Содержание к диссертации
Введение
I Обобщенное преобразование Фурье 11
1.1 Определение и основные свойства обобщенного преобразования Фурье 11
1.2 Весовые пространства целых функций как мнолсество значений обобщенного преобразования Фурье 21
1.3 Пространства аналитических функций как мнолсество значений обобщенного преобразования Фзфье 33
1.4 Обобщенное преобразование Фурье в конкретных пространствах 36
II Применения обобщенного преобразования Фурье 55
2.1 Применение обобщенного преобразования Фурье к нахо-л<дению порядков и типов операторов 55
2.2 Применение обобщенного преобразования Фурье к нахождению общего вида линейного непрерывного функционала на пространствах векторнозначных функций 65
2.3 Применение обобщенного преобразования Фурье к представлению элементов локально выпуклого пространства 77
Список литературы
- Весовые пространства целых функций как мнолсество значений обобщенного преобразования Фурье
- Пространства аналитических функций как мнолсество значений обобщенного преобразования Фзфье
- Применение обобщенного преобразования Фурье к нахождению общего вида линейного непрерывного функционала на пространствах векторнозначных функций
- Применение обобщенного преобразования Фурье к представлению элементов локально выпуклого пространства
Введение к работе
> і З В
Актуальность темы. Для решения разнообразных задач анализа часто применяется преобразование Фурье сопряженного пространства и его обобщения. Пусть Н — отделимое локально выпуклое пространство функций аргумента z. Оператор Т, действующий на сильно сопряженном к Я пространстве по правилу:
Т(1) = 1{е^) = <р{\), VZ Є Я*,
называется преобразованием Фурье пространства Я*. В литературе употребляются также и другие названия оператора Я* : преобразование Фурье-Лапласа, преобразование Лапласа, преобразование Фурье-Бореля.
Образом преобразования Фурье часто является некоторое пространство целых функций Л, представляющее собой реализацию пространства Я*. Как правило, оно обладает достаточно "хорошими" свойствами, позволяющими изучать пространства Я и Н*.
К числу наиболее ранних исследований по данной теме относятся работы Л.Эренпрайса, И.М. Гельфанда и Г.Е. Шилова. Дальнейшие наиболее значимые результаты в данном направлении получены Б.А.Тейлором, В.В.Напалковым, И.Ф.Красичковым, Ю.А.Дубинским, О.В.Епифановым, Р.С.Юлмухаметовым. В работах этих авторов преобразование Фурье использовалось для решения задачи Коши и уравнений свертки в различных функциональных пространствах, решения задач спектрального синтеза, нахождения общего вида оператора, перестановочного с дифференциальным оператором, описания подпространств, инвариантных относительно оператора дифференцирования, исследования равномерно аналитических пространств.
Весьма широкий круг важных задач, для решения которых применялось преобразование Фурье, говорит о необходимости обобщения этого метода. Различные обобщения преобразования Фурье рассматривались Ю.Ф.Коробей-
ником и С.Н.Мелиховым, И Ф.КрасиркввбіїДАйіЬїдаонавед^ И.С.Елисеевым.
Цель работы - исследование обобщенного преобразования Фурье пространства, сопряженного к произвольному локально выпуклому пространству, в случае, когда ядром является аналитическая вектор-функция.
Методика исследования. В работе используются методы теории локально выпуклых пространств, теория целых векторнозначных функций, теория порядка и типа оператора.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.
Научная и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут быть применены для решения задачи Коши дифференциально-операторных уравнений, в частности, уравнений свертки, решению задач спектрального синтеза, нахождению общего вида оператора, перестановочного с данным оператором, описанию инвариантных подпространств и др.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах по теории операторов Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (руководитель — профессор А.Г.Костюченко), по дифференциальным уравнениям Московского Энергетического института (руководитель — профессор Ю.А.Дубинский), по комплексному анализу Российского университета Дружбы Народов (руководитель — профессор А.В.Арутюнов), на Воронежской зимней математической школе — 2005 "Современные методы теории функций и смежные проблемы", а также на ежегодных научных конференциях Орловского государственного университета в 2003-2005 гг.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ. Все работы выполнены без соавторов.
Структура и объем работы. Дисертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 51 наименование. Общий объем работы — 86 листов машинописного текста.
Весовые пространства целых функций как мнолсество значений обобщенного преобразования Фурье
В ряде важных случаев оказывается, что Л в точности совпадает (поэлементно и топологически) с весовыми пространствами целых функций: [р, а] или [р, а). Здесь [р, а] — стандартное обозначение пространства всех целых срункций, порядок которых не превосходит р, а при порядке р тип не превосходит а. Естественная топология в [р, а] задается системой полунорм: — пространство всех целых функций, порядок которых не превосходит р, а при порядке р , тип строго меньше а. При р 1 оно является сопряженным к пространству
Топология в [р, а) определяется как топология индуктивного предела \imind[p,an] , оп - а. Рассматривая эти пространства, будем в дальнейшем полагать р ф 0, со, о ф 0. Основная задача данного параграфа - изучение условий совпадения Л с пространствами [р, а] и [р, а). 1. Необходимые условия изоморфизма пространства Н с [р,а], [р,а). а) Алгебраический изоморфизм Лемма 1.4. Пусть А совпадает, с [р, а] поэлементно. В таком случае система {хп} является минимальной. Доказ атель ств о.
Предположим, что система {хп} не является минимальной, тогда в ней существует вектор ж/й, представимый в виде предела последовательности линейных комбинаций остальных векторов: — xk = lim У anmxm (1.9) m—0 тфк Зафиксируем произвольную oo ей соответствует единственный функционал / = Т"1 ( /?), причем Фп — Кхп)- Подействуем функционалом I на обе части равенства (1.9): .„ , , со n i.=0 m=0 rfc) = lira У апт1(х.т), ірк = lim V] anmipm. (1-Ю) rwoc — n-fee - Теперь определим (А) следующим образом: 0(A) — (A) + Afe. Эта функция имеет те же характеристики роста, что и р{Х), и, следовательно, тоже принадлежит [р.а]. Ее тейлоровские коэффициенты равны соответствующим коэффициентам функции t,c(A), за исключением к-го, который равен (рк + 1. Функции ф(Х) соответствует функционал h — Т г(ф), действуя им на равенство (1.9), получим ipi, + l= lim У" anm(pm m=0 тпфк что противоречит равенству (1.10). Лемма 1.5. Пусть Л совпадает с [р,с) поэлементно, тогда система {.т.,,.} является минимальной.
Доказательство проводится аналогично предыдущей лемме. В случае, если наблюдается не только поэлементное, но и топологическое соответствие, можно указать и другие, более содержательные необходимые условия. Если Л — [р, и], тогда Я изоморфно [р, т] и Я изоморфно [р,а] . Существует сопряженный оператор Т , линейно и взаимно однозначно отображающий [р, сг] на Я .
В пространстве Я существует подпространство Я0, алгебраически изоморфное Я. Этот изоморфизм устанавливается с помощью так называемого естественного отображения: функционал sx Є її \ соответствующий х Є Я. определяется таким образом: sx{l) = 1{х) УІЄ # Для s.,., как и для любого функционала из Я , существует соответствующий ему функционал из [р, т] , который мы будем обозначать Фа.. Пользуясь этим, мы можем вывести равенство (хЛ) = (sxJ) = Т (Ф,;)Л) = (Ф„Г(0 = (Ф , ) (1.12) где рі = Т(0.
Известно (см. [21]), что любой линейный непрерывный функционал Ф Є [р, о"]" может быть записан в виде со п — 25 — где (А) = Х »ЛПЄ[р,о-], n=Q а {сп} —определяющая Ф числовая последовательность, удовлетворяющая условию (1.11),
Подставив выражение для Ф в равенство (1-12), получим: где коэффициенты {сп} зависят от Ф3., и, следовательно, от ж. Таким образом, каждый элемент Н разлагается в слабо сходящийся ряд по Докажем, что данное разложение единственно. Предположим обратное: пусть для некоторого х Є Н существуют два разложения
Согласно лемме 1.4 система {хп} является минимальной, из этого следует (см. [39]) существование в # системы функционалов биортогонаяьной системе {хп} , то есть
Взяв в качестве / функционал п, получим что доказывает единственность разложения. Следовательно, система {хп} представляет собой слабый базис причем для последовательности коэффициентов любого х Є Я выполняется условие (1.11).
Следствие. Если в условиях теоремы, 1.3 Н рефлексивно, тогда Следствие. Если в условиях гп,ео ремы, 1.3 Н полно, то {хп} является базисом в И. Действительно, пусть для некоторого X
Более того, в таком случае любая числовая последовательность, удовлетворяющая условию (1.11), является коэффициентами некоторого х Є Н. Так как каждой такой последовательности соответствует единственный элемент пространства Л = Н (легко видеть, что это соответствие представляет собой естественное отображение Н ), то мы получаем взаимно-однозначное отображение Н на И , то есть И является полурефлексивным.
Пространства аналитических функций как мнолсество значений обобщенного преобразования Фзфье
И.Ф. Красичков применял преобразование Фурье для решения задач спектрального синтеза и описания подпространств, инвариантных относительно оператора дифференцирования в пространствах аналитических функций, (см. [19], [20])
Ю.А.Дубинский эффективно использовал преобразование Фурье для решения задачи Коши в пространствах аналитических функций многих комплексных переменных (см. [11]).
Преобразование Фурье использовалось В.В. Напалковым для решения уравнений свертки ([31]). И.Х. Мусин ([28], [29]) с помощью преобразования Фурье дал описание сопряженных пространств к весовым пространствам бесконечно дифференцируемых функций действительного переменного, О.В. Епифанов ([42]), Н.Ф. Абузярова и Р.С. Юл-мухаметов ([2]) - сопряженных пространств к весовым пространствам аналитических функций.
Весьма широкий круг важных задач, для решения которых применялось преобразование Фурье, говорит о необходимости обобщения этого метода. Укажем ряд работ, в которых проводилось обобщение преобразования Фурье в различных направлениях. Наиболее распространенным способом обобщения является использование вместо экспоненты какой-либо другой векторнозначной функции в качестве ядра.
И.С. Елисеев рассмотрел в пространстве, сопряженном к пространству Яд функций, аналитических в круге, обобщенное преобразование Фурье с ядром y(z, А) , являющимся решением уравнения Dn(y) — Хпу с начальными условиями у (О, Л) = — Хк, к = 0,1,..., п — 1, где Dn — дифференциальный оператор
С помощью обобщенного преобразования Фурье И.С.Елисеев получил общий вид оператора, перестановочного с оператором Dn в пространстве HR (СМ. [12]).
В.П. Громов, используя обобщенное преобразование Фурье с ядром f(Xz), где — целая функция, установил полноту некоторых систем вида {f(Xnz)} в пространствах Фреше (см. [4]).
Весьма широкое обобщение преобразования Фурье исследовалось в работах Ю.Ф. Коробейника и С.Н. Мелихова [16], Ю.Ф. Коробейника [17]. Реализация сопряженного пространства при этом подходе дается в виде пространства последовательностей.
Настоящая работа посвящена дальнейшему обобщению преобразования Фурье, исследованию его свойств и возможностей применения к решению ряда задач анализа.
Работа состоит из введения и двух глав. Во введении дан краткий исторический очерк решаемых задач и содержание основных результатов автора.
В первой главе подробно изучается обобщенное преобразование Фурье пространства, сопряженного к произвольному локально выпуклому, с ядром, являющимся целой векторнозначной функцией довольно общего вида. Полученные результаты иллюстрируются разнообразными примерами.
В параграфе 1.1 дано определение обобщенного преобразования Фурье в пространстве, сопряженном к локально выпуклому, в случае, когда ядром является произвольная аналитическая вектор-функция. Найдены достаточные условия, в которых обобщенное преобразование Фурье устанавливает алгебраический и топологический изоморфизм между пространством, сильно сопряженным к локально выпуклому, и весовым пространством целых функций.
В параграфах 1.2, 1.3 детально исдедованы случаи совпадения множества значений обобщенного преобразования Фурье с распространенными и широко применяемыми в анализе пространствами: пространствами целых и аналитических в круге функций, весовыми пространствами целых функций с экспоненциальной шкалой. Предпосылками результатов данного параграфа являются теоремы А.Ф. Леонтьева и А.И. Маркушевича об общем виде линейного непрерывного функционала на них. Даны необходимые и достаточные условия, в которых обобщенное преобразование Фурье устанавливает алгебраический и топологический изоморфизм между пространством, сильно сопряженным к локально выпуклому, и данными пространствами.
Применение обобщенного преобразования Фурье к нахождению общего вида линейного непрерывного функционала на пространствах векторнозначных функций
В случае R со лемма 2.1 и теорема 2.4 непосредственно не применимы, однако справедливы их аналоги:
Лемма, 2.2. Пусть ф{Х) — целая функция, отличная от константы. Порядок оператора умооїсения на функцию ф(Х) в пространстве Л"(С) равен 0, а тип — бесконечности.
Теорема 2.5. Пусть в отделимом локально-выпуклом пространстве Н действует линейный непрерывный оператор А и /(А) — его целая собственная вектор-функция. Пусть обобщенное преобразование Фурье с ядром /(А) устанавливает, типологический изоморфизм меснсду Я и Я (С) (см. теорему 1.11 при R = оо ). Пусть ф{\) = / пАп — целая функция конечного порядка. Тогда 1) Порядок оператора А равен нулю, а тип — бесконечности. 2) Выраэ/сение В(х) = Y2 ФпАп(х) определено для любого х Н и представляет линейный непрерывный оператор в Я, порядок кото рого равен нулю, а тип — бесконечности. Доказательства проводятся аналогично.
Применим теоремы 2.1-2.5 для нахождения порядка и типа некоторых операторов в конкретных пространствах.
Пример 2.1. В пространстве Я(С) рассмотрим оператор обобщенного дифференцирования Гель фон да-Лео нть ев a Df (см. [21] ,[22]).
Пусть f(z)= Y anZn — целая функция порядка р и конечного типа, тейлоровские коэффициенты которой удовлетворяют условию (1.19). Оператором обобщенного дифференцирования, порожденным функцией /, называется оператор, который ставит в соответствие каждой це со обобщенное преобразование Фурье с данным ядром устанавливает топологический изоморфизм между Н(Су и [р, со) . По теореме 2.3, опе ратор Df имеет порядок - и нулевой тип.
Пример 2.2. Исследование этого же оператора в Нц с помощью теоремы 2.1 дает следующий результат: порядок - и бесконечный тип.
Пример 2.3. Оператор обобщенного дифференцирования можно рассмотреть и в пространстве [R, со], требуя при этом р R. Согласно примеру 1.4, обобщенное преобразование Фурье с ядром f(Xz) осуществляет топологический изоморфизм пространств [R,w] И [у0о,(7"о), где сг0 = (Дш) R {pv) Ро
По теореме 2.1, оператор обобщенного дифференцирования имеет порядок (3(Df) = — и бесконечный тин.
Пример 2.4. .Найдем характеристики оператора обобщенного дифференцирования в пространстве [R, ю). Здесь необходимо рассмотреть два случая: 1) Если функция f{z) имеет порядок р R. то, согласно примеру 1.5 и теореме 2.2, порядок оператора Df равен = 7 а тип бесконечен. 2) Если функция f(z) имеет порядок R и тип ш, то, согласно примеру 1.7 и теореме 2.4, порядок оператора Df равен нулю, а тип — Более того, если ф(Х) = J2 ФпХп — функция, аналитическая в круге представляет линейный непрерывный оператор в [R, со), имеющий по рядок О и тип
Пример 2.5. В пространстве [R, со) порядок оператора Df: порожденного функцией f(z) порядка р R, согласно примеру 1.8 и теореме 2.5, равен нулю, а тип — бесконечности. Более того, если ф[\) = J2 фп п — целая функция конечного по-рядка, то выражение представляет линейный непрерывный оператор в [R, to), имеющий порядок 0 и бесконечный тип.
Замечание. При f(z) — ez оператор обобщенного дифференцирования совпадает с оператором обычного дифференцирования, пор5і-док и тип которого в различных пространствах целых функций установлены Мишиным (см. [24]).
Замечание. В связи с примерами 2.1 - 2.5 отметим, что в монографии А.Ф.Леонтьева [22] детально изучались по следов ателы-гасти _D"(_F) в различных пространствах аналитических функций. И, в частности, получены верхние оценки величин ІІ7 (F) , связанные с топологией того или иного пространства (см. [22], теор. 1.4.4, 1.4.6, 1.4.8). Порядок и тип оператора Dj , установленные в примерах 2.1- 2.5, дают точные двусто-роннние оценки величин D{F)\ , дополняющие оценки А.Ф.Леонтьева и уточняющие некоторые из них. Так, например, в [22] имеется следующая оценка:
Так как топологии, по которым производится оценка, не совпадают, невозможно заключить, что какое-либо из этих неравенств сильнее. Но полученная оценка дополняет известную, являясь в некотором смысле ее предельным случаем: при приближении т к и, что правая часть оценки, полученной с помощью порядка оператора, приближается к правой части оценки А.Ф.Леонтьева.
Пример 2.6. Пусть функция /i(z) порядка р и типа т ф 0 определяет оператор Df в пространстве Н(С) и пусть /г( ) — целая функция, не имеющая нулей. Рассмотрим обобщенное преобразование Фурье пространства Н(С) с ядром /(А) = f2{z)f\{\z). Согласно примеру 1.9, оно устанавливает топологический изоморфизм Л"(С) и [R, со).
Применение обобщенного преобразования Фурье к представлению элементов локально выпуклого пространства
Порядок и тип оператора — его важные внутренние характеристики. Они были введены в работах В.П. Громова [8],[9] и получили дальнейшее обобщение и развитие в работах С.Н. Мишина [24], [25], [26]. Они применяются при решении разно образных задач анализа: решении дифференциально-операторных уравнений (см. [б],[7]), изучении операторов, коммутирующих с данным (см. [24], [25]), построении правого обратного оператора к данному (см. [27]), изучении операторов с век-торнозначной характеристической функцией (см. [24], [25]), изучении спектра операторов, действующих в локально-выпуклом пространстве (см. [25]). Вычисление этих характеристик непосредственно по определению весвма затруднительно, поэтому желательно отыскать эффективные косвенные способы их нахождения. Одним из таких способов является применение обобщенного преобразования Фурье.
В данном параграфе приводятся теоремы, позволяющие найти порядок и тип оператора, действующего в локально выпуклом пространстве. С их помощью найдены характеристики оператора обобщенного дифференцирования Гельфонда-Леонтьева Df в пространствах Я (С), Дй) [pjc]) [р, а), [р, оо), что позволило уточнить некоторые оценки итераций данного оператора, полученные А.Ф. Леонтьевым (см. [22]). Данные результаты также обобщают аналогичные теоремы, полученные С.Н. Мишиным для оператора обычного дифференцирования (см. [24], [25]). Также найдены характеристики оператора обобщенного сдвига и дифференциального оператора с переменными коэффициентами в пространствах Н(С) и Нц.
Найденные характеристики оператора Df применены к задаче о применимости к различным пространствам целых функций дифференциального оператора с постоянными коэффициентами в обобщенных производных Гель фонда-Леонтьев а:
Для важных пространств целых и аналитических функций Н(С): H-R, [р, А і [р, ] в случае обычных производных эта задача решалась в работах Ритта [47], Валирона [51], Муггли [46]. В данной диссертации рассмотрена задача применимости оператора В к пространствам индуктивного типа — [р, ст), [р, со); полученные результаты являются новыми. В условиях существования оператора В найдены его характеристики (порядок и тип) в данных пространствах.
В параграфе 2.2 рассматривается применение обобщенного преобразования Фурье к нахождению общего вида линейного непрерывного функционала иа пространствах векторнозыачыых функций.
Для многих используемых в анализе функциональных пространств известен общий вид линейного непрерывного функционала на них (см. [15], [10], [41]). В связи с тем, что векторнозначные функции играют важную роль в современной математике, их изучение средствами функционального анализа имеет большое значение. В последние десятилетия растет интерес к топологическим пространствам векторнозначных функций. Одной из важных задач при их изучении является нахождение общего вида линейного непрерывного функционала на таких пространствах.
В данном параграфе устанавливаются теоремы, описывающие общий вид линейного непрерывного функционала на пространстве целых векторнозначных функций, пространстве аналитических в круге векторнозначных функций и весовом пространстве целых векторно значных функций с экспоненциальной шкалой. Данные теоремы сформулированы в терминах порядка и типа последовательности линейных непрерывных функционалов, поэтому для их применения необходим способ подсчета этих характеристик. Показано, что одним из эффективных способов их нахождения является применение обобщенного преобразования Фурье к данной последовательности функционалов, установлены соответствующие теоремы, рассмотрены примеры.
В параграфе 2.3 исследуется применение обобщенного преобразования Фурье к задаче слабого и сильного представления элементов локально выпуклого пространства. Основополагающими в этом направлении являются работы Л.Эренпрайса (см. [42]), который с помощью классического преобразования Фурье получил представление целой функции: где m — комплексная счетно-аддитивная мера ограниченной вариации на С, fc(A) — положительная функция.
Также в данном параграфе рассматривается представление элементов пространства И в виде ряда по системе значений функции /. Для случая экспоненты оно изучалось Б.А. Тейлором (см. [50]), В.В. Напалковым (см. [30]), для функций вида f{\z) — Ю.Ф. Коробейником (см. [18]).
