Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Система уравнений свертки в комплексных областях 17
1.0. Обозначения, предварительные сведения и результаты 17
1.1. Формулировка теорем 24
1.2. Свойства функций CJ и хР 27
1.3. Доказательство теоремы I. Примеры 32
1.4. Доказательство теоремы 2 44
1.5. Доказательство теоремы 3 55
1.6. Доказательство теоремы 4 61
1.7. Инвариантные подпространства оператора кратного дифференцирования 63
ГЛАВА 2. Система уравнений свертки в вещественных областях 68
2.0. Обозначения и предварительные результаты . 68
2.1. Формулировка теорем 70
2.2. Свойства функций СО и ft 72
2.3. Доказательство теоремы 5 77
2.4. Доказательство теоремы 6 88
Литература 92
- Обозначения, предварительные сведения и результаты
- Доказательство теоремы I. Примеры
- Свойства функций СО и ft
- Доказательство теоремы 6
Введение к работе
Диссертация посвящена изучению систем однородных уравнений свертки в пространствах векторнозначных функций в комплексных и вещественных областях.
Пусть U,, ...} LL - области в комплексной плоскости (интервалы вещественной оси), ЬЬ СUі) С С ( Ц L)) пространство функций, голоморфных в области UL (непрерывных на интервале Uc ) с топологией равномерной сходимости на компактах, і- = І, .... (J- , S.t - линейные непрерывные функционалы на пространстве Н, ( Ut) ( С ( U;,)) , 1=1,...,(^, j є J , где J - некоторое множество индексов.
Основной вопрос, рассматриваемый в диссертации - задача аппроксимации произвольного решения системы .v
В случае CL = 1 J | =1 эта задача для комплексных областей рассматривалась в статьях [Зб] , [35], [39], [I] , [17] , [34], [19]. В этих работах предполагалось, что характеристическая функция соответствующего уравнения свертки, то есть < 5t , exp /иг.> , удовлетворяет ограничениям типа оценок снизу.
Для Cj. = і наиболее полно эта задача изучалась в работах [9І, [10], [її].
Было доказано, в частности, что если CJ = | J | = j , а область U< выпукла, то элементарные решения системы (зе) полны в классе всех решений.
Для О, > і вопрос исследовался в статьях [12], [13], [и]. Было доказано, в частности, следующее утверждение: если области Ut , ... , U^ выпуклые, а Q. - і , то элементарные решения системы (зе) полны в классе всех решений.
Случай вещественных областей рассматривался при Ц ~і в работах [ЗЗ], [37], [38], [18]. Для U, = R в статье [38] показано, что элементарные решения системы (зе) полны в пространстве всех решений. Наиболее общий результат для ограни ченного отрезка получен в статье [l8]. Ниже мы приведем его обобщение на случай ty > { (см. теорему б).
Для 0--2.,1^=1/.2.-^ в статье [32] показано, что элементарные решения системы (зе) полны в классе всех решений.
Произвольные системы уравнений свертки в комплексном и вещественном случае мало исследованы. К таким исследованиям можно отнести лишь [12], [13], [І4], [32]. Трудности, возникающие в изучении этих систем, связаны в основном с тем, что элементарные решения образуют несчетное множество. Эти трудности в некоторых важных случаях удалось в диссертации обойти.
Перейдем к изложению основных результатов диссертации.
Введем следующие обозначения: Ч* ( Я-0 = S (ju) = = l
Для вектор-функции I e П l=< Ы С ^i ) ( t -тая компонента функции f голоморфна в некоторой окрестности компакта &1 ) положим ^^f.4.o = ^Sc- ^ d^> - замкнутый контур, не проходящий через нули функции L (ju) . Можно показать (см. 1.2), что функция т* является линейной комбинацией элементарных решений системы (х). Если внутри контура С только один нуль функции L Cju) » то функцию ? (z, f, Ч\ С ) будем также обозначать fP ( z. > *f» ^, J*0 .
Предполагая, что U-t э к-^ , 1 = 1,..., п для выпуклого компакта k с Зі определим С^, Ч , k У,, как объединение множеств nsn=< [(t+ В')^к!] по всем системам ( В , .. . , В J таким, что В , ... , В выпуклые компакты и для любых гп и j com, U,"s( (B''^iKUm, B'^Ln^Cu^febX; здесь символ L-^J0 обозначает ту связную компоненту множества М , которая содержит нуль, а
Заметим, что если области Ui, ... ," U n выпуклые, то
Имеет место следующий результат
Теорема I. Пусть для функции I* (ju^ выполняется оценка \1Сян> С а) Є где &. - выпуклый компакт, 1я1 = ік, ^-к. \^> ft С8, U = sup Re z Є -іе ке Z в Ze 'ft.
Тогда для "р є П"=< Н,ОЛ
В ТОПОЛОГИИ Н, (С t-^t К ) Ji- ) , ГДЄ С к. '. ІЯІ ~ ^* » f^m^n, LnilR. _ внутренность множества к. . Если функция | є П1={ Ы(иг) удовлетворяет системе (я), то указанный предел достигается в топологии пространства Н, (( U,
Первая часть теоремы доказывается методом, изложенным в монографии [20] (с 301-306) для доказательства аналогичного результата при п = 1 , а доказательство второй части опирается на первую и использует свойства функции J , изученные в параграфе 1.2.
Для п > і разложения такого вида в различных пространствах аналитических функций, удовлетворяющих системе типа (я), рассматривались в работе [30] . Для пространств вида
П L=J, Ц (u-L) из результатов этой статьи вытекает такое утверждение. - 7 -Пусть U4 = * = Un= {UKR}
I L(jiOl CCe) е.аІЯ\ Іяі = «к, M
Тогда выполняется соотношение ?т (н, f, Ч\ CJ- Ыг) для системы в топологии пространства а + R - Сп+ О г фгК -*"-1"»»«})
Теорема І в этой ситуации гарантирует сходимость в топологии пространства H,(^\2\
Приведены примеры, показывающие точность теоремы І, в частности, построен пример системы, для которой та -гые компоненты элементарных решений не полны в любой области, содержащей замыкание множества
Для формулировки следующей теоремы введем такие обозначения: для А с , М с R (A,Jli)= {zeC: Rezeie
Теорема 2. Пусть L (ju) - функция вполне регулярного роста и числа 1 к \ «*-=» таковы, что где Hi - сопряженная диаграмма функции L (p) ; пусть, далее, j14» - последовательность различных нулей функции L Cju) , i> - их кратность, Q ^ 9 < < 9 Р < &5І,
9s+< -51/2 < as< Qs +5J/2, S= 1,..., p, 8p„ = 9. + 2S1. Тогда существует последовательность многочленов Qp <*, & (ru"), c< > 0, > 0 f степень (jJ)0t)6 - не выше mp -1 , что для -f е nL_( К С ^1^ и любого т , 1 ^ m ^ a в топологии пространства Н* (С) , где Ъ - оператор дифференцирования. Если В - компакт в области T(fm, (int л)- л , losi> i^s\) и расстояние от ее границы до & больше <*. , то равномерно на & "т Сн, {, 4,",j^jzS fmCH.).
Для функции т є ''i=< »1 ч U-t ) 9 удовлетворяющей системе (х), последний предел достигается равномерно на компакте В' области ТЧЬ. сопи Си,Ч,П)т1 [8» і ,&.}) если расстояние от ее границы до о больше <*. .
Эта теорема доказывается на основе свойств функции J для п = і и свойств квазиполиномов с показателями, лежащими в угле.
В параграфе 1.5 получен следующий результат.
Теорема 3. Пусть L Ср) - функция вполне регулярного роста и функция { є П1=< К» С LU) удовлетворяет системе - сопряженная диаграмма функции < S L , е. -^ > , то функции J С 2., т» Ч\ JU р) удовлетворяют последнему уравнению для любого нуля функции L (ju) .
Этот результат является новым и для п =і . Если, например, q, = і , IJ І-2. , U4 = lzl < і 5 , fet' -= {lz( * ^2 \ , функции < Sf\ e*P (juz», < С, exp (ju2^> вполне регулярного роста не имеющие общих нулей, функция 4 є Н, CUi) удовлетворяет системе (я), то из предложения 6.5 статьи [101 вытекает, что 1=0 если диа-метр |4 меньше единицы. По теореме 3 функция -f = 0 , если, например, компакт кv является отрезком длины меньшей
Эта теорема позволяет свести в некоторых случаях вопрос полноты элементарных решений системы уравнений свертки, у которой ранг равен числу неизвестных функций, к аналогичному вопросу для системы, у которой и число уравнений равно рангу.
Следующая теорема позволяет в некоторых случаях задачу полноты элементарных решений системы уравнений свертки сводить к аналогичной задаче для системы, у которой ранг совпадает с числом неизвестных функций.
Для формулировки этой теоремы предположим, что і J I = n и обозначим Ч* (р) матрицу, образованную первыми П столбцами матрицы 44ju) , а л ч> (ju) - последними ty - п столбцами, Е( - сопряженные диаграммы элементов матрицы (^) iju) * * C^Xju) , l = i, ..., ty-n , j = і,..., n , ft - соп- ряженную диаграмму функции оіеї f Cju) , - полиномы pes) = Up, pO : Pi бПіІ н;сс) и ta[s,,...,s".sB*,]=ni
Теорема 4. Пусть del 4 (jtO - функция вполне регулярного роста, области UK+{ , ... , U^, выпуклые, UK<1 *ЗЇ => Uj+ ЕІ , 1.= 1, ^-п-Г1 "
Тогда любую функцию можно пред- ставить в виде f- г* г, где Тії ^ П г _« Н/ (^ Ui ) , что у функции -?' последние 4* ~ п компонент нулевые, а функция f х аппроксимируется функциями из «/ (S) в топологии пространства n.t!, acuo .
При доказательстве этой теоремы используется результат о разрешимости неоднородного уравнения с характеристической функцией вполне регулярного роста (см. [7І, [6]).
Приведем два результата, иллюстрирующих указанные выше теоремы.
I). Пусть функция те П1а1 НД LU) удовлетворяет сие- теме (я). Предположим, что найдутся функционалы S , ... , о єє с ^ і * где n - ранг системы f SJ ] , такие, что det 4(ju) Ф 0 функции < St , exp (ju-)> имеют минимальный тип u, t= I, -, n . Пусть, далее, области Un+t , ..., LJ су выпуклые, причем UL с Цг , І = i, ..., п , С = n-vi, ..., Цг в Тогда справедливы утверждения: а) функция ti голоморфно продолжается в область com; U-fc, l = 1 , ... , n , б) f r f + "i , где - II -
7,7е l'u» Н, чсопи Ux) 9 прИ этом последние ty-к компонент функции f равны нулю и для некоторой последовательности t.^00 VCz) = tim ? (г, Г, >, С.) где в топологии ГС И, Ссопи U-J , Ск ljul = fcK функции j С 2-, т , Ч* , ь^) удовлетворяют системе [ 'S , ) s J } . Функция т аппроксимируется в топологии П L_, R, (con и Ut ) векторами с полиномиальными компонентами, удовлетворяющими системе (и). Этот результат усиливает соответствующее утверждение работы [12] (теорема 10), где доказана только полнота элементарных решений системы (к) в классе всех решений из пространства П L_< К» С U-t) при дополнительных предположениях: a) U, = - = U^ ; б) функции < SL , exp ()UZ) > , 1= п + і , ... , Cf, ,={,..., П имеют минимальный тип
2) Пусть области U4, .. , , U ^ выпуклые и функция f є П. _ Ы ( U і) удовлетворяет системе уравнений свертки (к). Предположим, что найдутся функционалы $', ... , S^ {_ S4^ » , где п - ранг системы (зе), для которых выполняются условия a) det 'ч> (ju) функция вполне регулярного роста с сопряженной диаграммой ^t=R4 *+&„ ; б) для некоторой выпуклой области О , содержащей нуль и чисел
9, е,,95( 0*Ме4*85* 2Я, бх+< -Q, ^й , s =1,2,3, ^осцс сь..+(рдел), L=i,...,n в) U. f fet з Ut + fev , 1= n+i,..., (*, =i, ... , n г) если S^ [s , ... , Sn \ , то
Тогда f = -f* + f * , где функции f', f* є []*« ЬЬСЫО таковы, что I) последние ty-п компоненты равны нулю и она представляется в виде предела в топологии ІЧ*« H/CUl) линейных комбинаций элементарных решений системы (я), у которых последние 9- - п компоненты также равны нулю; 2) функция т аппроксимируется решениями системы (я) с поли-номиальными компонентами в топологии П1=1 H,(U-t)
Сравним этот результат с аналогичным утверждением статьи [12] (с.39), которое можно сформулировать так.
Пусть функция f е П.:| Ы (Ut) удовлетворяет системе (к), \Jl = n, Х= fc< + + fen , где 2ГС-сопряженная диаграмма функции de.t Ч> CjtO , 11-,= (9+(^ для некоторой выпуклой области (9 , содержащей начало, 1= і,..., cj, . Если для функции det ЧЧ^О выполнена оценка
Ickt 4(ju)U C(E)fc либо на последовательности окружностей стремящейся к бесконечности, либо на трех лучах исходящих из начала, то функция \ аппроксимируется линейными комбинациями элементарных решений системы (к) в топологии пространства П._, Ы (Ui)
Если предположить, что функция det Ч (ju) вполне регулярного роста, то все условия нашего примера будут выполнены.
В параграфе 1.7 рассматриваются замкнутые подпространства пространства голоморфных функций в области, инвариантные относительно кратного дифференцирования. Показывается, что вопрос пол- - ІЗ - ноты квазиполиномов в таких подпространствах сводится к вопросу полноты элементарных решений некоторой системы уравнений свертки в пространстве векторнозначных функций и строятся примеры, дающие отрицательное решение проблемы 6.5 книги [4], которая заключалась в следующем.
Пусть U выпуклая область в плоскости $< ч ... , Sn є є Н, (1Л, p t , :.., PneH/(U) , спектр оператора Л , где в пространстве W = [fsaCU):
Приступим теперь к изложению результатов второй главы, в которой рассматриваются системы уравнений свертки в вещественных областях.
Предположим, что для системы (к) | JI = ty = п ,И для функции |є П."( U ( ki) > где L (\i) - пространство интегрируемых по Лебегу функций, определим вектор-функцию
Г, г о ІГЄ ) г oil " c L(;u) a Cue. П l=i fej_ , С - замкнутый контур, не проходящий че- рез нули функции L Cju) , если внутри контура С лежит только один нуль Я0 функции L (я) » то функцию J (z, {, Ч, С) будем также обозначать 7 (г, |, ЧЧЯ»)
В параграфе 2.3 доказана
Теорема 5. Существуют такие замкнутые контуры Гк и Гк , что
К-»00 в топологии пространств Н, ([^т 2. > О , Re. н. ш1) и H,((3mE<0 , Rene CtntDi)5- i 31]) , соответственно, где і m ^ n . При в топологии пространства C((tnt ^0 ~ ^ ^
Если же функция f ^- П1=( С ( Lii) и удовлетворяет системе (х), то первые соотношения выполняются в топологии прост ранств -*- fet)I- К И) и KC{3mz <0 , Reze соответственно. А при у — О в топологии пространства - И)] - зі-і) .
Первая часть этой теоремы доказывается тем же методом, что и аналогичное утверждение для n = 1 в монографии [20] (см. с.435-447), а вторая часть - на основе первой и свойств функции *Р , полученных в параграфе 2.2.
В конце параграфа 2.3 приведен пример, показывающий, что интервал сходимости, о котором говорится в теореме 5, вообще говоря, не может быть увеличен.
В последнем параграфе доказана
Теоремаб. Пусть S? е C*(R )9 гі є Т, 1=1,...,((, , функция -f е. nL_t С (JR) удовлетворяет системе (зек).
Тогда справедливы следующие утверждения: а) существуют функции І є. Ul=, bi({3mz>0]) и f ~е П-,1, Н, ({3mZ < 0 1) , что для любого у >0 функции (і+(х+lip,..., |%(х+1^) и С<ЇСх-4^ '> ІаС'Я-'ьч}) удовлетворяют СИСТЄМЄ (хх) И при у — О в топологии пространства С ClR) , где Н^Ц , б) функция т аппроксимируется линейными комбинациями элементарных решений системы (хх) в топологии пространства n,:,c(R).
При доказательстве этой теоремы используются результаты первой главы.
Теорема 6. существенно усиливает результат работы 132], в которой рассмотрен случай ty = Z и доказана лишь полно- та элементарных решений системы (х) в классе всех решений.
Результаты диссертации изложены в работах [24], [25], [26]. Они докладывались на Всесоюзном симпозиуме по теории аппроксимации функций в комплексной области в г.Уфе (1980) и на семинарах Отдела физики и математики Башкирского филиала АН СССР, Баш- кирского государственного университета имени 40-летия Октября, на 2-ой Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (1984 г.).
Основные научные положения, вынесенные в диссертации на защиту, заключаются в следующем:
I). Получено представление вектор-функций в виде ряда элементарных решений квадратной невырожденной системы уравнений свертки (теорема I).
2). Описаны области, в которых ряд элементарных решений квадратной невырожденной системы (х), сопоставляемый функции , суммируется аналогом метода Рисса к самой функции (теорема 2).
3). Описаны случаи когда вопрос полноты элементарных решений системы уравнений свертки сводится к аналогичному вопросу для квадратной невырожденной системы (теоремы 3 и 4).
4). Описаны области, в которых ряд элементарных решений квадратной невырожденной системы (»), сопоставляемой функции , суммируется методом Абеля к самой функции (теорема 5).
5). Доказано, что элементарные решения системы уравнений свертки в пространстве і~К=і С LR) полны в классе всех решений (теорема 6).
Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю В.В.Напалкову за постоянное внимание и помощь в работе над диссертацией.
Обозначения, предварительные сведения и результаты
Диссертация посвящена изучению систем однородных уравнений свертки в пространствах векторнозначных функций в комплексных и вещественных областях.
Пусть U,, ...} LL - области в комплексной плоскости (интервалы вещественной оси), ЬЬ СUі) С С ( Ц L)) пространство функций, голоморфных в области UL (непрерывных на интервале Uc ) с топологией равномерной сходимости на компактах, і- = І, .... (J- , S.t - линейные непрерывные функционалы на пространстве Н, ( Ut) ( С ( U;,)) , 1=1,...,( , j є J , где J - некоторое множество индексов.
Основной вопрос, рассматриваемый в диссертации - задача аппроксимации произвольного решения системырешений, то есть функциями вида В случае CL = 1 J =1 эта задача для комплексных областей рассматривалась в статьях [Зб] , [35], [39], [I] , [17] , [34], [19]. В этих работах предполагалось, что характеристическая функция соответствующего уравнения свертки, то есть 5t , exp /иг. , удовлетворяет ограничениям типа оценок снизу. Для Cj. = і наиболее полно эта задача изучалась в работах [9І, [10], [її]. Было доказано, в частности, что если CJ = J = j , а область U выпукла, то элементарные решения системы (ЗЕ) ПОЛНЫ в классе всех решений. Для О, і вопрос исследовался в статьях [12], [13], [и]. Было доказано, в частности, следующее утверждение: если области Ut , ... , U выпуклые, а Q. - і , то элементарные решения системы (ЗЕ) ПОЛНЫ В классе всех решений. Случай вещественных областей рассматривался при Ц і в работах [ЗЗ], [37], [38], [18]. Для U, = R в статье [38] показано, что элементарные решения системы (ЗЕ) ПОЛНЫ В пространстве всех решений. Наиболее общий результат для ограни ченного отрезка получен в статье [l8]. Ниже мы приведем его обобщение на случай ty { (см. теорему б). Для 0--2.,1 =1/.2.- в статье [32] показано, что элементарные решения системы (ЗЕ) полны в классе всех решений. Произвольные системы уравнений свертки в комплексном и вещественном случае мало исследованы. К таким исследованиям можно отнести лишь [12], [13], [І4], [32]. Трудности, возникающие в изучении этих систем, связаны в основном с тем, что элементарные решения образуют несчетное множество. Эти трудности в некоторых важных случаях удалось в диссертации обойти. Перейдем к изложению основных результатов диссертации. л Введем следующие обозначения: Ч ( Я-0 = S (ju) = = l S-,B )._.el, Ri - сопряженные диаграммы элементов матрицы P(jiO« R =conv Ujej RL f Где conv E - выпуклая оболочка множества E . Максимальное по J" є С число п линейно-независимых строк матрицы Ц CJU) назовем рангом системы С х) . Если CJ. = I J I - n , то обозначим Ч (ju) - присоединенная матрица к Ч (;іО » то - 5 есть транспонированная матрица алгебраических дополнений, }{! -сопряженные диаграммы элементов матрицы Ч (ju) , К -сопряженная диаграмма функции L (ju) = d at Ч (ju), Зі = con і/ UC::1 J\ , Для вектор-функции I e П l= Ы С i ) ( t -тая компонента функции f голоморфна в некоторой окрестности компакта &1 ) положим f.4.o = Sc- d где - замкнутый контур, не проходящий через нули функции L (ju) . Можно показать (см. 1.2), что функция т является линейной комбинацией элементарных решений системы (х). Если внутри контура С только один нуль функции L Cju) » то функцию (z, f, Ч\ С ) будем также обозначать fP ( z. f» , J 0 . Предполагая, что U э к- , 1 = 1,..., п для выпуклого компакта k с Зі определим С , Ч , k У,, как объединение множеств nsn= [(t+ В ) к!] по всем системам ( В , .. . , В J таким, что В , ... , В выпуклые компакты и для любых гп и j com, U,"s( (B iKUm, B Ln Cu febX; здесь символ L- J0 обозначает ту связную компоненту множества М , которая содержит нуль.
Доказательство теоремы I. Примеры
Если (tnt Л) І. "-0 , то доказывать нечего, поэтому будем считать, что (Jini. ЇК.) — 0 , из этого соотношения следует, что либо Ч .- L$u) = 0 » либо у функции Ч5 j Qu) / L Qu) имеется бесконечное число полюсов, j = І, ... , п , ибо L (j ) - функция вполне регулярного роста. Здесь » ; Ср) - элемент матрицы Qu), стоящий на пересечении пі -той строки и і -того столбца.
Допустим, что і -тая строка матрицы Ч (Я) линейно зависима от остальных строк. В этом случае найдется числовой вектор = С , что его L -тый элемент равен единице и ЬчЧіЧ») - U ; если j -тая строка матрицы ЧЧЯо) линейно независима от остальных, то необходимо J -тая компонента j2 равна нулю. Пусть матрица Ь такова, что на диагонали у нее стоят единицы, L -тая строка совпадает с вектором , а остальные элементы нулевые. У матрицы В 0й I -тая строка есть линейная комбинация тех строк матрицы PQi) , которые линейно зависимы от остальных в матрице Ч (ju0) ; если j -тая строка матрицы Ч Qu«J была линейно независима от остальных, то j -тый столбец матрицы (В Ч1 ( uj) совпадает с ] -тым столбцом матрицы 4 Cju} -По свойству 7) и 8) функции сг , теорему достаточно доказать для матрицы Ф(]и) , которая получается из матрицы В Ч (ju) делением ее I -той строки на двучлен С ju - jvu)
Проделав вышеописанную операцию достаточное число раз, заменим матрицу Ч ( ju) на матрицу Ф Cju) , у которой все возможные строки убывают на мнимой оси как 0 ( 4/l/ul ) : В этом случае, если при некотором JU,? є. ( j -тая строка матрицы f CjU0) линейно зависима от остальных строк, то эта j -тая строка ведет себя на мнимой оси как 0 (l/l/ul )
Пусть индекс / таков, что Ф - (ju) 0 и U0 - полюс функции Ф Q$u)/L(ju) . Проделав вышеопи-санную операцию можно считать, что чр Ф 0 , что вместе с равенством d гі ч? (jUu )=0 означает линейную зависимость j -той строки матрицы 3? Cjue) от остальных строк. Следовательно, j -тая строка матрицы Ф (ju) ведет себя на Если &LK зь. Q , то К -тая строка матрицы ф Que) линейно зависима от остальных строк, и, следовательно, К -тая строка матрицы Ф Cju) ведет себя на мнимой оси как ООД І/ Применяя свойства 7) и 8) функции з , придем к матрице, у которой j -тая строка убывает на мнимой оси как 0 O/ljUl; » а остальные строки такие же, как у матрицы Ф (j O То же проделаем с остальными строками. Итак, можно считать, что если , то j -тая строка матрицы У(м\ ведет себя на мнимой оси как О U/ijul ) » так что Функция QL (ju, \) из свойст ва 2) функции ио будет иметь оценку при Re. Л =0 Можно также считать, что L (.0) 0 , кривые У{ и Yz не пересекают мнимую ось, а кривая их соединяющая пересекает мнимую ось только в нуле. 2. В силу линейности функции J(Z, f, , С) по є ["] n L Сki) теоРемУ достаточно доказать для функций, у которых только ] -тая компонента отлична от нуля. Для таких функций f имеем где У- С Ь, 2 , С) - Функция, ассоциированная по Борелю с целой функцией 1 2Я1 Jc (X-fO Llji.) функция У (Л, "г, С) непрерывна на й R , где { - дважды проходимый в разных направлениях отрезок к-Условимся под X. [t г С) понимать предельные значения функции 1 1 It, г, С") на отрезке I?. при под-ходе к нему сверху, а под У - предельные значения той же функции на том же отрезке при подходе к отрезку снизу.
Свойства функций СО и ft
Эта теорема позволяет свести в некоторых случаях вопрос полноты элементарных решений системы уравнений свертки, у которой ранг равен числу неизвестных функций, к аналогичному вопросу для системы, у которой и число уравнений равно рангу.
Следующая теорема позволяет в некоторых случаях задачу полноты элементарных решений системы уравнений свертки сводить к аналогичной задаче для системы, у которой ранг совпадает с числом неизвестных функций. Для формулировки этой теоремы предположим, что і J I = n и обозначим Ч (р) матрицу, образованную первыми П столбцами матрицы 44ju) , а л ч (ju) - последними ty - п столбцами, Е( - сопряженные диаграммы элементов матрицы ( ) iju) ряженную диаграмму функции оіеї f Cju) , где Тії П г _« Н/ ( Ui ) , что у функции -? последние 4 п компонент нулевые, а функция f х аппроксимируется функциями из «/ (S) в топологии пространства n.t!, acuo . При доказательстве этой теоремы используется результат о разрешимости неоднородного уравнения с характеристической функцией вполне регулярного роста (см. [7І, [6]). Приведем два результата, иллюстрирующих указанные выше теоремы. I). Пусть функция те П1а1 НД LU) удовлетворяет сие теме (я). Предположим, что найдутся функционалы S , ... , о є є с І где n - ранг системы f SJ ] , такие, что det 4(JU) Ф 0 функции St , exp (ju-) имеют минимальный тип u, t= I, -, n . Пусть, далее, области Un+t , ..., LJ су выпуклые, причем UL с Цг , І = i, ..., п , С = n-vi, ..., Цг в Тогда справедливы утверждения: а) функция ti голоморфно продолжается в область com; U-fc, 7,7е l u» Н, чсопи Ux) 9 прИ этом последние ty-к компонент функции f равны нулю и для некоторой последовательности t. 00 VCz) = tim (г, Г, , С.) где в топологии ГС И, Ссопи U-J , Ск ljul = fcK функции J С 2-, т , Ч , ь ) удовлетворяют системе [ S , ) s J } . Функция т аппроксимируется в топологии П L_, R, (con и Ut ) векторами с полиномиальными компонентами, удовлетворяющими системе (и). Этот результат усиливает соответствующее утверждение работы [12] (теорема 10), где доказана только полнота элементарных решений системы (к) в классе всех решений из пространства П L_ К» С U) при дополнительных предположениях: a) U, = - = U ; б) функции имеют минимальный тип 2) Пусть области U4, .. , , U выпуклые и функция f є П. _ Ы ( U і) удовлетворяет системе уравнений свертки (к). Предположим, что найдутся функционалы $ , ... , S {_ S4 » , где п - ранг системы (ЗЕ), ДЛЯ которых выполняются условия a) det ч (ju) функция вполне регулярного роста с сопряженной диаграммой t=R4 ; б) для некоторой выпуклой области О , содержащей нуль и чисел Тогда f = -f + f , где функции f , f є [] « ЬЬСЫО таковы, что I) последние ty-п компоненты равны нулю и она представляется в виде предела в топологии ІЧ « H/CUL) линейных комбинаций элементарных решений системы (я), у которых последние 9- - п компоненты также равны нулю; 2) функция т аппроксимируется решениями системы (я) с поли-номиальными компонентами в топологии П1=1 H,(U) Сравним этот результат с аналогичным утверждением статьи [12] (с.39), которое можно сформулировать так. Пусть функция f е П.: Ы (Ut) удовлетворяет системе (к), \Jl = n, Х= fc + + fen , где 2ГС-сопряженная диаграмма функции de.t Ч CjtO , 11-,= (9+( для некоторой выпуклой области (9 , содержащей начало, 1= і,..., cj, . Если для функции det ЧЧ О выполнена оценка Ickt 4(ju)U C(E)fc либо на последовательности окружностей стремящейся к бесконечности, либо на трех лучах исходящих из начала, то функция \ аппроксимируется линейными комбинациями элементарных решений системы (к) в топологии пространства П._, Ы (Ui) Если предположить, что функция det Ч (ju) вполне регулярного роста, то все условия нашего примера будут выполнены.
Доказательство теоремы 6
Кривая X , составленная из отрезков с и дуг окружности / - I " " к. ) Iе- - &о 9 искомая. Лемма 1.4.2. Пусть заданы кривые типа лучей 0", и 0 в направлении 0{ и 6г, и последовательность Я , . Тогда для любой функции Н.С9) » яв ляющейся опорной для некоторого компакта, найдется целая функция FC/w экспоненциального типа и вполне регулярного роста с индикатрисой H-Lv) , что на кривых tf"t , Гг. и окружностях / L [ - Lie выполняется оценка (1.3.2). Доказательство. Объединяя последовательности Ск_ и с по которым построены кривые (Г» и (Гг. , и /2 ./, получим последовательность Ъ f jZ - K. ; С/ О . Как показано при доказательстве теоремы I, найдется целая функция экспоненциального типа и вполне регулярного роста с индикатрисой у которой нули / L І t jLi j.. . образуют регулярное множество и начиная с некоторого /п. для любого к. выполняются неравенства при некотором р і Пусть Xi Lj.,. такие, что /Д /& IjUL l ,и начиная с некоторого , f (Л«.,Г Utf±) - Єж.р С Й ) , а все ггредыдущие лежат вне кривых Г , (Гг. . Ясно, что такое множество { A .} всегда найдется; оно будет правильно распределенным, регулярным, угловая плотность его будет равна угловой плотности множества і Л } (см./Д)], стр. 30). Поэтому найдется целая функция экспоненциального типа Y(/L) с нулями (\ъ) , индикатор которой будет равен (см. /"20], стр.38); функция У С /А.) будет вполне регулярного роста (CM.[20J, стр.100). Из леммы 1.3.3 следует, что функция C J на Xit L и окружностях имеет нужную оценку. Лемма доказана. Пусть имеется контур / , составленный из двух кривых типа лучей в направлении в, и & , &i L , и кривой, соединяющей их начала. Для t / && обозначим Гс замкнутый контур, получающийся присоединением к части контура / , лежащей в круге ljU.1 , дуги окружности 1и,1 ZK. , расположенной в угле #, JL / С Uz. Лемма 1.4.3. Пусть функция вполне регулярного роста, На контурах Гк выполняется оценка (1.4.2), т ПІ КСНІ). Тогда последовательность / .(%,7j V /\) будет сходящейся в топологии пространства И. ([7С —JC ) [в., 6t.])) .Если же 4 6 Ли, HtlLi) и удовлетворяет системе (1.0.2), то последовательность Л .(?Д CJ будет сходящейся в топологии пространства Доказательство. Пусть функция ті голоморфна в области Я І .По лемме 1.5.3 монографии 21J найдется о 0 такое, что каков бы ни был угол с вершиной в начале координат раствора не большего о , можно построить выпуклые многоугольники Gl , w , внешние нормали к сторонам которых лежат вне этого угла. Разобьем часть плоскости, ограниченную контуром Г в угле в, - С & J / - в , О на конечное число частей кривыми типа лучей, чтобы на каждой кривой выполнялась оценка типа (1.4.2) и раствор угла между соседними кривыми был меньше 0 . Пусть Г " контур, построенный кривым типа луча в направлении и1 и QL % О . Q - Qt а # Построим выпуклые многоугольники & -L , (j. 11 (Оі , внешние нормали к сторонам которых лежат вне угла -$."" По свойству 5) функции бО имеет место представление 00 С/с, f % CL ) = LLfJL.) А С/О - Y+Cjuu) 3C/ J где AC/AJ И ВС/ - ) - вектор-функции, голоморфные в угле 0 Б о&4./С 6 + и для функции /3 б/oj в этом - 48 угле выполняется оценка Найдется число /С , что для \С К? К. , контур Г / " к. " будет лежать в угле , поэтому для этого контура где f - /И-тая строка матрицы У C/ J . Оценим подынтегральное выражение
