Введение к работе
Актуальность темы. Одной из основных задач теории приближений является получение оценок вида \L„(f,x)-f(x^a.„(f), где L„- аппроксимирующая последовательность операторов, f(t)- приближаемая функция, a. „(f)- выражение, содержащее индивидуальные характеристики f(t) или характеристики класса, которому принадлежит f(t). Кроме того, выражение a„(f) должно содержать некоторые характеристики L„. Эти характеристики, в случае, когда рассматривается конкретная последовательность L„, могут фигурировать в виде констант, не зависящих от / и и. Одна из актуальных задач теории приближений - получение таких констант, которые дают наименьшее из возможных значений для a„(f).
Постановка задачи получения точных констант в общем виде сформулирована в работах Н. П. Корнейчука (см. его монографию Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближений. М.: Наука, 1987, в которой подведены итоги определенного этапа в исследовании этого вопроса).
Предлагаемая работа посвящена частному случаю этой проблемы: рассматривается приближение функций, принадлежащих классам LipMa, некоторыми конкретными методами суммирования рядов Фурье. Для конкретной последовательности L„ ставиться задача определения величины U„(L„,a) = sup^L„(f,x)- f(x^: f(t) е Lip}a], a
если Un(L„,a) = Af/an~a +o(n~a), (где обозначено L = {L„}), to в качестве основной рассматривается задача определения констант Aj/a.
В работе задача конкретизируется для последовательностей тригонометрических операторов В. А. Баскакова. Эти операторы относятся к методам суммирования рядов Фурье и определяются параметрами т, кх,...,кт (все параметры целые, смотри раздел краткое содержание работы). Соответствующие константы обозначены
JmKk,...^)
Задача получения точных констант является одной из наиболее трудных задач теории приближения. В работе задача определения констант А^](кь кт> решена лишь частично.
РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА СПет*| ОЭ
Цель работы. Целью работы является описание и применение в конкретных ситуациях метода получения точных или экстремальных констант в оценках приближения функций класса LipMa операторами Баскакова и сходными с ними аппроксимирующими конструкциями.
Новизна научных результатов. Основными новыми результатами работы являются:
-
метод нахождения точных констант в оценках приближения функций класса Ыриа операторами с фиксированньш числом простых нулей у ядра, основанный на решении некоторой задачи об экстремальном значении функционала,
-
получение с помощью этого метода точных констант Aff ', Aff'^' и
3) получение оценок сверху для констант A'fj"'' '' ' "' и других констант, фигу
рирующих в оценках приближения операторами Баскакова функций классов W На и
W2Ha.
Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость работы заключается в разработке определенных приемов исследования аппроксимативных свойств некоторых операторов, являющихся методами суммирования рядов Фурье и применении этих приемов к тригонометрическим операторам Баскакова.
Практическая значимость состоит в получении аналитических выражений точных констант в оценках приближения операторами Баскакова функций класса Ыр\. Предложенные методы могут быть применены и к исследованию операторов, не относящихся к множеству операторов Баскакова.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались:
в отделе теории функций и приближений Института математики и механики УрО РАН, на семинаре под руководством профессора Ю.Н. Субботина (2002 г.);
на Всероссийской конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (г. Екатеринбург, 2004 г.);
в Хабаровском отделении Института прикладной математики ДВО РАН, на семинаре под руководством член-корреспондента РАН, профессора Н.В. Кузнецова (2004 г.);
в Забайкальском государственном педагогическом университете, на семинаре кафедры математического анализа под руководство профессора СЕ. Холодовского (2002
г-);
на научных семинарах Энергетического института Читі ТУ, г. Чита, 2001 - 2003 г.;
на семинарах кафедры ИВТ и ПМ Читинского государственного университета (2000-2004 г.г.);
на Первой межрегиональной научно-практической конференции: «Энергетика в современном мире» ЧитГТУ, г. Чита, 2001 г.;
на Второй межрегиональной научно-практической конференции: «Энергетика в современном мире» ЧитГТУ, г. Чита, 2003 г.;
на Всероссийской научно-практической конференции, Чита, ЗабТПУ 2004 г.;
на XXVIV школе-семинаре им. Золотова, г. Владивосток, 2004 г.
Публикации. В процессе работы над диссертацией опубликовано 14 печатных работ, 1 работа находится в печати.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 71 листе, содержит список литературы, включающий 40 наименований.
