Наилучшие квадратурные и кубатурные формулы с весом для классов функций малой гладкости Сабоиев Ризо Саломатшоевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Наилучшие квадратурные формулы с весом для классов функций малой гладкости

1.1. Постановка задач о наилучших квадратурных формулах с весом .19

1.2. О наилучших но коэффициентам квадратурных формулах с весовыми функциями, имеющих фиксированные особенности 24

1.3. Об оптимальном вычислении интегралов от быстроосциллирующих функций 39

1.4. О наилучших квадратурных формулах с весом для класса функций W^L[0,1] 49

Глава II. Оптимизация весовых кубатурных формул для некоторых классов функций

2.1. Постановка задач о наилучших кубатурных формулах с весом 55

2.2. Оптимальные кубатурные формулы для классов функций H"{Q) и HU(Q) 65

2.3. Наилучшие по коэффициентам кубатурные формулы с весом для классов функций HU(Q) и W>2(Q) 74

Литература 81

• О наилучших но коэффициентам квадратурных формулах с весовыми функциями, имеющих фиксированные особенности
• Об оптимальном вычислении интегралов от быстроосциллирующих функций
• Оптимальные кубатурные формулы для классов функций H"{Q) и HU(Q)
• Наилучшие по коэффициентам кубатурные формулы с весом для классов функций HU(Q) и W>2(Q)

Введение к работе

Среди экстремальных задач теории приближения функций наиболее важным является следующая оптимизационная задача теории квадратур. Рассматривается квадратурная формула

Jf(t)q(t)dt=t_lPkf(t_k)-{-R_n(f-₁q₁P_tT) (0.1)

а ' к—\

в которой весовая функция q(t) > 0 на отрезке [а, Ь] и интегрируема (может быть, в несобственном смысле) по Риману, Р = {pk} - вектор коэффициентов, Т = {tk : а < t\ < t... < t_n-i < t_n < 6} - некоторый вектор узлов, а R_n(f;q_:P,T) - погрешность квадратурной формулы (0.1) на функции f(t).

Если 9Я - некоторый класс функций {/()} заданных и определенных на [а, Ь], то через

E_n(9n;g,P,r) = sup<

fern

ff(t)q(t)dt-tpkf{t_k)

а к=1

обозначим погрешность квадратурной формулы (0.1) на классе 9Я. Задача состоит в отыскании следующих величин

S_n(m-q₇T) -infi?_n(mt;g,P,T), (0.2)

_n(Wl-q) = miRb{m_]q,P,T). (0.3)

Квадратурная формула (0.1) называется оптимальной или наилучшей на классе ШТ по коэффициентам Р = {р_к} при фиксированных узлах, если существует вектор Р = {р} для которой

_n(m,q,T) = R_n{m;q,P,T).

Точно также, формула (0.1) называется оптимальной или наилучшей на классе 9Л, если существует вектор Р = {pk} - коэффициентов и вектор Т = {t}

- узлов для которых выполняется равенство

Постановка задач об оптимизации квадратур принадлежит А.Н.Колмогорову, а первые основополагающие результаты принадлежат С.М.Никольскому [24]. Задача построения наилучшей квадратурной формулы по коэффициентам с фиксированными узлами впервые рассматривалась А.Сардом [29]. Сформулированные выше задачи для некоторых важных классов регулярных функций решены в работах В.М.Алхимова [1], И.И.Ибрагимова и Р.М.Алиева [14], С.М.Никольского [24], Н.П.Корнейчука [16], Н.Е.Лушпай [20], М.Левина [18], А.А.Женсыкбаева [11], Б.Д.Боянова [8], А.А.Лигуна [22], В.П.Моторного [23], В.Ф.Бабенко [2]и др. Обстоятельный обзор всех этих результатов приведен Н.П.Корнейчуком в дополнение к книге С.М.Никольского "Квадратурные формулы"(Москва, Наука, 1979 г.).

Однако для сингулярных интегралов или весовых квадратурных формул вида (0.1) с весом q(t) > 0 имеющих на концах отрезка [а, Ь] особенности, аналогичные экстремальные задачи недостаточно изучены. В этом направлении исследование можно указать лишь на отдельные работы Б.Г.Габдулхаева [9], Л.А.Онегова [25], В.А.Бойкова [6] и М.Ш.Шабозова [31].

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитированной литературы. Здесь мы приводим краткую характеристику диссертации с указанием основных результатов для классов функций малой гладкости, а именно рассматриваются следующие классы функций: W^ = W^L^l; a, b) - класс функций f(t) Є C[a,b] имеющих кусочно - непрерывную производную f'(t),

удовлетворяющих условию

supvrai{\f'(t)\ : t Є [a, b]} < 1,

Н¹ = ії¹(1;а, Ь) - класс функций f(t), удовлетворяющих на отрезке [a,b] условию Липщица первого порядка

\f(t')-f(t")\<\t'-t"lt'Xe[a_:b].

Очевидно, что W^ = Н¹. Через W^L = W^L[a, b] обозначим класс функций f(t), у которых почти всюду на отрезке [а, 6] существует производная f'(t), удовлетворяющих условию

II/'I1l:=||/'||l_M = /|/'WI*<1-

Во второй главе диссертации рассматривается задача нахождения наилучших весовых кубатурных формул на различных классах функций определенных модулями непрерывности в единичном квадрате Q = {0 < , г < 1}. Как и в одномерном случае через Н^^1,1^ := H^^Q) обозначим класс функций f(t,r) для любых двух точек (t',r') Є Q,(t,r) Є Q удовлетворяющих условию

\f(t,T)-f(t>y)\<\t-t'\ + \T-T'\.

Для fit, т) Є C(Q) и (t", т") Є Q, (f, т') Є Q равенством

u,(/; u, v) = sup{|/(f, t') - /(*", t")\ : \t> - t"\ < u, \r' - r"\ < v}

определим полный модуль непрерывности /(, г) в области Q, а через H^U(Q) обозначим класс функций f(t,r) Є C(Q), для которых выполняется неравенство cu(f;u,v) < w(u,v), где ш(и,v) - заданный модуль непрерывности в

области Q. Н¹^'¹ := H^U,1(Q) - класс функций /(, т), для любых двух точек M'(t^f,r'), M"(t",r") Є Q удовлетворяющих неравенству

\f(M')-f(M'')\

где р(М', М") = \t' —1"\ 4- \т' — т"\, а ш{и) - заданный модуль непрерывности. Параллельно будем рассматривать класс Н^и>² := H^^ijQ) функций /(, г) заданных на Q и таких, что

\f{M')-f{M")\

где р(М', М") = y/(V - t")² + (т' - т")² - расстояние между точками М'(*', т') и M^,f(t",r"), a u;(w) - заданный модуль непрерывности.

В первом параграфе первой главы рассматривается задача нахождения оптимальной по коэффициентам квадратурной формулы вида

f^-dt=tpkf(t_k)^R_n(f_]t~^s;T,P),0 (0.4)

задаваемой вектором узлов

Т := Т_п = {t_k : 0 < *! < t₂ < .- < t_n-i

и вектором коэффициентов Р — {p&}fc₌i, jR^/j^iT, Р) - погрешность формулы для функций f(t) из класса Н¹. Квадратурную формулу (0.4) будем рассматривать на классе Н¹ при следующих двух предположениях:

а) to = 0,t_n = 1, т.е., когда (0.1) является формулой типа Маркова;

б) 0 < ti < t₂ < ... < t_n-i < t_n < 1.

Основные результаты первой главы являются следующие утверждения Теорема 1.2.2.Среди квадратурных формул типа Маркова с весом q(t) = t~^s,0 < s < 1, имеющих вид (0.4) с фиксированным вектором узлов Т* = {^/п}^_₀ наилучшая по коэффициентам квадратурная формула

имеет вид

1 \

_{/?*=тЪиГ'<}^о_>⁺

2n>

l-s

/(1) +

п-1

_{+ Е}

'2fc + l' , In .

l-s

'2k -1 . 2n ,

l-s

A;

,n>

_{/ - +ад;*-*;}^т_*)

погрешность которой на всем классе Н¹ равна

8_п(Н¹-Г³;Т*)

1 5 1 { 1\

4(1 — s) п 24 п² \nv Теорема 1.2.3. Среди квадратурных формул вида (0.4) при фиксированном, векторе узлов Т** = {(2к — 1)/2п}^₌₁ наилучшая по коэффициентам квадратурная формула для класса Н¹ является формула

l-s

_>т+

П,

fV\^)\ + K(f;t-;l")

sin¹-^ \2п) ⁺

J t^s 1

о ^{1 х}

п-1

₊

к=2

АЛ¹"⁵ fk-W¹'⁸

погрешность которой на всем классе Н¹ равна

111 ( 1

+ "2

^(Я¹;Г⁵;Г**) =

4(1 -s) п 24 п² В третьем параграфе вводится в рассмотрение квадратурная формула специального вида для вычисления интегралов от быстроосцилируюпщх функций

¹ п

[f(t)smmirdt = ЕР*/(**) + Яп(/;Т,Р,ш),п > т > 1 (0.5)

о *=i

задаваемую при фиксированном п = 1,2...; векторами узлов

Г = {** : 0 < *i 2<... _n

и коэффициентов Р = {рк}, к = 1, 2,..., п.

Решение задачи (0.2) для квадратурной формулы (0.5) приводится для класса Н^г[0,1] при фиксированном векторе узлов Т = {fc}₌₁ для m = 1.

Отметим, что задача приближенного вычисления интегралов от быстро-осцилирующих функций ранее рассматривалась в монографии В.И.Крылова [15], Н.С.Бахвалова [5], а также в работах К.К.Задирака [13], Я.М.Жилейкина и А.Б.Кукаркина [12].

В связи с приближенным вычислением интегралов от быстроосциллиру-ющих функций, возникает задача о точном вычислении погрешности интеграла

/ sin 7rtf(t)dt о

для классов функций малой гладкости.

Поэтому, в третьем параграфе приведены решения указанной задачи для класса Липщица первого порядка при фиксированных вектор узлах.

Теорема 1.3.1. Среди всех квадратурных формул вида (0.5) наилучшей по коэффициентам квадратурная формула типа Маркова при фиксированных узлах Т := Т* = {& = /г;/п}^_₀ для класса Н¹ является единственная

формула

/ f{t) s'mirtdt = о

погрешность которой на всем классе Н¹ равна В этом же параграфе доказана следующая

Теорема 1.3.2. Для вектора узлов

2k — 1 Т := T_n** = {t_k = -^-J*) = 0,t_n = l}(fc - 1, 2,..., n)

наилучшая no коэффициентам квадратурная формула имеет вид

/ /() simrtdt =

7Г _{г л/}_, „_/j4, . 7Г

-¹ . ттА; „ /2fc - 1'

^{= ^sin ы и++sin п sin т/ l^rj)+*-(/; г"; р)}

погрешность которой на всем классе Н¹ равна

В последнем четвертом параграфе первой главы задача (0.3) решается для класса функций W⁽¹⁾L[0,1] для конкретных весовых функций. Приводим основные утверждения данного параграфа Теорема 1.4.2. Среди квадратурных формул вида (0.5), наилучшей для класса WML[Q, 1] является формула

I 2 ^п /1 / 2к — 1\\

/ /() sin Trtdt = — Е / - arccos 1 + Я_п(/; shiTrt) (0.6)

J_{0 k=1} \tv \ п JJ

Для погрешности формулы (0.6) на всем классе W^L[0,1] имеет место

точная оценка

S_n(W^{l)L{Q,l}-smTtt) = —.

-кп

Теорема 1.4.3. Среди всех квадратурных формул вида (0.4) с весовой

функцией q(t) = (\/1 — t²) ¹,0 < t < 1, наилучшей на классе W^LfO, 1] является формула

погрешность которой равна

4n В этом же параграфе доказано более общее утверждение для класса и весовой функции q (t) = m^at, где m>0,m^l,a:- произвольное действительное число.

Теорема 1.4.4. Среди квадратурных формул вида

fm^atf(t)dt = p_kf(t_k) + Rn(f;m^at)

a fc=l

наилучшей на классе WML[a, b] является формула с вектором коэффициентов

P = {p_k:p_k = -^—(т^аЬ - т^аа) -, Аг = 1, 2,..., п}
a mm п

и вектором узлов

T=\t_k:t_k = — In m*— + т^аа U = 1,2,..,n

I. a mm \ In In ) J

причем для погрешности формулы на всем классе справедлива оценка

In a mm В частности, для q{t) = e~^f, [a,b] = [0,+оо) наилучшая квадратурная формула имеет вид

Je-im=і I. / (in ^1-^)+ад_; e-«),

а ее погрешность на всем классе равна

_n(H^L[0,+oc);e-0 = ^.

Во второй главе диссертации состоящей из двух параграфов рассматривается задача нахождения оптимальных кубатурных формул для классов

функций двух переменных, определение которых приведено в начале введения.

Пусть для приближенного вычисления интеграла

J(f\ я) = jl q(t,r)f(t, r)dtdr,

(Q) Q — {0 < t, г < l},/(, т) - произвольная функция, q(t,r) - положительная

суммируемая функция, применена кубатурная формула

т п

J(f; О) = Е Е Pkif(t_k, ті) + R_mn(f; q) := L(f; q) + i^/; q) (0-6)

k=li=l '

задаваемая векторами узлов

T = {t_k : 0 < h < ... < t_m_i < t_m < 1},

T = {n : 0 < n < - < r_n_i < r_n < 1},

и коэффициентов P = {pto},#mn(/;g) = R_mn{f;q]P,T,T) - погрешность кубатурной формулы на функции f(t,r). Положим

RrnniW; q- Р,Т,Т)= sup{\J(f, q) - L(f; q; P, T, T)| : / Є 2Я}-

Требуется найти следующие величины

_тп(ЯЯ; q;T,T)= inf Р_ттг(ШГ; g; Р,Г,ТО (0.7)

Є_тп(Щ q) = inf ^„(«OT; q; Р, Г, Т). (0-8)

Кубатурная формула (0.6), с вектором Р = {р^} для которой в соотношении (0.7) достигается нижняя грань называется оптимальной по коэффициентам для класса функций 9Я с весовой функции q(t,r) > 0.

Кубатурная формула (0.6), с векторами Р = {р^} и Р — {р^},Т = {^} 7~ = {tj⁰} для которых в соотношении (0.8) достигается нижняя грань называется оптимальной для класса функций 9Я с весом функции g(t, т) > 0.

Наилучшие кубатурные формулы для различных классов функций приведены в монографии С.М.Никольского [24], Н.С.Бахвалова [5], а также в основополагающих работах Н.П.Корнейчука [16], В.Ф.Бабенко [2-4], М.И.Левина и Ю.Г.Гиршовича [18-19], М.И.Ибрагимова и Р.М.Алиева [14], Н.Е.Лушпай [20], Н.Е.Лушпай и С.В.Переверзева [21], М.Ш.Шабозова [31] и многих других.

В параграфе 2.1. второй главы приведены результаты оптимизации по коэффициентам весовой кубатурной формулы (0.6) для классов функций малой гладкости. В работе [32] в частности, доказано, что для класса H^^l,1\Q) при фиксированных векторах узлов Т = {&}, Т = {ті} наилучшей по коэффициентам будет квадратурная формула (0.6) с коэффициентами

Ры = Ц ?(*, r)dtdr, Ю'и)

Q'ki = {fffc-i х_к, Уі-і < у < Уі],

Хк = {tk + tk+i)/2, к = 1,2,..., m - 1; х₀ — 0, x_m = 1,

Уі = (tj + т_і+і)/2, і = 1, 2,..., п - 1; уо = 0, у_п = 1,

а ее погрешность на классе

#(1Д)

вычисляется по формуле

R_mn{H^-q₁P^Q_]T,T) =

= II q(t, r){\t - t_k\ + |r - n\}dtdr. (0.7)

^{k=1 i=}\Q'_ki)

Полагая в правой части (0.7)

R_mn{H^q₁q₂-_iP⁰-₁T;T) =

1 jji %к 1 л Уг

= Jq2{r)dr / _gi(t)|t - _fc|d + jqi{t)dt / й(т)|т - r₂-|rfr. (0.8)

О fc=b_fc_i 0 *⁼¹Уі-і

При произвольных вектор узлах Т = {fc},T = {ті} обозначим через -Pi — {0'k}^m{H¹]qi;T) - коэффициенты и точную оценку погрешности наилучшей по коэффициентам для класса -ff¹[0,1] квадратурной формулы

[qi{t)f(t)dt = a_kf{t_k) + Я_то(/; ₉₁; Р_ЪТ),
о *=1

а через Р2 = {6j},^_n(jH^rl;g2_J'iO - коэффициенты и точную оценку погрешности наилучшей по коэффициентам для класса i?¹[0,1] квадратурной формулы

¹ п

jq2{r)f(r)dT = bif(n) + ІШ; <й; Р2, Г).

о ^ir=1

Тогда справедлива следующая общая

Теорема 2Л.1.Пусть q(t,r) = q\{t)q2{r). Тогда для погрешности наилучшей по коэффициентам кубатурной формулы (0.6) для класса Н^-^1,1' справедлива формула

Smn{H^-q_m-T,T) =

= E_m{H^l_]qi-T) J'q₂{r)dr + E_n(H^l-q₂,T) j _qi(t)dt.
0 0

В частности, наилучшая кубатурная формула с равноотстоящими узлами

Т* = {_fc : t_k = k/m, k = 0,1,..., m}, T* = {n : 7 = г/п; г = 0,1, 2,..., n} и весом g(, т) = qiifyq^i^) = т имеет вид

//r/(, r)dtdr = J_(i[/(_0j 0) + /(0,1) + /(1,0) + /(1,1)]+

(Q) ^{m П} l*

4n - 1 ^¹,

⁸ jfc=l

4m - 1 "-^{1 r}

⁸ г=1

(k_ Л „(к

/(0,-)+/(1,¹

₊

/(-,0)+/(^, Л

Vm У Vm /_

m—1 / k 7 \ 1

_fc=1 Vm n/J

погрешность которой на всем классе Д"'¹'¹' равна

и#^(1Д);^П = ^(- + -У

16 Vm п/

В этом же параграфе доказано следующее утверждение являющееся обобщением теоремы 1.2.2 первой главы.

Теорема 2.1.2.Пусть q(t,r) = t~^sr~^J,0 < s, 7 < 1- Тогда среди ку-батурных формул вида (0.6) типа Маркова с фиксированными векторами узлов Т = Т^ = {k/m}₌₀, Т = Т_п = {г/п}₌₀ формула с коэффициентами

1-s / I \1-7

Р. ~ (1 _ _e)(i - ₇) Ы \ъг)

^P0'ⁿ~(l-_S)(l-₇)V2m)

_{- ( - кГ}

1-е-

1 \^1-7

2т 1 ч¹-"

,2пУ

_ч-гг

2т,

'2г + 1\^1-7 /2г-1\^1-7'

і = 1, 2, ...,п — 1;

1-е-

'2г + 1\^1_7 /2І-1Х¹-⁷'

Рт.г —

2т/

Ро,

Рт,0 =

(1-^)(1-7) 1

т,п

(l-_S)(l-7)

1 / 1 х¹-*

(l-s)(l-7) V2m 1

(1-_Я)(1-₇)

г = 1, 2, ...,п — 1;

'2fc + lV-^e [2k-l\^l~^s] /ЇХ¹"⁷ . ₁ _

,« = 1,2,.. .,т-1;

ч2п/

^P*'ⁿ (1-5)(1-7) |Д 2т У V 2т

k = 1,2,..., т — 1;

Pk,o =

(1-5)(1-7) 1

'2fc + r

1-е

'2Лс-Г

1-я"

2reJ

1-S

т —

Рк,г

(1-5)(1-7)

1-S

'2к + Г , 2т .

к = 1

з >

'2к-Г

{ 2т J 1;г = 1, ...,п

'2г + ІЧ¹^

1;

_'²_Lz^1Nl_7

~2п

является наилучшей по коэффициентам для класса Н^^1,1' погрешность которой равна

Smn(H^;q;T\T*) =

⁼ 4(l-s)(l-7) Vm ⁺ пГ2Ї V(l-₇)m^{2 +} (I - s)n²)⁺ Г^ №' rfj) Аналогичным образом доказано обобщение теоремы 1.3.1. в виде следующего

утверждения

Теорема 2.1.3. Среди всех кубатурных формул вида (0.6) с весовой функцией q(t,r) = sin7rtsin7TT, фиксированными векторами узлов Т* :— Т*_г = {к/т}₌₀, Т* := 7^* = {г/п}"_₀ формула с коэффициентами

А ₂ 7Г о 7Г

Р0,0 = ~2 Sin —- Sin —,

7r^z 4т 4п 4 . ₂ тг . ₂2(п-1)тг

P0,n = ~2 ^sm

4 . 2 2(т — 1)7г . о "Л"

Рт,о = -о sin sm —,

к¹ Am An

Рт.п — о 7Г^

7Г . 7Г

4 ₉2(т-1)тг ₉2(п-1)тг
sin"¹ —— — sm"¹- ^{v у}

Рт,г — Р0,г — 2

7Г* 4771 П

7Г . 7Г/г . о 7Г

sin — sin —, і = 1, 2,..., n — 1;

P*,n =jP*,o = -o sin — sin — sin -—,k = 1, 2,..., m- 1;
7r^ m m 4m

4 . 7Г . 7Tfc . 7Г . 7U , ^^ ^ . . _

Pki = —x sm — sm — sm — sm —, k = 1, 2,...,m — 1;г = 1,2,...,n — 1; it¹ m m n n

является наилучшая no коэффициентам для класса погрешность ко-

торой равна

^ЯМ_;,; Г, 7-) = 1( + *).

В параграфе 2.2 второй главы при q(t, т) = 1 кубатурная формула (0.6) исследуется для классов функций:

H"{Q) = {/ Є C(Q) : u(f; и, v) < w(u,v)},

где ш(и, v) - заданный полный модуль непрерывности.

H">\Q) = {/ Є C(Q) : \f(M') - f(M")\ < u[p{M', M")]}, M>\ M" Є Q,

где p(M', M") = \t' —1"\ + |r' — t"\, a o;(u) - заданный модуль непрерывности. Основным результатом параграфа 2.2 является следующая Теорема 2.2.1 Среди кубатурных формул вида (0.6) с весовой функцией

q(t,r) = 1, оптимальной для классов функций Н^Ш(С}) и Н^ш,1{(^) является

формула

+ Rmn(f)-

2т ' 2n

f(t,T)dtdT = ±ZZf⁽
( mn_k=u=1

Для погрешности этой формулы справедливы оценки

l/2m 1/2п

_тп(Н^ш(Q)) = Атп / / w(u,v)dudv,

= imn <

_mn(H^u'\Q)) =

(l/m+l/n)/2

l/2m

/ fa;(*)J (- h- tjw(t)dt, m

0 l/2n l/2m

'/2m _x l/2n (l/m+l/n)/2 ]_ j x

| uc;(t)[-z h- t)cd(t)^, m > n,

l/2m

/2m 1/m

l/2m

m = n

0 ^Ч ' l/2m ^Vm ^

Отметим, что теорема 2.2.1 является аналогом известного результата Н.П.Корнейчука [16] для классов #^W(Q) и H^^l{Q).

В последнем параграфе 2.3 диссертации, получены наилучшие по коэффициентам весовые кубатурные формулы для классов функций H^U{Q) и H^W,2(Q), определяемые модулями непрерывности функции в области

Q = {01}.

Теорема 2.3.1. Среди кубатурных формул вида (0.6) с весовой функцией q(t, т) > О, фиксированными векторами узлов

Т = {** : 0 = t₀ < ti < ... < t_m-i _m = 1},

T = {ті : 0 = r₀ < т\ < ... < т_т-і < т_п = 1}

и произвольными векторами Р = {ры}(к = 0,1,..., т; г = О,1,..., п) наилучшей по коэффициентам кубатурной формулой на классах функций H^U(Q) и H^W,2(Q) является формула с коэффициентами

^ры ⁼ II ^' ^r)^dtdr>

Qti = {xkarjfe+i, Уі<т < Уі+і},

х₀ = 0,х_к= (t_fc_i + t_k)/2, к = 1, 2,..., т; ж_т+і = _т = 1,

2/0 = 0, y_t- = (ті_і + ті)/2, і = 1,2,..., п; г/_п+і = т„ = 1

и наилучшей оценкой остатка, соответственно, равной

тп п _ГГ

_mn{H^w(Qy_iT_iT)= ЕЕ //«(*,r)w(|t-<_fc|,|T--r_t|)d

^fc=(H=(to

тп п _rr

mn(H">²(Q);T_:T) = E E //*(*, г)^* - **)² + (r - n)²)dtdr.

В частности, для весовой функции q(t,r) = tr и вектор узлов Т* = {tfc : tk = k/m,k = 0,1,..., m},T = {tj ' Ъ = i/n,i = 0,1,..., n} оценки остатка на классах H^(Q), 77^W'²(Q) имеют вид

1/2т 1/2п

mn(H"(Q); tr; Т\ Т) = mn J J w(t, r)dtdr,

о о

1/2т 1/2п

„_m(#^w'²(Q);tT;T*,T*)=mn / / o;(V*² + т²)<Шг.

о о

Для весовой функции q(t,r) = sin7rtsin7rr из теоремы 2.3.1 получаем следующее утверждение

Теорема 2.3.2. Среди всех кубатурных формул вида (0.6) с весовой функцией q(t,r) = sin7rsin7rr, фиксированными векторами узлов Т* = {fc/m}L₀, Т* = {*'/ⁿ}f=o ^и произвольными векторами коэффициентов Р = {pki} наилучшей по коэффициентам на классах функций Н^ш(0) и H^U>²(Q) является формула

// sin 7г sin nrf(t, r)dtdr = (Q)

7Г 7Ґ ^¹— ^— л 7Г 1 IT ( п 7 \

= 4 sin -—sin—- ]Г J2 ^sin — sin—/ —,- +Ятп(/)-2т 2п _{k=zl і=}і т п \т п)

При этом для наилучшей оценки остатка этих классов справедливы равенства

W#^w(Q);sin7r*sin7rT;T*,T*) =

^1/2_r^ml/fⁿ ( 1\ / 1\

; / / COS7T| — -— COS її \Т — —- ]U?(t, т)&Ыт\

sin (л/2т) sin (ії/2п) ^ ₀

^mn(H^²(Q);sin7rtsin7rr;T*,r*) =

7г/2п) і { V 2т) V 2п) ^v ' '

1/2т1/2п / 1 \ / 1

——-.—:-—г—:—:—j—-r / / cos7rft — -—1 cos 7Г (г — —- )u)(y/t² + r²)dtdr.
sin (тг/2т) sin (тг/2п) j( jj V 2m/ \ 2n/ ^{l y}

О наилучших но коэффициентам квадратурных формулах с весовыми функциями, имеющих фиксированные особенности

Решение задачи (0.2) для квадратурной формулы (0.5) приводится для класса Нг[0,1] при фиксированном векторе узлов Т = {fc}=1 для m = 1.

Отметим, что задача приближенного вычисления интегралов от быстро-осцилирующих функций ранее рассматривалась в монографии В.И.Крылова [15], Н.С.Бахвалова [5], а также в работах К.К.Задирака [13], Я.М.Жилейкина и А.Б.Кукаркина [12]. В связи с приближенным вычислением интегралов от быстроосциллиру-ющих функций, возникает задача о точном вычислении погрешности интеграла для классов функций малой гладкости. Поэтому, в третьем параграфе приведены решения указанной задачи для класса Липщица первого порядка при фиксированных вектор узлах. Теорема 1.3.1. Среди всех квадратурных формул вида (0.5) наилучшей по коэффициентам квадратурная формула типа Маркова при фиксированных узлах Т := Т = {& = /г;/п} _0 для класса Н1 является единственная формула погрешность которой на всем классе Н1 равна В этом же параграфе доказана следующая Теорема 1.3.2. Для вектора узлов наилучшая no коэффициентам квадратурная формула имеет вид погрешность которой на всем классе Н1 равна В последнем четвертом параграфе первой главы задача (0.3) решается для класса функций W(1)L[0,1] для конкретных весовых функций. Приводим основные утверждения данного параграфа Теорема 1.4.2. Среди квадратурных формул вида (0.5), наилучшей для класса WML[Q, 1] является формула Для погрешности формулы (0.6) на всем классе W L[0,1] имеет место точная оценка {Q,l}-smTtt) = —. Теорема 1.4.3. Среди всех квадратурных формул вида (0.4) с весовой функцией q(t) = (\/1 — t2) 1,0 t 1, наилучшей на классе W LfO, 1] является формула погрешность которой равна 4n В этом же параграфе доказано более общее утверждение для класса и весовой функции q (t) = mat, где m 0,m l,a:- произвольное действительное число. Теорема 1.4.4. Среди квадратурных формул вида наилучшей на классе WML[a, b] является формула с вектором коэффициентов причем для погрешности формулы на всем классе справедлива оценка In a mm В частности, для q{t) = e f, [a,b] = [0,+оо) наилучшая квадратурная формула имеет вид а ее погрешность на всем классе равна Во второй главе диссертации состоящей из двух параграфов рассматривается задача нахождения оптимальных кубатурных формул для классов функций двух переменных, определение которых приведено в начале введения.

Об оптимальном вычислении интегралов от быстроосциллирующих функций

Среди задач численного анализа с практической точки зрения наиболее важным является задача приближенного вычисления определенного интеграла вида в которой весовая функция q(t) неотрицательна на отрезке [а, Ъ] и интегрируема может быть, в несобственном смысле по Риману, а /() принадлежит некоторому заданному и определенному на отрезке [о, Ь] классу функций дЯ. Каждой функции f(t) Є 9Л для которой интеграл (1.1.1) имеет смысл сопоставим в соответствие конечную сумму которая определяется выбором вектора коэффициентов Р = {рк}к=г и век тора узлов Т = {tk}k=i, т-е., что L(f; q) = L{f; q, P, T).

Таким образом, если интеграл (1.1.1) в явном виде не вычисляется, то приближенное равенство определяет приближенное значение интеграла (1.1.1) для каждой индивидуальной функции f(x) Є 9Я. Возникает естественный вопрос? Чему равно точное значение погрешности (1.1.3) для всего класса ЭДТ? Как можно выбрать вектор коэффициентов Р = {pk}k=ii и вектор узлов Т = {tk}k=i чтобы ошибка в приближенном равенстве (1.1.3) на всем классе 2Я была наименьшей? Эти вопросы привели к формулировке следующей основной задаче численного интегрирования. Рассмотрим квадратурную формулу где T = {tk}k=i - некоторый вектор узлов, P = {рк}к=г вектор коэффициентов, a Rn(f,q) = Rn(f,q,P,T) - погрешность квадратурной формулы (1-1.4) на функции f(t) Є 9Я. Через РП(9Я; g, Р, Т) = вир{Д„(/, д; Р, Т)\ : f Є Ж} = обозначим погрешность квадратурной формулы (1-1-4) на классе функций Ш и сформулируем следующие основные задачи теории квадратур (см. [24], [17], [23] и приведенную там литературу). Задача I. Пусть V множество всевозможных векторов коэффициентов Р = {Рк}к=і Для которых формула (1.1-4) имеет смысл. Тогда при заданной положительной весовой функции q(t) требуется найти величину [17] Квадратурная формула (1-1-4) называется оптимальной или наилучшей на классе 9Я по коэффициентам {рк} V при фиксированном векторе узлов T = {tk}k=ii если существует вектор Р = {р} Є V такой, что выполняется равенство n(m]q,T) = Rn(m;q,P0,T), т.е., погрешность квадратурной формулы (1.1.4) с наилучшими коэффициентами Р = {рі} Є V на классе Ш равна 8п(Ш; q, Т). Пусть Л(Р, Т) - множество всевозможных векторов коэффициентов Р и векторов узлов Т, для которых квадратурная формула (1.1.4) имеет смысл. Задача П. Требуется при заданном q(t) О, найти величину п(дЯ; q) = mi{Rn(m; q, Р, Т) : (Р, Т) Є А(Р, Г)}. Если существует вектор (Р,Т) Є А(Р,Т), для которого выполняется равенство n{m]q) = Rn(Wl;q,P,TQ), то квадратурная формула (1.1.4) называется оптимальной или наилучшей для класса 9Я. Отметим, что сформулированные задачи I и II при q(t) = 1 приведены в основополагающих монографиях С.М.Никольского [24] и В.И.Крылова [15]. В последующих параграфах, при конкретно заданном весе q(t) О, t Є [a, b] и заданном классе функций 9Л приведем решение сформулированных выше задач, причем в некоторых случаях предполагается, что весовая функция q(t) может иметь слабую особенность в любой точке t [а, 6] оставаясь при этом интегрируемой но Риману (может быть в несобственном смысле). Определение классов функций. В качестве класса 9Л в диссертации рассматриваются следующие классы функций: W = W Loo(l;a, &) - класс функций /(і), непрерывных на [а, Ь] и имеющих кусочно-непрерывную производную / (), удовлетворяющую условию swpvrai{\f (t)\ : t Є [а, 6]} 1. Н1 = ії1(1; a, b) - класс функций /(), удовлетворяющих на отрезке [а, Ь] условию Липщица \f(t)-f{t)\ \t I, , є[а,Ь]. Известно [1], что W = Н1. Через W L = W L[a, b] обозначим класс функций f(t), у которых почти вскугу на отрезке [а, 6] существует производная f (t), удовлетворяющая условию Во второй главе диссертации преимущественно рассматриваются задачи о нахождении наилучших (оптимальных) весовых кубатурных формул на различных классах функций, определяемых модулями непрерывности. Как правило, предполагается, что рассматриваемое множество функций являются непрерывными в единичном квадрате Q = {О t, г 1}. Приведем определение рассматриваемых классов функций: Н -1,1 := H Q) - класс функций f(t, т) для любых двух точек (t, т) Є Q, ( , т ) Є Q удовлетворяющих условию /( ,т)-/( тО - + т-тЧ. называется полным модулем непрерывности /(, т) Є C(Q). Очевидно, что u)(f; и, v) по каждой из переменных не убывает, о;(/; 0,0) = 0 и удовлетворяет некоторым другим свойствам присущие модулям непрерывности (см.напр. lie]).

Оптимальные кубатурные формулы для классов функций H"{Q) и HU(Q)

Пусть для приближенного вычисления интеграла где Q = {0 , г 1}, f(t,r) - произвольная интегрируемая функция, а q(t, т) - положительная суммируемая в Q функция, применена кубатурная формула JU\ Я)=ЕЕ Pkif(h, ТІ) + Rmn{f- q) := !(/; q) + Rmn(f; q) (2.1) задаваемая вектором узлов T = {ifc : 0 i ... m-i tm 1}, T = in : 0 ТІ ... rn_i тп 1}, И Коэффициентов P = {pki},Rmn(f]q) = &тп{ї\Я.\Р,Т,Т) - погрешность формулы на функции /(, г). Очевидно, что для каждой функции f(t, т) Є 9Я погрешность формулы (2.1) имеет вполне числовое значение Rmn{fiqiP,T,T) = J(f;q)--L(fq;P,T,T). (2.2) При фиксированных вектор узлах Т = { ;}, Т = {ТІ} и коэффициентах Р = {р }, наилучшей оценкой погрешности кубатурной формулы (2.1) с весовой функцией q(t, т) на классе функций 971 является верхняя грань Rmn(m]q-P,T,r) = 8Mp{\JU\Q) - L(/; z;P,T,T) : / Є Щ. (2.3) Ясно, что если весовая функция g(t, т) задана, то верхняя грань (2.3) на данном классе функций зависит только от выбора вектора узлов Т — {&}, Т = {я} и коэффициентов Р = {ры} В связи с этим в теории кубатур возникают следующие экстремальные задачи построения кубатурных формул вида (2.1): Задача Г .При фиксированных узлах требуется найти величину Єтп{Щ Q] Р, Т,Т)= inf Rmn(M; g; Р,Т, Т) (2.4) Кубатурная формула (2.1), для которой достигается нижняя грань для вектора Р = {рі} в равенстве (2.4) называется наилучшей или оптимальной по коэффициентам кубатурной формулой. Задача II .При произвольных узлах и коэффициентах найти 4n(M; q) = inf Rmnm q; P, Г, T) (2.5) Кубатурная формула вида (2.1) для которой достигается нижняя грань для вектор коэффициентов и узлов Р = {ры},Т = {/-}, Т = {ri} в равенстве (2.5) называется наилучшей или оптимальной для класса функций ЯЛ и весовой функцией q(t, т) 0. При этом вектор (Р; Т, 7 ) называется наилучший вектор коэффициентов и узлов. В этой главе мы излагаем решение задач V — IV для некоторых конкретно заданных весовых функций g(t,r) и заданных классов функций, причем ради удобства определение классов функций для которых рассматривается решение задачи V и IV приводим внутри самого параграфа. Наилучшие кубатурные формулы для различных классов функций приведены в монографии С.М.Никольского [24], Н.С.Бахвалова [5], в основополагающих работах Н.П.Корнейчука [16], В.Ф.Бабенко [2-4], М.И.Левина и Ю.Г.Гиршовича [18], [19], И.И.Ибрагимова и Р.М.Алиева [14], Н.Е.Лушпай [20], Н.Е.Лушпай и С.В.Переверзева [21], М.Ш.Шабозова [32] и многих других. В это же время задача оптимизации кубатурных формул с весом фактически не рассматривалась в указанных работах. Цель данной главы, в некотором смысле, является восполнением этого пробела в задачах оптимизации весовых кубатурных формул. 2.1. О наилучших по коэффициентам кубатурной формулы вида (2.1) для классов функций малой гладкости. В этом параграфе мы приводим решение задачи Г для классов функций малой гладкости, а именно в качестве 9Л будем рассматривать класс Н 1 := H(l l\Q) функций /(, г), заданных и определенных в квадрате Q = {0 , т 0} и для любых двух точек (, г) Е Q и ( , т ) Є Q удовлетворяющих условию /(t,r)-/(t ,r ) -k-r . В литературе класс H Q) по аналогии с классом Н1 , 1] также называется классом Липшица. Здесь мы дадим обобщение некоторых результатов полученные в параграфах 1.2 и 1.3 на случай функции двух переменных, при этом пользуемся также результатами работы [32]. В работе [32], в частности, доказано, что для класса при фиксиро ванных вектор узлах Т = {&}, Т — {т{\ наилучшей по коэффициентам будет кубатурная формула с коэффициентами = {хк-1 t Sjfe, Уі-1 У Уі}, Полагая в правой части (2.1.2) q(t,r) = (/1( ) 2( ) получаем более простой вид погрешности наилучшей по коэффициентам кубатурной формулы Нам понадобится следующий факт общего характера, которым воспользуемся в дальнейшем. Наряду с кубатурной формулой (2.1.1) вводим в рассмотрение одномерные квадратурные формулы ТП где Pi = {а&}=1, P2 = {&г}Г=і - произвольные вектора коэффициентов связанные условиями a qi(t), #2(7") - положительные суммируемые на отрезке [0,1] функции. При произвольных вектор узлах Т = {fc},T = {тг-} обозначим через Pi = {ak},Sm(H1;qi;T) - коэффициенты и точную оценку погрешности наилучшей по коэффициентам для класса iJ1[0,1] квадратурной формулы (2.1.4), а через Р2 = {bi},n(H1 ,q2,l ) - коэффициенты и точную оценку погрешности наилучшей по коэффициентам для класса Л1 [О,1] квадратурной формулы (2.1.5). Тогда справедлива следующая общая

Наилучшие по коэффициентам кубатурные формулы с весом для классов функций HU(Q) и W>2(Q)

Известно [1], что W = Н1. Через W L = W L[a, b] обозначим класс функций f(t), у которых почти вскугу на отрезке [а, 6] существует производная f (t), удовлетворяющая условию

Во второй главе диссертации преимущественно рассматриваются задачи о нахождении наилучших (оптимальных) весовых кубатурных формул на различных классах функций, определяемых модулями непрерывности. Как правило, предполагается, что рассматриваемое множество функций являются непрерывными в единичном квадрате Q = {О t, г 1}. Приведем определение рассматриваемых классов функций: Н -1,1 := H Q) - класс функций f(t, т) для любых двух точек (t, т) Є Q, ( , т ) Є Q удовлетворяющих условию /( ,т)-/( тО - + т-тЧ. Пусть f(t, т) Є C(Q). Величина называется полным модулем непрерывности /(, т) Є C(Q). Очевидно, что u)(f; и, v) по каждой из переменных не убывает, о;(/; 0,0) = 0 и удовлетворяет некоторым другим свойствам присущие модулям непрерывности (см.напр. lie]). Через Нш(0) обозначим класс функций f(t,r) Є C(Q), для которых выполняется неравенство uj(f\u,v) w(u,v), где u (u,v) - заданный модуль непрерывности в области Q. jjw,i ._ JJu Q} - класс функций f(t,r), для любых двух точек M (t,,T,),M"{t",r") Є Q удовлетворяющих неравенству \f(M ) f(M")\ u[p(M ,M % где р(М , М") = \t —1"\ + \т — т"\, а и)(и) - заданный модуль непрерывности, т.е. непрерывная функция, удовлетворяющая соотношениям 0 ш(5") - ш(6 ) ш(5" - 6 ), 0 6 5" 1, w(0) = 0. Параллельно будем рассматривать класс Ни 2 := Нш,2{0) функций f(t,r), заданных на Q и таких, что где р(М , М") = yj(t! - t")2 + (г — т")2 - расстояние между точками M (t , т ) и M"(t",r"), а ш(и) - заданный модуль непрерывности. 1.2. О наилучших по коэффициентам квадратурных формулах с весовыми функциями, имеющих фиксированные особенности Выше мы отметили, что задача приближенного интегрирования функций на конечном отрезке или на всей вещественной оси является одной из важнейших задач численного анализа. В литературе рассмотрены различные постановки и методы решения задач построения оптимальных квадратурных формул с весовыми функциями как для регулярных, так и для сингулярных интегралов (см. [6, 25, 32] и приведенную литературу в них). Отметим, что для регулярных интегралов задача построения оптимальной квадратурной формулы для заданного класса функций является хорошо изученной и достаточно разработанной, а для сингулярных интегралов подобные исследования начались недавно [6, 25, 32]. Данный параграф посвящен нахождению оптимальных по коэффициентам квадратурных формул с весами имеющих фиксированные особенности на отрезке интегрирования для классов функций малой гладкости. Таким образом, в этом параграфе приводится решение задачи I для класса функций, имеющих ограниченную производную первого порядка. Пусть требуется приближенно вычислить интеграл где q(t) положительная суммируемая на отрезке [а, Ъ] функция и в некоторой точке с Є [а, 6] имеет фиксированную особенность. Интегралу (1.2.1) сопоставим квадратурную формулу Jtf\ я) = Е Pkfitk) + Rn(f; g) = (/; я) + ЗД; q) (1-2-2) задаваемую вектором узлов Т = Тп = {tk : а h t2 - tn_i tn b} (1.2.3) и вектором коэффициентов Р = {рк]к=ъ Rn(f] я) погрешность формулы. І.Если известен вектор значений /(Т„) = {/( !),...,/( )} функций f(t) Є Я1 в системе точек (1.2.3), то нижнюю и верхнюю границу множества [30] (/(Щ) = [g(t) : д Є H\g(tk) = f(tk), к = 1,2,...,n} образуют функции, определенные на отрезке [tk-i,tk], к = 1,2, ...,п, соответственно равенствами ф(і) = ф(ї{Тп),і) = maxj/fe) - t - tfc}, (1.2.4) ( ) = (/(Tn),t) = (/( ) + tfc}, (1.2.5) причем нетрудно проверить, что ф{Ь) и /?() принадлежат классу Н1 и В самом деле утверждение для функции (p(t) проверяется просто. Пусть t ,t" Є [a,b]. Тогда имеем.

Похожие диссертации на Наилучшие квадратурные и кубатурные формулы с весом для классов функций малой гладкости

Гладкость классов функций и приближения сплайнамиКитбалян, Александр Анатольевич

Весовые интегральные представления и классы функций обобщенной гладкостиФейзиев, Сархан Аслан оглы

Классы субгармонических функций, интегрируемых с весом в круге и в полуплоскостиАветисян, Карен Ларикович

Аппроксимационные критерии и эквивалентность конечно-различных характеристик гладкости функцийШах, Лариса Георгиевна

Мультипликативные неравенства для максимальных функций, измеряющих гладкостьЛохару, Евгений Эдуардович

Мультипликативные неравенства для максимальных функций, измеряющих гладкостьЛохару Евгений Эдуардович

Об оценках модулей гладкости положительного порядка функций из Lp, 1Есмаганбетов Мусатай Галымович

Оценки сумм коэффициентов Фурье функций с заданным модулем гладкостиДьяченко Дмитрий Михайлович

Абсолютно представляющие системы в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостьюПетров, Сергей Владимирович

Приближение алгебраическими многочленами функций с данным обобщенным несимметричным модулем гладкости Напеденина Анастасия Юрьевна