Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Кратный тригонометрический ряд и интеграл фурье функций
1.1. Свойство "почти фундаментальности" для последовательности частичных сумм двойных рядов Фурье функций
1.2. Равносходимость почти всюду разложений в кратный ряд и интеграл Фурье, "прямоугольные частичные суммы" которых рассмат риваются по некоторым подпоследовательностям 39
1.3. О справедливости равносходимости разложений в кратный ряд и интеграл Фурье непрерывных функций 55
1.4. Равносходимость разложений в ряд и интеграл Фурье функций
ГЛАВА II. Структурные и геометрические характеристики множеств, на которых справедлива равносходимость разложений в кратный ряд и интеграл фурье 68
Введение 68
2.1. Равносходимость почти всюду разложений в кратный ряд и интеграл Фурье с акунарными последовательностями частичных сумм" 71
2.2. О необходимых условиях справедливости равносходимости почти всюду кратных рядов и интегралов Фурье с лакунарными по следовательностями частичных сумм" 89
ГЛАВА III. Критерий справедливости равносходимости разложений в кратный ряд и интеграл фурье 107
Введение 107
3.1. Вспомогательные утверждения 110
3.2. Критерий справедливости равносходимости разложений в кратный ряд и интеграл Фурье, "прямоугольные частичные суммы" которых рассматриваются по некоторым подпоследовательностям .128
3.3. Равносходимость разложений в кратный ряд и интеграл Фурье с лакунарными последовательностями частичных сумм" функций
Литература
- Равносходимость почти всюду разложений в кратный ряд и интеграл Фурье, "прямоугольные частичные суммы" которых рассмат риваются по некоторым подпоследовательностям
- О справедливости равносходимости разложений в кратный ряд и интеграл Фурье непрерывных функций
- О необходимых условиях справедливости равносходимости почти всюду кратных рядов и интегралов Фурье с лакунарными по следовательностями частичных сумм"
- Критерий справедливости равносходимости разложений в кратный ряд и интеграл Фурье, "прямоугольные частичные суммы" которых рассматриваются по некоторым подпоследовательностям
Равносходимость почти всюду разложений в кратный ряд и интеграл Фурье, "прямоугольные частичные суммы" которых рассмат риваются по некоторым подпоследовательностям
Полученные в рамках второго направления (т.е., нахождения "классов равносходимости" при результаты поставили вопрос о справедливости равносходимости п.в. (рассматриваемых разложений) при дополнительных условиях на функции f(x) и д{х) (в частности, в классах Lp, р 1, при N 3), и дополнительных ограничениях на вектор а.
Глава I настоящей работы посвящена исследованию вопроса о равносходимости на Т разложений в кратный тригонометрический ряд и интеграл Фурье функций / Є Lp(TN) и д Є Lp(RN)} р 1, N 2, д(х) = f(x) на Т , в случае, когда "частичные суммы" указанных разложений, т.е. Sn(x] /)
В работе [29] построена функция из класса НШ1 (Т2), прямоугольные частичные суммы двойного ряда Фурье которой расходятся в каждой точке квадрата [—7г + є, 7г — є]2, є 0. и Ja(x; д) соответственно, имеют "номера" п Є Z и а Є Ш$ , в которых некоторые компоненты являются элементами "лакунарных последовательностей".
В 1.1 главы I мы рассматриваем поведение разностей Ra(x; f, д) = Sn(x; f) — Ja(x; д) (0.3), (0.4) при N 2, когда компоненты rij вектора п Є Ъ$ и компоненты a.j вектора а Є MQ связаны более широким соотношением, чем (0.5), а именно: где константа С(р) не зависит от функций fug. Результат теоремы показывает, что в двумерном случае в классах Lp: р 1, равносходимость п.в. разложений в тригонометрический ряд и интеграл Фурье имеет место при условии, что компоненты rij и OLJ векторов п и а связаны соотношением (0.6).
Эквивалентным теореме I.I является следующий результат. Теорема І.І . Для любой ограниченной последовательности {т(п)}} т(п) Є ZQ, п Є ZQ, и для любой функции f Є Lp(T2)} р 1, lira RSn+m(n-)(x; /) = 0 почти всюду на Т . Результат, сформулированный в виде теоремы I.I , означает, что для последовательности частичных сумм двойных рядов Фурье функций из Lp, р 1, имеет место свойство "почти фундаментальности" .
Замечание 1. Под эквивалентностью теорем I.I и I.I мы подразумеваем, что из справедливости теоремы I.I следует справедливость теоремы I.I , а из результата теоремы I.I (плюс результат теоремы А) следует результат теоремы I.I.
Естественно, встает вопрос о поведении разностей RSn+m(x\ /) и Ra{x] /) при N 3. Как оказалось, начиная с трехмерного случая, указанные разности не эквивалентны. Точнее, справедливы следующие результаты. Для разности RSn+m(x\ /) имеет место
Теорема I.II. Для любой ограниченной последовательности {т(п)}} т(п) Є ZQ, п = (пі,П2) Є ZQ, для любых лакунарних последовательностей {rij }, ПА Є ZQ, XJ = 1,2,..., j = 3,..., TV, и для любой функции f Є Lp(TN), р 1, N 3, почти всюду на TN
Результат теоремы I.III, с точки зрения вопросов равносходимости разложений в кратный ряд и интеграл Фурье (которые мы исследуем в настоящей работе), показывает, что как только мы оставляем две компоненты вектора п (а значит и вектора а) "свободными" (т.е., в частности, не являющимися элементами никаких лакунарных последовательностей), то класс С(Т ), N 3, уже не есть "класс равносходимости п.в." указанных разложений.
В 1.2 главы I нами исследуется вопрос о справедливости равносходимости рассматриваемых разложений в случае, когда не более одной компоненты в векторе а остается "свободной".
Для формулировки результатов введем следующие понятия и обозначения. Пусть {п }7 п GZQ,K=1,2,...,- произвольная лакунарная последовательность, и пусть Q - некоторая постоянная.
Определение 2. Последовательность будем называть вещественной лакунарной последовательностью, если целая часть Є М1), и обобщенной вещественной лакунарной последовательностью, если обозначим TV-мерный вектор, у которого компоненты rij с номерами, являются элементами некоторых (однократных бесконечно больших) последовательностей натуральных чисел (при j В частности, символом nW = п(д)[Л] Є Z (где Л = А(Л) будем обозначать TV-мерный вектор, у которого компоненты rij, j Є Jk: являются элементами некоторых (однократных) лакунарних последовательностей, а символом а = a [Jk] = (а\,... ,ам) Є Ш$ обозначим TV-мерный вектор, у которого компоненты otj, j Є Jk: являются элементами некоторых (однократных) обобщенных вещественных лакунарних последовательностей. При этом последовательности частичных сумм Sn{\)\jkAx; /) и Jaw\jk](x\g) будем называть соответственно "J -лакунарными последовательностями прямоугольных частичных сумм" ряда Фурье и интеграла Фурье.
О справедливости равносходимости разложений в кратный ряд и интеграл Фурье непрерывных функций
Доказательство теоремы I.III в диссертации мы не приводим, т.к. этот результат непосредственно следует из следствия теоремы П.III (доказательство которого проведено в главе II).
В 1.2 настоящей главы нами исследуется вопрос о справедливости равносходимости п.в. разложений в кратный ряд и интеграл Фурье в случае, когда не более одной компоненты в векторе а остается "свободной".
Как оказалось, класс (Т ), р 1, N 3, так же, как и при N = 2, без дополнительных условий на функции д(х) и /(ж), остается "классом равносходимости п.в." , если "свободных" компонент в векторе а только одна. Введем следующие понятия и обозначения. Пусть {п }7 п GZQ,K=1,2,...,- произвольная лакунарная последовательность, и пусть Q - некоторая постоянная.
Определение 1.1. Последовательность {а }, а Є Mj, к = 1, 2,...; будем называть вещественной лакунарной последовательностью, если [а ] = пМ\ к = 1, 2,... (здесь [] — целая часть Є М1), и обобщенной вещественной лакунарной последовательностью, если
Используя результат М. Кожимы [11] о сходимости кратных рядов Фурье функций из Lp: "лакунарной последовательностью частичных сумм" , результат теоремы I.I, а также метод математической индукции, мы доказываем следующий результат
Теорема I.IV. Для любого J/v-i С М, N 3, и для любых функций д(х) и f(x) таких, что д Є Lp(RN), f Є Lp(TN), р 1, д(х) = f(x) при х Є TN, если числа cij Є MQ и rij Є ZQ7 j Є M \ JAT_I7 удовлетворяют условию (1.1); mo
Результат теоремы I.IV показывает, что в TV-мерном случае (N 3) будет справедлива равносходимость п.в. разложений в кратный ряд и интеграл Фурье при условии, когда N — 1 компонента в векторе а ("номера" разности Ra{x] /, g)), является обобщенной вещественной лакунарной последовательностью.
В 1.3 настоящей главы нами найден более "узкий класс" , чем С(Т ), в котором справедлива равносходимость п.в. разложений в тройной ряд и интеграл Фурье в случае, когда две компоненты в векторе а являются "свободными". Обозначим здесь и(5) = о(и0(5)) при 5 - +0. Очевидно, что Я (Т3) С Я (Т3). Опираясь на некоторые мажорантные оценки из работы И. Л. Блошанского [27] (см. также работу И. Л. Блошанского
За счет того, что одна компонента х,-, j Є Ji, "номера" cr = cr fJi] Є M3, разности RU{\)\JA{X] f) является обобщенной вещественной лакунарной последовательностью, мы можем для оценки некоторых интегралов применять мажорантную оценку П. Шёлина из работы [8] для частичных сумм ряда Фурье функций / Є Lp(T2), р 1. Вследствие чего нам удалось в трехмерном случае расширить "класс равносходимости" до Нш (Т ).
Далее, в 1.4 настоящей главы, используя результат СВ. Конягина [5], мы доказываем, что равносходимость п.в. (рассматриваемых разложений) будет отсутствовать в классе Ф(Ь), где любая неубывающая функция, удовлетворяющая условию Ф(и) = o(ulog+log+ и)
В частности, каждая последовательность {сг } может быть лакунарной последовательностью. 1.1. Свойство "почти фундаментальности" для последовательности частичных сумм двойных рядов Фурье функций из Lp, р 1 Рассмотрим частичные суммы ряда Фурье (0.1) и собственный интеграл Фурье (0.2). Можем записать эти выражения соответственно в следующем виде:
2sin ("і аі) Рассмотрим функцию у() = —-,— \, . Очевидно, что эта функция четна и положительна на интервале (0,-), где є = \п\ — а\\. Докажем, что наша функция убывает на интервале (0,-) (величина д определена в (1.1)). Для этого достаточно доказать, что функция y(t) = —т-2- убывает на интервале (0,). Имеем: (te)2 = (Іір и т.к. tecosf-2sinf 0 (tgv г; при г; Є (0,)), Toy (t) 0 при Є (0, f). Следовательно, принимая во внимание, что є = \п\ — а\\ д (см. оценку 1.1)), мы получаем убывание функции y(t) на интервале (0,-). Пусть а = тт{-,5}. Разобьем Ra (х; f,gi) следующим образом:
О необходимых условиях справедливости равносходимости почти всюду кратных рядов и интегралов Фурье с лакунарными по следовательностями частичных сумм"
Настоящая глава диссертации посвящена исследованию структурно-геометрических характеристик "самых простых" подмножеств Т = [—7Г,7г) (положительной меры), на которых справедлива равносходимость п.в. разложений в кратный тригонометрический ряд и интеграл Фурье функций / Є Lp(TN) ид Є Lp(RN), р 1, N 3, д(х) = f(x) на Tw, в случае, когда "прямоугольные частичные суммы" указанных разложений, т.е. Sn(x\ /) и Ja(x; д) соответственно, имеют "номера" п Є Ъ$ и а Є Ш$, в которых некоторые компоненты являются элементами "лакунарных последовательностей".
Глава состоит из двух параграфов. В 2.1 мы указываем класс подмножеств Т (положительной меры), на которых справедлива равносходимость п.в. рассматриваемых нами разложений.
В настоящей главе для удобства изложения доказательств мы будем использовать другой способ построения "Ж-мерных брусков" , чем во введении. Положим при этом предполагаем, что множество W не пусто). Используя результат И. Л. Блошанского и О. В. Лифанцевой [12] о слабой обобщенной локализации для кратных рядов Фурье с " J -лакунарной последовательностью частичных сумм" Sn{\)\Jk\{x]f) в классах Lp(T ), р 1, N 3, мы доказываем следующую теорему. Теорема II.I. Длл любого Jk С М7 1 ; TV — 2; TV 37 и для любой функции f Є Lp(TN), р 1, f(x) = 0 на W, lim Ra{\)\j Ах] /) = 0 9лл почти всех х Є VK0. (2.4) a oo, j EM\Jk Следствие (теоремы II.І). ІТрм TV 3 длл любого JN-2 С M и для любой функции f Є LP(TN), p 1, f{x) = 0 на W,
Результат теоремы 11.1 показывает, что для кратных рядов и интегралов Фурье с " J -лакунарными последовательностями частичных сумм" равносходимость п.в. в классах Lp: р 1, при N 3 будет справедлива на множестве W0 = W(Jk) вида (2.3) при условии равенства нулю функции f(x) на множестве W = W(Jk) вида (2.2). Заметим, что при N 3nk=N— 2 множество W0 = W = WXsXt, т.е. равенство (2.4) выполняется на всем множестве W.
Встает вопрос о том, можно ли в теореме II.I добиться равносходимости п.в. (рассматриваемых разложений) на множестве, больше чем W , в частности, на всем множестве W(Jk), при условии N AvLk N — 3?
Если при N 4 величина к меньше N — 2, то усилить теорему II.I, установив равносходимость на всем множестве W(Jk), нельзя, что показывает следующий результат. Теорема П.II. Пусть N 4 и Jk С М, 1 к N — 3, тогда существуют множество W = W(Jk) вида (2.2) и функция f Є L00(TW) такие, что f(x) = 0 на W и для любых к вещественных последовательностей {ар}, j Є Jk, ар — оо при Uj — оо7 справедлива оценка lim \Ra(u)\j Ах; f)\ = +оо почти всюду на Т \ W0.
При доказательстве данной теоремы нами используется конструкция, предложенная И. Л. Блошанским в работе [15, теорема 2]. В 2.2, модифицируя конструкцию функции Ч. Феффермана [16], двойной тригонометрический ряд Фурье которой неограниченно расходится всюду внутри Т , мы доказываем, что теорема II.I не может быть усилена в плане отказа от равенства нулю функции д(х) вне Т . Теорема II.III. Существует функция д(х), д Є С(М3), д(х) = 0 при х Є Т3; такая, что для любой последовательности {а% }, а% Є Ш-l, а% — оо при щ — оо7 lim \R (и3)(х; 0,д) = +оо всюду внутри Т . Следующее следствие показывает, за счет чего разность Ra(x; f,g) (0.3) в теореме П.III неограниченно расходится.
Критерий справедливости равносходимости разложений в кратный ряд и интеграл Фурье, "прямоугольные частичные суммы" которых рассматриваются по некоторым подпоследовательностям
Доказательство теоремы III.I. Пусть 21 — произвольное измеримое подмножество TN, N 3, /i2l 0 (/І = fi — А -мерная мера Лебега), и пусть f(x) = 0 на 21. Пусть для некоторого Jki 1 к N — 2, множество 21 обладает свойством Е 2 . Это означает, что существует множество W(Jk) вида (3.1) такое, что fi(W(Jk) \ 21) = 0. Так как f(x) = 0 на 21, то f(x) = 0 на W( J к) и, следовательно (см. результат теоремы II.I), первая часть теоремы III.I доказана. 129 Докажем теперь третью часть теоремы, после чего покажем, как из 1-ой и 3-ей частей получить 2-ю часть теоремы. Пусть теперь на множество 21 наложены дополнительные условия (3.3) и (3.4), т.е. ц{ &\1гШ) =0, fi2Frpr{j2){inm} = О, J2 С М \ Jk, где /І2 — мера на плоскости, 23 = Т \ 21. И пусть множество 21, удовлетворяющее ограничениям (3.3) и (3.4), не обладает свойством В2 , т.е. для выбранного Jk ни одно множество W(Jk) вида (3.1) не вписывается почти всюду в множество 21. В таком случае /i B 0, т.к. в противном случае /i(T \21) = 0, и мы получаем, что в 21 вписывается п.в. множество вида (3.1) (в данном случае это TV-мерный куб Т ). Из вышесказанного и условия (3.3) также получаем, что int B j 0.
Рассмотрим множества 21 и 23. Обозначим через B[J 2\ ортогональную проекцию на плоскость К[ ], J2 С М \ Jk-, множества іп В, т.е. ВЩ = ргш{гпт}, J2 С М \ Зк- (3.91) очевидно, имеем B\J2\ Q (—7Г,7г)2 и [J2] т 0- Далее, множества [J2], как проекции открытого множества іп В7 открытые. Рассмотрим ортогональные проекции множества int B на каждую из плоскостей M[J2], J2 С М \ Jk- Могут представиться две возможности: либо 1) существует J2, J2 С М \ Jk} такое, что Рассмотрим первый случай. В силу леммы 3.1 существует функция F(x) = Fjo(x) Є L00(TW) такая, что F(x) = 0 при х Є 21 и для любых N — 2 последовательностей вещественных чисел {аА 3 }, j Є М \ J2l
При этом множество W(Jk) (3.97) отличается от множества W{Jk) вида (3.1 тем, что множества pr j2 Wj2J J2 С М \ J&, являются замкнутыми. Из (3.91), (3.94), (3.96) и (3.97) имеем: Доказательство предложения 3.1. Докажем, что для любого J2lJ i С М \ Jk, существует множество Wj2 вида
Докажем вторую часть теоремы. Пусть множество %l\W (Jk) не обладает свойством В2 к (W0) (само множество 21 обладает свойством В2 ). Рассмотрим опять B[J2] — ортогональные проекции множества int B на каждую из В силу того, что множество 21 обладает свойством В2 к (W0) (где W0 — некоторое множество вида (3.2)), мы имеем для любого J2) J2 С М \ Jk fi2B[J2] 4тг2.
Построим по аналогии с (3.96) - (3.98) множества Wj2, W( Jk) и W( Jk). Имеем /j,W(Jk) 0. Следовательно, справедливо предложение 3.1, т.е. существует множество W(Jk) вида (3.1) такой, что W(Jk) С W(Jk) и fi(W(Jk) \ 21) = 0. Так как множество 2l\VK (Jk) уже не обладает свойством В2 к , то множество W(Jk) есть множество H- VK0, Jk). В таком случае, в силу оценки (3.105) (из предложения 3.1) имеем:
Таким образом определенная функция F(x) Є Ф(Ь)(ТМ). Покажем, что F(x) = 0 при х Є W. Рассмотрим произвольный "брусок" WXgXt = QXgXt х [—7r,7r)w"2, s,t Є М \ Jkl s t: из W (3.119) и докажем, что F(x) = 0 при х Є WXsXf.
Действительно, поскольку х Є WXgXtJ то из (3.121) будет следовать, что (p(xs) = (f(xt) = 0. А значит в силу (3.122) эти функции "обнулят" F(x) на множестве WXgXt. В силу произвольности выбора "бруска" WXgXtJ мы доказали, что функция F(x) = 0 при х Є W: где W определено в (3.119).
Разность R {u)yjk {x] h) 0 для бесконечного числа номеров 5 [Jjfe]( ), причем компоненты этих номеров В то же время, при фиксированной последовательности cr fJfc], в силу определения функции / (см. (3.120)), найдется такая подпоследовательность последовательности cr fjfe], за счет которой
