Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Специальное бесконечное произведение .
1. Распределение нулей линейной комбинации функций типа Миттаг-Лефлера 21
2. Асимптотика вспомогательной функции 41
3. Построение и оценка специального бесконечного произведения 46
ГЛАВА II. Разложение целых функций в ряды экспонент
1. Доказательство теоремы 2.1 55
2. Формулы разложения в случае 64
3. Непрерывность функции вплоть до границы 70
4. Непрерывность функций вплоть до границы 88
5. Основная формула разложения при 93
6. Теорема о разложении 96
7. Основная теорема . 101
Литература 107
- Асимптотика вспомогательной функции
- Построение и оценка специального бесконечного произведения
- Непрерывность функции вплоть до границы
- Теорема о разложении
Введение к работе
В работе будут изложены результаты, относящиеся к представлению во всей плоскости целых функций ж(} порядка j}>l рядами экспонент
fa)=l__ ак е а)
К=1 с учетом роста функции
00 \ з
Ftt=[aKeK I «>
в случае, когда показатели f\|< расположены на конечном числе лучей, выходящих из начала координат.
А.Ф.Леонтьевым [Ї] установлены следующие формулы для представления целых функций &(2) рядами (I).
Пусть l(h)~Y. СК?\К - целая функция ,
JW"H
r- wt=o
(Г - замкнутый контур, на котором [7^)Ф0 » а ?\ лежит
внутри І ).
По определению ^І2)^.г<(Ь) , если оо
ЦіСкіОі'^оМ+И 0M+-+|jMK_lfW|)4oo _
Доказано, что если f (Ъ) С $ >Vl Ції) имеет порядок или
меньше р или равный р , но тогда тип меньше 6 , а
LWeCptlW , где ± ±
то f^uAfL).
При условии f (2^6 A(L) имеет место основная_фом^_ла:
f т-о
Также имеет место теорема о разложении. Приведем ее для случая
при выполнении условий (4). Будем предполагать, что у функции L(^ все нули hi^iy простые.
T_ej)_p_e_M_a о р„а_з_л_о_ж_е_н_и_и. Пусть функция L(^
удовлетворяет условиям
имеются окружности lM = i^f с*3 такие, что
Чіт j wilKi|LMI= + oo (б)
К-юо гк Тогда во всей плоскости
1(^-1 аке , ^=-^ _
В [І] установлено также, что любую целую функцию ^(?1 можно представить во всей плоскости рядом (I), причем показатели ftK можно выбрать, лежащими на трех лучах (число лучей уменьшить нельзя).
В последующих работах по представлению целых функций во всей плоскости рядами экспонент А.Ф.Леонтьевым получены результаты о представлении целых функций рядами (I) с учетом роста функции (2). В Г2І доказано, что если ^(2) имеет порядок р ,
^Р>1 и тип 6 , О ^ 6 < , то существуют ft к такие, что имеет место представление (I) и функция (2) имеет порядок JD и тот же тип b . В [Ъ\ (см. также (41 ) исследован следующий воп -рос: Пусть ^(Ъ) имеет порядок р^1 и индикатрису роста
Р/ігл п-г- Ші(гг^)
nM= ит -р
Можно ли подобрать (\^ так, чтобы имело место разложение (I) и функция (2) имела порядок J) и индикатрису роста fy\([p) ? Дан следующий ответ: Положим
т, ft«M-l , F,a-I,.K є*'
к-t предполагается, что ряд сходится во всей плоскости, и
Пусть Ар - класс функций г\[$) » Зр - класс функций Н(^Р) . Тогда выполняется Во С Ар , причем имеются функции ЖФ)^0 , которые не являются функциями Н(ч] из класса Во, и имеет место
основная теорема. Для данной функции ЬЦЦОєВр ,Н(Ч))>0 э
и данного >0 существует последовательность Лк со следующим свойством: каждая $ ("2) с индикатрисой роста разлагается в ряд
- б -
причем
L^ OO
Для доказательства этой основной теоремы А.Ф.Леонтьевым были сконструированы новые формулы. Приведем их.
Пусть L(^=2. Ск^ принадлежит классу [*J\i&l1
к-о *-
[ИИ
Функция "^(t,^ ассоциирована с LW по функш Ьр.(2',,рЛ (Функция Epi(2:'iJ^^ Г эт0 ФУНКЦИЯ типа Миттаг-Леффлера). Она регулярна при lt|>^^1 . Обозначим ^(^)= И^(^) индикатрису роста функции L(?0 . Будем предполагать, что &(^0 при всех У .
Рассмотрим кривую
±
При большом (Х>0 она лежит в области |tl"> О і . Будем уменьшать величину (X до тех пор, когда кривая не соприкоснется с особенностями функции "^(tjvfW) . Пусть соприкосновение про -изошло, когда 6L"(Xo-K(^0) . Показывается (см. [5 стр. 335] ), что если ftl-^VO , то К( 4^ = 1^(-^ . Функция KW) назы -вается опорной функцией, а кривая
/__К(4І_\Л ЛГ or (7)
- опорной кривой. При нашем предположении п(Ф)^0 всегда KW = п(~Ч^ ЯРИ изменении 4у область о$ц , ограниченная кривой (7) (области <)у принадлежит отрезок луча Qf^t = ^ от точки с у- [кіЧОІ ^1 Д СХ) ) заметет внешность некоторой замкнутой конечной области оО . Область оО - наименьшая р^ - выпуклая область, содержащая все особенности функции "#i,(t,JW) . Кривая (7) - опорная кривая области с) ; KW) - опорная функция области <5Ъ . Заметим, что при условии у\М)>0 всегда 0с) . Пусть также
m=o л-^и
m~o
Введем функции
ФМ=2; lm
«S^*^
^Ді-; ^
w=o
m.*fl-l ^0^
к=о *
( Ак(г) взяты из формулы (3) ).
Функции регулярны вне множества
К).Обозначим через E(L) класс целых функций ^(2) таких,
что регулярна на ^ .
- 8 -Для функций из класса f (О положим
где С - замкнутый контур, охватывающий Д , на котором и внутри которого 0(t) аналитическая функция.
Для функций из класса E(L) имеет место о_с_н_о_в_н_а_я ^о м^ла:
где Г - замкнутый контур, на котором [/.ДО^ФО и С - замкну -тый контур, охватывающий 5) , на котором и внутри которого <>(t) аналитическая функция,
и ї_е_о__е_м_а о _а_з_л_о_ж_е_н_и_и: Пусть у функции \^(^\
все нули Лі^гг-- - простые и она удовлетворяет условиям (5) и
(6). Тогда для функций из класса E(L) в0 всей плоскости имеет
место представление
Это представление и позволяет доказать основную теорему, которая была сформулирована выше.
E_LJLILULiLE* В [-0 ПРИ условии 1-1( К , где
ГАГО? -Ф'- (>-і 2,3) ~ ЛУЧИ» удовлетворяющие условию: углы
между соседними лучами меньше і' , установлено неравенство
к=1
2_ 1(ЯК( Є <АЄ А <Г оо , о( <
и отмечено, что если^^І , то на основании этого неравенства получаем, что все &к , начиная с некоторого, равны нулю. Этот
случай неинтересен. Поэтому мы также,как в [ЗІ будем считать, 4toJ)>1 .
Приведем теперь основные результаты, содержащиеся в данной работе. Эти результаты, как отмечено ранее, относятся к представлению целых функций во всей плоскости рядами (I) с учетом роста функции (2) в случае, когда показатели расположены на конечном числе лучей, выходящими из начала координат.
В первой главе сначала будет построено специальное беско -нечное произведение, все нули которого простые и расположены на конечном числе лучей, выходящими из начала координат. Эти нули будут являться показателями в представлении (I). Для специального бесконечного произведения будут доказаны точные оценки сверху и снизу. Построение и оценка специального бесконечного произведения будут основаны на сравнении с линейной комбинацией функций типа Миттаг-Леффлера, для которых будет установлено распределе -ние ее нулей и доказаны точные оценки сверху и снизу.
Напомним, что под функцией типа Миттаг-Леффлера понимается функция
где Д>0 , ji/i - вообще комплексный параметр (см. [5 , стр.117]).
Распределение нулей функции р (2,/14) в случае jv|=l впервые исследовал Виман [6] ; случай ^]yy\M-0 рассмотрели М.М.Джрбашян и А.Б.Нерсесян [7] (см. также [5] ).
Уточним, какую линейную комбинацию мы имеем в виду. Для этого введем понятие р. - выпуклого многоугольника. Под о, - выпуклым многоугольником будем понимать замкнутое ограниченное множество (у , являющееся пересечением конечного числа множеств
(?=П(х
* ,
где (у - замкнутое множество, ограниченное кривой С^ '
. \ га
причем отрезок [О , 0.к 1~~\ принадлежит (ук .
Точка ^К = |^К|Є (04>t<%<..- <Ур<2сП)
является вершиной (у , если она принадлежит двум различным
кривым Ск и Ск+1 СК= 1,2,..., р; Cp+i'Ci) . Необхо-
димо должно выполняться условие
Vi"4/k
Пусть ЇК=ІЇК|Є f^t.V-.P') -вершины J^ -
выпуклого многоугольника (у . Речь пойдет о распределении нулей функции
K=l ~
В случае p = 3i Ак= 1 , 1^к1г *, 1 ^Pl ^ z РаспРе -
деление нулей установлено А.Ф.Леонтьевым (см., например, [I, стр.
506-512] ). ПриД = 1 , JM=1 функция Д| (?) представляет собой
квазиполином
#к2
M(*V= Ак Є
к=1 _,
Этот случай также исследован А.Ф.Леонтьевым (см. [І, стр.5І-57і ),
Относительно распределения нулей функции (9) в I первой главы
будет доказана следующая теорема.
- II "
Теорема І.І. Для функции (9) при Р^ 1 (о(у ) справедливы следующие утверждения:
вдали от начала координат все нули Л (2) - простые;
вдали от начала координат нули ДІ (2) , обозначим их 2уу, имеют вид
(к) lWctf ~L^"
С=Се (тгМ; к=і,2....,р)
^
где с{^ - ось симметрии кривой Ск , проходящей через вершины
J5k= Є >0 ,
К "*" ( AKtl ^Г1 vPi 1V .ft U\(4WTi)
3) имеет место оценка
W\ . л J\(W^ ^^г l
IWre^kAr^^'V'"'' , r>r0
где r J3
4) при некотором rf>0 кружки К^ ". l"?-Bm (< Oll^nJ
[К- l,7.,...j р ', М^ЛО не пересекаются и вне кружкоз выпол -
няется оценка о
M(re )|>BriU j є . r^r0
1 )
(К)
5) в нулях ст ~ '^цо ' выполняется
Как видно из теоремы І.І нули функции (9) располагаются с
точностью до Ск + 0(6 / на р - лучах, выходящих из
начала координат, В теореме 1.3, доказанной в 3 первой главы,
у построенного специального бесконечного произведения все нули
простые и лежат на р ~ лучах, выходящих из начала координат.
Приведем конструкцию специального бесконечного произведения и
теорему 1.3. -^ Щр
Пусть ^i~lHil^ }... ( ІїірІЄ ~0р - вершины неко-
торого Qi - выпуклого многоугольника^ С >^0 .
Введем точки
1 где Ск>0 f к=іІг,...,р)
- ІЗ -
^Г Ск-С , При Р - ЧеТНОМ ;
К=1 Р
]__ Ск^С + у при Р - нечетном
(точки W^ лежат на лучах яГРВ=^к ^-l.-.-.P j о(к-
ось симметрии кривой (8), проходящей через вершины *#к и %<+!'
Положим .5? -, Г
х—- A f 2 \
5to=51ft)e mid-^er , (I0)
где J і(2) - любой многочлен степени 2 , если р - четное и
степени ' - , если р - нечетное; J% (2) - некоторый много -член степени, не превышающей [ j\] ,' & = [J\l. Положим также
Теорема 1.3. При подходящем многочлене J г СН) функция (10) удовлетворяет условиям:
СФЛ д -с hM)T^
2) вне непересекающихся при малом 0>О кружков К^
i2-vO< d\Wm\uh (к-і,г,....р-, т = 1Д?- )
1?(гв")|>Вг^^\тм-в;
(К) *"
3) в точках Wyy\ ~IWW I * выполняется оценка
Отметим, что при j\= і и С~ О специальное бесконечное произведение с простыми нулями на р - лучах построено А.Ф.Леонтьевым (см. fl , стр. 57-62І ).
Отметим, что И.С.Шрайфелем [8] для любой наперед заданной
ЇЇ" системы лучей, угол раствора между которыми меньше ~к , постро-
єна целая функция с положительной индикатрисой и правильно рас -пределенным множеством нулей, расположенных на этих лучах и ле -жащих вне заданного множества нулей относительно меры. При этом оценки модуля роста функции сверху и снизу и модуля производной в нулях у этой функции, более грубые, чем у построенного нами специального бесконечного произведения.
Перейдем теперь к разложению целых функций в ряды экспо -нент. Результаты по разложению будут доказаны во второй главе. Отметим (см. [3] ), что если все показатели Лк расположены на луче аГСр = и
Ш—-р --6а , Г(г)=) (о(ке к
Г-+ со Т {—,: »
>— м(г ) , ~.j>
Ш 5 = 60 Со^ (Ч>+Ф0) .
Таким образом Н(Ф) = 6о Со$ (Ч>+ У0) Є Dp .
Сформулируем теорему, которая определяет класс целых функ -
ций, разложением которых в ряды (I) с учетом роста функции (2) мы будем заниматься. Эта теорема будет доказана в I второй главы.
Т е_о__е_м_а 2Л (прямая). Пусть целая функция
/и
плоскости рядом
р СТО (К) ъ
VVI
i/vi ^ порядка Р "> 1 представляется во всей
где ^т расположены на конечном числе лучей (ЗГ^З-^к
(о±^<Чг<- <%<Ж ; к=і.г....р"» > причем
(12)
и выполняется оценка
1/_ аЛе 1<Аг е , аз)
lyi — И
Тогда все особенности функции
ассоциированной с sfC) по функции Ер ft^~Lp І ^ і ^ лежат в
замкнутой области 0 , ограниченной дугами кривых ' к
Т=6к(б5і$і(Ч-Чк))?1 (K=t,2,...,P) ; (Ii,)
вблизи границы
(при (Л^-р функция 4^(tt непрерывна вплоть до границы <Э ). 3,_а м. е...4 а „н_и_е« Индикатриса роста функции (II) при условии (13) не превосходит
01(4>Ьтах[бк со<5 (4>+4w\ (15)
Если функция vpt (2^ - имеет в качестве индикатрисы роста функ -цию (15), то особенности функции ^i(t) , ассоциированной с "fi(2) по функции Ер (^ » лежат, как показано в [3] , в замкнутой области S\ » ограниченной дугами кривых (14) и дугами кривых
(кривая "Зк касается кривых I ^ и 'к+1 ) Отсюда следует, что если особенности Ч^() лежат в Di , и имеются особеннности, которые не лежат в 5), то функцию ^U^ нельзя представить рядом (II) с условием (13). Следовательно, пользуясь понятием индикат -рисы роста, нельзя описать класс функций, которые можно разложить в ряд (II) с условием (13).
О.Л__ё._Д_ё_^_ё_ё_!1_ё. ! Пусть "30 "= SbV. Ок.Чк") ~ мн0 ~
жество, ограниченное дугами кривых (14) с условием (12). Через
(5 Oil обозначим класс целых функций Щї\ порядка J^l , для
которых выполняется:
все особенности функции 4^(t) , ассоциированной с ^(2) по функции F р (X) лежат в JQ ;
вблизи границы
Теперь введем класс функций с С 6", С) , определяемый по классу t (<),СЧ , который будет нужен для конструирования фор -мул разложения целых функций в ряд экспонент,
0_И_Ё_5._ё_5_^_Ё_ЁЛ_Ё ?.. Пусть - замкнутая
область, ограниченная дугами кривых і
с условием (12). Через F (($, С) }' С^^(Д^) обозна -
чим класс целых функций (,(?\1 порядка J\>1 і Для которых выполняется:
все особенности функции "8i(t}ju) , ^>0 , ассоциированной с ь(Л по Функции Ер (^;ум^ , лежат в (у ;
если - индикатриса роста LM » то выполняется уело-
все нули (V функции L(
Отметим, что в силу условия (12) 06 класс t №,С> не пуст в силу теоремы 1.3.
Приведем основные формулы разложения. Пусть
Положим
"ZTfJ^.t.jMt^
m+1
m-o t
U(t,2.r>tV
K-o
АЛг)Г(і+іЦі)
t'
взяты из разложения (3) ). t u
Фи (t,JM^= j-J (p^.jMtWz , (16)
(И) И
"2 (jW.t, Mi)- И - ая производная функции
ЯМ.ЯЛ , (17)
О (t ,ї ,1>№ц - ІП - ая производная функции
В 3 второй главы будет доказано, что функция (16) при
fl = [oG, JUt>[c4 + ~ регулярна в б" и непрерывна вплоть до
границы (J , а в h будет доказано, что функции (17) и (18) при С\|\(оС-*--^) регулярны вне (у и непрерывны вплоть до границы (у .
Имея это в виду, положим
WL(j1^)= % ]^%Л^Ф^^1)(И . (19)
Справедливы следующие теоремы:
Теорема 2.2. Пусть )р6 Е ( ,оО;
L (Ьі)Є Е (", ^) Тогда имеет место формула
где C/J^fjU.f) имеет форму (19).
1Le_o__e_M_a__2.3. ПУСТЬ f(^E(S,^V,
ШєЕ (g.rt , и для функции выполняются условия
(5) и (б). Тогда во всей плоскости
Теорема 2.2. будет доказана в 5, а теорема 2.3 - в б второй главы.
Отметим, что для интерполирующей функции при условии "9(гГ)Є Е № ,о0; LME((r,C) имеет место оценка, доказан -нал в б второй главы.
Ооь(с\Кі^І<М|г\кІ (К-ІД,-..) %
Установлено, что если в качестве функции LW взять функцию, построенную в теореме 1.3, где 0=(0( + 7 )Pl+ — 9—
удовлетворяющую условиям (5) и (б), то получим обратную основ -ную теорему 2.4, доказанную в 7 второй главы.
'L-iJLE-fLKJL-^ii (обратная). Пусть >i?(2) Е (), оО
Тогда для любого Е^О существует последовательность показа
телей С\м 1К- 1, 2Г.., р , /Ю-1,Л-- ) ^ расположенных
-го
на лучах ЯГ$2 = ^К (*~LA,-- Р) , такая,что во всей
плоскости
причем
^ Л«Ь (3 [^С^І^Ч^Г
2_|аїїеЛи,гІ<А(0И є
Ji = <*p*fp , Г>Г„ (к=1,2,... p) .
Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [І2І - [15] .
Настоящая диссертация выполнена под руководством член-кор -респондента АН СССР А.Ф.Леонтьева, которому автор глубоко признателен за постановку задачи и обсуждение результатов.
Асимптотика вспомогательной функции
В этом параграфе докажем теорему І.І. При доказательстве распределения нулей будет использована асимптотика функции типа Миттаг-Леффлера при С Отметим, что при JM = 1 асимпто -тическое поведение функции исследовал Миттаг-Леффлер [9] . Случай произвольного j\A 0 рассмотрели Райт [ІОІ , Клеота, Гюгес [її] . Для произвольного комплексного Ji/f асимптотические формулы были установлены М.М.Джрбашяном [5 . При Рі" у и произвольном комплексном jvl асимптотика при \2\ оо имеет следующий вид (см.,например, [5, стр.ІЗЗ-ІЗбІ)
Потребуем, чтобы выполнялось условие - зо Оно выполняется при С,,= -і. InLJbiL-Jb. ) (і.?) При таком Ск р, T=BKWl Є SLMj3K"t ч-О(і), при - постоянная). Отметим следующее. При Далее имеем Для точек rV Є ( имеем при W - оо ГЫ\ с так что кривая L близка к окружности радиуса Со с цент ром в точке ffl j . И-з представления I M JftVl WjM (Мн Л (1Л0) видим, что вне кружков І -(q/M I (значит и вне кривых Cw ) - 32 І?ІИ] ( В(Л , W Wo . 4- 0(К) Следовательно, когда Т лежит вне кружков -Х \т полу чаем l?mj3Kt 1 8( о . (LID Отметим, что В силу (I.I3) при малом 0 кружок Q лежит в кружке u(w Поэтому можно утверждать, что если t лежит вне кружков Q то имеет место оценка (1,14). Кружкам Q в плоскости (t) со ответствуют области (у. , в плоскости (\лЛ . Точке t соот ветствует Wm , точке ум , в силу (1.8), соответст вует точка \Л/ , Откуда Если мы возьмем кружок у W WW OllWw , то при малом Мо о бласть (л/ будет содержаться в кружке Гдо . Следовательно, вне кружков р выполняется оценка (1,14). Кружку р соответ ствует кружок г\ I С-2/Ю I - w [ I . Значит, если лежит вне КИЛ В малом угле КЛГЙЇ + кК о , то имеет место (1,14). При малом (л кружки К не пересекаются. Действительно, В заключение оценим снизу производную функции (1.4) в нулях It , иными словами, оценим снизу л (? Для этого воспользуемся неравенством Аналогичное неравенство получим для Таким образом неравенство (І.І5) доказано. Оценим теперь Л1 I 2W ) .По принципу максимума модуля Рассмотрим теперь распределение нулей следующей линейной комбинации 6Ц, $-2г--, Р - произвольные вещественные числа. Мы находимся в условиях теоремы 1,1.
Поэтому функция (I.I7) удовлетворяет оценкам 3), 4), 5) теоремы I.I. Найдем сдвиг Ск в этом случае (по формуле (1.7) ). При К Р имеем Нули будут иметь вид _L Отметим, что при р - четном при р - нечетном 2. Асимптотика вспомогательной функции Теорема 1.2. Функция вне лучей бігд? - г- (К=ОД , ККІ-Й ПРИ І2І-00 удовлетворяет асимптотическому равенству причем в углах Ак : - +G Ч - ся равномерным. Доказательство. Имеем где V\(t) - число точек (К+С) таких, что (KC)$ t# Подсчитаем И (і): Далее получаем Вычислим интеграл Ji . В случае нецелого D. , применяя теорию вычетов, получаем Подсчитаем интеграл J в случае, когда P. - целое. Ин теграл JL- У її fit) есть непрерывная функция в области 0 0, ТЛ -На этом основании Последний интеграл равномерно при р А (К=0 t,...,w-l) ограничен. Рассмотрим первый интеграл. Имеем где r\yn-i.W - многочлен степени W1-1 . Последний интеграл также равномерно ограничен при Р/\к . Исследуем асимптотическое поведение первого интеграла. Для этого вернемся к старой переменной t . Пусть Тогда монотонна и ограничена при Х о (при С -4- она возрастает, при С - - она убывает). Это следует из следующих неравенств
Построение и оценка специального бесконечного произведения
В этом параграфе мы докажем теорему 1.3. Пусть =ІУК(Є (K=l,...,pM0 t % - p 2ll)--вершины п - выпуклого многоугольника (у (Pi l, ОЄ(г) с условием (1.2). С - неотрицательное фиксированное число. Введем точки Ык ось симметрии кривой (1.3), проходящей через вершины Положим Д где Jt(H) - любой многочлен степени -= Если р - четное и степени - -о— , если Р - нечетное; J u)" некоторый многочлен степени, не превышающей [J\] ] г ГРі"1 . Положим также 2) вне непересекающихся при малом d кружков 3) в точках W i = lwwi I (- выполняется оценка
Доказательство будет основано на сравнении с функцией (I.I7). Она обозначена как ПЙ) . Как выяснено ранее, ее нули имеют вид (I.I8), (I.I9), (1.20). Числа (Xt, 2)--) Р ) J - выберем такие, чтобы было Из (I.2I) и (1.22) следует (1.24) и (1.25). Разложим Ніс) в бесконечное произведение : я где J і с - многочлен, степень которого будет определена позже, О J -2: ( - многочлен степени, не превышающей Lpi\ Введем точки М/цо (точки 1.23) и положим т где J t (с) - тот же многочлен, что и в разложении (1.27), а J (Z) некоторый многочлен степени, не превышающий [PtJ , его выберем позже. Оценим отношение К(к ) Вследствие этого получим, что вне кружков ГХуу! Из отого неравенства следует, что вне кружков Г\ р Возьмем кружки ; - U(?lo ml При малом (\0 они содержатся в кружках и вне их, по тео -реме 1,1 выполняется оценка Отсюда, в силу (1.29) получаем, что Пункт 2 доказан. Также покажем, что вне кружков гл. (u pn тзчо ипиіімгп-а W Докажем, что это неравенство выполняется всюду. Пусть 1?0 То На основании принципа максимума модуля В знаменателе стоит многочлен степени Р(/ч чУ\ . Обозна чим его . Получим Из этого равенства следует, что индикатриса числителя и знаменателя из правой части равны. Обозначим индикатрису числителя через Ни . Возьмем луч с , имеющий направление, отличное от направлении прямых, на которых лежат нули На луче \L при больших 111 , используя теорему 1.2, получим Значит, степень многочлена J (_ ПО " іЛ - при р-четном равна р(А/ і)И " " -Чч- ; при Р - нечетном р(/\/-Лк] + Ніі У) .
Следовательно, степень многочлена Ji(2) при р - четном равна(АЛі)р J ПРИ Р - нечетном В качестве многочлена J і (.с) можно, например, взять многочлен где в случае четного Р , J і W - многочлен степени "о , в р + 1 случае нечетного р , многочлен степени 2 Таким образом формулу (1.28) можно представить в виде (1.26). Точно также, как в теореме I.I доказывается оценка снизу производной функции J (с) в нулях \hjm . Теорема 1.3 доказана. В этой главе мы будем доказывать теоремы 2.1, 2.2, 2.3, 2Л, В идейном плане мы будем опираться на методы, развитые А.Ф.Леонтьевым в [ЗІ . При доказательстве теоремы 2.1 нам понадобится следующая лемма Л_е__м_м_а 2Л. Пусть даны две кривые Сі и С і \_ На кривой (_\ возьмем точку ttiL . Проведем через точку tj_ к кривой Qi касательную ?Ci . Угол наклона oL± касательной _ к оси U& найдем по известной формуле ивых (при ck -? функция УЦ) непрерывна вплоть до границы сО ) Доказательство. Положим m и пусть Ц к (t) - ассоциированная с к ( по функции Еп( " Ер ( - Известно интегральное представление (см. ["5, стр. 330] ) П -индикатриса роста функции sfK (Ц) . В силу оценки (2.3) Ик№ к CoS (Ф +- Фк) , а отсюд и И (4 1 І к & (Ч +тк) . Поэтому из представления (2.5) следует, что УкС О регулярна во внешности, ограниченной кривой ( , так как в [з] доказано, что если опорная функция имеет вид то первое утверждение теоремы доказано. Пусть кривая ц пересекается с кривой к+1 в точке Докажем, что вблизи I - при 4 - Ч7 4 к = 1Д,-»! выполняется Отметим на кривой 1 точку ti ltie f такую, что р( t ,rV) = ltt\ Через точку ti проведем J3 - опорную кривую \ Такая кривая существует, причем то можно найти из условий
Непрерывность функции вплоть до границы
Л е_м м а 2.4. Пусть функция д(2)=/ О и - регу Z - О «=1 лярна в звездообразной областиJZ- , ограниченной простои кусоч но гладкой кривой, причем величины углов в угловых точках отличны от нуля и вблизи границы а функция LO(.1L) регулярна в угле I ЯГО 21 " , имеет конечный предел при 2 — 0 } и при II! I-" Тогда функция n = также регулярна в области и вблизи границы при (А_с о О а при (Л-о(о 0 непрерывна вплоть до границы \L Доказательство.
На основании того, что Си(3)є «Ф1 заключаем (см., например, [I, стр. І6Ї] ), что функция б"(В) регулярна также в области . Рассмотрим по ведение вблизи границы функции (у(?) I) Пусть сначала (А0 і и ск- С о 0 / Положим сФ Исследуем поведение (t) : при t" 0 . Имеем выводим Из (2.25) и (2.27) выводим Положим г?- Є и введем функции л-1 Преобразование = G переводит область в областьAZ.Q . Так как область - звездообразна (напомним, что звездообразной областью относительно начала называется такая область, которая вместе с каждой своей точкой Р содержит весь отрезок ОР меж ду началом и точкой Р ), то область будет обладать следую щим свойством: если 0 = Х0+- LU0 , 06 )Л0 , то полу прямая Jwi"2 = yo Re 2 -Х0 принадлежит SL0 . Функции $о А) И (УО( будут регулярны в -Uo . Исследуем их поведение вблизи границы. где Г - контур, состоящий из окружности 12(-& , G 0 и двух лучей: [-&,- 3 и (-17.- , лежащих соответственно на верхнем и нижнем берегах разреза ["О , - 0) . Используя формулу (2.30), докажем следующую формулу Г Пусть 1 - конечная кривая длины с , принадлежащая Г , симметричная ртносительно действительной оси, содержащая окруж ность 121-(2- . Тогда в силу равномерной сходимости ряда по t при t +" /5 , принадлежащим области сходимости ряда (2.32) имеем
Разобьем кривую на две кривые (I) так что npntef , Re(i + 0 -Xo , а остальная часть есть кривая р ; кривая р - кривая постоянной длины Равенство (2.33) перепишется в виде сходится npHt- 1 » принадлежащем области сходимости ряда (2.32), так как при достаточно больших III в силу (2.28) выполняется оценка Перейдем теперь в равенстве (2.33) к пределу при L , это можно сделать, так как можно переходить к пределу при - оо в равенстве (2.35) и, следовательно, в (2.34). Отсюда вытекает справедливость формулы (2.31) при , $ + t , принадлежащих области сходимости ряда (2.32). Но функция (J-Q ($) и функция-регулярны в области _П-о Поэтому формула будет выполняться при Исследуем поведение Q0( вблизи границы ILo . Пусть сС - кривая, принадлежащая П , отстоящая от границы Л на расстоянии rf О . JL -множество, ограниченное границей-! , и кривой - . Согласно условию леммы имеем Преобразование = Q переводит границу JTL в границу Jо , множество J7. в множество jLo Можество J і о есть множество вблизи границы Докажем, что В качестве контура (=1 (S/ возьмем контур, состоящий из окружности и двух лучей: лежащих соответственно на верхнем и нижнем берегах разреза ["О ,- /. Представим (у0( в виде где - части контура I , для которых соответ Случай доказан. 2) Пусть о(0 1 ) оС- о(о 0 . Также как в случае I) будем иметь Докажем, что функция (у-0($) непрерывна вплоть до границы, Для этого достаточно доказать, что существует. Имеем формулу (2.31). В качестве контура Г Г(&) берем тот же самый контур, что и в случае I). Рассмотрим раз ность по критерию где 1 C$i) l ( z) - оставшиеся части контуров соответственно ГС Si) и ГС Si) на них выполняется Кб t -A (СК# А) # Jo оценивается таким же образом, что и в случае I). Выберем CI , удовлетворяющее условию: (X. іг и зафиксируем его. Оценим J3
Пусть Sup Тогда в силу (2.29) Когда t пробегает контур 1 \Si) , a til и А находятся в окрестности точки (Jo . точки i + t , г5 7. "t будут пробегать множество Лі $ которое входит в некоторый компакт Л , , содержащийся в -Г2.0 . Докажем, что такой компакт i 2 существует. Об -ласть-Цо, как отмечено выше, обладает свойством: если 0= Х0 + о І)-Л.о , то полупрямая Зщ = о , ЙЄЇ о принадлежит Ло « Кривая с= оЛо" # в силу этого будет на -холиться в Ло , а множество Лі будет находиться в замкнутой области .11 , ограниченной кривой С Тогда в качестве компакта Л i можно взять любой компакт, находящийся в замкнутой облас регулярна в звездообразной области Л , ограниченной простой кусочно-гладкой кривой, причем величины углов в угловых точках отличны от нуля и вблизи границы Тогда функция и будет регулярной в области TL , и вблизи границы (при (А- И 0 Qyift) непрерывна вплоть до границы). Заключение следует из леммы 2.4 и представления будет регулярной в области (у и непрерывной вплоть до границы Доказательство. Представим функцию ф(І ч(Иі) в виде
Теорема о разложении
Значит, на компактах. Лемма доказана. О п р е д е лен и е 2.3. Пусть ?(Й ( 3D 0 L( G Е ( & » - В лемме 2.5 мы доказали, что функция (])fl(t ,JMij при V\- [сС] , j l I \ + "J регулярна на множестве (J и непрерывна вплоть до границы (у , а в лемме 2.7 - что функция " (jW.tj tj при С (jl4i + j31 регулярна вне (у--множества и непрерывна вплоть до границы . Поэтому можно положить Т._е_о_р_е_м_а__212. Пусть ( Е С , ОС); L (А)6 Ь (&,С) Тогда имеет место формула где UJj (J4,f) имеет форму (2.45), a - замкнутый контур, на котором Доказательство. Имеем формулу (2.45). Пусть ф (?,j4i) - последовательность многочленов такая, что фи ( , 1 Фуі А на (У при К- сО (индекс снизу - 96 означает И -кратное интегрирование от О до ). на любом компакте (5 - и на основании леммы на компактах. Здесь (І) - функции, соответствующие ф (t j) по правилу (2.13). В силу леммы 2.2, а также леммы 2.7 ЛІ "Э г Из формулы (2.45) далее видно, что если JM лежит в ограниченной области, то В силу этого в формуле (2.47) можно перейти к пределу при К- В пределе получится искомая формула (2.46). Здесь будет доказана теорема 2.3. Доказательству предпошлем две леммы. _ . Тогда CULCJ IT удовлетворяет следующей оценке При N K\ " 01 І кі она выполняется сразу в силу того, что L(A С ((у,С) Пусть теперь Л Є Л/к : . На основании неравенства типа (І.І6) и того, что LMsE: (Сг, С} получаем к Отсюда, на основании формулы типа (2.40) вытекает а из формулы (2.49) и оценки (2.50) следует оценка (2.48). Лемма доказана. удовлетворяет условиям К-+00 кі и имеются окружности 1М" у, I такие, что Тогда существуют Т"к f » что Доказательство. В [З] доказано, что из условий (2.51),(2.52) вытекает следующее: существуют Т f 00 такие, что в кольцах Ек : В силу условия (2.54) Пусть miV\ 0НЧ )= hi . Тогда при больших М , учитывая, что угольник, поэтому граница "u(J содержится в конечном числе об-латсей вида (2.57). Отсюда будем иметь "Vа Лемма доказана. Т_е_„о р_е_м_а__2_.3. Пусть f ( Е (5 ,оО ; LM E , О; и для функции L (W выполняются условия (2.51) и (2.52). Тогда во всей плоскости Доказательство. На основании (2.48) и (2.51) заключаем, что ряд (2.58) сходится во всей плоскости. Убедимся, что он сходится к своей функции. Имеем оценку (2.53). В силу формулы (2.46)
Правая часть стремится к нулю при К- 00 . Отсюда и следует требуемое заключение. Здесь будет доказана теорема 2.4. Установим сначала следующее вспомогательное утверждение. Ї_5_иі_-2ЛІ# Функция удовлетворяет неравенству Доказательство. Так как при t 0 , f 0)- 0 , при t , fit )- 0 , у (t ) -0 , то в некоторой точке to у функции () существует максимум. Найдем отрезок [t l , которому принадлежит to . Максимум достигается в точке to , удовлетворяющей уравнению Рассмотрим функцию ЧЧО-О +ГХ _ J t -Эта функция выпукла вверх . Левый конец tj_ интервала[tt, 1гJ найдем из условия Отсюда При ОС п функция ж (0 ограничена. Лемма доказана. t g. О-Ё,,е "„а 2.4. Пусть ( Е Е (ffi , i . Тогда для любого 0 существует последовательность показателей (к) ( № С К=1,?.,... р, т-1,7.,...) расположенная на лучах UГА г= тк СК 1-іР такая, что во всей плоскости Доказательство. Напомним, что множество ) —мно -жество, ограниченное дугами кривых Г : Пусть кривая Гк пересекается с кривой Гк+ _ (К=1,...,Р) г- r LM K . (lp+l=ll ) в точке ак=10-к (K=1,...,P) .Тогда множество (J , ограниченное дугами кривых представляет собой j\ - выпуклый многоугольник с вершинами В качестве функции LM J возьмем функцию, постро -енную в теореме 1.3. Эта функция удовлетворяет условиям (2.51) и (2.52) и все ее нули Л (К-1,...,Р і W = 1,1,.-- ] _ простые и расположены на лучах ( Г0"2"= к (К=1,...,р) ф Функция . Выберем С . Положим J?(?) можно во всей плоскости представить рядом Докажем оценку (2.60). Сначала проведем доказательство для луча ГС)2 = (тк .
Применим оценку (2.48) и тот факт, что Ц ЄЕ (Gfi) . Получим при =ТЄ [Ї] Леонтьев А.. Ряды экспонент. -М.:Наука, 1976, 536 с. [2J Леонтьев А.Ф. К вопросу о представлении целых функций рядами экспонент. -Мат.сб., 1977, 104(146), № 3, с. 371-389. [з] Леонтьев А.Ф. Представление целых функций рядами экспонент. Тр. МИАН, 1981, т. 157, с. 68-89. [4] Леонтьев А.Ф. Представление целых функций рядами по функциям Миттаг-Леффлера. - ДАН СССР, 1982, т.264, № 5, с. I3I3-I3I5. [5І Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления в комплексной области. -М.: Наука, 1977, 671 с. Н Шта\п А. (Ибег OIUL Л/иЄЄ/lteWe" der fonkiowew Е (оЛ , \cta Math.,iqa4o5),VW}4. [7J Джрбашян M.M., Нерсесян А.Б. О построении некоторых специаль -ных биортогональных систем. - Изв. АН Арм.ССР, сер. физ.-мат. наук, 12, 5 (1959), с. 17-42. Шрайфель И.С. Построение целых функций с положительными ин -дикатором, приложения к представляющим системам и достаточным множеством. Деп. Ростов н/Д ун-т. Ростов н/Д, 1983, 43 с. Библиогр. 8 назв.(рус) (Рукопись деп. в ВИНИТИ 29 февраля 1984 г., № II41-84 Деп.) [9] Afittao-afeff r Є.М. $ит Pa representation cmauUc e сГаие вгапсЬе ancfor-me оРиие onction \MO\noqev\e (cC QuievnQ note\ Acta /Ый., 29(1405),101-182. [io] Wrioik EA TPie asymptotic ехраі юю of tfie generated PiypergeoirKietLC function, I rfonol, г ос. 10(1935X286-293. [l2j Иванов М.С. Распределение нулей линейной комбинации функций Миттаг-Леффлера. - В кн.: Вопросы аппроксимации функций комплексного переменного. Уфа, БФАН СССР, 1982, с. 35-43. [13] Иванов М.С. Построение специального бесконечного произведения с заданным ростом. В кн.: Вопросы аппроксимации функций ве -щественного и комплексного переменных. Уфа, ШШ СССР, 1983, с. 81-92. Иванов М.С. Специальное бесконечное произведение. Деп.Башк. ун-т, Уфа, 1984, 33 с. Библиогр. 2 назв. (рус.) (Рукопись деп. в ВИНИТИ 9 апр. 1984 г., № 2134-84 Деп). [15] Иванов М.С. Представление целых функций рядами экспонент -ДАН СССР, 1984, т. 279, № I, сЛ?"30.
