\, (Z) выберем из тех же соображений, что и в теореме 3.2. Отметим, .. что в случае I ФJ все контуры //.. (I) будут типа б). Теперь непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости лемм 3.3 - 3.4. Лемма 3.2 в условиях нашего следствия становится тривиальной. Доказательство окончено. Сектор называется асимптотическим сектором для уравнения (3.1), если существует такое решение У С В) этого уравнения, что в любом собственном подсекторе с S матрица-функция y(Z) (у. (2) допускает асимптотическое разложение при . Из теоремы 3.3 вытекает, что построить решение уравнения (3.1) методом теоремы 3.2 можно лишь в асимптотическом секторе. В работе [32J приведен критерий асимптотичности сектора S из которого, в частности, следует, что в условиях следствия 3.1, построить решение уравнения (3.1) методом теоремы 3.2 в секторе о можно в том и только в том случае, когда S - асимптотический сектор. В комплексном банаховом пространстве рассмотрим оператор-функцию /\ (gj : , — - (JS)» Действующую на функцию X СTJG-J? следующим образом: где ядро непрерывно по Т; Г в квадрате %Я ] точке х [-JF jr] и имеет полюс порядка Z--f ( т= -/,2 ...) ъ - разложение функции f\ (z Т Ъ) в РЯД Лорана в окрестности точки Z = о = Рассмотрим векторное интегро-дифференциальное уравнение и предположим, что коэффициенты /\. (Tf ) (6=-/ О ... г -і) представляют собой вырожденные ядра интегральных операторов. Тогда (3.27) является конечномероморфным дифференциальным уравнением. Положим для определенности, что f\Cz, Т, Gr; =2sl/7 + Sin TCOS + Z (c0sr- (3.28/ где /7 3, функция / y (2 Г Ъ) голоморфна no Z в окрестности точки.
