Введение к работе
Актуальноеть темы. Работа посвящена вопросам приближения функций из классов С^Ни и б^Ны операторами, порождаемыми прямоугольными А -методами суммирования рядов и интегралов Фурье о целью получения для них асимптотических равенств.
Задача приближения заданных классов функций 711 при помощи фиксированного линейного метода, определяемого бесконечной треугольной матрицей чиоел А = я , n = 0,i,Z,... ; н= D,i,Z,.... состоит в исследовании величин
%(т,г/н(л))х& *ир y(-)-Vjf;-;A)\\K , (I) /t fflt
где Un (У; ; Л ) - полином, порождаемый некоторым линейным методом, X - нормированное проогранотво, 9ftc X - заданный клас о функций.
В 1935 г. в работе А.Н.Колмогорова ( zur Grossenord der Restgliniles Fourieracher Reihen Mfforenzierbarer Funktionen // Ann. of Math. - 1935. - J6, N2. - V. 521-526 ) бЫЛО установлено, ЧТО
где Sn~Sn(f; ) - чаотнне суммы Фурье, W - клаоо 2!h-периодических функций f(-) , (ґ - і )-я производная которых абсолютно непрерывна, \{ г \ * і и г Є /V . Исследования А.Н.
Колмогорова были продолнвші В.Т.Пинкевичем (0 порядке оогаточно-го члена ряда Фурье функций, дифференцируемых в смысле Вейля // Изв. АН СССР. Сер. маг. - 1940. -J_, № 5. - С. 5І2І-528 ). Он установил, что соотношение (2) остается верным для любых г > О
( f () - производные по Вайлю).
Следующий существенный шаг в развитии этой теории принадлежит СМ.Никольскому, обобщившему упомянутые результаты на
клаоон WHv и Wi , г > О.
Указанные исследования А.Н.Колмогорова и СМ.Никольского положили начало новому направлению в теории приближения функций. Их результаты распространялись на все более общие клаоон функций; а также на различные методы оу/лмирования рядов Фурье.
Важные результаты в этил направлении были получены Б.Надем, С.А.Теляковоким, С.Б.Стечкиным, А.В.Ефимовым, Н.П.Корнейчуком, В.К.Дзядыком, А.И.Ствпанцом, В.П.Моторным и др.
Подавляющее большинство интересующих нас результатов для
класоов СЇ Ни и V/ГН& было получено для Л-методов, определяющихся треугольными чиоловыми матрицами Л . Что мз касается матриц прямоугольных , го здесь, по оущеотву, изве-отны только результаты Л.И.^аусова (Линейные методы суммирования рядов Фурье о заданными прямоугольными матрицами. П // Изв. вузов. - 1966. - 55, В 6. - С. 3 - 17), который рассматривал задачу типа (I) на классах WT Н00, rtO, /Э R- (о &с ^ 4),
Диссертация поовящена распространению результатов Л.И.Бау-сова на более широкие кяаосы функций - С» Иш , и* А/<у , bj> її со и Ьр П(р2 .
Цель рабом. I. Изучение верхнах граней уклонений клаооов (у ,J$)-дифференцируемых функций от операторов, порождаемых пря-моугольними Л -методами суммирования рядов Фурье.
-
Применение полученных результатов к конкретному методу суммирования - методу Абеля - Пуасоона.
-
Распространение найденных результатов для периодического случая на клаооы (ц>, /3 )-дифференцируемых функций, заданных на всей оои.
Общая методика выполнения исследований. Основным методом решения задач является изучение интегральных представлений уклонении (у ,J3)-дифференцируемых функций от линейных операторов.
Новизна результатов и их научная ценность. Все основные результати диссертация являются новими и представляют теоретический интерес. Основные результаты работы состоят в оледующем.
1. Получеш асимптотические равенства для верхних граней
уклонений функции из классов СЇНсо операторами, порождае
мыми произвольными прямоугольными Л-методами суммирования рядоа,
2. Найдены оценки сверху для уклонений функций из классов
L.Z H(nt упомянутыми выше операторами в интегральной метрике.
-
Получеш асимптотические равенства для верхних граней уклонений функций из масо ев СЇ На) операторами Абеля -Пуассона.
-
Вае перечисленные результаты для периодического олучая распространены на классы Cj^Haj и LZHcjj функций, заданных на всей действительно;! оса.
Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть также использованы в ряде вопросов приложения теории приближений функций к задачам практики.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах отдела теории функций Института математики АН Украины и на Республиканской школа молодых ученых: "Математические методы в естествознании: теоретические и прикладные аспекты" (Алушта, 1990).
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях [I - 3J .
Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, двух глав л списка цитированной литературы, содержащего 85 наименований. Общий объем работы - 148 страниц машинописного текота.
