Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Линейные методы суммирования рядов Фурье функций одной переменной . с. 8
1.1 Мажоранта ядра -А-метода суммирования. с. 8
1.2 Весовые оценки линейных средних рядов Фурье и сопряженных рядов Фурье . с. 19
1.3 Приложения. с. 30
Глава 2. Суммирование разложений Фурье функций переменных из классов с. 37
2.1 Х-средних И -кратных рядов Фурье и сопряженных рядов. с. 37
2.2 Оценки весовых норм Л-средних разложений Фурье функций нескольких переменных . с. 44
2.3 Приложения. с. 56
Глава 3. Максимальный оператор Харди и ограниченная суммируемость кратных рядов Фурье . с. 64
3.1 Оценки весовых норм максимального оператора Харди. с. 64
3.2 Ограниченная -А -суммируемость кратных рядов Фурье . с. 67
3.3 Приложения. с ?8
Глава 4. О средних типа Марцинкевича и треугольньк средних двойных рядов Зурье . с. 82
4.1 Общие замечания. с. 82
4.2 Оценки слабого типа некоторых интегральных операторов с. 84
4.3 .X -суммируемость почти всюду. с.93
4.4 Приложения. с.98
Литература. с. 101
- Весовые оценки линейных средних рядов Фурье и сопряженных рядов Фурье
- Оценки весовых норм Л-средних разложений Фурье функций нескольких переменных
- Ограниченная -А -суммируемость кратных рядов Фурье
- Оценки слабого типа некоторых интегральных операторов
Весовые оценки линейных средних рядов Фурье и сопряженных рядов Фурье
Дадим краткое описание основных результатов; точные формулировки см. в соответствующих главах. 1.I главы I посвящен обобщению и улучшению известного условия А.В.Ефимова [з] Д - суммируемости при І1-1 ряда /0.1/ xf LlQ ) почти всюду. В 1.2 получены оценки роста -А -средних одномерного ряда Фурье и сопряженного ряда в метриках весовых пространств L . /f l/, возникающих в случаях, когда на отрезке Q задана абсолютно непрерывная мерами , т.е. elj4 u)(x)dx ; условие абсолютной непрерывности меры _/ч в рассматриваемом круге вопросов существенно, см. [I6J, с.227-228. Такие оценки роста оказываются возможными в случае весовых функций -О) , удовлетворяющих известному А.р -условию [17]. Даже для классических методов суммирования (Cpi), ЫУО,результаты являются здесь новыми.
В 2.1 главы 2 исследуется Л-суммируемость почти всюду рядов Сурье функций П переменных из класса \jtw l) IQ) и сопряженных /по любому набору переменных/ рядов. Условия суммируемости 1.1 обобщаются при этом на ї\ -кратный случай. Как следует из результатов Сакса [18] /существование f(l(Q) с расходящимися почти всюду средними Фейера ее двойного ряда зурье/, утверждения 2.1, вообще говоря, перестают быть верными для функций /( ІД У /. 2.2 посвящен оценкам весовых L -норм средних CCtfJ, причем полученные неравенства содержат в левой и правой частях весовые функции, которые могут быть различными; предполагается, что эти функции удовлетворяют (1-мерному аналогу Д-условия. Теоремы 2.2.3 и 2.2.4 2.2 показывают, что на всем классе методов суммирования /\ -условие является для таких оценок и необходимым. 3.1 главы 3 посвящен вопросам ограниченности максимального оператора Харди-Литтлвуда /см., Hanp.,[l9j, с.65-72/ и операто ра, получающегося из него некоторой модификацией, действующих в весовых пространствах. В 3.2 эти результаты применяются к вопросам ограниченной суммируемости кратных рядов їурье; термин "ограниченная суммируемость" означает выполнение /0.6/ при ус ловии, что все отношения —Гч остаются ограниченными, когда huni.-М . Рассмотрено также А -суммирование разложений У J Фурье функций множеств; в частности, получено утверждение о локализации в крестообразных окрестностях. Отметим, что результаты глав 1-3 представляют интерес в связи с задачами, поставленными Розенблюмом в [54І. В главе 4 исследуется сходимость почти всюду двух видов средних двойных рядов трье, построенных с помощью регулярных методов суммирования. Результаты 4.3 о средних треугольного типа являются новыми даже для классического метода суммирования Фейера; утверждения, касающиеся Д-средних типа Марцинке-вича, обобщают результаты известных работ Марцинкевича [ ] и Л. В.Жижиашвили [_9].
В конце каждой главы рассматриваются приложения основных результатов. Отметим здесь возможность интерполирования непрерывных функций /2.3/, восстановления функций по их моментам /3.3/, аппроксимации аналитических функций классов Харди средниїли их разложений Тейлора /1.3, 2.3, 3.3/. Практически все результаты диссертации переносятся на средние кратных рядов Сурье-Чебышева /2.3, 3.3, 4.4/; новыми здесь являются далее аналоги многих хорошо известных в тригонометрическом случае результатов. К кругу вопросов, рассматриваемых в диссертации, примыкают "эллиптические" способы суммирования рядов и интегралов Фдае /двумерный случай/; соответствующие результаты в диссертации лишь цитированы /ввиду их большого объема/, а полностью приведены в [23J.
Диссертация выполнена под руководством Б.П.Осиленкера, которому автор приносит самую глубокую благодарность.
Основные результаты по теме диссертации изложены в [20J-L26] и ГБІ]. Результаты глав I и 2 опубликованы в единоличных работах соискателя[20] , [24] и [бі] . В главе 3 соискателем обобщаются на векторнозначные функции главные утверждения работы [26] , выполненной в соавторстве с научным руководителем /в [26] Б.П.Осиленкеру принадлежат: постановка задач и методы получения весовых оценок из установленных соискателем /основных для главы 3/ оценок средних через максимальные функции/. К результатам главы 4 относятся единоличные работы соискателя [2lJ-[23], (25].
Материалы диссертации докладывались в Воронежской зимней математической школе /1979 г./, на научных конференциях Пермского политехнического института и Московского инкенерно-стро-ительного института им. В.В.Куйбышева /1980, 1981 г./, на семинаре при кафедре высшей математики МИСИ /руководители семинара проф. А.Л.Гаркави и проф. СЯ.Хавинсон/ в 1980 г., на семинарах при кафедре функционального анализа и теории функций в МГУ /семинар под рук. проф. Е.М.Никишина и проф. А.М.Олев-ского, 1981 г.; семинар под рук. членов-корр. АН СССР Д.Е.Меньшова и П.Л.Ульянова, 1980 и 1982 годы/, объединенном семинаре кафедр механико-математического факультета Саратовского ГУ /рук. семинара проф. Н.П.Купцов и проф. А.А.Привалов, 1982 г./, Саратовской школе по теории функций и приближений, 1984 г.
Оценки весовых норм Л-средних разложений Фурье функций нескольких переменных
Доказательство теоремы 2.3.4 легко вытекает из соотношения /2.3.19/ и теорем-2.2.1, 2.2.2, примененных к функции Q(y, У ) с 11 = 11 8...CoSУа) oO-cjJfcos cosH), если воспользоваться свойством четности а по всем J/, и . заменой переменных (M-ccoSt /J= ...,n/. При этом Д -условие должно иметь вид где 7 -параллелепипеды, те же, что и в /2.2.1/, но , на самом деле, пользуясь четностью по всем j: функций U И , достаточно ограничиться рассмо тре ниєм J/ С [ОРТ] . Тогда возможна замена переменных V--U/iC oSt- /j = 1,..., /, приводящая к усло-вию вида /2.3.18/, чем и завершается доказательство теоремы
Замечания. I/ Результаты п. 3 2.3 позволяют исследовать интерполяционные процессы с заданной системой узлов Чебышева /C4I], с. 487-488/. 2/ Утверждения, полученные в 2.1, могут быть использованы в вопросах абсолютной сходимости кратных рядов Фурье и интегрируемости преобразований Фурье /см. [40] , [423 , [43]/. 3/ Техника, применяемая при трансплантации неравенств сильного и слабого типа с тригонометрической системы на общие системы, заданные асимптотикой /см.[33]/, основана на оценках неко- торых интегральных операторов через модификации максимальных функций . Переход к кратному случаю должен содержать оценки суперпозиций таких операторов через суперпозиции указанных максимальных функций. Поэтому результаты 2.1 совместно с известными оценками сильного и слабого типа для / и IT могут быть применены для получения /7 -мерных аналогов утверждений п.3 1.3 . /
ПустьЯ )-/(... %t) - сильноизмеримая функция со значениями в произвольном .- банаховом пространстве В /см. [44], с. 53-56/, заданная на Q Qn /117/1 / и имеющая период Zlf по кавдой переменной Ху /./-1,..., - /; \ \ - норма в В . Рассмотрим максимальный оператор Харди где супремум берется по всем параллелепипедам/?х из класса содержащим точку X , a f Р- (Т)) - произвольное однопараме-трическое семейство монотонно возрастающих непрерывных наІО.60-) функций, обращающихся в ноль при Т- О , причем X столь мало, что область интегрирования в /3.1.1/ заключена в некотором кубе Z -фиксированное натуральное число. Нашей задачей будет изучение свойства ограниченности оператора /3.1.I/, действующего в весовых пространствах и применение этого свойства кД-суммируемости кратных рядов Щурье. Скалярнозначные функции UCX) и (Х) мы определим также, как и в 2.2 и будем применять обозначение при 1\ъи) /, если существует постоянная С У0 , такая, что для каждого Я - Д. Отметим, что I/ теорема 3.1.I может быть перенесена на случай непериодических т, U,d) , заданных на t, тогда она обобщает некоторые результаты, содержащиеся в [45] /теорема 2.2 в случае системы \ [/ J , совпадающей с да /и [46] /теоремы 1.5, 3.1/;см. метод в [46] с ]f(t)lB шесто \П 1 2/ утверждение /3.1.5/ перестает быть верным в.случае двух весовых функций; в нем нельзя также положить р—1 /см. [Т7], с.218, 219 и [38J/. Однако справедлив следующий результат. Т е о р е м а 3.1.2 . Если/ б/, СО) f А» с некоторым #7/1 , то для любого / 7 . Доказательство достаточности /L -условия для неравенства /3.1.4/ использует известные идеи Марцинкевича и Зигмунда /см.[1], т.2, лежш /3.2/, /3.5/, с.465-467/ и может быть проведено применением тех же рассуждений, что и в 46], см. теорему 3.1 в[4б] ; оценка /3.1.5/ выводится из /3.1.4/ и свойств / Здесь и в дальнейшем постоянные С70 , вообще говоря, различные, не зависят от функций т,Т и параметров } X К , а также переменных ХУ /\ -классов /[46], теоремы 1.6, 4.1/с помощью интерполяционной теоремы Марцинкевича /[19], с.208/, если /3.1.I/ рассматривать как максимальный оператор от скалярнозначной функции Доказательство необходимости /л -условия в теореме 3.1.I получается выбором -f(±j-\Y(t) » где скалярнозначная функция /tj строится по &Л с) также, как и в теореме 3.1 работы [ 46}; см., кроме того, доказательство леммы 2.2.4; здесь 1 - единичный элемент пространства D . Наконец, теорема 3.1.2 вытекает из неравенства /3.1.4/ и интер голяционной теоремы І.І работы ["45J, поскольку /CM.C46J/ (Щ Ш КА /р7 /. Отметим, что в случае Е - или5г(_, /9 0 / -стандартные обозначения "классических" функциональных пространств- результат теоремы 3.1.I /см. также замечание I к теореме 3.1.I/ дополняет основные утверждения работ f47j , [48] Хейнига и В.М. Кокилашвили.
Ограниченная -А -суммируемость кратных рядов Фурье
Как уже неоднократно отмечалось выше, утверждение о суммируемости почти всюду /см. п.2 теоремы 4.3.1/ содержится в неравенствах слабого типа /см. /4.3.3/, /4.3.4/ /, а суммируемость равномерно по (Х,У) при тс() вытекает из оценки констант Лебега которая имеет место в силу /4.3.II/, /4.2.30/, /4.3.12/ -/4.3.13/. Теорема 4.3.1 доказана. Обозначим через & tQ(f,Y,У) иб т УІ средние /4.1.4/, и /4.1.5/, соответствующие случаю (C,L) -метода суммирования /см. 1.1/. Следствие 4. .211. Почти всюду в Qz для каждой jr LfQ ) и равномерно по (Х,У) с Q для всякой J--C(Qz) имеют место соотношения Действительно, в случае ҐС,оО -метода суммирования равенство /4.3.5/ очевидно; условие /4.3.6/, как легко проверить, выполнено, если выбрать Гб 0,О » а тогда и Осталось воспользоваться теоремой 4.3.1. Утверждения следствия для средних типа Марцинкевича /см. 4.3.14/ / принадлежат Л.В.Жижиашвили /f9j и [53]/; утверждение /4.3.14/ для треугольных средних было известно в случае (-(1- (Q ) /равномерная суммируемость/ лишь при d-± ; если J-[,(.) /суммируемость почти всюду/, то оно является новым для всех Методу суммирования Ззейера /утверждения /4.3.14/, /4.3.15/ с ск-1 I пос--вящена работа [22]; в ней доказаны теоремы о сходимости почти всюду к f средних арифметических "треугольных" /ромбических/ частных сумм в случае ромбов с фиксированным отношением диагоналей, равным целому положительному числу 1о,щ-чай/(ГЛЭ ) изучен О.И.Кузнецовой , см. {121/ и частных сумм по Принсхейму с произвольньм фиксированным рациональным отношением сторон прямоугольника /для/(ГУ&} и отношения сторон прямоугольника, равного натуральному числу см. результат в[127/. Уже указывалось, что результаты по тематике главы 4, особенно касающиеся суммируемости почти всюду, немногочисленны. Мы видим, что даже частные случаи теоремы 4.3.1 представляют интерес. I/ средние типа Марцинкевича и треугольного типа рядов Тейлора функций te } pZ } класса Н ; 2/ линейные методы интерполяции непрерывных функций. В связи с этим следует заметить, что теорема 2 работы [13J будет вытекать из неравенства /2.3.10/ и теоремы 4.3.1. 3/ Далее, с помощью средних /4.1.4/, /4.1.5/ можно получить еще один способ восстановления функций двух переменных по их тригонометрическим моментам /см. п.З 3.3/ 4/ Наконец, результаты главы 4 переносятся на средние типа Марцинкевича и треугольного типа рядов Фурье-Чебышева таким же способом, какой применялся в 2.3. Следующий результат, обобщающий соотношение /19/, с.486 работы [41] показывает, что имеет место равносходимость и равно-суммируемо с ть рядов Фурье и рядов Фурье - Чебышева непрерывных функций. Теперь на частные суммы и средние рядов Фурье-Чебышева переносятся многие результаты, известные для рядов Фурье /см., например, [Ю]-[12], [52]/. Очевидно, что соотношение вида /4.4.1/ может быть распространено на случай произвольной размерности $ исходного пространства с. .
Оценки слабого типа некоторых интегральных операторов
Таким образом, результаты 3.2 включают в себя ряд классических утверждений Бернштейна, Рогозинского /[2], с.484/, Марцинке-вича и Зигмунда /[I], т.2, с.465-472/.
Результаты 3.2 могут быть перенесены наЛ -средние разложений Тейлора аналитических функций ) из весовых классов \\ /Ь/1/, в частности, из класса п . Важным следствием является существование в "некасательном смысле" для почти всех X граничных значений функций f(E) /[I], т.2, гл.17, 4/. В основе доказательства результатов лежит равенство /2.3.1/. 2/ X -суммируемость рядов урье-Чебышева. Как и в главе 2, согласно соотношению /2.3.19/, возможно перенесение основных результатов на средние /2.3.13/. Так, на пример, считая ограниченными все отношения - и \. для с B = R при выполнении условия /2.3.18/ получаем неравенство слабого типа Если имеют место соотношения /3.2.7/ и /3.2.8/ Hf(L((r) то отсюда, в частности, вытекает ограниченная Л -суммируемость к J- ряда іурье-Чебьшіева /2.3. II/. 3/ Восстановление функции по ее моментам. Пусть требуется восстановить f UQ.) по ее тригонометрическим моментам Если элементы Л -последовательности удовлетворяют условиям /3.2.7/, /3.2.8/, то соотношением /3.3.1/ определен класс операторов, предельные значения которых восстанавливают J- : почти всюду в Q справедливо равенство Действительно, подставляя в / 3.3.2/ интегральные выражения /3.3.1/ моментов 7Т[ (і), пользуясь четностью по всем переменным ядра /2.1.4/ и равенством /2.1.3/, убеждаемся в справедливости соотношения /3.3.4/. Таким образом, для операторовW w справедливы и другие утверкдения, доказанные в главах 2,3 для суй. Вводя в рассмотрение моменты произвольных счетно-аддитивных функций /в частности, мер/ множеств ЕгСф, мы можем восстанавливать с помощью процессов /3.3.2/ /в которых №) заменены на Уїі (df) / почти в каждой точке X производную cptX), и, следовательно, абсолютно-непрерывную часть (Е) ; см. теорему 3.2.3. л , Пусть теперь (-L,((s) задается степенными моментами /К--01... j-i ..., Л /» требуется восстановить/(jfj. Обозначим через в, коэффициент при /см.Г277, с.40/ в многочлене Че-бьшева 1 1ь) /0$-К/, полоним и определим операторы Если выполнены условия /3.2.7/, /3.2.8/, то почти всюду в (г имеет место равенство /3.3.3/, в котором w Ш заменено на 1л/гШ Это и другие утверждения 3.2 с ТД Ш вместо б //,) вытекают из равенства которое доказывается ташке, как и /3.3.4/. Описанный процесс восстановления пункций, заданных на , по их степенным моментам Jfl (т) может быть применен, например, 1% для отыскания неизвестной плотности распределения f(X) /ftXfcO приДГфб / вероятностей случайной величины по ее начальным моментам .Ж, Идея применения методов суммирования к нахождению функций по их степенным моментам принадлежит Б.П.Осиленкеру /[49]/. 4/ Методы, примененные при доказательстве неравенства /3.2.13/, позволяют не только установить ограниченную Л -суммируемость к T LCQ.) РяДа /0.1/, но также указать точки суммируемости и получить оценку уклонения Л -средних от / . При W — Z для средних Чезаро-Абеля и Пуассона-Абеля соответствующий результат см. в работе О.Д.Габисония foOj, ее рассуждения могут быть перенесены на случай Л -последовательностей и h7/Z /см. методы доказательств /3.2.13/ и f-50]/. Подробное доказательство этого факта громоздко и здесь не приводится, поэтому замечание 4/ не выносится на защиту.
