Введение к работе
Актуальность темы. В пятидесятых годах прошлого столетия С.М.Никольский впервые поставил и решил экстремальные задачи построения наилучших квадратурных формул - задачи выбора узлов и коэффициентов квадратурной формулы из условия минимальности точной оценки ошибки формулы на заданном классе функций. Аналогичную задачу в случае фиксированных узлов впервые рассмотрел А.Сард. В дальнейшем теория построения наилучших квадратурных формул стала важным разделом вычислительной математики. Существенные результаты в этом направлении были получены Н.П.Корнейчуком, Н.Е.Лушпаем, В.П.Моторным, АА.Женсыкбаевым, Б.Д.Бояновым, А.А.Лигуном, К.И.Осколковым, М.И.Левиным, Ю.Г.Гиршовичем и многими другими. Основные результаты этой теории приведены Н.П.Корнейчуком в добавлении к книге С.М.Никольского „Квадратурные формулы"- М.:Наука, 1986 г. Из этого добавления видно, что данная теория получила значительное развитие, хотя в ней остался ряд нерешенных вопросов. Значительно менее развита теория построения весовых наилучших квадратурных и кубатурных формул, а также теория построения наилучших квадратурных формул для сингулярных интегралов.
При оптимизации приближенного интегрирования сингулярных интегральных уравнений возникает необходимость в нахождении наилучших квадратурных и кубатурных формул с положительным весом, причем допускается, что интегрируемая весовая функция в области интегрирования может иметь фиксированные слабые особенности. Для таких квадратур сформулируем следующую общую экстремальную задачу.
Рассматривается квадратурная формула
ъ п
fq(x)f(x)dx = J2Pkf(xk) +Rn(f), (1)
а к=\
в которой весовая функция q(x) > 0 на отрезке [а, Ь] интегрируема (может быть в несобственном смысле) по Риману, Р = {pk}k=i — вектор коэффициентов, X = {xk : а < Х\ < Х'і < ... < хп-\ < хп < Ъ] — вектор узлов, a Rn(f) '= := Rn{f'i Q'i Р, А) — погрешность квадратурной формулы (1) на функции/(ж). Если УХ некоторый класс функций {/(ж)}, заданных и определенных на конечном или бесконечном отрезке [<2,6], то через
Лп№д,Р,А) = 8ир{|Лп(/;д;Р,А)|: / Є Щ (2)
обозначим допустимую погрешность квадратурной формулы на классе 9Т.
Требуется найти величину
Еп{% q) = тї{Ііп(УІ; q; Р, X) : (Р, X) С Л}, (3)
где Л - множество векторов узлов и коэффициентов, для которых квадратурная формула имеет смысл. Если существует вектор (Р, Х) узлов и коэффициентов, для которого достигается нижняя грань в (3), то есть
Sn(^q) = Rn(^q,P0,X0),
то квадратурная формула (1) называется наилучшей или оптимальной на классе 9Т, а вектор (Р,Х) называется наилучшим вектором коэффициентов и узлов квадратурной формулы (1). Аналогичным образом, если существует вектор коэффициентов Р* = {pl}k=ii который реализует нижнюю грань
n(9t; q, X) = M{Rn(
то квадратурная формула (1) называется наилучшей по коэффициентам квадратурной формулой при фиксированном векторе узлов X = {ж&}=1.
В литературе задача (3) называется задачей Колмогорова-Никольского, а задача (4) - задачей Сарда. Задача (3) для соболевских классов функций и регулярных интегралов рассматривалась многими авторами. Что же касается нахождения наилучших квадратурных формул для сингулярных интегралов или весовых квадратурных формул, когда q(x) на отрезке [а, Ь] имеет особенности, то здесь можно указать лишь на работы Л.А.Онегова, В.А.Войкова, М.Ш.Шабозова и Р.С.Сабоиева.
Диссертационная работа посвящена дальнейшему развитию указанной тематики.
Цель работы:
1. Найти наилучшие квадратурные формулы с весом для классов
на конечном и бесконечном отрезке интегрирования.
Найти наилучшие по коэффициентам квадратурные формулы с весом для классов функций, задаваемых модулями непрерывности.
Найти наилучшие квадратурные формулы для двумерных сингулярных интегралов с фиксированной особенностью в круге.
Найти наилучшие кубатурные формулы для классов функций W^ ' 'L(Q)} когда область Q как ограничена, так и не ограничена.
Вычислить точные оценки погрешности кубатурных формул на классах функций, определяемых модулями непрерывности.
Метод исследования. В работе используются современные методы исследования экстремальных задач нахождения квадратурных и кубатурных
формул, метод Корнейчука оценки снизу погрешности квадратур на классах функций, обращающих в нуль квадратурную сумму. Научная новизна исследований:
1. Найдены наилучшие квадратурные формулы с весом для классов
функций малой гладкости как на конечном, так и на бесконечном отрезке.
Найдены наилучшие по коэффициентам весовые квадратурные формулы для классов функций, задаваемых модулями непрерывности.
Найдены наилучшие квадратурные формулы для двумерных сингулярных интегралов с фиксированной особенностью в круге.
Найдены наилучшие кубатурные формулы для классов функций, определенных в первом квадранте декартовом системы координат.
Вычислены точные оценки кубатурных формул, точных на билинейных сплайнах для классов функций, определяемых модулями непрерывности.
Практическая ценность. Полученные результаты имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Они могут быть использованы при численном решении сингулярных интегральных уравнений и оптимизации погрешности их решений на классах функций малой гладкости.
Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на ежегодных конференциях математических кафедр вузов Согдийской области (г.Ходжент, 2007 - 2010 гг.), на семинарах по вопросам теории приближения функций в ИМ АН Республики Таджикистан, на международных научных конференциях „Актуальные вопросы математического анализа, дифференциальных уравнений и информатики" (г.Душанбе, 2007 г.), „Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений" (г.Душанбе, 2007 г.), „Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ" в ИМ АН Республики Таджикистан (г.Душанбе, 2008 г.), на международной научной конференции, посвященной 60-летию академика АН РТ К.Х.Бойматова (г.Душанбе, 23-24 июня 2010 г.) в ИМ АН Республики Таджикистан.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти статьях [40-43, 50], из которых одна статья выполнена в соавторстве с научным руководителем М.Ш.Шабозовым и Р.С.Сабоиевым. Из этой статьи в диссертации приведена теорема 2, доказательство которой принадлежит автору диссертации.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 53 наименований и занимает 82 страницу машинописного текста. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную
