Введение к работе
Актуальность темы. Функции Уолша появились в работе американского математика Дж.Уолша1 в 1923 г., ив течение длительного периода особого интереса к ним почти не проявляли. Всплеск интереса к рядам Уолша относится к шестидесятым годам, когда выяснились достоинства этой системы в вопросах цифровой обработки информации.
Одними из самых важных вопросов в теории общих ортогональных рядов вообще, и в теории рядов Уолша в частности, являются вопросы представления функций рядами по этой системе и вопросы единственности такого представления. Для однократных рядов здесь сложилась достаточно полная картина. Значительно меньше изучены эти вопросы для кратных рядов Уолша.
Для сходимости почти всюду и по мере можно отметить работы Р.Д.Гецадзе и С.В.Конягина , в которых получены, однако, только отрицательные результаты. Р.Д.Гецадзе доказал, что двойной ряд Фурье-Уолша интегрируемой функции может не сходиться по мере по квадратам 2 , а двойной ряд Фурье-Уолша непрерывной функции может расходиться почти всюду по Принсгейму 3 . С.В.Конягин уточнил результат Р.Д.Гецадзе и доказал 4 , что если для последовательности п(к) одномерные константы Лебега L„(fc) неограничены в совокупности, то частичные суммы Sn()c),n(Jc) двойного ряда Фурье-Уолша некоторой интегрируемой функции не сходятся по мере.
В проблеме единственности кратных рядов Уолша вообще можно отметить только 2 работы: А. Мовсисяна5 и В.А.Скворцова6 из которых следует, что счетное множество есть множество единственности для сходимости по Принсгейму.
Таким образом, актуальными задачами теории рядов Уолша являются: нахождение условий на семейство прямоугольников, желательно необходимых и достаточных, при которых кратные ряды Фурье-Уолша сходятся к самой функции по данному семейству прямоугольников в каком либо-смысле (по мере, в среднем, почти всюду), а также наг
'Walsh J.L. //AmerJ.Math. .- Р.5-24. 'Гецадэе РД.// Сообщ. АН ГССР.-1888..ТЛ22, -271. Гегиипе РД.// Труды МИАН СССР.- 1989.- Т.1В0.-С.7Б-8Т. 'Гепадэе РД.// Матем: сборник.- 1955.-128.N2-e.2e8-286. *Конягин СВ. // М&теі!.заметкп.-1993.-Т.М. в.4. - с.69-75. Мовсиеяп Х.О.// Изв. АН Ары.ССР. Мат.- 1974.-T.9.N1.-C.40- 61. "Скворцов В.А.// Веста. МГУ. Мат. и мех.- 1973.- NB.e.77-79.
хождение как можно более широких классов множеств единственности кратных рядов Уолша.
Цель работы. Целью настоящей работы является нахождение условий на семейство прямоугольников, желательно необходимых и достаточных, при которых кратные ряды Фурье-Уолша сходятся к самой функции по данному семейству прямоугольников в каком-либо смысле (по мере, в среднем, почти всюду), а также нахождение как можно более широких классов множеств единственности кратных рядов Уолша.
Общая методика исследования. В работе используются методы теории функций действительного переменного и функционального анализа.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора. Основными результатами являются следующие.
Найдены необходимые и достаточные условия на семейство Лт (т > 1) т - мерных целочисленных векторов п = (п^, тг^2\ ...,гг^т'), при которых частичные суммы Sn(f.x) Фурье-Уолша-Пэли функции / Є L(Dm) или Lip(L)(Dm) сходятся по мере, в среднем и почти всюду.
Найдены достаточно широкие классы множеств единственности кратных рядов Уолша.
Найдены условия на ''величину'1 множеств единственности рядов Уолша с пропусками и доказана точность найденных оценок.
Найдены условия на '"величину" множества нулевой меры, из сходимости на котором лакунарного ряда Уолта следует принадлежность его коэффициентов пространству 1р{р > 1) или / с весом, и доказана точность полученных оценок.
Приложения. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы в теории общих ортогональных рядов, в теории тригонометрических рядов . а также в тех областях естественных наук, в которых используют разложения функций по системе Уолша.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на Саратовской зимней школе по теории функций н приближе-ний(Саратов, 1982, 1984, 1986, 1988, 1990, 1992,1994,1996), на Всесоюзной конференции по функциональному анализу (Ульяновск. 1982), на Международной конференции по теории приближения функций (Ки-cv. 1983), на Всесоюзной конференции по современным вопросам те-
ории приближений (Баку, 1989), на Всесоюзной школе по функциональному анализу и теории функций (Воронеж, 1991), па Герценов-ских чтениях (Ленинград, 1990, 1991), на Всесоюзной конференции но теории функций и приближений (Одесса, 1991)/ на Математических чтениях, посвященных 100 летшо со дня рождения М;Я.Суслина (Саратов, 1994), на Всероссийской конференции по современным методам теории функций и смежным проблемам прикладной математики и механики (Воронеж, 1995,1997), на Международной конференции по функциональным пространствам, теории приближений и нелинейному анализу, посвященной 90 летию академика С.М.Никольского (Мос-ква,1995), на международной конференции но теории приближения функций, посвященной памяти проф.П.П.Коровкина (Калуга.1996), на Европейском конгрессе математиков (Будапешт, 1996),на семинарах кафедры теории функций и функционального анализа МГУ под руководством чл.корр. РАН П.Л.Ульянова, профессоров М.К.Потапова, Б.С.Кашина, на семинаре кафедры теории функций и функционального анализа и кафедры математического анализа МГУ под руководством профессоров В.А.Скворцова и Т.П.Лукашенко, на семинаре отдела теории функций МИРАН иод руководством профессоров С.Б.Стечкина и С.А.Теляковского, на семинаре кафедры функционального анализа н геометрии Воронежского университета под руководством проф. Е.М.Семенова.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и 4 глав, разбитых на 15 параграфов. Нумерация параграфов двойная: своя п каждой главе. Нумерация теорем и лемм тройная: своя в каждом параграфе. В автореферате сохранена нумерация определений и теорем, под которой они присутствуют в диссертации. Объем диссертации - 228 страниц текста, подготовленного и напечатанного в системе ChiWriter. Библиография содержит 52 наименования.
