Содержание к диссертации
Введение
1. Пространства почти-периодических функций 16
2. О сходимости тригонометрических рядов 30
3. О суммируемости рядов фурье почти-периодических функций 47
4. О сходимости рядов фурбе почти-периодических функций 80
5. Замечания. о сходимости кратных тригонометрических рядов 91
Литература 111
- Пространства почти-периодических функций
- О сходимости тригонометрических рядов
- О суммируемости рядов фурье почти-периодических функций
- О сходимости рядов фурбе почти-периодических функций
Введение к работе
Обозначим через LL пространства почти-периодических функций Бора. По основной теореме теории почти-периодических функций Бора, пространство LL совпадает с множеством предельных точек множества J по метрике Х, , т.е. -f є. 11 тогда и только тогда, когда существует последовательность Ср«) тригонометрических полиномов вида (I) такая, что
Пространство почти-периодических функций Степанова, Вейля и Безиковича класса Р (p -V , обозначаемые соответственно через Q » W и В t можно также охарактеризовать как замыкания множества по соответствующим метрикам. Пусть / и J -локально-интегрируемые функции на R . Расстояния между / и $ в смысле Степанова, Вейля и Безиковича соответственно определены следующими формулами:
В заключении выражаю благодарность своему научному руководителю Отару Дмитриевичу Церетели за внимание и помощь в работе.
Пространства почти-периодических функций
Существуют такая строго возрастающая последовательность рациональных положительных чисел (Я ь) І /V и почти-периодическая функция Бора / , что Еяд (5) расходится для любого oceiR . Существует голоморфная функция F , определенная в некоторой полосе {2ЄІь -Ыт2 Ь) 8 0 , такая, что j-c - ) для любого ас є fs. Последовательные производные функции / также почти-периодические функции в смысле Бора.
Таким образом, одних условий (3) и (4) не достаточно для сходимости почти всюду рада (2). В связи с этим мы введем следующее определение: семейство крл) о лр удовлетворяет условию Винера, если
Очевидно, что из условия Винера следуют (3) и (4). Теорема 2 (см. п. 2.10). Если семейство (FA)/) R удовлетворяет условию Винера, то ряд (2) сходится почти всюду. Поскольку при условии условие Винера совпадает с условием (4), то эта теорема является обобщением теоремы Карле -7 сона. Однако следует отметить, что при доказательстве теоремы 2 мы используем теорему Карлесона. Условие Винера появилось в работе Винера [9], в которой он доказывает, что из этого условия следует, что ряд (2) является рядом Фурье из S и W ( со J") — с ПРИ — " " Позднее Торнехаве и Фольнер [29] заметили, что если JeW и коэффициенты Фурье функции / неотрицательны, то для них выполнено условие Винера. Таким образом, для того, чтобы ряд 2 был рядом Фурье функции из S для всех семейств 0) » удовлетворяющих условию 1 1 — \ Сл\ , J\ s. \R , необходимо и достаточно, чтобы семейство (Сд) удовлетворяло условию Винера. Из этих теорем и теоремы 2 следует, что при наличии условия Винера ряд (2) сходится как почти всюду, так и в среднем, именно к функции J- , рядом Фурье которой этот ряд является. Если же функция { Є W имеет неотрицательные коэффициенты Фурье, то ряд Фурье этой функции сходится почти всюду к некоторой функции 2- W -эквивалентной J- . Последнее утверждение невер-но для функций из В , ибо можно показать, что существует такая функция из В с неотрицательными коэффициентами Фурье, ряд Фурье которой расходится почти всюду (см. п. 2.17). Обозначим через S класс почти периодических функций Степанова f є S , удовлетворяющих условию: множество пока зателей Фурье не имеет конечных предельных точек на JR. . Доказательство теоремы 2 опирается на теорему Карлесона и на следующую теорему. Теорема 3 (см. п. 4.1). Пусть ряд Фурье функции fe. Ъ удовлетворяет условию N0 : (а, %) - любой интервал длины -fe-a- . 2яг f а (с, с J интервал длины 5тг , содержащий ( з, #) . Тогда для любой %г -периодической интегрируемой функции j , совпадающей с функцией / на (Q D , разности при со —у- л оо равномерно сходятся на любом интервале &, 1 внутреннем к (0/-В) , причем предел первой разности равен нулю. С.Бохнеру ([З], с. 38 ) принадлежит замечание: для почти-периодических функций / Бора, удовлетворяющих условию Яі » / 2 е ACf)= /Л — /fel " справедливы все локальные признаки сходимости для радов Фурье чистопериодических непрерывных функций. Из теоремы 3 следует, что то же самое справедливо для почти-периодических функций Степанова, причем при менее стеснительных ограничениях на показателях Фурье - для / є. S , удовлетворяющих условию W0 (см. пп. 4.10-12). Из теоремы 3 и из теоремы Шелина [35], утверждающей, что если чисто-периодическая функция J Є L %+L %+ %+L (0/йгг) f то ее ряд Фурье сходится почти всюду, получим, что если /eS и .+ 1 1 +% Ч локально интегрируема (это выполнено, например, если j- -S » p i ), то ряд Фурье функции / сходится почти всюду, если выполнено условие п0 . Заметим, что в силу теоремы Вольфа ([18], т. 2, с. 417, теорема 8.4) выполнение условия N0 для сходимости ряда (2) на множестве положительной меры необходимо. Б частности, если функция и ее ряд Фурье удовлетворяет условию % , то этот ряд почти всюду сходится к . Это утверждение сильнее теоремы 2 (что можно показать построением соответствующего примера; см. п. 2.14), однако, фигурирующие в нем условия трудно обозримы. Доказательство теоремы 3 опирается на ряд теорем, некоторые из которых мы здесь отметим.
О сходимости тригонометрических рядов
Теория почти-периодических функций Бора, или, как ее иногда называют, теория равномерных почти-периодических функций, изложенная в книге ее создателя Г.Бора [5]. Теории обобщенных почти-периодических функций, т.е. теории почти-периодических функций Степанова, Вейля и Безиковича, изложены в книге А.С.Безиковича [з], Б.М.Левитана [24] и Фавара [зо] . Компактное и исчерпывающее введение в эти теории имеется в обширной статье Бора и Фоль-нера [б]. Из публикаций последних лет следует упомянуть обзорную статью Б.М.Левитана [25] и, особенно, статью Р.Кука [22], где теория почти-периодических функций освещается в интересующем нас направлении. Обширная библиография (453 назв.) имеется в книге С.Кордуняну [2l], который охватывает период с начала нынешнего века, т.е. с момента зарождения этой теории, до середины 50-ых годов. Примерно с этого времени до 1970 г. Е.А.Бредихина опубликовала ряд работ о сходимости рядов Фурье почти-периодических функций Бора. Некоторые из них упоминаем и мы (см. цит. литературу).
В этом параграфе мы приведем некоторые сведения из теории почти-периодических функций в минимальном объеме, в основном, с целью введения используемых далее понятий и обозначений. Множество натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел обозначим, соответственно, через и С . К , где к є IN , обозначает к -мерное евклидово пространство. Если обозначает скалярное произведение Все функции, рассмотриваемые в работе, комплекснозначные и измеримы по Борелю.Все интегралы берутся по обычной мере Лебега,
Пусть Т = [ОДіг) . Обозначим через С(Т) пространство 2тг -периодических непрерывных функций, а через С(Т ) пространство непрерывных и "ir -периодических по каждой координате функций, определенных на R . Через 1.р( ъЯ),-оо л -8 -юо обозначим пространство периодических с периодом тфункций j- , для которых Lp - норма
Факторпространство, получащееся после отождествления в L(? ) функций, отличающиеся лишь на множестве меры нуль, обозначим тем же символом и (Q -G) .В аналогичном смысле употребляется обозначение L "CT J, y L . Заметим, однако, что тогда для имеем meKk обозначает, что этот ряд, далее обозначаемый через S [ ] , есть ряд Фурье функции j , Непрерывная функция j- , определенная на R , называется почти-периодической функцией Бора, или равномерной почти-периодической функцией, если для любого 7 0 существует - ()? О такое, что в каждом интервале С , -f ) /R длины содержится число Тб( ,о(+г) t удовлетворяющее неравенству Число т , удовлетворяющее неравенству (1.2,1) называется -почти периодом функции / . Множество всех Є -лочти-пе-рирдов функции / обозначим через Ці ) Множеетво E_c=. vK называется относительно плотным, если существует такое число t- Z(O ? 0 t что в каждом интервале действительной оси длины содержится хотя бы одно число из множества Е
Почти-периодичность в смысле Бора теперь можно определить и так: Непрерывная функция / , определенная на /R , называется почти-периодической функцией Бора, если для любого . 0 существует относительно плотное множество -почти-периодов функции 4 Обозначим через U пространство почти-периодических функций Бора. Ясно, что ССТ) (л. . Следует также отметить, что если j и 4ЄІ1 , и также из VL . Кроме того, то ясно, что "р - чисто периодическая функция с периодом - -В таком случае р называется гармоническим тригонометрическим полиномом, а в противном случае - негармоническим тригонометрическим полиномом. Обозначим через J множество всевозможных полиномов вида (I.4.I).
В силу (1.4), если последовательность (р„) тригонометрических полиномов равномерно сходится к J- , то /є Л . Обратно, если j- еИ. , то существует последовательность (р») тригонометрических полиномов, равномерно сходящаяся к / . Это -основ ная; теорема теории почти-периодических функций Бора (см. [5], стр. 96). Все это позволяет дать другое определение (см. ниже п. 1.5) почти-периодической функции Бора, для любых двух функций f и , определенных на положим.
О суммируемости рядов фурье почти-периодических функций
В случае, когда ряд (З.І2.І) - гармонический, теорема была доказана Колмогоровым ( [їв] , т. 2, с. 325). В этом случае в силу теоремы Еисса- Фишера ( [17] , т. I, с. 207) ряд (3.I2.I) является рядом Фурье некоторой функции / = L и его сумма совпадает с этой функцией почти всюду. Последнее легко следует из теоремы Лебега ( [I7J, т. I, с. 151) о (С, О -суммируемости почти всюду ряда Фурье интегрируемой функции и из регулярности мето-да (С, /).
В случае, когда ряд (З.І2.І) - негармонический, правда, в си-лу теоремы Безиковича (1.10) он является рядом Фурье функции . В но взаимосвязь суммы ряда с ней неясна. Оказывается справедливо следующее усиление теоремы 3.12.
Теорема. Если лакунарний тригонометрический ряд (З.І2.І) удовлетворяет условию (3.12.2), то он сходится почти всюду на R к некоторой функции / Є & и является рядом Фурье функции. Это, следовательно и теорема 3.12,- следствие теоремы 3.11. Доказательство. В условиях (3.13) ясно, что ряд (З.І2.І) удовлетворяет условию Винера (2.8.1). В силу теоремы Винера (2.9) существует функция j- -S такая, что ряд (3.I2.I) является ее рядом Фурье. Пусть а.= с л и g /\k+1(k i). В силу теоремы единственности (I.I3) и теоремы 3.2 почти всюду на IK . Остается применить теорему 3.II. Теорема до-казана. Отметим следующее обращение теоремы (3.12). (3.14) Теорема (Ф.Хартман [зз]). Если лакунарний тригонометрический ряд (3.I2.I) удовлетворяет условию то он расходится почти всюду на R. Следовательно, сходимость лакунарного ряда (З.І2.І) на множестве положительной меры и условие (3.12.2) эквивалентны. Наше следующее замечание относится к лакунарним рядам Фурье. Справедлива следующая (3.15) Те о р е м а. Если лакунарний тригонометрический ряд (3.12.1) является рядом Фурье функции g В f то (а) $ s. В для любого р 4/ (б) ряд (3.I2.I) сходится почти всюду к некоторой функции і =- -о и является рядом Фурье функции / Для ее доказательства (см. п. 3.18) нам понадобятся следующие теоремы. (3.16) Теорема (Р.Беллман [4]). Если лакунарний тригономет рический ряд (З.І2.І) есть ряд Фурье функции $ & , то &@р (f) - для любого p -L (3.17) Теорема (Г.Бор, Е.Фолнер [б], с. 62, теорема I). Доказательство теоремы 3.16. Из теорем 3.17 и 3.16 очевиден пункт (а). В частности, о f следовательно (см. 1.9.3) Осталось применить (3.13). Теорема доказана. Утверждения теорем (3.13), (3.14) и (3.15) удобно объединить в одну следующую теорему. (3.19) Теорема. Для лакунарного тригонометрического ряда 2 Є, хбК, ь= (? е ,ЫЛ... (3.19.1) keZ k " k каждое из следующих утверждений: (а) 2 1С оо; (б) ряд (3.19.1) сходится на множестве положительной меры; (в) ряд (3.I9.I) есть ряд Фурье некоторой функции из В , эквивалентно следующему: (г) ряд (3.19Л) сходится почти всюду на (R к функции je5 и является рядом Фурье функции f . (3.20) Следует также заметить, что если лакунарний тригонометрический ряд (З.І9.І) является рядом Фурье функции j- s Q , то из теоремы 3.3, в силу равенства 3 )=/ при а=-сх? = Як, Яш(къО, следует, что В случае, когда / " это означает равномерную сходимость данного лакунарного ряда к f (см. [24], с. 81); Бредихина [7], обобщив теорему Сидона ([2], с. 653), доказала, что на самом деле ряд сходится абсолютно. Теорема, которой мы начинаем этот параграф, позволяет свести вопрос изучения сходимости рядов Фурье функций J -S : к аналогичному вопросу для чисто периодических функций.
О сходимости рядов фурбе почти-периодических функций
Необходимость условия Л/о следует из теоремы Вольфа I.I6. ) Прежде чем доказать эту теорему заметим, что в случае, когда J- _ -периодическая функция, она является теоремой Карлесо-на-Ханта-Шелина (см. п. 1.4). Но следует подчеркнуть, что наше доказательство теоремы 4.8 (т.е. теоремы 2.II) опирается на теорему Шелина и на теорему 4.1. (4.9)
Доказательство теоремы 2.П. Цусть а=2ггк , 4 2гк Е , где к % и 0 яг-Рассмотрим -периодическую функцию / , которая на интервале ( Ю совпадает с / , а на интервале - ЄІ-цв яІкЩ - равна 0. Очевидно, что
В силу теоремы Шелина (см. п. 2.6) ряд S ij 1 почти всюду на Ci о J сходится к / . В силу теоремы (4.1), то же самое можно сказать и о ряде S L-[] . Поскольку числа к - и Е_ Ф М) произвольно взяты, теорема доказана. С.Бохнеру ( [3], с. 38) принадлежит следующее замечание. (4.10) Для почти-периодических функций Бора , удовлетворяющих условию справедливы все локальные признаки сходимости для рядов Фурье чисто-периодических (непрерывных) функций. Из теоремы 4.5 очевидно следует, что то же самое справедливо для почти-периодических функций Степанова, причем при менее стеснительных услочиях, чем (4.I0.I) - для /е Р#ж (см. п. 4.4), удовлетворяющих условию /V0 (4.5.1). Из теоремы 4.1 следует, что если / S и выполнено условие N0 , то и на сопряженный ряд распространяются все локальные признаки сходимости сопряженных рядов чисто-периодических функций. Теорема 2.7 показывает, что условие N0 , фигурирующее в признаках, получаемых вышеуказанным способом, существенно. Отметим две теоремы, доказываемые вышеуказанным путем. (4. II) Теорема. Пусть ряд фурье функции /eS удовлетворяет условию N0 (см. (4.I0.I)). Если / конечной вариации на некотором интервале [а? ] , то для любого -эс є 1 Л] Если функция непрерывна на О, ] и Л ск о = t то соотношение (4.II.I) имеет место равномерно на Iа "J Это - следствие теоремы 4.5 и признака Дирихле-Жордана ([17 1, т. I, с. 98). Доказательство очевидно. (4.12) Теорема. Пусть ряд Фурье функции J- е о удовлетворяет условию М, (4.I0.I). Если на интервале \_Q; Ц , t-a oo удовлетворяет условию Липшица порядка о(7о 1, т.е. существует С " О такое, что для любых X, U &.[& %] то ее ряд Фурье равномерно сходится на La»61 . Это - следствие теоремы 4.1 и теоремы Дини-Лшшшца ( [17], с. 108). (4.13) В заключении параграфа заметим, что если удастся расширить класс чисто-периодических функций в теореме Шёлина (см. п. 2.6), то соответственно расширится класс функций в теоремах 2.II и 4.7. Следует заметить, что Шёлин [35] доказывает сходимость почти всюду ряда Фурье-Уолша функций из о справедливости аналогичного утверждения для обыкновенных тригонометрических рядов Фурье он лишь утверждает, что его можно доказать таким же методом. Заметим, что в работе Ульянова [зб] имеется подробный обзор состояния вопроса о сходимости и расходимости почти всюду рядов Фурье чисто-периодических функций; в курсе лекций Т.П.Лукашенко (IIj имеется более доступное доказательство теоремы Карлесона. Известно, что существует тесная связь, открытая Бором между почти-периодическими функциями Бора и непрерывными функциями мнотах переменных (см. С24], с. ИЗ). Самый элементарный факт этой связи следующий. Пусть f - 2/Г.ПЄрИОіІщЧеская по каждой переменной непре-рывная функция, определенная на (R . Пусть ЄІг\ - вектор единичной длины. Для любого sccR рассмотрим на ЇК следующую функцию: Оказывается, что Cj) е . Когда j - тригонометрический полином, т.е. конечная сумма вида где Сгг? - комплексные числа, а С»У - скалярное произведение, справедливость утверждения очевидна. В общем случае его можно доказать равномерной апроксимацией конечными суммами вида (5.1.2). Так же доказывается следующее утверждение.
