Введение к работе
Актуальность темы. Одной из наиболее важных задач численного анализа является задача нахождения наилучших квадратурных формул для заданного класса функций. Указанная задача для соболеиских классов функций с ограниченной старшей производной в пространстве Lp[a, b], 1 < р < со полностью решена в работах А.А.Женсыкбаева и Б.Д.Боянова.
Существенный вклад в решение этой задачи для различных классов функций также внесли Н.П.Корнейчук, В.П.Моторный, К.И.Осколков, А.А.Лигун, М.И.Левин, Н.Е.Лушпай, В.Ф.Бабенко и др. Основные результаты этой теории полученные до 1979 г. подытожены Н.П.Корнейчуком и приведены в добавлении к монографии С.М.Никольского „Квадратурные формулы"- М.:Наука, 1979 г. Из этого добавления видно, что данная теория получила значительное развитие, хотя в ней остался ряд нерешённых вопросов. Значительно менее развита теория построения весовых наилучших квадратурных и кубатурных формул для интегралов с фиксированными особенностями на отрезке интегрирования.
Последние задачи естественным образом возникают при оптимизации приближённого интегрирования сингулярных интегралов и сингулярных интегральных уравнений.
Пусть для вычисления интеграла
ь Jq(t)f(t)dt,
где /() - произвольная функция из некоторого класса функций, q(t) > 0 -заданная весовая функция, применена квадратурная формула
q{t)f{t)dt = Y,PkKtk) + Rn(J..Q), (1)
где Р — {Pk]'k=i - вектор коэффициентов, Т = {i^ : а < t,x < t-i < ... < tn < 6} - вектор узлов, a Rn(f;q) := Rn(f\q\P,T) - погрешность формулы (1) на функции /().
Если Ш - некоторый класс функций /(<), заданных и определенных на конечном или бесконечном отрезке [а,Ь], то через
Rn(m;q,P.T)=snp{\Rn(f-q;P,T)\: / Є ОТ} =
: sup
/ q(t)f(t)dt - >/(*.
J і—і
k=l
fem} (2)
обозначим верхнюю грань погрешности квадратурной формулы (1) на классе 9Я. Очевидно, что если весовая функция q(t) задана, то верхняя грань (2) на данном классе функций зависит только от выбора Р = {pjt}=1 нГ= {tk}"-i-В связи с этим в теории квадратур возникает задача построения квадратурных формул вида (1), имеющих на данном классе функций 9Я наименьшую оценку остатка при фиксированных узлах или при произвольных узлах и коэффициентах, то есть требуется найти следующие величины
п(т- д, Т) = inf Rn(Tl; q: Р, Т), (3)
n(m-q)=mf Rn(m;q;P.T). (4)
Квадратурная формула (1), для которой существует вектор коэффициентов Р, = (Pfc}=i> такой, что п(9Я;д, Т) = Л„(ЗЛ; q; Р*,Т), называется наилучшей по коэффициентам при фиксированных узлах или оптимальной квадратурной формулой в смысле Сарда, а квадратурная формула, для которой существует вектор (Р,Т) = ({РкУк'=і< {**}*=і) > такой, что n(9Ji;g) = Rn{9R;q; Р, Т) называется наилучшей или оптимальной квадратурной формулой в смысле С.М.Никольского для класса ЯЯ.
В предлагаемой диссертационной работе рассматриваются вопросы построения квадратурных формул вида (1) и решаются задачи (3) и (4) для некоторых классов функций малой гладкости.
Цель работы:
-
Найти наилучшие квадратурные формулы с заданным весом для классов функций, задаваемых модулями непрерывности на конечном отрезке и на полуоси.
-
Найти наилучшие по коэффициентам квадратурные формулы типа Маркова с весом Чебышёва и фиксированными узлами.
-
Найти наилучшие квадратурные и кубатурные формулы типа Маркова для интегралов от быстроосциллирующих функций классов, задаваемых модулями непрерывности.
-
Найти наилучшие квадратурные формулы с заданными весами для классов функций с. ограниченной по норме пространства Ьф, со) старшей производной.
5. Найти наилучшие кубатурныс формулы с несом для классов функций, задаваемых модулями непрерывности, и классов функций с ограниченной по норме старшей частной производной.
Метод исследования. В работе используются современные методы функционального анализа, методы исследования экстремальных задач нахождения квадратурных и кубатурных формул, а также метод Н.П.Корнейчука оценки снизу погрешности квадратур на классах функций, обращающих в нуль квадратурную сумму.
Научная новизна исследований:
-
Найдены наилучшие квадратурные формулы с заданными весами для классов функций, задаваемых модулями непрерывности на конечном отрезке и на полуоси.
-
Найдены наилучшие по коэффициентам квадратурные формулы типа Маркова с весом Чебышёва и фиксированными узлами для классов функций, задаваемых модулями непрерывности.
-
Найдены наилучшие квадратурные и кубатурныс формулы типа Маркова для интегралов от быстроосциллирующих функций для классов функций малой гладкости.
-
Найдены наилучшие квадратурные формулы с заданными весами для классов функций с ограниченной но норме пространства Lx [0, со) старшей производной.
-
Найдены наилучшие кубатурныс формулы с весом для классов функций, задаваемых модулями непрерывности, и классов функций с ограниченной по норме старшей частной производной.
Практическая ценность. Полученные результаты имеют как теоретическое, гак и прикладное значение. Они могут быть использованы при численном решении сингулярных интегральных уравнений, системы сингулярных интегральных уравнений и оптимизации погрешности их решений на классах функций малой гладкости.
Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на ежегодных конференциях Хорогского госуниверситета им. М.Назаршоева (г.Хорог. 200G - 2011 гг.), на семинарах но вопросам теории приближения функций в Институте математики АН Республики Таджикистан (г.Душанбе, 2006 - 2011 it.), на международной научной конференции „Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатики'" (г.Душанбе, 2007 г.). на международной научной конференции, по-
священной 60-летию академика АН РТ К.Х.Бойматова (г.Душанбе, 23-24 июня 2010 і\), в ИМ АН Республики Таджикистан, на международной научной конференции „Современные проблемы математики и её приложения", посвященной 70-летию члена-корреспондента АН Республики Таджикистан Э.М.Мухамадиева (г.Душанбе, 28-30 июня 2011 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6-й статьях, из них 2 статьи выполнены в соавторстве с научным руководителем М.Ш.Шабозовым, которому принадлежит постановка задач и выбор метода доказательства.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 54 наименований и занимает 87 страниц машинописного текста. В диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.
![О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями](/i/i/4377/303944.png "О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями Меленцов Александр Александрович")
