Содержание к диссертации
Введение
1 Предел мер, поролсдаемых броуновским движением со сносом к поверхности 9
1.1 Предварительные сведения 10
1.2 Броуновское движение со сносом к поверхности 12
1.3 Броуновское движение на многообразии 14
1.4 Приближение траектории к поверхности под действием сноса 16
1.5 Производная проекции на многообразие 19
1.6 Разложение Ферми непрерывных семимартингалов 22
1.7 Сходимость броуновских движений со сносом к броуновскому движению на поверхности 24
1.8 Представление решения задачи Коши на поверхности пределом решений задач Коши в M.d 31
2 Предел мер, поролсдаемых броуновским движением со сносом к области 34
2.1 Диффузия с отражением на границе области 35
2.2 Сходимость броуновских движений со сносом к броуноввскому движению с отражением 37
2.3 Представление решения краевой задачи с граничным условием Неймана с помощью функциональных интегралов 39
2.4 Представление решения задачи Коши-Неймана в области пределом решений задач Коши вШ.а 42
3 Предел мер, порождаемых уравнением теплопроводности с магнитным полем 44
3.1 Уравнение теплопроводности с магнитным полем и формула Фейнмана-Каца-Ито 45
3.2 Абсолютная непрерывность распределения стохастического интеграла относительно меры Лебега 47
3.3 Представление решения задачи Коши-Дирихле с помощью функциональных интегралов 51
3.4 Представление решения задачи Коши-Дирихле в области пределом решений задач Коши в Ша 55
3.5 Представление решения задачи Коши с начальным условием в области пределом решений задач Коши в M.d 57
3.6 Мера v 58
3.7 Связь с поверхностными мерами Смолянова-Вайцзеккера 62
Список литературы 66
- Броуновское движение со сносом к поверхности
- Сходимость броуновских движений со сносом к броуновскому движению на поверхности
- Сходимость броуновских движений со сносом к броуноввскому движению с отражением
- Абсолютная непрерывность распределения стохастического интеграла относительно меры Лебега
Введение к работе
Актуальность темы
Применение методов функционального анализа и теории вероятностей при изучении дифференциальных уравнений зачастую основано на представлении решений этих уравнений как среднего значения некоторого функционала на траекториях подходящего диффузионного процесса. Среднее значение функционала на траекториях случайного процесса может быть записано как интеграл соответствующего функционала на пространстве функций относительно меры в этом пространстве индуцированной данным процессом. Поэтому такие представления решений называются представления в виде функциональных интегралов.
При этом с каждым дифференциальным уравнением в частных производных эллиптического типа С можно связать семейство вероятностных мер в пространстве непрерывных функций на полупрямой. Это семейство мер определяет марковский процесс, соответствующий оператору С. Если известны некоторые свойства оператора С, то можно сделать определенные выводы о марковском процессе. И наоборот, изучая марковский процесс, можно получить информацию относительно дифференциального оператора.
В диссертации изучаются меры на пространстве непрерывных траекторий, индуцированные случайными процессами. Семейства случайных процессов зависят от бесконечно растущего параметра Л Є Ш+ и исследуется слабая сходимость порождаемых мер. При этом развивается подход к построению поверхностных мер, разработанный в серии работ О. Г. Смолянова
и X. фон Вайцзеккера с их сотрудниками1'2'3'4, основанный на вложении ри-манова многообразия в евклидово пространство.
Параллельно с изучением мер исследуются уравнения в частных производных, связанные с этими мерами, и доказываются утверждения о сходимости решений таких задач. Отметим, что теория поверхностных мер Смолянова-Вайцзеккера успешно применялась ранее для исследования функциональных интегралов и их применения к изучению дифференциальных и псевдодифференциальных операторов, например в работах5'6.
Все сказанное и определяет актуальность темы диссертации.
Цель работы
Цель работы заключается в представлении мер на траекториях в подмногообразиях евклидового пространства в виде предела мер на траекториях в объемлющем пространстве, а также изучении связанных с этим представлением начально-краевых задач.
Научная новизна
Результаты диссертации являются новыми. Основные из них заключаются в следующем:
1) Получено представление меры на пространстве траекторий в римано-
^молянов О.Г., Вайцзеккер X. фон, Виттих О. Поверхностные меры и начально-краевые задачи,
порождаемые диффузиями со сносом, ДАН, 2007. Т. 415 № 6. С. 737-741
2Sidorova N.A., Smolyanov O.G., Weizsacker Н. v., Wittich О. The Surface Limit of Brownian Motion in
Tubular Neighbourhoods of an Embedded Riemannian Manifold, Journal of Functional Analysis, 2004. V. 206
P. 391-413
3Сидорова H.A., Смолянов О.Г., Вайцзеккер X. фон, Виттих О. Поверхностные меры Винера на траекториях в римановых многообразиях, ДАН, 2002. Т. 383 № 4. С. 458-463
4Smolyanov O.G., Weizsacker Н. v., Wittich О. Brownian Motion on a Manifold as Limit of Stepwise
Conditioned Standard Brownian Motions, Can. Math. Soc. Conf. Proa, 2000. V. 29 P. 589-602
5Obrezkov О. O. The Proof of the Feynman-Кас Formula for Heat Equation on a Compact Riemannian
Manifold, Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability, and Related Topics, 2003. V. 6 №2 P. 311-320 8Butko Ya. A. Representations of the Solution of the Cauchy-Dirichlet Problem for the Heat Equation in a
Domain of a Compact Riemannian Manifold by Functional Integrals, Russian Journal of Mathematical Physics,
2004. V. 11 №2 P. 1-9
вом многообразии, порожденной броуновским движением, в виде предела мер на пространстве траекторий в объемлющем пространстве. В качестве следствия получено представление решения задачи Копій уравнения теплопроводности в римановом подмногообразии евклидового пространства в виде предела решений задач Коши в объемлющем пространстве.
2) Получено представление решения задачи Коши-Неймана уравнения
теплопроводности в области евклидового пространства в виде предела ре
шений задач Коши в объемлющем пространстве.
3) Получено представление решения задачи Коши-Дирихле, а также зада
чи Коши уравнения теплопроводности в области евклидового пространства в
виде предела решений задач Коши уравнений теплопроводности с магнитным
полем.
Методы исследования
В диссертации используются методы бесконечномерного и стохастического анализа, а также ряд специальных конструкций.
Теоретическая и практическая ценность
Диссертация носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы в математической физике для представления решений эволюционных уравнений на многообразии с помощью пределов интегралов по траекториям в объемлющем пространстве.
Апробация работы
Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре под руководством д.ф-м.н., профессора Смолянова О. Г. и д.ф-м.н., профессора Шавгулидзе Е. Т. "Бесконечномерный анализ и математическая физика"(2006-2009 гг.), на конференциях молодых ученых МГУ им. Ломоносова (2007-2008 гг.) и на XXII Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 106-летию со дня рождения И. Г. Петровского (Москва, 2007г.).
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора, список которых приведен в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве, нет.
Структура и объем диссертации
Броуновское движение со сносом к поверхности
Пусть М — гладкое компактное га-мерное риманово многообразие без границы, вложенное (согласно теореме Нэша) в d-мерное евклидово пространство M.d. Обозначим через М трубчатую окрестность М — множество, состоящее из всех точек Rd таких, что расстояние от каждой из них до многообразия не больше є. Пусть го 0 таково, что если х Є МГо, то существует единственная точка х Є М такая, что dist(x,M) = inf \\х — у\\ = \\х — ж, где — уєМ норма в Rd. Предложение 1.2.1. Пусть многообразие М компактно и дважды непрерывно дифференцируемо. Тогда такое TQ 0 существует. Идея доказательства предложения состоит в том, что из дважды непрерывной дифференцируемости следует, что первая и вторая квадратичные формы, а следовательно и главные кривизны 7г(а) будут непрерывно зависеть от точки многообразия а Є М. Поэтому из компактности многообразия следует существование Тогда пересечение многообразия М и замкнутого шара радиуса го 1/к с центром на границе МГо будет (локально) состоять из единственной точки — точки касания шара и многообразия. Подробное доказательство можно найти в /19/. Заметим, что отображение 7Г : х f— х есть ортогональная проекция точки, принадлежащей го-окрестности многообразия, на само многообразие М. Определим функцию См МГо — Ша следующим образом: Пусть См : M.d -+ M.d — продолжение функции См на все M.d такое, что См(х) ограничена и удовлетворяет условию Липшица. Пусть Bt = B(t,u ) : Ш+ х П н- M.d — стандартное броуновское движение в Ша. Рассмотрим семейство диффузионных процессов (?tA), являющихся решениями стохастических дифференциальных уравнений вида
Поскольку вектор См{х) при х є МГо \ М есть вектор х — iv(x), то это уравнение (при фиксированном Л) является броуновскими движениями со сносом, коэффициент сноса которого направлен в сторону многообразия. Далее доказывается тот факт, что меры на пространстве непрерывных функций, порожденные процессами В , при стремлении Л к со слабо сходятся к мере, порождаемой броуновским движением на многообразии М. Для начала определим броуновское движение на многообразии и докажем вспомогательное утверждение о поведении непрерывной (детерминированной) траектории в Ша под действием сноса. Определение 1.3.1. Оператором Лапласа-Бельтрами называется оператор Ам : С(М) —» С(М) задаваемый в локальных координатах ХІ как Определение 1.3.2. Процесс а называется броуновским движением на многообразии М если является локальным мартингалом при всех f Є С(М). Определение 1.3.3. М-значным семимартингалом называется M.d значный семимартингал а такой, что CT(S,UJ) Є М при всех (s,cu) Є R+ х Q. Определим понятие стохастического интеграла вдоль М-значного се-мимартингала. Введем следующие обозначения. Пусть функция Р : М — gl (d) такова, что Р(т) есть оператор ортогонального проектирования на ттМ — касательное к М пространство в точке га. Пусть дана 1-форма а на М. Определим функцию а : М — (Rd) как: для всех т Є М и v Є M.d Определение 1.3.4. Пусть а — 1-форма на М и а — М-значный семимартингал. Тогда интеграл Стратоновича а вдоль а определяется как а интеграл Ито определяется как где стохастические интегралы в правых частях уравнений (1.2) и (1.3) естъ обычные интегралы Стратоновича и Ито в Теорема 1.3.1. Пусть В — семимартингал в Rd.
Тогда существует единственный М-значный семимартингал, удовлетворяющий стохастическому уравнению Стратоновича Более того, если В является броуновским движением в Rd, то а есть броуновское движение на многообразии М. Доказательство этой теоремы можно найти в работе /23/. Этим свойством броуновского движения на многообразии мы воспользуемся в параграфе 1.7. Рассмотрим М -значную непрерывную функцию w на [0, со) с условием ги(0) = х Є М. Обозначим через \ решение уравнения t о (существование решения следует из липшицевости функции См 0 0). Докажем тот факт, что любая непрерывная траектория при достаточно большом коэффициенте сноса не покинет окрестности многообразия за ограниченное время: Теорема 1.4.1. Пусть Т 0 фиксировано. И пусть д является решением уравнения 1.4- Тогда для любого є Є (0,7) существует положительное число А = А(е) такое, что \(t) Є Мє, 0 t Т, VA Л.
Сходимость броуновских движений со сносом к броуновскому движению на поверхности
Пусть Yt — М -значный непрерывный семимартингал, начинающийся в точке ао М. В этом разделе мы сопоставим процессу Yt пару процессов Xt ( со значениями в М ) и Zt (со значениями в Шк), где первый процесс начинается в точке ао и является проекцией на многообразие Xt = 7r(Yt), а второй процесс, начинающийся в нуле, представляет собой ортогональную компоненту Yt — Xt процесса Yt. Сперва определим стохастический параллельный перенос вектора v Є №.d вдоль М-значного семимартингала Xt согласно /23/. Ортонорми-рованный базис (ei,...,ed) в M.d выберем таким образом, что линейная оболочка векторов (ei,..., ет) будет совпадать с ТаоМ, а линейная оболочка векторов (ет+ь . . ,ed) будет совпадать с NaoM. В каждой точке х Є М определим Рх — оператор ортогонального проектирования пространства Rd на подпространство ТХМ и. Qx = Id — Рх — ортогональное проектирование Rd на NXM. Тогда Р и Q являются гладкими функциями из М в векторное пространство линейных отображений из M.d в Жа (см. /23/). Поскольку базис в M.d фиксирован, то мы также можем считать, что Р H.Q являются гладкими функциями из М в gl(d), где gl(d) обозначает линейное пространство всех d х d-матриц с действительными коэффициентами. В дальнейшем мы будем отождествлять матрицы и соответствующие линейные отображения. Для точки х Є М и вектора w Є ТХМ определим Г следующим образом Fx(w) = dQx{w)Px + dPx{w)Qx Є pZ(d). (1.11) Пусть Х непрерывный М-значный семимартингал начинающийся в точке а0 Є М. Определение 1.6.1. Для данного вектора v є Ша положим щ = Utv, где Ut является решением стохастического дифференциального уравнения Стратоновича 5Ut + TXt{6Xt)Ut = Q, U0 = Iegl(d). (1.12) Тогда М -значный процесс щ называется параллельным переносом вектора v вдоль Xt, a gl(d)-значний процесс Ut называется трансляционной матрицей. Лемма 1.6.1.
Верны следующие утверждения: 1. система векторов (С/ еі,..., Щеа) образует ортонормированный базис в M.d такой, что первые т компонент являются ортонормиро-ванным базисом в TxtM, а последние к компонент являются орто-нормированным базисом в NxtM; 2. U [ является решением уравнения 5Uf = U Txt{ t) с начальным условием UQ = I. Доказательство см. в /39/. Таким образом, для каждого t координатная система (Utei) с началом в точке Xt является специальной координатной системой, соответствующей паре (Yt, Ut) в смысле Определения 1.5.1. Далее, пусть pr2 : Rd — Rm есть линейный оператор, который отображает вектор v Є Md в вектор, состоящий из его первых т координат. Аналогично, pr2 : M.d —» Rfc отображает вектор г Є Rd в вектор, состоящий из его последних к координат. Обозначим через рг]"1 : Шт — Rd и pr 1 : Rfc — Rd левые обратные операторы к ргх и рг2, то есть pr 1 pi = Рао Hpr2_1pr2 = Qao. Определение 1.6.2. Определим процесс Zt как ортогональную компоненту процесса Yt, а именно Пару процессов Xt и Zt (со значениями в М иШк соответственно) будем называть разложением Ферми процесса Yt. Предлоясение 1.6.1. Утверждение Леммы 1.5.1 в операторной форме задается формулой Доказательство. Легко видеть, что согласно формуле замены координат, выражение (1.13) эквивалентно выражению (1.10). Итак, как было сказано во Введении, (В ) броуновское движение со сносом к многообразию М, то есть решение следующего уравнения где Bt стандартное броуновское движение в M.d. В этом разделе мы докажем, что семейство процессов В сходится по распределению к броуновскому движению на многообразии М. Сперва заметим, что, согласно Теореме 1.4.1, из того, что почти все траектории броуновского движения непрерывны, следует, что для любого 0и для почти любой броуновской траектории B(LO) существует положительное число Л = Л(є, OJ) такое, что при любом Л Л соответствующая траектория процесса В находится в е-окрестности многообразия М. Обозначим через тЛ момент выхода процесса В из МГо. Пусть R обозначает процесс В , остановленный в момент времени тЛ, то есть R = В Атх.
Тогда Rt будет семимартингалом, и его разложение Ферми, которое мы обозначим через (X ,Z ), корректно определено. Лемма 1.7.1. Слабые пределы распределений процессов В , R , Х совпадают: при условии, что хотя бы один из этих пределов существует. Доказательство. Используя утверждение Теоремы 1.4.1 получаем, что первое равенство следует из того, что для любого о , всех t Є [О, Т] и до статочно больших Л выполнено В (ш) = Rt(u}). Второе из того, что для любых ш и є 0 \Rt(u) — Х (ш)\ є при достаточно больших Л. Теорема 1.7.1. Последовательность процессов Х(0 t Т) при стремлении А к со сходится к броуновскому движению на многообразии М в топологии локально равномерной сходимости по вероятности. Х0 =ао Из того, что \\Z\\ г0, следует, что коэффициенты системы ограничены и, следовательно, эта система имеет единственное решение (IIх, Х ). Из Леммы 1.7.2, доказанной далее, следует, что (Uf, Xf) сходится локально равномерно по вероятности к решению следующей системы стохастических согласно /35/ (Теорема 30.1) получаем поскольку 7Г постоянно вдоль нормали. Таким образом стохастическое дифференциальное уравнение Стратоновича для процесса Xt выглядит следующим образом: Откуда, согласно Теореме 1.3.1, следует, что процесс Xt является броунов ским движением на многообразии. При доказательстве последующей Леммы нам понадобится следующее неравенство: Предложение 1.7.1. Пусть ft и gt — адаптированные квадратично интегрируемые случайные процессы. Тогда где константа c\ не зависит от ft и gt Доказательство см. в /45/. Лемма 1.7.2. Пусть (X , Uf) решение системы (1.15), a (Xt, Ui) решение системы (1.16). Тогда (Х ,и) —» (Xt,Ui) локально равномерно по вероятности. Доказательство. Обозначим процессы (Х, Uf) и (Xt, Ui) через А и At соответственно. Тогда процессы А и At являются решениями следующих стохастических дифференциальных уравнений
Сходимость броуновских движений со сносом к броуноввскому движению с отражением
Пусть п{х) — векторное поле направленное вдоль внутренней нормали к границе области D в точке х. Обозначим через В(х,г) открытый шар в Rd с центром х и радиусом г. Пусть 7 0 таково, что что при любом х Є dD выполнено В(х — гоп(х),го) П D = 0. Согласно Предложению 1.2.1 такое го существует для ограниченных областей с дважды непрерывно дифференцируемой границей. Пусть Dro = {х Є M.d : Зу D, \\х — у\\ г0} — г0-окрестность области D. Тогда для любой точки х Є Dro \ D существует единственная точка х Є dD такая, что \х — х\ = dist(a;, JD) = infye rc — y, причем (x — x)/\x — x\ = 7. Определим отображение pr : Dro \ D — dD как prrc — x. Доопределим pr внутри области D, положив prrr = x при x Є D. Функцию CD{X) определим аналогично той, что была определена в предыдущей главе, а именно, пусть функция ( : Dro — Rd определена как и CD : Rd — Rd — продолжение функции CD на все Rd такое, что CD{X) ограничена и удовлетворяет условию Липшица. Пусть дана непрерывная функция w : [0, со] —» Rd такая, что го(0) Є D. Обозначим через А() решение уравнения t Теорема 2.2.1. Пусть D - ограниченная область с гладкой границей. Тогда для любого t О пара функций (д, ф\) при стремлении А к оо сходится равномерно на [0, t] к паре (, ф), являющейся решением уравнения Скорохода (2.1) . От детерминированного уравнения Скорохода перейдем к стохастическому и рассмотрим броуновское движение с бесконечно возрастающим сносом, направленным в сторону области D: Следствие 2.2.1. Потраекторный предел (по норме пространства C([Q,T],M.d)) при А — оо последовательности В броуновских движений со сносом к области существует и равен броуновскому движению В\ с отражением на границе этой области.
Пусть Wr(x,t) обозначает меру в пространстве C([0,t],D), порожденную броуновским движением с отражением В?[, начинающимся в точке х, a Wx(x,t) обозначает меру в пространстве C([0,t),M.d), порожденную процессом со сносом В , начинающимся в точке х. Тогда имеем Следствие 2.2.2. Слабый предел последовательности мер Wx(x,t) при А —» со существует и равен Wr(x,t). Этим следствием мы воспользуемся далее для доказательства сходимости решений дифференциальных уравнений. Пусть D — ограниченная область в Rd с гладкой границей 3D и пусть 7(я), х Є 3D - гладкое векторное поле на 3D. Обозначим (Х, Р) марковское семейство в D, порожденное оператором Л внутри области D, с отражением на границе в направлении j(x) = (71( ),... ,7 (2))- Траектории Xf и функции ф% определены как решения стохастического дифференциального уравнения Оператор Л предполагается невырождающимся на границе в направлении l(x) Y ,j=ia%Kx)li{x)lj{x) о, 0, х Є 3D. Обозначим (Xt,Px) марковский процесс со значениями в D, соответствующий семейству (Х ,Р). Предполагаем, что функции f{x), с(х), Л(ж), h(x) являются непрерыв Теорема 2.3.1. Пусть решением задачи (2.5) является функция u(t,x) с ограниченными непрерывными производными fjf ( х), {t, х), dJ xj при t є (0, Т], х D, г, j = 1,2,..., п. Тогда верно следующее представление Доказательство. Для доказательства нам потребуется обобщенная формула Ито для функций от процессов с отражением (Xf,f).
Пусть функция f(t,x,y,z), t Є [0,Т], х Є D U сШ; y,z Є (—со, со) имеет непрерывные ограниченные производные , , , , j, г, j = 1,..., г. Если It = /0 c(X%)ds и Zt = fQ a(Xx)dx, где а(ж), с(ж) ограниченные непрерывные функции, то верна следующая формула: du Заметим, что слагаемое (2.7.1) равно нулю, поскольку — — + Ли — си — О, СУ С/ при х Є D, t Є (О, Г]; математическое ожидание стохастического интеграла (2.7.2) равно нулю; процесс f растет только тогда, когда Xf принадлежит границе области и поэтому в сумме слагаемых (2.7.3) и (2.7.3 ) можно совершить подстановку граничного условия из системы (2.5). Учитывая это,
Абсолютная непрерывность распределения стохастического интеграла относительно меры Лебега
Одним из важных вопросов теории вероятностей и ее приложений к теории дифференциальных уравнений является изучение структуры распределений функционалов, определенных на траекториях случайных процессов. При исследовании проблем абсолютной непрерывности распределений и существования плотности с заданными свойствами применяются, например, методы расслоений, надстройки, дифференциальных операторов (см. /6/, /7/). Важнейшим методом в таком исследовании является исчисление Маллявэна (см. /31/, /32/, /1/). Следующее предложение может быть доказано с помощью этой теории: Предложение 3.2.1. Пусть функция f(x) : Rd —» M.d дифференцируема и ограничена. Пусть f(a) 0. Тогда случайная величина о (при фиксированном t 0) имеет абсолютно непрерывное распределение. При доказательстве используется тот факт, что для абсолютной непрерывности распределения достаточно показать, что производная Маллявэна D отлична от нуля почти наверное. А производная случайной величины (w), определенной выше, равна s следующая Теорема 3.2.1. Пусть функция f : Rd — M.d дифференцируема и ограничена на Ша, f(x) — О при х є D. А такоюе Ve 0 Зобластъ 0Е : D С Оє С De такая что fix) 0 при х Є дОє. Пусть В — d-мерное броуновское движение, начинающееся в точке а Є D, Тогда распределение F (x) случайной величины (о ) = J 0 /(-В")сШ" (при фиксированном t Q) относительно меры Винера, порооїсденной В%, абсолютно непрерывно относительно меры Лебега на прямой Ш за исключением точки 0, в которой будет разрыв первого рода. При этом множества {со : WQ = a; Vs Є [О, t] ws Є D} и {со : WQ — a; (w) = 0} совпадают (с точностью до множества меры ноль). Иными словами распределение F {x) имеет плотность вида ф{х) + Аі о(ж), где ф(х) интегрируемая на прямой функция, 6Q(X) — дельта функция в нуле, а число Ai равно мере Винера множества траекторий, начинающихся в точке а, и, не покидающих область до момента времени t. Распределения с таким свойством будем называть почти абсолютно непрерывными. Доказательство. Разобьем множество траекторий процесса В% на два подмножества. Первое — множество траекторий, не покидающих область D до момента времени t: Qi — {со : WQ = a;Vs Є [0,t] ws Є D}. Второе — дополнение первого: ІІ2 = {со : WQ = a; 3s Є [0,t] ws Є M.d \ D}. Поскольку f(x) = 0 при x Є D, то из определения стохастического интеграла следует, что при со Є Оі значение случайной величины (со) = JQ f{Bf)dB равно 0. Поскольку броуновское движение является строго марковским процессом, то распределение случайной величины (CJ) при со Є Г22 является смесью распределений случайных величин /т„ f[Bf)dBvs относительно граничного спределения на dD: где Tp момент первого выхода процесса Bf из области D: Тр = mf{t 0;В? . D}, a fiD(dy) граничное распределение, порожденное Bf: fJ %{F) = W[B?a Є F] при F С dD. Покажем, что случайная величина f0 f(B )dB имеет абсолютно непрерывное распределение при у Є dD.
Тогда ограничение случайной величины (ш) на 0,2 будет иметь абсолютно непрерывное распределение как смесь независимых случайных величин с абсолютно непрерывным распределением. Пусть множество Оє э D и f(x) ф 0 при х Є дОє. Тогда, аналогично (3.5), имеем при ш Є 0е) гДе Т = {ш тоє(ш) t}- Поскольку распределение случай ной величины /0 f{Bf)dBzs при z таковом, что f(z) ф 0 абсолютно непре рывно, то распределение (3.6), ограниченное на 0$ абсолютно непрерыв но, как смесь независимых случайных величин с абсолютно непрерывным распределением. Тогда прообраз любого множества А ЄШ, m(A) = 0 при отображении /0 f{BV)dBys можно записать как fife U iT гДе 0, С Of = {CJ : TQE(W) t]. W(Q,26) — 0 как прообраз при абсолют но непрерывном отображении. Мера же множества Of (а значит и мера множества может быть сделана менее любого наперед задан ного числа є 0 с помощью выбора множества О6 достаточно близкого к множеству D. Следствие 3.2.1. Распределение случайной величины Ft(w), определенной равенством (3.3), в случае магнитного поля, удовлетворяющего условию 3.1.1, наложенным на магнитный потенциал Со, почти абсолютно непрерывно.
При этом Ft_1(0) = {u; : u o = a; Vs Є [0, t] ws Є D}. Доказательство. Из условия div ( = 0 следует, что выражение (3.3) имеет вид и утверждение замечания сводится к утверждению теоремы 3.2.1. Теорема 3.2.2. Пусть функция f :M.d — M.d равна VU(x), где U(x) ограниченная дважды непрерывно дифференцируемая функция на M.d такая, что U{x) = 0 прих Є D и т{х є Rd \ D : VU{x) = 0} = 0. Пусть В -d-мерное броуновское двиоюение, начинающееся в точке а Є M.d. Тогда распределение F (x) случайной величины (си) = fQ f{Bf)dB (при фиксированном t 0) относительно меры Винера, порожденной В, абсолютно непрерывно относительно меры Лебега на прямой Ж. за исключением точки 0, в которой будет разрыв первого рода. При этом мнооюества {и : WQ = a; wt Є D} и {ш : wo = a; (w) = 0} совпадают (с точностью до мнооюества меры ноль). Доказательство. По лемме Ито имеем:
