Введение к работе
"Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению поведения биортогональных рядов экспонент на невыпуклой системе отрезков, исходящих из общей точки.
Теория рядов экспонент на выпуклых множествах имеет богатую историю. Случай отрезка впервые был рассмотрен в 30-е годы Р.Пэлл и Н.Винером, что дало толчок развитии теории негармонических рядов Фурье -биортогональных рядов экспонент на отрезке. Впоследствии негармонические ряды Фурье изучались в работах Н;1евинсона, Л.Шварца, С.Верблюнского, Б.Я.Левина, В.Д.Головина, М.И.Кадеца, А.Ф.Леонтье-ва, В.Э.Кацнельсона, А.П.Хромова, В.А.Молоденкова, С.А.Авдонина, Н.К.Никольского, Б.С.Павлова, С.В.Хрущева, А.М.Седлецкого и других.
Во воей.полноте теория разложений аналитических функций на произвольных выпуклых множествах комплексной плоскости была построена А.Ф.Леонтьевым и его учениками.
В итоге теория разложений в ряды экспонент на выпуклых множествах разработана достаточно полно. Что касается разложений на невыпуклых множествах, то здесь результатов существенно меньше.
Впервые ряды экспонент на невыпуклом множестве в С , представляющем собой систему отрезков I , исходящих из общей точки, были рассмотрены И.С.Галимовым, которым построена система функций, биор-тогональная на I к системе экспонент, найдена асимптотика этой биортогональной системы, а для соответствующих биортогональных рядов экспонент получены теорема единственности и теорема о разложении аналитических функций.
В последующем биортогональные ряды экспонент на I рассматривал А.М.Седлецкий, установивший ряд существенных различий в по-
4.
ведении указанных рядов и тригонометрических рядов Фурье.
Многочисленность исследований выпуклого случая с одной стороны и относительно малое количество результатов в невыпуклом случае, а также их несходство с классическими положениями анализа Фурье с другой стороны, делают актуальным дальнейшее исследование биорто-гональных рядов экспонент для невыпуклого случая.
Цель работы. I. Получить оценки коэффициентов биортогонально-
го ряда на ' в классах с(р) и \!(г). р*\ .
-
Найти условие абсолютной сходимости ряда, составленного из этих коэффициентов.
-
Исследовать разложения в указанные биортогональные ряды функций из некоторых аналитических классов функций.
Методика исследования. Доказательства основаны на применении как определенных методов комплексного анализа (нули и оценки квазиполиномов, классы Н в полуплоскости, целые функции экспоненциального типа), так и специальных классов вещественнозначных функций (слабо колеблющиеся функции в смысле А,Зигмунда).
Научная новизна. Бее результаты диссертации являются новыми. Новой является и ca-.;a постановка задач в главах I и П.
Теоретическая значимость. Результаты диссертации могут найти применение в дальнейших исследованиях рядов экспонент биортогональ-ннх на других (более общих) невыпуклых множествах.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на 2-й Саратовской зимней школе по теории функций и теории приближений (1984 г.), на Северо-Кавказской школе по комплексному анализу (г.Теберда, 1985 г.), на семинаре проф. Ю.А.Казьмина в МГУ, на семинаре проф. А.М.Седлецкого в МЭИ.
5.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора lj -СО*
Объём работы. Диссертация изложена на 98 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 30 наименований.
