Содержание к диссертации
Введение
Глава I Многомерный случай 12
1,1. Частичные интегралы Фурье по шарам и прямоугольникам 12
1.2. Частичные интегралы Фурье по многогранникам 19
1.3. Сферические средние интегралов Фурье 32
Глава II Двумерный случай 38
11.1. Частичные интегралы Фурье по звездным множествам 38
11.2. Граничная точка 53
11,3. Негативные результаты для невыпуклых множеств 66
Литература 75
- Частичные интегралы Фурье по шарам и прямоугольникам
- Частичные интегралы Фурье по многогранникам
- Частичные интегралы Фурье по звездным множествам
Введение к работе
Работа посвящена некоторым задачам восстановления разрывной функции нескольких переменных по ее преобразованию Фурье. В первой главе рассматривается общий случай, когда число неременных произвольно, а во второй главе изучается двумерная ситуация.
В одномерном случае подобные вопросы изучались в работах многих математиков. В большинстве случаев найдены исчерпывающие ответы, которые можно найти в фундаментальных монографиях [Б], [Бо], [3], [Т], [Ти], [Ах], [Э]. В последние годы значительно возрос интерес к гармоническому анализу функций нескольких переменных. При этом оказалось, что некоторые фундаментальные утверждения классического одномерного анализа не переносятся на многомерный случай, а некоторые остаются открытыми проблемами до сих пор. Кроме того, возникают новые, естественные в кратном случае вопросы, не имеющие аналогов в классическом анализе, но играющие важную роль при исследовании функций нескольких переменных. К таким вопросам в первую очередь относится выбор определений суммы кратного ряда и кратного несобственного интеграла (при отсутствии абсолютной сходимости).
Кратному гармоническому анализу посвящено большое число работ, вышедших в последнее время. Отметим в первую очередь обзоры по этой теме [АИН11, [АИН2], [Г], [Ж], [ААП], |Д1], [С] и монографии [С], [СВ|, [S], [ВТ]. Этой же теме посвящены отдельные главы монографий [3], [Бо]. В сборнике [ВС1Т] обсуждаются различные задачи, в решении которых большую роль играет анализ Фурье функций нескольких переменных. Отметим, в частности, его значение в задачах аналитической теории чисел [В], [М]: [Н].
Как уже было отмечено, в кратном случае большую роль играет выбор того или иного определения кратного ряда или кратного несобственного интеграла. Естественно определять их как предел частичных сумм или интегралов, взятых по расширяющимся конечным областям. В большинстве перечисленных работ рассматриваются два определения, в которых частичное суммирование или интегрирование ведется по шарам или прямоугольным параллелепипедам (в частности по кубам). Оказалось, что шаровые частичные суммы и интегралы ведут себя значительно хуже кубических. В частности, они могут
Введение очень быстро расходиться. Это различие вызвано тем, что преобразование Фурье характеристической функции шара убывает на бесконечности значительно медленнее, чем преобразование Фурье характеристической функции куба: функция
ЫУ)= J e-2-«dx l-i,i]m "почти суммируема"па Wn, поскольку 15Ш1 = П sin ІЩа
В то же время преобразование Фурье характеристической функции шара ~-2nixydx
ХОІУ)= J е удовлетворяет значительно более слабой оценке при
1 , ,_ Л/ 1 \ш\ = m+l 2
Ы2к\\у\\) =0
Здесь J. — функция Бесселя. Ее асимптотика на бесконечности описывается соотношением ^fW = \/Jcos(U -\(m+ 1)) + 0(1).
Это различие в асимптотике функций Хи{у) и Хо(у) вызвало естественный интерес к более общей ситуации. В работах [Hz], [/С], [Sv], [R], [Ті], [Т2], [BTU], [CS], [BC1VT], [ГГ], [ПІ], [П2] и многих других изучалось поведение функции Xn(y) = J e~2-»dx, где il — выпуклое компактное множество в Жш. Было выяснено, что решающую роль, определяющую скорость убывания функции хп(у) на бесконечности, играет гауссова кривизна границы 5Л Полученные результаты были использованы, в частности, в задаче поиска асимптотики при R —* +оо числа точек целочисленной решетки Zm, содержащихся в множестве ЯП = {Пх\хеЩ.
Введение.
В настоящей работе рассматриваются вопросы, тесно связанные с изучением функции Хи{у)- Они вызваны существенным различием между одномерным и кратным гармоническим анализом. Хорошо известна фундаментальная роль, которую играет принцип локализации Рішана в одномерном случае. В то же время в кратном случае прямого аналога этого утверждения нет. Это обстоятельство сильно усложняет исследование сходимости разложений функций нескольких переменных с помощью рядов или интегралов Фурье. Даже в простейшем случае, когда разлагаемая функция кусочно постоянная, то есть принимает лишь конечное число значений, поведение ее ряда или интеграла Фурье совсем не очевидно. Кратные ряды Фурье разрывных функций рассматривались в работах [А], [Д2], [ТТ] и [Те].
Особенности представления разрывных функций нескольких переменных с помощью интеграла Фурье обсуждаются в [Р], [Р5Т]. В частности, там отмечается, что при попытке восстановить характеристическую функцию шара Хо с помощью шаровых частичных интегралов Фурье, то есть при вычислении предела интегралов #(*о)= / e^xoGO*. \\v\№ когда R —> +оо, возникает неожиданный эффект. Оказывается, если т ^ 3, lim 1%{х0) -
Л->+со
ХоЫ при \\х0\\ ± 1, \ при ||ж0|| = 1 для любой точки Хо ф 0. Если же Хо = 0, то ситуация совсем иная — интегралы ід (0) не имеют предела при R —> +оо (при т = 3 они колеблются, оставаясь ограниченными, а при т > 3 они исограпичеиы, причем размах колебаний растет с ростом размерности т). Этот факт побудил авторов [ИМ] заменить частичные интегралы по шарам интегралами по расширяющимся кубам. С помощью громоздких вычислений им удалось показать, что в трехмерном случае отмеченный негативный эффект исчезает. Но при этом авторы работы [ИМ] отмечают, что их рассуждения проходят лишь для центра шара, то есть в случае х0 — 0, а для других точек хц преодолеть возникающие трудности им не удалось. В случае, когда размерность пространства больше трех, их методом исследовать задачу вряд ли возможно из-за чрезмерной громоздкости вычислений. Первый результат диссертации устраняет
Введение эти пробелы. Оказывается, что истолковывая несобственный интеграл как предел при R —+ +оо частичных интегралов по гомотетичным прямоугольникам [—Да, ІЙ], а, 6 Є R, мы получаем возможность восстановить характеристическую функцию хи произвольного выпуклого компактного множества Q С Шт в любой точке, не лежащей на его границе. Точнее, справедливо следующее утверждение.
Теорема 1.1.1. Пусть 1 — выпуклый компакт в Rm и хп ~ ^го характеристическая функция. Тогда для любых векторов а, Ь Є М+ справедливо асимптотическое соотношение: [ Uy)e2ny'Xady — Хп(*о), если х0 00. J R-++OQ [-Ra,Rb]
При этом предположение о выпуклости компакта Q можно ослабить. В доказательстве используется лишь "покоординатная выпуклость"— пересечение П с любой прямой параллельной какой-нибудь координатной оси является промежутком (возможно, пустым). Кроме того, из доказательства вытекает оценка скорости сходимости 0(^lnm~ Я), где константа в 0-члене зависит только от компакта Q и расстояния между Xq и Ш.
Во втором параграфе первой главы рассматривается более общее определение несобственного интеграла — он понимается как предел при R —> +со частичных интегралов, взятых по многограннику RW = {Ry\yeW], где W — фиксированный многогранник в Rm (объединение конечного числа симплексов). Естественно ожидать, что при R — +оо интегралы стремятся к хп(жо)) Xq $ 3ft, если начало координат лежит внутри многогранника W, а если оно находится вне его, то предел этих интегралов равен нулю. Оказывается, это верно при некоторых дополнительных предположениях о множестве W. Справедливы такие утверждения.
Теорема 1.2.1. Пусть Q — выпуклый компакт в К"1, Xq Є Rm\dfi, a W — такой многогранник в Rm, что все его грани и их продолжения не проходят
Введение. через начало координат. Тогда J R-t+oo
В частности, если 0 Int (W), то J R-^+oo
Теорема 1.2.2. Пусть Q — выпуклый компакт в Rm, Xq Є Int (fi), a W — такой многогранник n Rm, что 0 . dW. Тогда {Uy)e2^Vdy Ы0у J ІЇ-++00
Простой пример показывает, что от дополнительных предположений (грани W и их продолжения не проходят через начало координат —- в первой теореме, точка Xq находится внутри компакта П — во второй) отказаться нельзя.
В последнем, третьем параграфе первой главы изучаются сферические средние частичных интегралов Фурье характеристической функции выпуклого компакта Q J ^)xn(y)e2^ydy. \\v\№ Здесь (р — функция ограниченной вариации, причем \\m ip(t) = 1. Рассматривается случай, когда Хц Є Int Q. Показано (теорема 1.3.2), что в двумерном случае эти сферические средние сходятся к 1, а в IR3 это верно лишь при выполнении асимптотического соотношения / tp(t) cosRtdt = of—] при R — +00. о
В пространствах большей размерности для сходимости сферических средних достаточно (теорема 1.3.3), чтобы функция <р входила в класс С'^'([0, +оо)) (считаем, что ip(t) = О при і ^ 1).
Введение
Во второй главе диссертации изучается двумерная ситуация. Ясно, что в задаче восстановления разрывной функции по ее преобразованию Фурье с ростом размерности растет и объем необходимых предположений. Можно надеяться, что в двумерном случае эти предположения удастся ослабить. В частности, представляют интерес более общие способы истолкования несобственного интеграла в формуле обращения. Кроме того, в двумерном случае оказывается возможным исследовать поведение интегралов Фурье в граничной точке, то есть точке разрыва характеристической функции.
При получении результатов этой главы существенно используется связь между геометрическими свойствами выпуклого компакта и поведением преобразования Фурье его характеристической функции. Необходимые сведения имеются в работах [Ш], [ГГ] и [Т2].
В первом параграфе несобственный интеграл в формуле обращения трактуется достаточно широко — он понимается как предел частичных интегралов, взятых по большим гомотстам окрестности начала координат.
Теорема П.1.1. Пусть U С Е2 — выпуклое компактное множество и W С Ж2 — такая окрестность начала координат, что со граница dW имеет конечную длину s{d\V). Предположим еще, что выполнено дополнительное ограничение: множество Е тех векторов у Є dW, каждый из которых ортогонален невырожденному отрезку, содержащемуся в 6Q, имеет нулевую длину: s{E) = 0.
Тогда для характеристической функции х„ в каждой точке Xq^Xq Є М2\Ш, справедлива формула обращения преобразования Фурье: Xn(xo)-^Jjxn(y)e2^ydy. mv
Дополнительное ограничение заведомо выполнено, если множество П строго выпукло или если множество W звездно относительно начала координат в строгом смысле (всякий луч с началом в 0 пересекает dW в единственной точке). В первом случае множество Е пусто, а во втором оно не более чем счетно.
Столь широкие условия не позволяют оценить скорость сходимости частичных интегралов к хп{ха)- Однако, незначительно сузив класс рассматриваемых окрестностей W, можно оценить скорость сходимости.
Введение.
Теорема П.1.2. Пусть множество W, W С Ж2, звездно относительно па-чала координат, которое является его внутренней точкой. Допустим, что параметризация его границы 8W в полярных координатах d\V = {rw (<р) (cos ip, sin (p)\ipe [О,27г]} такова, что функция rw абсолютно непрерывна и со производная -^ принадлежит пространству Lq([—7г,7г]) при некотором q (1,+оо]. Пусть р — сопряженный показатель, т.е. ^ + - — 1.
Тогда для характеристической функции хп произвольного выпуклого компактного множества О, О, С R2, в каждой точке xq, xq . 80, справедливо соотношение: (константа в О-члене зависит от множеств О, W, точки Xq и показателя q, но не от R).
Если же W — выпуклая компактная окрестность начала координат, то для остатка справедлива оценка 0(Д"). Показатель \ увеличить нельзя, так как именно такая скорость сходимости возникает, если W — круг.
Во втором параграфе рассматривается поведение частичных интегралов Фурье JJxn(y)e2-ydy в граничной точке Хо выпуклого компакта Q. Получен такой результат.
Теорема И.2.1. Пусть W С Ж2 — выпуклая, компактная, центрально симметричная окрестность начала координат. Тогда
I) для любой граничной точки Xq выпуклого компактного множества О С Ж2 существует конечный предел
I{x,)=\^jjUy)^iX-ydy-,
II) если Хо — не угловая точка кривой 8Q, то I(xq) — |.
В угловых точках Xq кривой 80 предел /(2) зависит от выбора множества W. Например, если это круг с центром в начале координат, то I(xq) — ^0(xQ),
Введение где 9(xq) — угол между полу касательными кЗПв точке xq. Если же W — [—1,1]2, то предел 1(хц) вычисляется сложнее — он равен интегралу dtp sin 2^' cos ip + sin If cos tp — sin (p где а и /3 — углы между осью ОХ и полукасательнымн к границе ЗП в точке х0.
Несобственные интегралы по квадратам и кругам совпадают не только при 0(xq) = 7Г, но и в том случае, когда этот угол прямой. В этом случае оба они равны j.
Большинство результатов диссертации получено для выпуклых компактов 1 При этом не предполагается ни гладкость границы, ни се невырожденность. Поэтому они очевидным образом обобщаются на множества, получающиеся с помощью объединения и вычитания конечного числа выпуклых множеств. Однако па объединения последовательностей таких множеств эти результаты не переносятся. В последнем параграфе диссертации рассматриваются частичные интегралы по кругам и по квадратам от преобразования Фурье хк- /(Д) = JJxkW ^ }к(Щ = Л ЫУ) dy, где К — произвольный компакт на плоскости. Вообще говоря, эти интегралы расходятся. Но при этом, как показано в параграфе П.З, скорости расходимости (то есть возможные мажоранты) у них существенно различаются:
1 = о{у/Ё) и / = 0(1пД) при Я ^+00.
В конце параграфа показано, что эти оценки не улучшаемы по порядку в классе компактов /Г, представимых в виде объединения последовательности не налегающих прямоугольников.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [М], [ПМ1], [ПМ2].
Частичные интегралы Фурье по шарам и прямоугольникам
Трудности в изучении этого предела вызваны тем, что такой частичный интеграл не сводится к одномерному. В недавней работе \HJ\f\ рассматривался частный случай этой ситуации при т = 3. С помощью довольно громоздких вычислений авторы показали, что для характеристической функции шара (Да;) — 1 при ]х а и f(x) = 0 при а; а) в точке XQ = 0 предел в правой части (1.3) равен единице. Они отмечают, что их методом не удастся исследовать поведение частичных интегралов по кубам в точках XQ 0. На наш взгляд и в пространствах большой размерности этот метод практически не реализуем — слишком велики возникающие при этом технические трудности. Мы предлагаем другой путь для изучения предела (1.3) в случае, когда / — характеристическая функция некоторой окрестности П (не обязательно шаровой). При этом размерность пространства фактически не сказывается на рассуждениях, а в выборе точки 3 важно лишь условие XQ $. dVl.
Ясно, что множество Q,\ (—Д,Д)т равно объединению конечного числа выпуклых компактов Гі , не имеющих общих внутренних точек. Поэтому Хц = J2k Хп Поскольку 0 . Slfc, нам остается установить лишь второе утверждение теоремы для точки XQ — 0, которая не принадлежит компакту !Г2. Ясно, что О, распадается па конечное число выпуклых компактов 0. без общих внутренних точек, обладающих следующим свойством: у всех точек компакта fijfc по крайней мере одна координата отделена от пуля. Точнее, существует такое положительное число Д — A(Q), что для каждого к найдется такой номер jh — 1,..., m, что для всех точек х — (х\,..., хт) из П& выполняются неравенства \xjk\ Д. Не умаляя общности, будем считать, что а;т Д для всех точек х из fi. По теореме Фубини
Отсюда следует также, что этот предел равен нулю, если уо Р. Таким образом, для функции f ХР справедлива формула обращения (1.1), если несобственный интеграл понимать как предел при R — +оо частичных интегралов по RQ, где О, — выпуклая (или покоординатно выпуклая) компактная окрестность начала координат.
Частичные интегралы Фурье по многогранникам
Определив в предыдущем параграфе несобственный интеграл как предел частичных интегралов, взятых по расширяющимся гомотетичным прямоугольникам, мы получили аналог классической формулы обращения преобразования Фурье для функции Хп Наша цель в этом параграфе — выяснить, можно ли вместо прямоугольника [—а, Ь] взять многогранник (объединение конечного числа иеналегающих симплексов), содержащий начало координат внутри себя. Точнее, пусть многогранника W с коэффициентом подобия R. Будем понимать несобственный интеграл (2.1) как предел частичных интегралов по большим многогранникам: если 2() . дії Мы докажем, что это действительно так при некоторых дополнительных предположениях о многограннике W. Без них равенство (2.2) может нарушаться даже в простейшем случае, когда Q, — прямоугольник.
Теорема 1.2.1. Яусть 1 — выпуклый компакт в Rm, XQ Є Rm\5Q, aW — такой многогранник в Rm, что все его грани и их продолжения не проходят через начало координат. Тогда
Сдвинув множества Q и W па вектор XQ, теореме 1.2.2 можно придать другую форму.
Теорема 1.2.2 . Пусть П — выпуклый компакт в Rm, О Є Int (П), и W — многогранник в Rm. Тогда для любой точки XQ, XQ Є Жт \ dW, справедливо асимптотическое соотношение
Прежде чем переходить к доказательствам, рассмотрим простой пример, показывающий, что от дополнительных предположений (грани W и их продолжения не проходят через начало координат — в первой теореме, точка XQ находится внутри компакта П — во второй) отказаться нельзя.
Частичные интегралы Фурье по звездным множествам
Приведем формулировки результатов, которые будут использоваться в дальнейшем. В них существенную роль играют геометрические характеристики выпуклого плоского компактного множества Q. Для произвольного угла (р символом Ху обозначим точку границы дО, через которую проходит опорная к О прямая с внешней нормалью е = (cos р, sin ip) (точка х определяется однозначно для всех углов /? за исключением не более чем счетного числа значений, которым соответствует прямолинейный отрезок кривой дО,). Сдвинув эту прямую к множеству О на расстояние є, получим новую прямую, пересекающую О по хорде, длину которой обозначим ц,п((р,є).
Величина /in((/?, є) играет существенную роль в оценке преобразования Фурье функции с носителем на множестве О. Нам потребуются следующие результаты.
Пусть Q С Ш2 — выпуклое компактное множество и W С R2 — такая окрестность начала координат, что ее граница dW имеет конечную длину s(dW). Предположим еще, что выполнено дополнительное ограничение: множество Е тех векторов у Є dW, каждый из которых ортогонален невырожденному отрезку, содержащемуся в dQ, имеет нулевую длину: s{E) = 0.
Тогда для характеристической функции хп в каждой точкеXO,XQ Є Е2\30, справедлива формула обращения преобразования Фурье:
Прежде чем доказывать эту теорему, заметим, что дополнительное ограничение заведомо выполнено, если множество Q строго выпукло или если множество W звездно относительно начала координат в строгом смысле (всякий луч с началом в 0 пересекает dW в единственной точке). В первом случае множество Е пусто, а во втором оно не более чем счетно.
Отметим еще, что, как показывает пример в 1.2, от дополнительного условия отказаться нельзя.
