Введение к работе
Настоящая работа представляет собой исследование в области конструктивной теории функций.
Актуальность темы. Задачи об аппроксимации более сложных в конструктивном отношении объектов менее сложными играют важную роль почти во всех областях математики. Современная теория приближения представляет собой весьма обширную ветвь математического анализа и имеет дело главным образом с приближением отдельных функций и классов функций при помощи алгебраических многочленов или тригонометрических полиномов.
Целью данного исследования являлось получешіе конструктивных описаний классов функций в интегральной метрике. В 40-50-х годах усилиями таких математиков, как С.М.Никольский, А.Ф.Тиман, В.К.Дзядык была получена конструктивная характеристика классов Гельдера на отрезке с помощью взвешеїшьгх полиномиальных приближений в равномерной метрике. Далее, естественным образом возігик вопрос об отыскании условия,
позволяющего конструктивно описывать классы Гельдера в метрике Lp
И р на отрезке (при г = О Н р суп, классы С.М.Никольского). В 70-
х годах этой проблемой занимались Г.К.Лебедь, М.К.Потапов и В.П.Моторный. Лебедь и Потапов выяснили структурные свойства класса
(Ар , 0 < а < 1), удовлетворяющего интегральному аналогу условия,
описывающего классы Гельдера в равномерной метрике. Была также вы-
явлена взаимосвязь классов А р и п р , і ь /? <; оо: при
1 Ы (r+a) . (г+а) 1
< СС < 1 классы п р и А р различны, а при ос = I совпадают.
В.К.Моторным были предприняты попытки конструктивно описать классы
(»+«) -р . Ему удалось оценить порядок роста величины наилучшего взвешенного приближения функций класса Н р алгебраическими многочленами, однако эта оценка не давала возможности получения обратного утверждения. Исследования, проведенные Моторным, натолюгули на
мысль, что классы "! р при ССФ\, по-видимому, вообще не допускают
конструктивного описания с помощью обычных взвешенных полиномиальных приближений. Причина этого явления была вскрыта Е.М.Дынькиным при изучении более общих классов О.В.Бесова. Кроме того, как частный случай конструктивной характеристики классов Бесова
"Рд, Дынькин получил описание классов С.М.Никольского П р —"р,д с
помощью условия, более сложного, чем для классов А р . Таким образом,
проблема конструктивного описания классов И рг была частично разрешена.
Известно, что для того, чтобы функция /(х)єН ру р>1, необходимо и достаточно, чтобы J (*) почти всюду совпадала с интегралом от некоторой функции из Lp , Это позволяет при Р>1 одновременно описывать классы П р и классы С.Л.Соболева "р, / = г 4-1. Изучением классов Соболева занимался Е.М.Дынькин. Им была получена конструктивная характеристика классов "р, 1 < р <о, / ;> 2 - целое, в терминах взвешенных полиномиальных приближений на отрезке и континууме, представляющем собой замыкание жордановой области с кусочно-липшицевой границей.
В настоящей работе классы функций рассматриваются на системе отрезков в комплексной плоскости. В теории приближений в комплексной плоскости весьма существенным является вопрос, какова общая природа множества, на котором имело бы смысл заниматься приближением функций. В 50-е годы С.Н.Мергеляном было установлено, что приближение возможно на компактах, дополнение которых не разбивает плоскость. Это дало принципиальную возможность получать прямые утверждения на несвязных множествах. С другой стороны, Н.А.Лебедевым и П.М.Тамразовым было показано, что и для обратных теорем условие связности множества несущественно. Однако большинство результатов в области конструктивной теории функций получено на континуумах, в то время как работ, оперирующих с несвязными множествами, достаточно мало, причем во всех этих работах исследования проводились в равномерной метрико.
В свете вышесказанного актуальными являются вопросы приближения функций в интегральной метрике на несвязных множествах.
Целью работы являлось описание классов функций, определяемых интегральной метрикой, на конечном множестве попарно дизъюнктных отрезков скоростью их взвешенных полиномиальных приближений.
Научная новизна работы состоит в следующих полученных результатах:
- впервые получено прямое описание класса непрерывных функций с суммируемой в Р~-й степени первой производной в терминах скорости
взвешенных полиномиальных; приближений в метрике Lp на конечном множестве попарно дизъюнктных отрезков;
- впервые дана конструктивная характеристика классов С.Л.Соболева
"2 > * ^ 2 - целое, на языке взвешенных полиномиальных приближений на конечном множестве попарно дизъюнктных отрезков.
Общая методика выполнения работы. При доказательстве утверждений применяются методы конструктивной и геометрической теории функций. Приближение многочленами функций из рассматриваемых классов основывается в работе на хорошем приближении многочленами ядра Коши. Построение приближающих многочленов производится с помощью полиномиальных ядер типа Джексона, а также с помощью многочленных ядер рассматривавшихся ранее В.К.Дзядьгком, Н.А.Лебедевым, Н.А.Широковым, которые в настоящее время в теории многочленов Фабе-ра обладают, по сравнению с другими ядрами, наиболее сильными свойствами. Кроме того, в работе существенно используются граничные свойства кусочно-гладких континуумов и непрерывные продолжения функций с исходного множества на всю плоскость, в частности, псевдоаналитическое продолжение.
Практическая и теоретическая цсігаость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего иселедоваїпія полиномиальных приближений на несвязных множествах, а также для подготовки спецкурсов для старшекурсников и аспирантов по конструктивной теории функций.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2000", МГУ, 2000 г.; Герценовских чтениях, РГПУ им. А.И.Герцена, 2000 г.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы изложены в 3-х публикациях, список которых приведен в конце автореферата.
Структура н объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка цитированной литературы; изложена на 96 страницах, содержит 4 рисунка и список литературы из 45 наименований.
