Введение к работе
Актуальность темы. В теории субгармонических функций и их приложениях существенную роль играет фундаментальная теорема Ф. Рисса (1926, 1930) о локальной представимости субгармоническом функции в виде суммы потенциала и некоторой гармонической функции. Эта теорема является обобщением классической формулы представления Пуассона-Иенсена. Литтлвуд (1927) показал, что для субгармонических функций ограниченного вида в круге представление Рисса имеет место глобально во всем круге, а И. И. Привалов и Е. Д. Соломен-цев распространили этот результат на многомерный случай и обобщили его. М. М. Джрбашян (1965) указал на возможность новых глобальных представлений типа Рисса для широких классов субгармонических функций, быстро растущих вблизи границы круга.
Следует отметить, что такие представления функции, субгармонических в различных канонических областях комплексной плоскости, обобщают классические результаты Харди, Ф. Рисса, Литтлвуда, Р. Неванлинны, В. И. Смирнова, В. И. Крылова, М. М. Джрбашяна, Б. Я. Левина и других о факторизации классов голоморфных и мероморфных функций.
Глобальные представления типа Рисса для субгармонических функций дают возможность исследовать поведение последних вблизи границы области. Такие результаты имеют многочисленные применения в различных областях одномерного и многомерного анализа - в теории потенциала, теории линейных операторов, гармоническом анализе и т. д..
Результаты о представлениях, граничных и асимптотических свойствах голоморфных, мероморфных, субгармонических и ^-субгармонических фунхций были получены многими армянскими математиками. Настоящая работа является продолжением и развитием результатов, полученных в этой области М. М. Джрбашяном, В. С. Захаряиом, Ф. А. Шамояном, А. М. Джр-башяном, А. Э. Джрбащяиом, А. О. Каралетяном и другими.
В силу сказанного представляется актуальным получение новых представлений типа Рнсса для широких, весовых классов функций, субгармонических в круге и в полуплоскости.
Цель работы. 1) Изучить структуру весовых классов S(a > 0) субгармонических функций в круге и в полуплоскости и установить для них параметрические представления типа Рнсса. Для последних найти аналоги формулы обращения Стил-тьеса.
-
Ввести в рассмотрение широкий класс потенциалов типа Грина в круге и в полуплоскости. Изучить первообразные дробного порядха этих потенциалов и вопрос об их принадлежности классам S.
-
Провести исследование расширенных классов Л0,р,г О. В. Бесова, необходимость в котором возникает в связи с найденными представлениями классов 5. Исследовать действие преобразования Гильберта в классах Л0,р'г.
Общая методика исследования, і В диссертации в основном использованы методы классического комплексного и гармонического анализа, теории классов ^арди, (|
Научная новизна н практическая ценность. Все результаты диссертации являются новыми. Работа носит теоретический характер и может найти применение в задачах теории функций одной и многих комплексных переменных, в теории операторов, в теории потенциала, в гармоническом анализе и т. д..
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре по комплексному анализу в Институте математики НАН Армении а также на международной конференции по теории функций и приложениям (Амберд, 1995 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора; список публикаций приводится в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Общий объем работы - 107 страниц текста, набранного на ЭВМ. Список литературы содержит 35 названий.
![О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями](/i/i/4377/303944.png "О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями Меленцов Александр Александрович")
