Введение к работе
Актуальность темы. Аффинные системы функций, образующие класс всплескоподобных систем и тесно связанные с представлением аффинной группы евклидова пространства, активно изучаются в последние десятилетия в работах зарубежных и отечественных математиков таких, как Aldroubi, de Boor, Bownik, Bruna, Bui, Christensen, Chui, Daubechies, DeVore, Jia, Kaiblinger, Laugesen, Oswald, Ron, Shen, Sun, Tang, Weiss, Лукашенко, Новиков, Протасов, Скопина, Стечкин, Субботин, Фарков, Филиппов, Черных и многих других авторов.
Аффинные системы функций представляют собой важный специальный класс функциональных систем, удобный и показательный для отработки различных методов и подходов к решению общей задачи о представлении функций рядами. В то же время, аффинные системы находят многочисленные применения в различных областях математики (вычислительная математика, дифференциальные уравнения, функциональный анализ), а также в прикладных задачах обработки, хранения и передачи информации, сжатии изображений и теории сигналов.
Задача аффинного синтеза, т. е. задача о представлении функций рядами по элементам аффинной системы, как правило решается при довольно общих условиях на порождающую функцию, что значительно расширяет область применения аффинного синтеза по сравнению с кратно-масштабным анализом и теорией всплесков, где порождающая функция обязана удовлетворять целому ряду специальных и весьма ограничительных условий. Первые решения задачи аффинного синтеза получены Daubechies 1. Близкий вопрос о нахождении наиболее общих условий, обеспечивающих те или иные аппроксимационные свойства системы инвариантных относительно сдвига подпространств, был рассмотрен в фундаментальной работе de Boor, DeVore, Ron 2. Соответствующий вопрос о представляющих свойствах всплескоподобных систем, по-видимому, впервые изучен в статье Filippov, Oswald 3.
1I. Daubechies, Ten lectures on wavelets, SIAM Press, Philadelphia, 1992.
2C. de Boor, R. DeVore, A. Ron., "Approximation from shift-invariant subspaces of L2(Md) ", Trans. Amer. Math. Soc, 341(1994), 787-806.
3V. I. Filippov, P. Oswald, "Representation in LP by series of translates and dilates of one function", J. Approx. Theory, 82:1 (1995), 15-29.
Задача аффинного синтеза тесно связана с теорией фреймов. Фреймы в гильбертовом и банаховом пространстве изучали Duffin, Schaeffer, Daubechies, Grochenig, Casazza, Han, Larson, Christensen, Наймарк, Бари, Кашин, Куликова и многие другие авторы. Аффинные фреймы исследовались в работах Aldroubi, Sun, Tang 4, Chui, Sun 5, Bui, Laugesen 6, Laugesen 7 - см. также библиографию упомянутых работ.
В настоящее время безусловно актуальными представляются следующие задачи: развитие методов и подходов общей теории фреймов в банаховом пространстве, выяснение их роли в вопросах представления функций рядами и получение на этой основе конкретных решений задачи аффинного синтеза в классических функциональных пространствах.
Цель работы. Целью работы является развитие методов и подходов общей теории фреймов в банаховом пространстве и их приложение к задаче представления функций рядами, в первую очередь, получение конкретных решений задачи аффинного синтеза в классических функциональных пространствах посредством построения аффинных фреймов.
Методы исследования. В работе используются методы теории функций и функционального анализа, а именно: методы метрической теории функций действительного переменного, теории приближений, гармонического анализа, теории ортогональных рядов, теории линейных операторов в нормированных пространствах.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора.
Основными результатами работы являются следующие:
введено и изучено новое понятие фрейма в банаховом пространстве относительно модельного пространства числовых последовательностей, основанное на обобщении исследований Бари сороковых годов XX века по биортогональным системам и базисам гильбертова пространства и принципиально отличное от известных понятий атомарного разложения
4А. Aldroubi, Q. Sun, W.-S. Tang, "p-frames and shift invariant subspaces of Lp ", J. Fourier Anal. Appl, 7 (2001), 1-21.
5C. K. Chui, Q. Sun, "Affine frame decompositions and shift-invariant spaces", Appl. Comput. Harmon. Anal, 20 (2006), 74-107.
6H.-Q. Bui, R. S. Laugesen, "Affine systems that span Lebesgue spaces", J. Fourier Anal. Appl., 11 (2005), 533-556.
7R. S. Laugesen, "On affine frames with transcendental dilations", Proc. Amer. Math. Soc, 135 (2007), 211-216.
и банахова фрейма по Грошенигу, фрейма Шаудера по Хану и Ларсону и других определений фрейма в ситуации банахова пространства;
показана универсальная роль введенного понятия фрейма в банаховом пространстве в решении общей задачи о представлении функций рядами, установлены критерии проекционности фрейма и существования линейного алгоритма разложения по фрейму, обобщающие известные свойства классических фреймов Даффина - Шеффера;
для задачи аффинного синтеза в пространствах Лебега на евклидовом пространстве, во-первых, установлена возможность локализации классического условия Добеши полноты аффинной системы и, как следствие, доказана справедливость гипотезы Буи - Лаугесена о возможности аффинного синтеза при выполнении условия Добеши, во-вторых, на основе изучения условий сходимости дискретных матричных аналогов средних Соболева получено положительное решение задачи аффинного синтеза, из которого непосредственно вытекает справедливость гипотезы Филиппова - Освальда для общих аффинных систем;
построены аффинные фреймы в пространствах Лебега на единичном отрезке действительной прямой и над кольцом целых р-адических чисел.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы при решении задач о представлении функций рядами в функциональных пространствах, а также в ряде прикладных вопросов, где используются разложения функций в ряды по конкретным системам функций.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 23 статьях автора, список которых приведен в конце автореферата. Из них 12 статей (позиции [1], [3], [8], [12], [13], [14], [18], [19], [20], [21], [22], [23]) опублико-ваны в журналах, включенных в Перечень ВАК ведущих рецензируемых научных журналов и изданий.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на Саратовских зимних школах по теории функций (1998, 2000, 2004, 2006, 2008, 2010), на Воронежских зимних школах (1997, 1999, 2005, 2009), на Крымских осенних математических школах (2004, 2005), на ряде международных конференций: Тула (1998), Львов (1999), Екатеринбург (2000), Киев (2001), Москва (2003, 2005, 2007), Новосибирск (2008),
в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова на научном семинаре "Теория функций действительного переменного" под руководством профессора Б. И. Голубова, профессора М. И. Дьяченко, члена-корреспондента РАН Б. С. Кашина, профессора С. В. Конягина и на научном семинаре "Ортогональные ряды" под руководством члена-корреспондента РАН Б. С. Кашина и профессора СВ. Конягина, в Институте математики и механики Уральского отделения Российской академии наук на совместном научном семинаре отдела теории приближения функций и отдела аппроксимаций и приложений под руководством члена-корреспондента РАН Ю. Н. Субботина и профессора Н. И. Черных, в Воронежском государственном университете на научном семинаре под руководством профессора И. Я. Новикова, в Белорусском государственном университете на научном семинаре под руководством профессора В. Г. Кротова, а также в Саратовском государственном университете на заседании Саратовского математического общества, на ежегодных апрельских конференциях сотрудников механико-математического факультета СГУ и на различных научных семинарах под руководством профессора А. П. Хромова, профессора С. Ф. Лукомского, профессора А. Л. Лукашова и на объединенном семинаре кафедр вычислительной математики и математической физики, дифференциальных уравнений и прикладной математики, математического анализа, теории функций и приближений.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав, разбитых на 21 пункт, и списка литературы. Нумерация определений, теорем, лемм и следствий двойная, независящая от разбиения глав на пункты, которое произведено лишь для тематического разделения текста каждой главы. В автореферате сохранена та нумерация пунктов, определений, теорем, лемм и следствий, которая принята в тексте диссертационной работы. Объем диссертации - 230 страниц, библиография - 137 наименований.
