Введение к работе
Актуальность темы.
Диссертационная работа посвящена вопросу использования Л-интег-рала и одного его обобщения в теории тригонометрических рядов и преобразований Фурье. Тригонометрическими рядами с монотонным коэффициентами занимались многие авторы, начиная с Фату. Но и сейчас они продолжают привлекать внимание. Такие ряды сходятся почти всюду, кроме, быть может, х — 2ттк, к Є Z.
Для таких рядов естественно выяснить условия, при которых они являются рядами Фурье. Ответ заключается в следующем: чтобы эти ряды были рядами Фурье необходимо и достаточно, чтобы их сумма
была суммируема. Но если ряд ^Z ап cos пх сходится к суммируемой
п=0
функции f(x), то его сопряженный ряд J2 ansinnx может сходится к
п=1
несуммируемой функции. Вопросами поведения рядов
2_] ап cos пх, (1)
п=0
y^ansinna;, (2)
71 = 1
в случае монотонного убывания последовательности {afc}^.1 посвящено много работ.
Харди и Литтльвуд в 1931 году [1] нашли необходимое и достаточное уСЛОВИе ДЛЯ ТОГО, Чтобы / Є Lp[—7Г, Л"] И / Є LP[—7Т, 7г], где р > 1 и f(x) — сумма ряда (2).
[1] Hardy G.H., LiTTLEWOOD J.E. Some new properties of Fourier constants // J. London Math. Soc. 1931. V. 6, P. 3-9.
Юнг [2] и А.Н.Колмогоров [3] нашли достаточное условие для L-интегрируемости функции /(х) на отрезке [—7Г,7г], Юнгом [2] было найдено необходимое и достаточное условие L-интегрируемости функции /(х) на отрезке [—тг,7г], в той же работе Юнг показал, что для любой монотонно стремящейся к нулю последовательности {а„} имеют место формулы
= (L)|/(x)si
a,k = (L) I f(x)siakxdx, к = 1,2,3,.
— 7Г
где f(x) — сумма ряда (1).
Сидон [4] показал, что если последовательность {ап} только монотонна, то возможен случай / L(—7Г,7г), следовательно, существует такая последовательность {а„}, которая удовлетворяет следующим условиям:
1) lim ап — О,
п—*оо
^ (3)
2) 2JAan|<+co,
п=0
где Аап = ап — an+i для любого п Є N, и такая, что / L(—тт, я") и
Сидон [4] и Боас [5] показали, что ряд (1) является рядом Фурье-Римана (в несобственном смысле) функции /(х). Данжуа [6] показал,
[2] Young W.H. On the fourier series of bounded functions // Proc. Lond. Math. Soc, 1913, V. 12, P. 41-70.
[3] Колмогоров A.H. Sur 1'ordre de grandeur des coefficients de la serie de Fourier-Lebesque /J Bull. Int. de I'Acad. Polonaise. Classe A des sciences math, et naturells, Cracovie, 1923, P. 83-86.
[4] SziDON S. Reichentheoretische satze und ihre Anwendungen in dcr theorie der Fourierechen Reihen // Math. Zeitschr, 1921, V. 10, P. 121-127.
[5] BOAS R.P. Integrability of trigonometric series // Duke Math. Journ., 1951, V. 18. P. 787-793.
[6] Denjoy A. Lecons sur le calcul des coefficients d'une serie trigonomctrique, Paris, 1941-1949.
что функция /(х) будет неинтегрируема по Данжуа, если } ^- = оо, следовательно, нецелесообразно использовать интегрирование по Данжуа в вопросах изучения рядов (1) и (2) при условии (3) для последовательности коэффициентов. Но оказывается, что А-интегрирование дает положительные результаты при изучении рядов (1) и (2). Это видно из доказанной в 1953 году П. Л. Ульяновым [7] теоремы о том, что суммы (1) и (2) всегда будут Л-интегрируемы. Аналогичный результату П.Л.Ульянова результат докажем для преобразования Фурье.
Во второй части диссертации рассмотрен ряд, сопряженный к тригонометрическому ряду
S = — + 2~]ancosnx + bns'mnx, (4)
71=1
который имеет вид
S = 2_] ~Ьп cosпх + ап sinпх. (5)
п=1
Для этого ряда в 1911 году в работе Юнга [8] была установлена связь ряда S[f], сопряженного к ряду Фурье S[f] с выражением
1 ?/(* + *)-Я*-').
-dt.
2tg|
-.1-
а именно, было показано, что если 27г-периодическая функция / ограниченной на [0,2п] вариации, то необходимым и достаточным условием сходимости ряда S[f] в точке х является существование предела
1 jf{x + t)-f(x-t)
*-+о тг У 2tg|
[7] Ульянов П.Л. О тригонометрических рядах с монотонно убывающими коэффициентами // ДАН АН СССР, 1953, Т. ХС, № 1, С. 33-3G.
[8] Young W.II. Konvergens edingungen fur die verwandte Reihe einer Fourierschen Reihe /I Munchener Sitzungsberichte, 1911, V. 41, P. 361-371.
который и является суммой ряда.
В 1913 году Н. Лузин показал, что сопряженная функция существует почти всюду для 27Г-иериодической функции / Є L2[0,27г] ([9] и [10]). В 1925 году А.Н. Колмогоров ([11] и [12]) доказал, что если функция f(x) суммируема на [0,27г], то для любого р Є (0,1) функция |/(ж)|р будет суммируема.
В 1927 году М. Рисе доказал, что если / Є 1^[0,2тг], р > 1, то / Є Lp[0,2п]. Но если периодическая функция / Є L[0,2тг], то может быть / і[0,27г].
П.Л. Ульянов доказал, что если функция / суммируема, то функция / будет всегда Л-интегрируема [13]. Используем метод аналогичный методу П.Л. Ульянова и докажем аналогичную теорему для преобразования (оператора) Гильберта на Е.
Цель работы. Изучение интегрируемости преобразования Фурье функции ограниченной вариации и оператора Гильберта.
Научпая новизна. Все основные результаты диссертации являются
новыми. Основные из них следующие:
1. Доказано, что стремящуюся к нулю при х —) ±оо функцию ограниченной вариации можно с помощью Ал-интеграла восстановить по преобразованию Фурье.
[9] ЛУЗИН Н.Н. Sur la convergence sed series trigonometrigues dc Fourier // Copra. Rend. Acad. Sci., Paris, 1913, V. 153, P. 1655-1658.
[10] Лузин Н.Н. Интеграл и тригонометрический ряд. М.-Л.: ГИТТЛ, 1951.
[11] КОЛМОГОРОВ А.Н. Sur les fonctions harmoniques conjuques et les series de Fourier I/ Fund. Math., 1925, V. 7, P. 23-28.
[12] БАРИ H.K. Тригонометрические ряды. M.: ГИФМЛ, 1961.
[13] Ульянов П.Л. Применение А-интегрирования к одпому классу тригонометрических рядов // Матем. сб. 1954, Т. 35 (77), № 3, С. 469-190.
2. Доказано, что преобразование Гильберта суммируемых функций А-интегрируемо на R и получена формула, связывающая А-инте-грирование преобразования Гильберта с интегрированием исходной функции.
Методы исследования. Результаты диссертации получены с использованием переработанных для теории преобразования Фурье метода теории тригонометрических рядов и методов обобщенного А-интег-рирования.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в различных вопросах теории функции действительного переменного, гармонического анализа и их приложений, связанных с рядами и преобразованиями Фурье.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах "Тригонометрические и ортогональные ряды" под руководством члена-корреспондента РАН П.Л.Ульянова, профессора М.И.Дьяченко, "Теория функций действительного переменного" под руководством профессора Т.П. Лукашенко, профессора В.А. Скворцова.
Публикации. Основные результаты диссертации сданы в печать.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих в себя 4 параграфа и списка литературы, содержащего 32 наименования. Общий объем диссертации — 44 страницы.
