Введение к работе
Актуальность темы
В последнее время появилось немало работ (см. [1], [2], [3], а также имеющуюся там библиографию), посвященных рассмотрению задачи на собственные значения в гильбертовом пространстве Н:
Аи = \Ти, (1)
здесь А = А* - положительно определенный оператор, а спектр самосопряженного оператора Т имеет как положительную, так и отрицательную часть. В качестве Н может выступать пространство Lo на области Q, А может быть дифференциальным оператором с самосопряженными условиями, а Т - оператором умножения на функцию h, принимающую как положительные, так и отрицательные значения. Если h не меняет знак, то задача (1) с Ти = hu сводится к самосопряженной в гильбертовом пространстве функций со скалярным произведением, порожденным весом h:
{u,v)T = (\T\u,v). (2)
Более сложной представляетсязадача, когда h меняет знак. Именно этот случай является предметом исследования настоящей работы.
[1] Beals R. Indefinite Sturm-Liouville problems and half-range completeness J) J. of defFerential equations. 1985, v. 56, p. 391-407;
[2] Пятков С. Г. Некоторые свойства собственных функций линейных пучков // Сибирский математический журнал. 1989, т. 30, № 4, с. 110-124;
[3] Curgus В., Langer Н. A krein space approach to symmetric ordinary differential operators with an indefinite weight function // J. of differential equations. 1989, v. 79, p. 31-61.
Такие задачи возникают, и частности, в теории переноса или в статистической физике. При выполнении надлежащих условий несложно показать, что система собственных векторов задачи (1) образует базис Рисса в гильбертовом пространстве гладких функций На со скалярным произведением
[u,v)A = (Au,v). (3)
Введем следующее обозначение:
fi± = {х П | h{x) ^ 0}, (4)
тогда вопрос, являющийся предметом интереса авторов работ [1], [2], [3] может быть сформулирован так: при каких условиях систе-ма {УІ}! ({Ут}і)> состоящая из собственных векторов, отвечающих положительным собственным значениям задачи (1) (или отрицательным) , образует базис Рисса в подпространстве Ьг (П+, |/і|) (соответственно, Ь2ІР—, |Л|)) с весом \h\.
Введем в L2 (0,1^1) ортопроекторы Q± на подпространстве L2(n±I|h|):
и(х), если h(x) ^ 0,
Q±u(x) = j (5)
О, если h(x) ^ 0.
Вопрос о базисности Рисса систем {у^ }f и {Ут}і в этих подпространствах (т.е. вопрос о "половинной базисности", если следовать терминологии автора [1]) тесно связан с вопросами существования и единственности решений краевых задач для уравнения
Au(t) + Tu't't(t)=0
(б)
в гильбертовом пространстве Н, u(t) Є И, с краевыми условиями, в записи которых участвуют ортопроекторы Q±\ нас будут интересовать условия на отрезке [0,1] следующего вида:
N*)-«o|L-» с*-*0)» (?)
||Q+u't(0-ui||r-*0 (*->0), (8)
||Q_u't(i)-vo||r->0 (i-»l), (9)
здесь || \\х и || ||д отвечают скалярным произведениям (2) и (3); мы будем рассматривать как задачу на полуоси (0, со): (б), (7), (8) с условием
||«(0|L
невозрастания на бесконечности, так и задачу (б), (7), (8), (9) на отрезке [0,1].
К рассмотрению таких задач возможен подход с использованием результатов теории полугрупп. Так, в работе [4], где рассматривается уравнение смешанного типа первого порядка:
Au(t)+Tuft{t) = 0, (11)
[4] Beals R. An abstract treatment of some forward-backward problems of transport and seattering // J. of functional analysis. 1979, v. 34, p. 1-20.
сперва с помощью полугрупп были записаны решения для полуосей с краевыми условиями
||Q+u(i)-u0||-K) (t->0) и
u||Q_u(0-«/o||-*0 (t->l),
а также условиями невозрастания на -Ьоо (соответственно, на —со для случая полуоси (—со, 1)), а затем автор перешел к задаче на отрезке с краевыми условиями в нуле и в единице.
Аналогичным подход возможен и к уравнению второго порядка, но перед этим необходимо (и в этом разница между уравнением первого порядка производнойпо t от уравнений более высокого порядка) сделать еще один шаг: нужно установить изоморфизм между пространством начальных условий, которым должно удовлетворять рассматриваемое уравнение второго порядка и некоторым специальным пространством начальных условий, которым должно удовлетворять решение соответствующей системы уравнений первого порядка (в этом специальном пространстве получающаяся система решается с помощью теории полугрупп). Оказывается, что для построения такого изоморфизма возможно использовать тот же аппарат, что и при доказательстве половинной базисности. Когда же изоморфизм построен, можно записать решение u(t) линеаризованного уравнения в виде полутруппы, а одна из координат й - функции, принимающей значения в пространстве копий,
Щ = (ui(t), а2(0) ЄНАхНА V *, будет решением исходного уравнения (6).
Вопрос перехода от задач на полуосях к задаче на отрезке в случае уравнения второго порядка также значительно сложнее, и требуется некоторая техническая работа для его решения.
Цель работы. В работе дается доказательство теоремы "о половинной базисности" для случая, когда функция h имеет степенной подход к точке поворота, причем с разными показателями степени при подходе с разных сторон. В последней главе диссертации с помощью развитого для доказательства этого результата аппарата доказываются теоремы существования и единственности для задач (6), (7), (8), (10) наполуосии (6), (7), (8), (9) -наотрезке.
Методика исследований. В работе используются результаты теории функций и функционального анализа, теории полугрупп, спектральной теории операторов, теории о бобщенных функций и пространств Соболева, а также асимптотические методы решения дифференциальных уравнений.
Научная новизна. Основные новые результаты можно коротко сформулировать следующим образом:
1. Для задачи
-г4'Е = Ми(х) (12)
d2 с самосопряженными условиями и (— 1) = и(1) = 0 для — ——? и функцией h вида:
' dxag(x), х>0,
h(x) = < (13)
. -C2\xfg(x), r<0,
где д(х) - непрерывная и принимает положительные значения, доказана половинная базисность. При этом продемонстрирована возможность использования как асимптотических методов (в процессе получения оценок функции Грина, нужных для доказательства ба-зисности), так и методов функционального анализа и теории операторов.
2. Для уравнения (6) в случае выполнения условия эквивалент
ности нормы ]| ||г специальной норме || \\s, порожденной модулем
оператора S — А—1Т в пространстве На'
(u,v)s = {\S\uiv)A,
доказана теорема существования и единственности решения для задачи (6), (7), (8), (10). Заметим, что выполнение условия теоремы можно проверить в ряде конкретных случаев задач смешанного типа, в частности, оно выполнено, если есть половинная базисность. Отметим также, что здесь, вообпхе говоря, не предполагается, что спектр задачи дискретен.
3. Для случая дискретного спектра доказана теорема существо
вания и единственности задачи (6), (7), (8), (9) на отрезке [0,1].
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в теории дифференциальных уравнений, при рассмотрении соответствующих краевых задач.
Апробация работы. Результаты диссертации доказывались и обсуждались на научных семинарах механико-математического факультета МГУ по спектральной теории под руководством профессора Костюченко А. Г., профессора Шкаликова А. А., и на совместных
заседаниях семинара им. И. Г. Петровского и Московского математического общества.
Публикации. Основные результаты опубликованы в работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, списка литературы из 26 наименований. Общий объем диссертации 83 страницы.
