Введение к работе
Актуальность темы. Работа посвящена вычислению точных значений поперечников некоторых классов аналитических в круге функций и построению наилучших линейных методов приближения в весовых пространствах Бергмана. Хорошо известно, что в экстремальных задачах теории приближения функций важную роль играют точные неравенства, содержащие оценки величины наилучшего полиномиального приближения посредством усредненных значений модулей непрерывности высших порядков производных функций. Эти неравенства, с одной стороны, позволяют установить новые связи между конструктивными и структурными свойствами функций, с другой стороны, для соответствующих классов функций дают оценку сверху поперечников.
Вычислению точных значений различных n-поперечников классов функций, аналитических в круге, посвящен целый ряд работ. Первые результаты, связанные с вычислением колмогоровских n-поперечников в пространстве Харди, принадлежат В.М.Тихомирову и Л.В.Тайкову. В дальнейшем эта тематика нашла свое развитие в работах Л.В.Тайкова, Ж.Шейка, М.З.Двейрина, Ю.А.Фаркова, Н.Айнуллоева, С.Д.Фишера, М.И.Стесина, КА.Миччели, А.Пинкуса, С.Б.Вакарчука, М.Ш.Шабозова, Х.Х.Пирова, Г.А.Юсупова, М.Р.Лангаршоева и многих других.
В данной работе мы изучаем вопросы наилучшего приближения аналитических в круге функций алгебраическими комплексными полиномами в весовом пространстве Бергмана и вычисляем точные значения бернштейновского, колмогоровского, гельфандовского, линейного и проекционного n-поперечников для различных компактных классов функций с ограниченными по норме пространстве производных и классов функций, определяемых модулями непрерывности высших порядков в весовом пространстве Вчл, 1 < q < оо, 7 = 7(kl) > О-
Цель работы.
1. Указать новые точные неравенства между наилучшими полино
миальными приближениями аналитических в круге функций и
усредненными модулями непрерывности в весовом пространстве
Бергмана Вчл, 1 < q < оо.
Найти точное неравенство типа А.Н.Колмогорова для норм промежуточных производных функций через норму самой функции и норму ее старшей производной в пространстве >2,7-
Найти точные значения бернштейновских, колмогоровских, гель-фандовских, линейных и проекционных n-поперечников для классов функций, определяемых модулями непрерывности.
Найти наилучший линейный метод приближения, реализующий точное значение линейного n-поперечника для классов аналитических в круге \z\ < R, R ~> 1 функций с ограниченной по норме производной в пространстве Вчл, 1 < q < оо.
Метод исследования. В работе используется метод Н.П.Корнейчука оценки верхних гранов наилучших приближений классов функций подпространством фиксированной размерности и разработанная В.М.Тихомировым оценка снизу поперечников в нормированных пространствах.
Научная новизна исследований.
Найдены точные неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями и усредненными модулями непрерывности в весовом пространстве Бергмана Bqn, 1 < q < оо.
Найдены точные неравенства типа А.Н.Колмогорова для норм промежуточной производной функции через норму самой функции и норму ее старшей производной в пространстве >2,7-
Найдены точные значения бернштейновских, колмогоровских, гель-фандовских, линейных и проекционных n-поперечников для классов функций, определяемых модулями непрерывности.
Найдены наилучшие линейные методы приближения классов функций, реализующие точные значения линейных п-поперечников.
Практическая ценность. Полученные в работе результаты имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Они могут быть реализованы в задачах определения є-емкости и е-энтропии компактных классов аналитических в круге функций.
Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на республиканской научной конференции "Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений", посвященной 75-летию со дня рождения академика АН РТ А.Д.Джураева (Душанбе, 16-17 октября 2007 г.), на международной конференции "Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ", посвященной 80-летию академика АН РТ Л.Г.Михайлова (Душанбе, 29-30 мая 2008 г.), на международной научной конференции, посвященной 105-летию академика С.М.Никольского (Москва, МГУ, 17-19 мая 2010г.), на международной конференции "Современные проблемы математического анализа и их приложений", посвященной 60-летию академика АН РТ К.Х.Бойматова (Душанбе, 23-24 июня 2010 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-6]. В совместных работах [1,2], М.Ш.Шабозову принадлежит постановка задач и выбор метода доказательства.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 79 наименований, занимает 87 страниц машинописного текста и набрана на LATEX'e. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.
