Введение к работе
Актуальность темы. В диссертации рассматриваются оценки производных тригонометрических полиномов в равномерных и интегральных метриках со знакочувствительным весом, имеющие приложения в обратных теоремах теории приближения, и оценки скорости полиномиальных аппроксимаций функций в метриках Ф-вариаций Орлича через различные структурные характеристики.
К возникновению и развитию нового направления теории приближения функций в метриках со знакочувствительным весом привели, в частности, нестандартные задачи о приближении данной функции другими функциями с различной степенью точности и различным знаком уклонения на разных участках области приближения. Аппроксимациями со знакочувсвительным весом как частные случаи охвачены аппроксимации с обычным весом, одно-стронние и кусочно-односторонние аппроксимации, аппроксимации с интерполяцией в наперед заданных точках.
Систематическому изучению аппроксимаций со знакочувствительным весом начало положили работы Е.П. Долженко и ЕА. Севастьянова.
Знакочувствительным весом на множестве Е С (—оо,+оо) называется упорядоченная пара р(х) = (р_(х),р+(х)) однозначных неотрицательных на этом множестве функций Р-\-(х) и р_(х).
Знакочувствительный вес р(х) называется непрерывным, ограниченным, суммируемым или периодическим, если таковыми соответственно являются обе функции Р-\-(х) и р_(х). Если функция f(x) и знакочувствительный вес р(х) определены на данном множестве Е7 а функции f+(x) = тах{/(ж),0} и f~(x) = (—f(x))+ означают соответственно плюс-срезку и минус-срезку функции f(x)7 то полагают (f,p)(x) = f+(x)p+(x) — f~(x)p-(x) и величина
\f\P = \f\P,E = sup{|(/,p)(z)| : x Є E}
называется р-нормой функции f(x) по множеству Е относительно знакочув-ствительного веса р(х). Для суммируемого на данном отрезке [а, Ь] знако-чувствительного веса р(х) интегральную р-норму измеримой на отрезке [а, Ь]
функции f(x) определим равенством
= \\f\p,[a,b] = / ІҐ(Ф+(Х) + f~(x)p-(x)]d,X. J a
В случае ограниченного на множестве Е знакочувствительного веса р(х) легко показать, что р-норма | \Ріе является сублинейным (т.е. неотрицательным, выпуклым и однородным) функционалом на множестве всех ограниченных на Е функций f(x).
При р_(х) = р+(х) = 1, очевидно, равномерная р-норма \f\p,E любой ограниченной на множестве Е функции f(x) совпадает с ее обычной супремум-нормой ІІ/Ц = \\/\\е = sup{|/(ir)| : х Є Е}} а интегральная р-норма ||/|р;[а;&] любой суммируемой на отрезке [а, Ь] функции f(x) совпадает с ее обычной интегральной нормой ||/||z, = / \f(x)\dx.
Сублинейные функционалы D(f): для которых D(f) = 0 лишь при / = О, в качестве масштабных функций выпуклых тел ввел Г. Минковский. Такие функционалы в качестве несимметричных норм рассматривали М.Г. Крейн и А.А. Нудельман. Эти нормы соответствуют случаю р-нормы относительно непрерывных и строго положительных на данном отрезке Е = [а, Ь] функций р_(х) и р+(х). В работах В.Ф. Бабенко и И.Э. Симоновой, Б.В. Симонова изучен вопрос существования полинома наилучшего приближения для несимметричных интегральных метрик относительно знакочувствительного веса со строго положительными компонентами. В работах А.-Р.К. Рамаза-нова получены некоторые прямые и обратные теоремы теории приближения со знакочувствительным весом посредством полиномов и рациональных дробей, дана характеризация полинома наилучшего приближения непрерывной функции относительно произвольного знакочувствительного веса. В работах А.И. Козко изучены некоторые вопросы теории приближения относительно несимметричных норм, обобщающих р-нормы.
Оставались актуальными вопросы об оценках производных полиномов в интегральных р-метриках относительно произвольных суммируемых знакочувствительных весов, а также об обратных теоремах теории приближения в метриках знакочувствительных весов, которые рассматриваются в первой главе работы.
Общеизвестна роль класса функций ограниченной вариации и класса абсолютно непрерывных функций в современном анализе. Л. Юнг, И. Музелак и В. Орлич ввели более общие классы функций, сохраняющих многие из важнейших свойств функций ограниченной вариации или абсолютно непрерывных функций.
Такие классы функций определяются относительно т.н. допустимых функций Ф(и): которые считаются непрерывными, неубывающими и выпуклыми вниз на промежутке [0, +оо), причем Ф(0) = 0.
Обобщенной вариацией или Ф-вариацией по Орличу относительно допустимой функции Ф(и) функции f(x)7 определенной на данном отрезке [а, &], называется следующая величина:
У*(Л = УФ(/, [а, &]) = sup^ Ф (\f(Xi) - /(Жі_і)|),
где супремум берется по всем разбиениям Т : a = Xq < Х\ < ... < хт = Ъ отрезка [а, Ъ] и т = 1, 2,...
Если 1/ф(/, [а, Ь]) < оо, то говорят, что / Є 1/ф[а,&] или, короче, /є Уф.
Если 1/ф ( у, [а, 6] 1 < оо при некотором У > 0, то пишут / Є V[а, 6] или
Функция /(ж) называется Ф-абсолютно непрерывной на отрезке [а, Ь] и пишут / Є ЛСф[а,6], если для любого є > 0 найдется такое 6 > 0, что
^ Ф (|/(жі) — f(xi-i)\) < є для всякой конечной системы неперекрывающих-
г=1
ся интервалов (ckj, /) С [а, 6] с ^ Ф(Д — () < .
г=1
В случае Ф(м) = мр (р > 1) Ф-абсолютно непрерывные функции ранее рассматривал Лав, а в случае Ф(и) = и получаем обычные абсолютно непрерывные на данном отрезке [а, Ь] функции f(x).
Для / Є V = Уф [а, Ь] норму можно ввести следующим образом:
II Ліфу = WfhvM = mf ІУ > 0 : УФ (, [а, b]\ ^ Л
и при этом два элемента /1,/2 Є V^ равны между собой, если fi(x) — J2{x) = cons (ж Є [а, &]).
При 5 > 0 положим
V*(6, Я = V*(6, /, [а, 6]) = sup J2 ф Шъ) - f(xi-i)\),
где супремум берется по всем Т : a = Xq < Х\ < < хт = Ъ (т = 1, 2,...), для которых \Т\ = max{xi — Х{-\ :^ = 1,2,..., т} ^ . Б.И. Голубов ввел величину
W^SJ) = ИЪ№/, М) = inf lv > 0 : УФ U^ [а,Ь]\ ^ A (6 0)
и для классов Ф-абсолютно непрерывных функций относительно метрики Ф вариаций Орлича получил критерии компактности. При допустимой функции Ф(и) = ир (р > 1) эту величину ввела Л. Юнг, а в полиномиальных аппроксимациях периодических функций систематически использовали А.П. Те-рехин, С.С. Волосивец. Некоторые из свойств модуля Ф-абсолютной непрерывности \ф(5і /) в случае допустимых функций Ф(и) общего вида изучены А.-Р.К. Рамазановым.
Можно показать, что любая непрерывная на данном отрезке [а, Ь] функция f(x) принадлежит одному из классов Уф [а, Ь] С V[a, b]. Естественно, возникает вопрос об оценке скорости приближения непрерывных функций полиномами по норме пространства V^[a,6] в случае допустимых функций Ф(и) общего вида. Такая оценка через модуль Ф-абсолютной непрерывности ^ф(^?/) (первого порядка) была получена А.-Р.К. Рамазановым.
Оставалась открытой задача определения модулей Ф-абсолютной непрерывности высших порядков и оценки через них скорости полиномиальной аппроксимации непрерывных функций в Ф-метрике. Эта задача изучается во второй главе работы.
Цель работы. Для равномерных и интегральных полунорм относительно
знакочувствительных весов получить аналоги неравенства
С.Н. Бернштейна об оценке нормы производной полинома. Для полунорм относительно ограниченного знакочувствительного веса получить аналог обратной теоремы СБ. Стечкина об оценке модуля непрерывности периодических функций.
Для метрики Ф-вариаций Орлича оценить скорость приближения функции через ее модули Ф-абсолютной непрерывности высших порядков.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем.
-
Для равномерных полунорм относительно знакочувствительного веса с заданным колебанием получен аналог неравенства С.Н. Бернштейна об оценке нормы производной тригонометрического полинома. Доказана точность полученной оценки на классе тригонометрических полиномов каждого наперед заданного порядка и при каждом наперед заданном значении колебания веса.
-
Получена оценка (аналог неравенства А. Зигмунда) для интегральной полунормы производной тригонометрического полинома относительно знакочувствительного веса с заданным интегральным модулем непрерывности веса.
-
Получена оценка (аналог обратной теоремы СБ. Стечкина) модуля непрерывности ограниченной 2-7г-периодической функции относительно знакочувствительного веса через скорость полиномиального приближения этой функции в метрике знакочувствительного веса.
-
Даны оценки наименьших полиномиальных уклонений в метрике Ф вариаций Орлича через различные структурные характеристики приближаемой функции: модули Ф-абсолютной непрерывности, модули Ф-гладкости и смешанные модули непрерывности (в каждом случае — любого наперед заданного порядка).
Методы исследования. В работе применяются методы теории функций вещественной переменной и функционального анализа. В частности, для получения основных результатов применены интерполяционная формула М. Рисса, метод разделения полунепрерывных функций посредством непрерывных, а также известные числовые и функциональные неравенства. При этом особенности полунорм относительно знакочувствительных весов играют существенную роль в нестандартности получаемых результатов и подходов доказательства этих результатов.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы носят теоретический характер. Они могут быть использованы в теории приближения функций для получения новых прямых и обратных теорем, в теории
антенн, теории фильтрации, квадратурных формулах, теоремах вложения, при оценках е-энтропии и поперечников компактных классов функций.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международных и всероссийских конференциях: Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения (Махачкала, сентябрь 2011 г.), Научная инициатива иностранных студентов и аспирантов российских вузов (Томск, апрель 2013 г.), Современная наука и молодежь (Махачкала, май 2013 г.); на ежегодных научных конференциях Дагестанского государственного университета (апрель 2012 г., апрель 2013 г.), на научном семинаре Отдела математики и информатики Дагестанского научного центра РАН под руководством проф. И.И. Шарапудинова.
Результаты диссертации также неоднократно докладывались на научном семинаре кафедры математического анализа Дагестанского государственного университета.
Публикации. Содержание диссертации опубликовано в 8 работах [1]-[8]. Работы [1], [3]-[6] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. В совместных работах [1]-[4] научному руководителю А.-Р.К. Рамазанову принадлежит постановка задач и общее руководство работой, в работе [4] В.Г. Ма-гомедовой принадлежит выбор методики исследований. Автору диссертации принадлежит реализация методик с доказательством соответствующих результатов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на восемь параграфов, и списка литературы.
