Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. С конца прошлого века, а именно после выхода в свет известных работ Ж.Адамара стало развиваться новое направление в теории функций: изучение асимптотических свойств целых или аналитических в единичном круге функций в зависимости от поведения их тейлоровских коэффициентов. Огромный вклад в развитие этого направления внесли такие известные математики, как Э.Еорель, А.Виман, Ж.Валирон, Д.Пойа и другие.
Ещё в 1892 году Ж.Адамар указал формулы, выражающие порядок и тип целой функции через коэффициенты Тейлора. Аналогичная задача для аналитических в единичном круге функций в терминах порядка и типа была рошена М.Фудзивара, М.п.Говоровым и другими.
Непосредственным обобщением степенных рядов являются ряды ДЬ'-рихле с положительными .возрастающими до бесконечности показателями
Дня изучения роста целых функций, представленных рядами Дирихле, обычно пользуются понятиями К - порядка и К - типа, сти понятия были введены Риттом. Им же были установлены формулы для вычисления этих величин через коэффициенты ряда Дирихле. Рост функций, представленных рядами Дирихле^ абсолютно сходящимся б полуплоскости, в терминах обычного порядка и обычного типа исследовали Е.Дагенё, В.Бойчук, К.Нандан, Ю.Шиа-Юн.
В начале века с целью изучения связи между максимумом модуля целой функции и максимальным членом её степенного разложения» а также поведения функции и её производных в окрестности точки максимума модуля А.Виман и Ж.Валирон разработали метод, который впоследствии стал называться методом Вимана-Валирона.
В 1929 году была опубликована статья Д.Пойа [32] , в которой
_ 4 -
помимо доказательств фундаментальных теорем об асимптотических свойствах функций, заданных лакунарными степенными рядами, был поставлен ряд задач. Исследования, начатые Д.Пойа, были подхвачены ._ многими математиками. Однако классический метод Вимана-Валирона и разработанные рядом авторов его модификации не дали возможности решить все актуальные задачи, поставленные в [32] . И М.Н.Шереме-той была разработана новая модицикация этого метода. Это позволило получить ряд глубоких результатов, относящихся как к лакунарним степенным рядам, так и к рядам Дирихле. Но как и в любой теории, в теории лакунарних степенных рядов, а также рядов Дирихле остаются нерешёнными многие важные проблемы, при решении которых возникают все новые и новые задачи. Sto обусловлено также тем, что в связи с исследованиями А.Ф.Леонтьева, подытоженными в его монографиях [6J - [б] , в последнее время сильно возрос интерес к рядам экспонент., сходящимся в произвольных, выпуклых областях. Стали усиленно исследоваться вопросы разложения аналитических функций, имею- ; щих заданный рост вблизи границы области регулярности в ряды экспонент. В этой связи представляются актуальными задачи о росте суммы ряда экспонент вблизи границы области регулярности в зависимости от её роста в тех или иных подмножествах области, примыкающих к границе. В этой ситуации метод Вимана-Валирона Сили его модификации) не всегда приводит к желаемой цели. Таким образом, возникла необходимость в разработке новой методики, основанной на достижениях теории функций и рядов"экспонент. В диссертации и разработана такая методика, при помощи которой получен ряд новых результатов. Большинство задач, обсуждаемых в диссертации, нами исследованы впервые. Они ранее в литературе не рассматривались.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. I). Исследовать асимптотику суммы ряда Дирихле
на кривых, имеющих предельную точку яа границе области сходимости;; установить связь мегду существованием асимптотических значний* суммы ряда Дирихле и усиленной неполнотой системы экспонентх получить теоремы единственности;
-
установить теоремы типа минимума логарифма модуля суммы ряда Дирихле;
-
изучить асимптотику суммы ряда Дирихле с вещественными коэффициентами, редко меняющими знак;
-
получить оценку суммы ряда Дирихле через её максимум модуля на вертикальном отрезке в ситуации, когда показатели ряда- - нули целой функции, имеющей,, вообще говоря, нерегулярное поведение на вещественной оси; '
-
изучить асимптотику суммы ряда экспонент,, имеющей зааак'йнй. рост вблизи границы, ограниченной^ выпуклой области; установить аналоги ранее известных оценок s полуполосах ряда Дирихле, сходящегося в полуплоскости.
Исследования, намеченные в пунктах I) -4), провести-(где э^о целесообразно) для рядов Дирихле, сходящихся во впей плоскости или в' полуплоскости и имеющих как заданный, таї: и произасльнкй рост вблизи границы.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИИ. Б диссертации нами игроке используются методы теории рядов экспонент, разработанные A.S.Леонтьевым (интерполирующая функция А.Ф.Леонтьева, его формулы для ксзффяі»иен-тов, интегральные представления* через интерполирующую функцию и т.д.), систематически применяются различные модификации теоремы Бореля-Неванлинны из [3] , а также уточнённый нами же вариант оценки Н.В.Говорова ограниченной аналитической в единичном яруге функции снизу из [Z] . Нами используется также одна идея из |ЗХ] Всё это в совокупности и составляет основу нашего метода исследования.
- б -
НАУЧНАЯ НОВИЗНА И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Все основные результаты диссертации являются новыми. Нами разработан новый подход, что позволил в диссертации исследовать и решить ряд новых задач, -связанных с ростом суммы ряда экспонент вблизи границы в зависимости от её роста в тех или иных подмножествах, примыкающих к границе области сходимости. Ранее известные методы, при помощи которых исследовалось поведение лакунарних степенных рядов, в нашей ситуации, вообще говоря, не применимы. Все задачи, сформулированные в целях работы, нами решены. В ряде случаев получены неулучшаемые результаты. Нами обобщены и усилены результаты Т.Ковари, А.И.Павлова, М.Н.Шереметы, О.Б.Скаскива, К.Бинмора, II.А.Евграфова, Фукса, Диксона, Коревара, Хеймана и т.д.
Результаты диссертации носят теоретический характер. Полученные в диссертации результаты и разработанная в ней методика могут быть полезны как для развития самой теории рядов экспонент, так и в смежных областях анализа, таких как теория аппроксимаций аналитических функций в комплексной области, теория дифференциальных уравнений бесконечного порядка и т.д.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзном симпозиуме по теории приближений (Уфа, 1967), на Всесоюзной конференции (Нижний Новгород, 1991), на Международной конференции "Алгебра и Анализ" (Казань, 1994), на семинарах в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН, в Башкирском, Львовском, Ростовском -университетах, в Международной птоле-симпоэ*уме (Воронеж, 1995).
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты ди :сертации опубликованы в статьях, Г35] - [50] .
СТРУКТУРА И ОБЪЁМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения и семи глав. Список литературы содержит 108 наименований. Объём диссертации - 234 с. *
