Приближение классов периодических функций линейными средними их рядов Фурье Бушев Дмитрий Николаевич

Содержание к диссертации

Введение 6

B.I. Постановки задач и краткий обзор результатов б

В.2. Краткое содержание диссертации II

ГЛАВА I. Приближение классов С? суммами Зигмунда 30

1.1. Основные определения и используемые результаты 30

1.2. Приближение классов Cf суммами Зигмунда, если 48

S/М і— =о

1.3. Приближение классов С f ^ суммами Зигмунда, если 69
Sltt^-j-Ф о

ГЛАВА П. Приближение классов периодических функций линейными
положительными операторами 99

2.1. Определения, обозначения и известные результаты.... 99 2.2. Об асимптотически наилучшем приближении классов t,Y

J->,d-

линейными положительными операторами 102

2.3. Об асимптотически наилучшем приближении классов диф
ференцируемых функций операторами u_n(A;f;x) 105

ГЛАВА Ш. О реализации точных верхних граней наилучших при
ближений в метрике С на классах W^{,i и W ' сум
мами Фавара П9

3.1. К приближению функций класса W¹' суммами Фавара. цд
3.2. Приближение функций класса W*'¹ суммами Фавара.
Литература 147

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Цуеть L Cpeti;+oo)) , L^ и С -пространства 2%-периодических измеримых функций, соответственно суммируемых в -р-й степени, существенно ограниченных и непрерывных, с нормами

2Ж -L

\\fi_D=(S\t(l)\^Pdt) , Ifl^^supvraiUwl, ||f||= max\f(x)l;
^ о я ^х

Т_у1__{(х)- тригонометрический полином порядка не выше (п-1) ;

/^f)x " ⁱⁿ* w Vi^^x)H_x ^и -n^m\ ^{= S}"P W наилучшее приближение соответственно функции f(x)eX и множества Ж с: x

тригонометрическими полиномами Т ^х) в метрике пространства X

(X=Z._D (i^p^oo ), х = С );

V Cf 1 - вариация функции f(x^ на сегменте Са;б!;

^а эг

ср* к = тр f^)KCe-t)c/t- свертке функций <р(юєл и каоєА;

-J

wtf;tt = suplteu)-fro||_c и w(f;ft = sup || fac+uWfx) Ц _D

}u\it ^p ШЬ ^p

- COOTBeTCTBeHHO МОДУЛЬ НепрерЫВНОСТИ фуНКПИИ faOfeC И ffX)feZ,_p

- классы 2%-периодических функций, где тії) - фиксированная функция типа модуля непрерывности;

W_p (г=1,2,3,...) -классы 2J-периодических функций f(x) , у которых .(г- і) производная f (х) локально абсолютно непрерыв-

на, а

^{f (ГЬ |}_р ^{* 1}

W. - классы 25-периодических функций i(oo ,представимых в виде свертки f (х) = = ср * к , где ]| ср || < і , Г цій) da = О,

K(U) = 2_ —7-cos(fet + 4 » r>0 , 6- любое действительное число;

^Ln, ^{и L}t" произвольные линейный и линейный положительный операторы, действующие из множества Жсх в пространство всех тригонометрических полиномов степени не выше о-о ;

A_kCf-x)=a_kcoskx + 6_ks)nkx; A_k(f;x) = a_ksinkx - 5_kcos kx _y
23Ї 2!K

где a_k=. L f f(i)cos kl dt и б =^ Г f(t) sin kt di коэффициен-

0 о

ты Фурье функции f(x)6Z, ;

S cf x) = ^ + У A (f'x)- частные суммы ряда Фурье функции

И/ ' 2 ,1 к '

toez, ;

о ^ы

uUM;f;х) = і ff ft»D<;t)dt=> Д -I№ A_tff;*> .ft Ц(t; *>),

W K-i

- линейные и линейные положительные операторы соответственно с ядрами и._п(\_}ц;і) = ± ^ ₊ 1 (tfcoskt Y^i^i);

*UW=U*t*^l*\oskltO, «- ^ о _k=i к

где я^^} и (л - элементы бесконечных треугольных числовых матриц

л={д⁽П ^{и M}=Wb <С=<<=⁰ >^{если к}** 5

(Ж; P„)_v = і"* sup ||f<:x)-P(f;X) II_x, ГДЄ P_a(f;ac; - ОДИН ИЗ Операторов U^A.Mjf;*), U_a(A)f;a:) ,

U⁺_ft(AiM-,f;x) , ii⁺_a(A;f;x).

В каждом параграфе, кроме введения, нумерация формул двойная: первая цифра - номер параграфа, в котором помещена формула, вторая - ее порядковый номер в этом параграфе. При нумерации утверждений и при ссылках на формулы из другой главы употребляется тройная нумерация, где первая цифра - номер главы, вторая-номер параграфа в этой главе, третья - номер формулы в этом параграфе.

Введение к работе

Диссертация посвящена исследованию ряда вопросов, относящихся к приближению периодических функций тригонометрическими полиномами, порожденными линейными методами суммирования рядов Фурье.

Задача приближения заданного класса функций при помощи фиксированного линейного метода состоит в исследовании величин

sup Н(х)- A(f;x)ll_x ,

{є ЯП где Хг> Ж - заданный класс функций, содержащихся в нормированном

пространстве X и обладающих заранее известными нам свойствами, A(f;x)- линейный оператор, отображающий пространство X во множество F с X .

Если X = С , то точное нахождение величины

&(M;uJK))^ sup ||ffx)-^A;f_;x)||_c»

где Ш заданный класс непрерывных- функций, в общем случае очень сложно даже для одного какого-нибудь фиксированного значения п . Поэтому задача об отыскании асимптотических равенств для величины &(Ж;и (h))_р стала одной из наиболее важных в теории приближения функций.

Первый результат в этом направлении был получен А.Н.Колмогоровым в[іб]в 1935 году. Им установлено, что при yi—o справедливо асимптотическое равенство

*<:У_С = Щ_г\^-^^\-^Ч*о(^). CB.I.I)

Исследования А.Н.Колмогорова были продолжены В.Т.Пинкевичем [32 1. Он доказал, что равенство (B.I.I) справедливо и для классов W^ , где г>о » a W^- множество непрерывных 2.5Г-периоди-

- 7-ческих функций кх), представимых в виде свертки іЧх^ісркВ**,

2S ^L

о *⁼^

Следующий существенный шаг в развитии этой теории принадлежит С.М.Никольскому [ 27, 28 3 » распространившему эти результаты на классы W Н _г» где VV^rH - класс непрерывных 2%-периодических функций их"), представимых в виде свертки f(x)--pCp*B, ср({) Н и мг(") - выпуклый вверх модуль непрерывности.

Указанные исследования А.Н.Колмогорова и СМ. Никольского положили начало новому направлению в теории приближения функций. Их результаты распространяли на более общие классы функций, а в качестве приближающих агрегатов рассматривали тригонометрические полиномы, порождаемые различными линейными методами суммирования рядов Фурье.

Задача об отыскании асимптотических равенств для величин

І8(Ш ; ц^(Л))_с , где Ш - фиксированный класс непрерывных Функций, стала одной из наиболее важных в теории приближения Функций и в теории суммирования рядов Фурье. Ее мы, следуя А.И.Степанцу (см., например, [35> с.9] ), называем задачей Колмогорова-Никольского и, если получено равенство для величины &(Щ;

ы.„(Л)) , которое является асимптотически точным, т.е., если в явном виде найдена такая функция ЩгС) ^у(Л',Ш\и^) » Для которой

то говорим, что решена задача Колмогорова-Никольского для класса функций Ж и метода U^CA).

Дальнейшее развитие теории, фундамент которой заложен исследованиями А.Н.Колмогорова и С.М.Никольского, проходит в разных направлениях.

Б.Надем [2324 1 , С.Б.Стечкиным &0-42] и С.А.Теляковским [ 46-50 3 ^{к начал}У 60-х годов был разработан метод, позволяющий

- 8 -решать задачу Колмогорова-Никольского на классах w^p для широкого класса линейных методов и_п(Л) , определяемых бесконечными треугольными числовыми матрицами л={л^(а)}, n,k=0,1,2,...; Д%0 при

К /С

к»и., элементы которых удовлетворяют определенным условиям, которые заведомо выполняются для ряда классических методов.

На классах W.TH , 23Г- периодических функций fcac) , пред-ставшых в виде свертки Нх,) = іср*В^ГІ » где В ao=X-f cos/kl^V), ср(Юе Н и Wit) - выпуклый вверх модуль непрерывности, асимпто-тика величины S(ty н ;S )_л была найдена Ефимовым в С jg 1.

В 1983 году появилась работа А.И.Степанца [ 36 ] , в которой предложен новый, более общий подход к определению классов периодических функций. В его основу положено разбиение функций на классы в зависимости от скорости убывания к нулю их коэффициентов Фурье.

А.И.Степанец ввел в рассмотрение классы CJ^, и CjH_w следующим образом.

%сть f(oc) - непрерывная 2Х-периодическая функция и

у t I (a_kcoskcc +B_k.sin.kx) - ее ряд Фурье.

Цусть, далее, ір(к) - произвольная фиксированная функция натурального аргумента С^(к)фо) и а- фиксированное действительное число, f>^e С-;+оо) . Предположим, что ряд

является рядом Фурье некоторой суммируемой функции. Эту функцию

обозначим через f_ЛЧ^Х^ » ^а множество функций іСх) , удовлетворяю-

р _пф

щих таким условиям будем обозначать через ь *

Если f є Сд и, кроме того, ||f W^si > то будем говорить,

что функция f (х) принадлежит классу Q ^

Еслиже/еС^ и |f^)-fV)|-/wKlt-t'|), УМ'єЕ-ЯД], ШСІ') - фиксированный модуль непрерывности, то соответствующий

класс функций будем обозначать через С', И^ .

При (к) = k~^r , r>o , классы С^ совпадают с классами W_ftoo, введенными Б.Надем [233> а классы 07 Н^ - с классами ^WA^ur» которые,.впервые рассматривал А.В.Ефимов Cj3 1 .

В [37 ] показано, что если функция (//Га) при и»{ удовлетворяет условиям:

a) if)(и) выпукла вниз;

_{6) Ji±iudu<}

,оо

в) | У^(Л^ da = ОЦЮ) ;

то при іг — oo справедливы асимптотические равенства

*^^Сдові5_Л)_в =-^рсп)1ц п t О (фею), (B.I.2)

*tt/^H_ariV_c⁼F^⁵^^)Al/t * ^0(<г^(юиг(&> ^(вл'³⁾

где S^(iif) = ^ |Лг(-)s'** oft, --^<еиг-^{ ' ^пР^{ичем в}ИГ = ^

о если ші") выпуклый вверх модуль непрерывности.

Так как функция (p(a) = u~^r , r>0 , удовлетворяет условиям а)-г), то равенства (В.1.2), (В.1.3) содержат все полученные ранее результаты, относящиеся к задаче Колмогорова-Никольского на

г г
классах W_tt_ и W/H для сумм Фурье.
p_t р is

Обозначим через

суммы Зигмунда функции ЇСоО.

Порядок убывания к нулю величины iotW*^; 2_а)_с был выяснен в работах А.Зигмунда [15 ] и Б.Надя [24 ], С.А.Теляковским в [49 ] решена задача Колмогорова-Никольского на классе w!I оо

для сумм Зигмунда Z (i jx") . Им установлено, что при п-~<*> справедливы асимптотические равенства

ⁱ_FACJV0(-ⁱ_?n) , s>{, g(W^r ;Z⁵>i V^*⁰^' 5-Uro,

fipo л'С ^л

'JV* (B.I.4)

р ACT.)* О (^), r = s, 5І_Л^ = 0,

S-P

it {& и ,

(B.I.5)

f (x> - непрерывная функция, имеющая ряд Фурье X k А_кҐЬх).

k=f

Отметим, что асимптотика величины $(И/„ : Z^J,)„ при r>s а также г = & и |біпД^| =i была найдена Б.Надем в [24 ].

При s=l суммы Зигмунда становятся суммами Фейера G^-fjx). Поэтому из равенств (В.1.4) и (В.1.5) следует, что при к-^

(В.1.6)

Дсо'^ми.'С

^ sup ||?'й:>Г_с + 0(-р), r>_i; (B.I.7)

До. «-'с Л

тгАСО*- 0(-^-), r.l, sin

- II -

где f (ее) - функция, сопряженная к функции f(

Формула (В.1.9) для класса W^ принадлежит С.М.Никольскому [29] , формула (В.1.8) - С.Б.Стечкину [46] . Формулу (В.1.7) для классов W_& ^ при целых р получили С.М.Никольский [28,30] и Б.Надь [22,24] . При этом Б.Надем [22] для классов W^ при четном г и Щ/ при нечетном г доказана формула, более точная, чем (В.1.7):

В работе исследовано поведение величины -&(С_А ^ і %„). при некото-рых естественных условиях, накладываемых на функцию у/(и) . Этому посвящена глава I.

Во второй главе рассматривается следующая задача.

Пусть Ш^СХ и Fcx - линейное многообразие в X . Задача о наилучшем линейном методе приближения заданного множества Щ состоит в нахождении величины

ё(Ш;П= inf *uf>\f(x)-Mf'>*)\ = int (ШіА) (в.і.Ю)

A(X)<=F fem A(X)<=F

где A(f>x) - линейный оператор, отображающий пространство X во множество F .

Линейный оператор A (A(X)^C^F) (если он существует), реализующий в (B.I.IO) точную нижнюю грань, т.е. такой, что вир ll/fcrj-

-A(f;jc)\\ =&(M)F) определяет наилучший линейный метод приближения.
х х

Обозначим через E(ffl;F) = вир inf \ f(x) - и(л)\\

* fem есер ^х

- наилучшее приближение множества Ш множеством F . Ясно, что

ё(Ж;Р) > E(MiF)_x .
х ^л

Известные результаты по решению задачи о наилучшем линейном методе приближения в основном таковы, что если E(M;F) =<>(Wl;F)_%, т.е., если наилучшее приближение множества^ реализуется с помощью линейных методов, то одновременно находится и наилучший линейный метод.

На этом пути впервые результаты были получены в 1936 году Фаваром С 53-55 ] и в 1937 году Н.И.Ахиезером и М.Г.Крейном С її. Исследования Фавара, Н.И.Ахиезера и М.Г.Крейна. были продолжены Б.Надем [23 ], С.М.Никольским [31 ], В.К.Дзядыком [8-Ю] ,С.Б.Стеч-киным [41], Оунь Юн-Шеном [45 ].

П.П.Коровкин построил положительный полиномиальный метод приближения, который является асимптотически наилучшим среди всех положительных методов ц^СЛ", f',x) на классе Z . Он доказал [ 20 ] , что при и-*~оо справедливо асимптотическое равенство

fez, ^dYL

где x^(f;x.)=p С U^^^^Ct) dt - оператор Коровкина,

Z₂ - класс Z%-периодических функций, удовлетворяющих условию

lfCx+t)-2fC*WCx-t)| ***

А.Н.Давыдчиком в [7 ] доказано, что при п*оо и г =2,3,4,... имеет место асимптотическое равенство

^»:_;и>)_с=Дир_гІІ^)-^_;х)||_с^(^)=^о(^(В.І.ІІ)

где К =-Зг У -^² zm константы Фавара.

Известно (см., например, [II , с. 193]), что

Z_e = WJL (B.I.12)

и (см. [21]) при г=1,2,3,...

- ІЗ -

sup Hte)- <0\;f;x)j| = sup \\кх)-и^ь_п(л;?;х) J. . (B.I.13)

Если 8 - множество, инвариантное относительно сдвига, т.е. из включения Нх)еЖ1 следует, что f(x+t)e Ж и, кроме того,

ИЗ ВКЛГОЧеНИЯ Нх)Щ Следует, ЧТО f С"Х) Ж , то

(m-,L[)_K = &(ж;и*_ла,Ю)_х = <Ю^;<<л))_х. (в.1.14)

Из равенств (B.I.II)-(B,I.I4) следует, что при г =2,3,4,...

)

оо я-*-о9

т.е. метод Коровкина является асимптотически наилучшим среди всех линейных положительных операторов lS_nU',x) на классах W^, и wf.

U*a-,frt-j:]tCx*t)uUbi)dt.%- + " Я^А

K^a;i)=:T + Z*f^Mski*⁰>^{где lim} Js = ^ (в.і.іб)

В настоящей работе найдены асимптотические значения величин &(№,', L* ) и (Ш;и*(/\)) для некоторых классов дифференцируемых функций.

Отмечается, что если — +—r=i , то

ыр llfCx)-i/ (A,M;fjX)||_p = sap ||frx)-f//A,M;f;x)L.
feK*H_p ^P ^H», ^

Это равенство позволяет найти асимптотику для величины (К*Н.',1Ъ

^{ nL

поскольку найдена асимптотика для величины Ё (КкИ^;^) , где К* Нр ( i*p*co ) - множество 2ІЇ -периодических функций f (ос) ,

представимых в виде Ux) = L fq>₍x, t-t) kct) dt , II ер II * і ,

В главе Ш установлено, что метод Фавара не реализует точную верхнюю грань наилучших приближений на классе w'»* , и указано подмножество функций из w^i,j » на которых метод Фавара реализует точную верхнюю грань наилучших приближений.

В.2. Краткое содержание диссертации

В первой главе изучаются величины &(1 ,* ²І)_Р в плане получения для них асимптотических равенств. Отметим, что основ-ные результаты изложенные здесь, при LJJ(k)=k , г>0 , являются известными и принадлежат Б.Надю С24І и С.А.Теляковскому [49 ] .

В I.I. сформулированы определения, известные результаты (леммы Т. , Т₂, I.I.4, теорема Т!_{ ) и доказаны вспомогательные утверждения (леммы І.І.І-І.І.З, I.I.5-I.I.7), которые используются в дальнейшем.

Приводится определение классов Cjf (см. с. 8 ) Отмечается, что рассматриваются только те классы Q Ф , у которых функция (КІО при kzjfzi удовлетворяет условиям:

<|к/с)»^(Ы) и 1 Щ^-<- (B.2.I)

ЄСЛИ Sin -f- 0 ;

^+2)-2(//(Ы)^)^и &т фск) * 0 , (В.2.2)

если SlH. -4р- ⁼ *

С помощью лемм I.I.I-I.I.3, доказанных совместно с А.И.Сте-панцом, устанавливается, что при использовании равенства (I.I.7)

можно считать, что функция f(u) , фигурирующая в определении

функции „a) = J* V_n(u) cos (ut 4- ^)du,

_№

—^ ' *' ^(B-²-³⁾

иг, і

Ц>(ии)

if (к) имеет непрерывную вторую производную Ф"(и) на Гі;+оо) и выпукла

вниз при iuM*< . Здесь У^Ш)- непрерывная функция, определенная на [о-,-] по нашему усмотрению.

Сформулированны леммы Tj^ и теорема Tj, доказанные в [49], которые используются при доказательстве леммы I.I.6, и лемма I.I.4, которая доказана в [34].

При доказательстве теоремы 1.3.6 используется следствие из следующего утверждения.

Лемма I.I.5. Цу сть функция ?_л(и) , заданная равенством (В.2.3), представима в виде ^(и)=ср_и(и)+гг^), где су_пЫ) и \(а) - непрерывные функции. Если интегралы Mty-jz C\T_n(i)\dt ,

ХУ СО

^MVjr\ |Я^(и)С05Г⁺2 )^dudt» ^Ш*>я\ \ft_n(u)cos(ul^yu\dt

-оо О ^ ' -ео о '

при к =1,2,3,... сходятся и при и*^ АСг^)= о(АСср_а)) »^то (cf ; и_пШ\ = мл) sup 11L II * офмАСгф , п -«*,,

раз с ' fc(\ ^п

где ^U) = Y]K(^^)(j%(^u)cos(uU^)du)dt - непрерыв-

ная функция, имеющая ряд Фурье X %Сіі) <їїЩ A_fcCf;x). Следствие , Пусть при S>0 функции .

_W

nF^ycyf)

77?- U + я^-» ^и

L

п.

и У_пШ удовлетворяют условиям леммы І.І.5.

Тогда при и.-~ справедливо нсимптотическое равенство

где f (x) - непрерывная функция, имеющая ряд Фурье У к кМ',&-

Ы ^к При доказательстве теоремы 1.3.5 используется следующая

лемма.

Лемма I.I.6. Дусть функция Ш(и) при и>{ удовлетворяет условиям:

а) ФШ) выпукла вниз;

б) при и.-*-оо справедливы соотношения

Л,

п> = 0 (ipW) .

_, _w , -yi^J » —" г

непрерывные производные ^'сю на С0;11 и !Г(

Пусть, далее, функции У^Ы) » заданные равенством (В.2.3) имеют абсолютно непрерывные производные ^'(ю на С0;11 и (0)=0.

Д<Г І іі<Г/,.\І . і П /,,xl

Если сходятся интегралы

то при к.-*-**» справедливо равенство

_t.f*4№\p^.o^bgb

рїї i²fo

1и(і-и)\^Си)Ш ₊ jsln,— I I 15^11 + j)) .

Отметим, что при доказательстве лемм I.I.5, I.I.6 используются рассуждения, применяемые С.А.Теляковским в [ 49 ] при доказательстве аналогичных утверждений для классов ^wj*,,co

При нахождении величины ^(С _оа; Z^) , где Z*(f;#)-суммы Зигмунда, важную роль во многих случаях играет функция Ш)*иг<р(и) s>0 , которую мы считаем выпуклой при иъ Ь^.i , где Ь - фиксированное число, зависящее от 5 и функции ср(и) .

В некоторых случаях техника, которую мы используем, требует, чтобы функция аси) была выпукла при uzi . Поэтому функцию оси) мы заменяем функцией Q^Cu) > которая уже выпукла при и?і и совпадает с аси) при иьмьі , где М - фиксированное число. Оуществование и свойства функции а си) устанавливаются с помощью леммы І.І.7.

В 1.2 исследовано поведение величины 1(С' Z^s} » если

. Й>Ж &<*>> *п>1

Sin, і.— = О
2 '

Установлено, что если ф(и) выпукла вниз при и?*Ы, а п,Си) = и уси) выпукла при и*і , то при и-»-оо справедливы асимптотические равенства

г
lim,^ i]Cu) = cx>

f>f*>* я С

Ш_п^,1*) = \ или byr\_ojCu)=C>Q\ (В.2.4)

і ^s

-rSup Іії+ОШп)±п\ф[уі)\) , если lim QtCuL) = 0,

где ЛГ)= ^ J W^cbldt < С , a (x)- непрерывная функция, имею-щая ряд Фурье /_ k A.Cf'.x") (см. теоремы 1.2.1, 1.2.2).

Если же acu) выпукла при ю м > 4 > ^{то П}Р^И «-^о справедливы равенства

poo ПС

f№A(fy+0(@), если lm gcu)=a и д(и) выпукла

вниз; Ф(п.)А(Т*)+ 0(-^, если 1\т уия^оо и р(и) выпукла

вверх; 0(jfi) если lUn^ д(и) = О 0 ;

-jsup Iff l+0(pfr)*ntyi

если

llm асю = 0 ,

Я>) =

Л

S-i

iftOO

^{$\%(4)+$в) , a-s)^ci)-^ci)}

№*

Q±u±±-,

{

ft - і »

определена в лемме I.I.7.

а функция ^и) = ^Ш)/и³

В частном случае, если Ф(и)= ц~^ґ, r, то остаточный член ^ ^ = _rimi в асимптотическом равенстве (В.2.4) стремит-

в асимптотическом ра-

ся к нулю быстрее, чем остаточный член

/г<

венстве (В.1.4).

Следствие 2.2.2. Пусть последовательность k^s(^Ck) , к= і,2,..., s>o выпукла вниз при к>У , l\m k^scpCk) = o , сущест-вует +>& и fl>/i такие, что функция ix^cfj(u) при a^a не убывает. Тогда, если sfn^-sfl » то при п— «> справедливо асимптотическое

В 1.3 исследовано поведение величины (С*1 ', ^S)_C » ^ПР^И усвловии, ЧТО StK-Ajf- Ф О-

Доказано, что если у (и) выпукла вниз при и?а &{ , Qtu)-

2 ф(и) і выпукла при utUt і и [ -I—- du < оо , то при п-~-со СПраВеДЛИ-вы асимптотические равенства:

у(л)АСТ) +О (-*&%?*) » если iimjcay^oa и а (и) выпукла

вниз Cs>4>, Ц(п) A (rf) * О(-рр) , если 1\т^ дш) сг со, дСи) выпукла

вверх и / & clu « О ^ОО);

J^in^y-I sp— du+0(tflrti)₉ если &таШ)=С>0 кт tim q(u)=con(_U)

Я со і.

^ЙЧ выпукла вверх, К —СЩс1и= и Г-—^- о(Ш))у

и.

выпукла вниз при k$.jY* » frm 0^)=0 и 2 -^-p^ -⁰⁰^

^«(Р^П^О^в+у^Л) . если fc,!*)*», J"0

A⁰⁰

выпукла вниз и J* -^2 с/и < ,

і ^U

я

где у

s/n

2 f "«-'.' if (и)

(см. теоремы I.3.1, 1.3.2, I.3.4-1.3.6).

f№M

Если же frm g(u)= , aft/) выпукла вверх, fe -i№)^_eoeJ

и #

;m -J_ r-X^±du = oo , то, согласно теореме 1.3.3, справед-

и ливо асимптотическое равенство

Отметим, что условия теоремы 1.3.3 выполняются лишь тогда, когда 0 < s і.

Следствие 1.3.5. Если $Ш выпукла вниз при иъа^1 и при некотором фиксированном &>0 функция и о (а) при и^а убывает к нулю, то при я-*-оо справедливо асимптотическое равенство

где f^s(x) -непрерывная функция, имеющая ряд Фурье Ал kA,(f;fi).

Ач ^к Следствие 1.3.5 эквивалентно следствию 1.3.6 и 1.3.7.

Следствие 1.3.6. Если Ш) выпукла вниз при и>а>1

и при некотором фиксированном (Ґ>0 функция «^ суммируемая

на [1?-юо) , то при п-*-оо справедливо асимптотическое равенство

Следствие 1.3.^. Если 0(и) выпукла вниз при u^azf,

, U\tf/'(U)\

bttn ———-—>в , то при ti-+-oo справедливо асимптотическое равенство

ШІ > )_г ="Т sup || f% + оСщи)).

^TbLfi,,oo

Следствие 1.3.8. Если 0(и) выпукла вниз при #*#>
ffK _ ?№) , _в и\у/'(и)\ / и\у/щ\ \

*"Y*> УіГ**<С0₉ ^-^--5 ^_^_I „j

U\(f/'(U)\

^и ^^%rn ' //////і—^< > то при л-»-оо справедливо асимптотическое равенство

со
7»* "'Bit „ U\W'(U)\

^^П ' nflи\ ⁼ И ВЫПОЛНеНЫ УСЛОВИЯ ТеОреМЫ 1.3.6, ТО ПРИ fl-^-co

и -»-оо у < "v

справедливо асимптотическое равенство

Следствие 1.3.9. Если siti^^O, iitn—тг-j—=vS,
u\(f/'(u)\ «-*-<*> ^Щ)

_{e(frOc-w *% i'V*H';HV*")}

_/*сГ..

Следствие I.ЗЛО. Если аси) выпукла вниз при

в. ШФ'Сп)!

&W7 1 г

со о

-S и J 9^С()dju год , то при »г—«*» справедливо асимп-тотическое равенство

*^;^_c=^-sup^lf^s|/_c*o(«.ifot)0.

В I.3 отмечается, что все результаты относящиеся к нахожг дению величины Щ((у Z^f)_r справедливы и для более широких классов сверток к* Н (см. определение на с.13,12 ), где К(а) =

= В Ш)= Z<№cos(ki/ + ^г) ' ^a Ф^с1 Удовлетворяет услови.ям (В.2.1) или (В.2.2).

Применяя рассуждения используемые для нахождения величин
e(C^^-_f ^) без особого труда можно находить асимптотичес-

кие равенства для величин ^С^Т^и^КІ)_с в тех случаях, когда,

например. А_к =1-^, Я_к -1- . \ -'~і«=Г ^{И Т}-^д-

Во второй главе диссертации, как уже отмечалось, найдены асимптотические значения величин (fft; 1*_л)_х и S(flt іи^СА))^ для некоторых классов дифференцируемых функций. Здесь и>_л(И',1',х.)~ линейный положительный оператор вида (B.I.I5) с ядром, удовлетворяющим условиям (B.I.I6).

В 2.1 сформулированы определения, обозначения и известные результаты. Определяются классы L*71 , которые были введены

А.И.Степанцом в [ 37]. Рассматриваются лишь те классы іУ 71

Р 2Ж -периодических функций Ux.) , которые представимы в виде

свертки 2ЇЇ

ІШ = 4^і *-г ]ч(х*і)В% dt,

г- О ^J

где ср(а) є 21 с L , fqtu)du=0, a 6) - суммируемая функция, имею-щая ряд Фурье X (p(bcos(kt+^) » / - любое действительное число, и, кроме того, Фск) удовлетворяет условиям (В.2.1)или (В.2.2).

В 2.2 устанавливается, что метод Коровкина является асимптотически наилучшим среди всех линейных положительных методов /L* (f, х) на классах ^ _л „.

Если такая, что последовательность k^zw(k} при k>i удовлетворяет условиям (В.2.1) или (В.2.2), то справедливо следующее утверждение.

Теорема 2.2.1. При л, — имеет место равенство

где L\ - класс 2$ -периодических функций т(х) , представимых равенством (В.2.5), у которых fcf>(u)du=0 , \\q\\ _z ±i , a k^z

при k>A удовлетворяет условиям (В.2.1) или (В.2.2).

В 2.3 найдены асимптотические равенства для величин (M;utl(/\))x в метрике пространства Сил для некоторых классов дифференцируемых функций.

Будем считать, что при к И последовательность ij)(k) удовлетворяет условиям:

^ Фік)

2. ^J~^—₃, ф(к*2)-2ф(Ы) +$(&>(), (В.2.6)

/С—і

если si*t-^—И о и

фОс + Я-гірСк+ії + фОгі 2 0 , ф(к + 3)-Зу(к+2)-зу(Ш) + ф(к)Щ

l_im у(к) =0 , ^(в'²'⁷)

если sin -ij- = о.

Тогда из результатов, полученных Б.Надем в [23] и С.М.Никольским в [31] следует справедливость следующего утверждения.

Лемма 2.3.1. Цусть fltyBC^ или Нх)єі^ и ^-произвольное целое число. Если при четном « у(к) удовлетворяет условию (В.2.7), а при нечетном - (В.2.6), то

ЕЛС? ) = sup Jlf II =4-E (6^), ,

Е.а*_л- «P imi, -K"^.

Ф ffcZ/ н_л ум "-

где Сл Н_и и L\.W_n - классы функций f(x) , пред ставимых

в виде свертки (В.2.5), у которых J cf (и) Т ,иЫи) = 0 Для любого

многочлена Т (а) и соответственно llcpll^ ^ d и f|q?|j^^ Ь

Устанавливается, что КкН^к'Че'³ » где К*Н - класс

Р п Р

функций, определенный на странице I3J2, ак#Е - класс функций

f(x) представимых в виде свертки

о
^{2 21} Г Jet

В 2.3 доказано следующее утверждение.

і і Следствие 2.3.2. Если і± р < оо и -р + -р- = 4 , то

sup llf(x)-a^A,M;f;x)IL= sup \\1(х)-и_п(А,М;ї;х)\\. *
^К*Н ^Р fetter ^р

^ SUp l|to-U_ft(A,M^;x)|| = sup l|fte)-^M_}f;x)|| =±||«Й-иДМ;К;Ж.
^K*H_f **< (B.2.8)

Обратим внимание на то, что

sup ||to-^M;f;x)|| sup ||^x)-U^A,M;f;aO||_c.

где классы к* Н с: к* н и К*н^сКкн^ определены на

странице 107 , и при п.—«> величины ^(/с*н|,Ц/Л,М)^ $(К*Н^иО\,М)),

ь вообще говоря, асимптотически не равны (см. [44 ]).

Из соотношения (В.2.8) следует, что задача о приближении классов сверток К* Н_{ или к*Н^ линейными операторами и(h,M;f;x) в метриках просвранств L или С сводится к приближению ядра свертки KCt) оператором 1/_Л(Л,М*,К;) в метрике пространства Lч Из соотношения (В.2.6) вытекает, что если известен порядок, либо асимптотика, или точное значение величины ^(КяН^,; и_ИЛ,М)) , то автоматически находится порядок, либо асимптотика, или точное значение величины (К*Н. і ИцСЛ,М))_Л«

Так как асимптотика величины ^(КяН jzEj)„при определенных условиях, накладываемых на ядро свертки Кф = в4t)=J.il)(k)Dos(kl+)> найдена в главе I, то найдена и асимптотика величины ^CK*H;Z0«

На основании лемм 2.2.1, 2.3.1, следствия 2.3.2 и других фактов, доказывается справедливость следующих утверждений.

Теорема 2.3.2. Если Ul)^Li>T^(k)cos(kU^),

последовательность к ср(к) удовлетворяет условиям (В.2.1) или (В.2.2), то при fi—«э справедливо асимптотическое равенство

l(K*H,;U>) = 5(К»Н^;а>))« sup Шх)-Х(^)\\+0^

где В (= Z *4Xk) cos (ki + *f).

Теорема 2.3.3. Если последовательность ^(^удовлетворяет условиям (В.2.1) или (В.2.2), то при и—<*> справедливо асимптотическое равенство

^J feC^T

Следствие 2.3.3. Если последовательность к^г^(/с) удовлетворяет условиям леммы 2.3.1, то при л—оо справедливо асимптотическое равенство

где _Е(бЛ) ₌₄|H)^Vi)^2bi),

Следствие 2.3.4. При и.-*-оо и r>z справедливо равенство

л ДОГ оо

^где ^⁼У^5;"г^^ум^при '-""" />* i>j2-i-:b

g sin((2k+lU-Pi±

^-%"?

при г>4 и й (-«>;+«*») и при 0<г<^

k=0 (2k + i^ и ^>0,21\О;2-г],об- число, удовлетворяющее условию

Теорема 2.3.4. Если последовательность k <^/о удовлетворяет условиям леммы 2.3.1, то при и—оо справедливо асимптотическое равенство

t J &

где Е (В^и *) = мТ.Н1^кС^Ъм)ФС2Ы)₉ /Л - класс 2Г -перио-

¹ ft ^L к=0 А¹

дических функций f(x), представимых равенством (B.2.S), у которых

JcfCu)du = 0, \\^\\_L^i.

Теорема 2.3.5. При и.-*-«> и г>2 имеет место асимптотическое равенство

где л_га - та же величина, что и в следствии 2.3.3. ^г,р

Теорема 2.3.6. Если последовательность k²tp(k) удовлетворяет условиям леммы 2.3.1, то при п-~о* справедливо равенство

*C^v;1I«H^s ^^^_v^J^^r^"^^^ ^>/l- -<:-^>=^7^^, ^^z.⁺чЬ).

где С v - класс 2Т -периодических функций t Сх) , предста-

^а0 і Г.,. ххо"^

^^и /г . гэг ,„„ 25ї гг

вимых в виде fcx)^*fJ^(x*t)bZd)dt_t fc?(u)clu = 0 , V Г<р] ^

.2,

Теорема 2.3.7. При и.-*-*» и г> 2. справедливо равенство где IV ^г V - класс Г-периодических функций (х), представимых в

виде свертки f(x)=jf Jq>(x+t)bAt)dt, E>^rCt)= I Л: cos (let * 4jr) , Jcf>(ioau = 0 ., VCcplsJ , ft - любое действительное число, а

величина Му,_а определена в следствии 2.3.4.

Теорема 2.3.8. При п.— и г =2,3,4,... имеет место равенство

где «/-() - выпуклый вверх модуль непрерывности, а величины

г ^2J

A/w)«{sup||f|| feWH , Jftt)okc=o} вычислены Н.П.Корнейчуком в

[18 ]

Отметим, что при доказательстве теоремы 2.3.6 используется

следующее утверждение.

Лемма 2.3.3. Если последовательность Щ(к) удовлетворяет

условиям (B.2.I) или (В.2.2), то (С^и* V), = E.afj, ,

Доказательство леммы 2.3.3 проводится аналогично тому, как и доказательство предложения 5.3.2 из работы [ 19] .

В третьей главе диссертации установлено, что двойные прямоугольные суммы Фавара F^Cfjx,^) =-^ ІЇМ,й)^#-аО^«^)<#л&,

і ^ к$ кії ' ~^Jl*

^)-2 ⁺ 2. JjdjjjT CDS kt не реализуют точную верхнюю грань наилуч-

ft^-*

ших приближений

где w'- класс 2%-периодических по каждой из переменных функций Ux,if) » удовлетворяющих условиям

\f(X,lj)-f(',ij')\4 \Х-Х'\+ IV "У' \, а Т_м ^(1,^)- полиномы порядка (т-{) пох и (ж-О по ^.

Отмечается также, что .//-мерные прямоугольные суммы Фавара

F (A^;f;x) = ip f(Xft)m (і * Z Аь „ coski-Vt) реализуют точную верх-

*Л г- г" \

нюю грань наилучших приближений E^CW _i%#u )_с на классах |а/^г (определения см. на с. 145 ).

В 3.1 доказано следующее утверждение.

Теорема 3.1.1. Для любых натуральных чисел ч и т,

few*'¹ Ttf -Jf-Jf

- двойные прямоугольные суммы Фавара порядка (#-4, m-l)

Точное значение величины _ПП1 найдено А.И.Степанцом в Г38],

А.И.Степанец доказал, что при т^Ц и тъ2.

т ^m г =—+—+( &U)&> ()d (В.2.9)

где ё. (X) =* У" &> (х.) - сумма перестановок в убывающем порядке

t ш Щ д \ St

функций \%>. cm 1-І f3>(i)c(i (определение перестановки см., напри-

функций |$fdbl = | J і мер, в CE9,c.I32])il

Для доказательства теоремы 3.1.I потребовалось описание множества всех экстремальных функций в задаче, которая была решена независимо Н.П.Корнейчуком и С.Б.Стечкиным (лемма Корнейчука-Стечкина), в ее многомерном аналоге полученным А.И.Степанцом, а также множество экстремальных функций, для которых в соотношении (В.2.9) имеет место знак равенства (см. леммы 3.1.I - 3.1.3).

В 3.1 найдены множество всех экстремальных функций произвольного метода u_n(Ahfifi) на классе W^ и множество всех экстремальных функций, реализующих точную верхнюю грань наилучших приближений на этом классе.

Пусть f (л) Woo такая, что

^{*ир I fM-Fjf;*)! - II ft*)- Р}_л^(Ґ_п^{,хЯ ,}

few:

*oo

т.е. f (я) - произвольная экстремальная функция для метода Фа-вара на классе W^, . Тогда справедливо утверждение.

Теорема 3.1.3. Множество всех экстремальных функций f*№) , есть множество функций вида ^Ш~^±9к^~^о^ * ^Сз где %($) — -периодическая, четная функция, <Р_Л^)^^ при te[0;&] і л и С - произвольные константы.

Отметим, что теорему 3.1.3 можно получить как следствие из теоремы 3.1.4, описывающей множество всех экстремальных функций произвольного метода на классе Wc*

Как уже отмечалось, метод Фавара реализует точную верхнюю

грань наилучших приближений на классе И^ . Оказывается, что

множество экстремальных функций метода Фавара на классе W^ совпадает с множеством 9~u_nWWoo^: E_n(Wao)c~~2^ **En^/JcJ

экстремальных функций, реализующих точную верхнюю грань наилучших приближений на этом классе (см. теорему 3.1.5).

Следствие 3.1.3. Если f ex) є w^ , Т^ФдО - многочлен наилучшего приближения функции i(x.) и иН , то Etf) <^.

В 3.2 отмечается, что имеет место следующее утверждение.

Теорема 3.2.1. Цусть VV^^{Ux,pe^^i,'J(x^>iJiCx)+u(p}. Тогда для любых натуральных чисел п и m

tew,, „

т.е. метод Шавара реализует точную верхнюю грань наилучших приближений на классе vv '

и+гг

В 3.2 также доказано утверждение, которое обобщает теорему 3.2.1.

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах по гармоническому анализу и теории функций в Институте математики АН УССР, на конференции молодых математиков г.Киева (1984 г.) и опубликованы в работах С 3 - 6 1 .

Я рад возможности выразить глубокую и искреннюю благодарность моему научному руководителю Александру Ивановичу СТЕШШЦУ за постоянное внимание и помощь в работе.

_{-зо -}

Похожие диссертации на Приближение классов периодических функций линейными средними их рядов Фурье

Исследование отклонений линейных средних рядов Фурье на классах периодических функций Грона Вадим Леонидович

Многомерные классы функций ограниченной вариации и их применение в теории рядов и интегралов ФурьеБахвалов, Александр Николаевич

Приближение функций линейными средними их рядов ФурьеГафоров, Абдусамед

Приближение непрерывных периодических функций линейными средними их рядов ФурьеНовиков Олег Александрович

Приближение (пси, бета)-дифференцируемых функций операторами, порождаемыми прямоугольными А-методами суммирования рядов и интегралов ФурьеХаркевич, Юрий Илиодорович

Линейные средние рядов Фурье функций нескольких переменных Нахман Александр Давидович

Осцилляция частных сумм и коэффициенты ряда Фурье интегрируемой функцииРодин, Владимир Александрович

Слабая обобщенная локализация для кратных тригонометрических рядов Фурье непрерывных функций с некоторым модулем непрерывностиМацеевич Татьяна Анатольевна

О сходимости рядов Фурье почти-периодических функций и кратных тригонометрических рядов Гуния Николоз Григорьевич

АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ И СУММИРУМОСТЬ РЯДОВ ФУРЬЕ ПОЧТИ–ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙХасанов Юсуфали