Введение к работе
Актуальность темы. Как известно, классический гармонический анализ возник как мощный метод решения задач механики, физики и теории вероятностей. А также известно, что основные результаты классического гармонического анализа молено перенести на случай, когда вместо прямой или окружности рассматривается та или иная топологическая группа. Замечательной аналог классической теории рядов Фурье был создан на компактной группе G в известной работе АПетера и Г.Вейля, частным случаем которой (для случая когда G —группа вращений окружности) является теорема Вейерштрасса. Дальнейшее развитие теории естественно связанно с развитием общих идей функционального анализа и теории функций.
В 40—х — 50—х гг. появляются работы И.М.Гельфанда и М.А.Наймарка, которые существенно предопределили развитие гармонического анализа. Эти работы касаются теории унитарных представлений классических матричных групп.
Отметим, что многие авторы в отдельности излагали теорию Петера — Вейля, когда вместо G рассматривается группа SU(2) унимодулярных матриц второго порядка, которые тесно связано с группой SO(3), являюшийся врашением трехмерного евклидова пространства.
Представления SU(2) и SO(3) известны уже давно. Гельфанд и Шапиро дали подробное построение для SO(3), показав тем самым, что матричные элементы неприводимых унитарных представлений этих групп выражаются через многочлены Лежандра и Якоби.
Таким образом, существует связь между специальными функциями и матричными элементами представлений групп. Также известно, что специальные функции появились в анализе как решения тех или иных дифференциальных уравнений. К настоящему времени выяснилось, что почти все специальные функции связаны с представлениями группы Ли. При этом групповой смысл приобрела и задача о разложении по этим функциям (разложения представления на неприводимые). То есть, неприводимые представления порождают систему специальных функций на группе (матричные элементы), которые играют роль базисных функций в вопросах ортогонального разложения, аппроксимации и т.д. Специальные функции, возникающие в теории представлений, — это так называемые сферические
функции, связанные с именами Б.Вейля, Э.Картана, И.М.Гельфанда, М.Г.Крейна и др. Однако, эти функции в явном виде известны только для некоторых случаев: SU(2), SO(3) и SO(4)
Отметим, что некоторые задачи теории приближения на группе получены в ряде публикаций Д.З.Рагозина, Л. Клерка, В.М.Тихомирова, И.З.Песенсона, В.С.Гулиева и т.д.
Современное состояние теории приближения на группах характеризуется тем, что исследования в этом направлении фактически только начинаются. Поэтому изучение задачи конструктивной теории функций на группах представляет большой интерес.
Рассматриваемые в диссертации задачи и полученные
результаты являются продолжением исследований работ ряда
математиков — Н.И.Ахиезера, С.М.Никольского,
П.И.Лизоркина, Г.Г.Кушниренко, Ар.СДжафарова,
В.Н.Малоземова, А.И.Камзолова, АД.Гаджиева, Х.П.Рустамова, А.П. Терехина, В.А. Иванова и др.
Цель работы. Исследования настоящей диссертации посвящены вопросам приближения функций на специальных компактных группах SU(2), SO(3) и изучения гладкости функций и взаимно—обратимых связей между структурными и конструктивными свойствами функций в группе SU(2). Также исследуются приближения функций класса Соболева, различными средними рядов Фурье (в частности, методом Фурье); введены модуль гладкости г—го порядка в группе SU(2) и доказаны прямая и обратная теоремы наилучшего приближения на SU(2); а также изучены пространства Никольского и Бесова на SU(2) в свете теория приближения. Отметим, что на сфере классы Бесова впервые исследовались А.С.Джафаровым.
Метод исследований. В диссертации применяются методы теории представления групп, теории функций, а также методы функционального анализа, так как в основном использована теория мультипликаторов Фурье, теория дробных степеней операторов.
Научная новизна. В диссертации доказаны теоремы, представляющие актуальный научный интерес.
Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность работы заключается в определении гладкости функций с помощью секвенциального метода обоснования, что отличается своей наглядностью и интуитивными физическими интерпретациями. В настоящее время теория представления
групп имеет большое прикладное значение во' многих областях естественных наук: физики, механики, кибернетики и т.д. Теория представления групп в анализе находит новое применения в теории чисел, в кристаллографии, в теоретической физики и в теории приближения, что делает ее весьма актуальной. В общем теория групп в современной математике объясршет большой обьем и разветвленность теоретико — групповых исследований. Поэтому результаты работы могут быть итоль^ияньт р другие областям математики и физики.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах чл.кор. АН Азерб. Республики А.Д.Гаджиева в Институте математики и механики, чл.кор АН Азерб. Республики А.А.Бабаева и доктора физика —математических наук В.С.Гулиева на кафедре "Математический анализ" Бакинского государственного университета им. М.АРасул— заде, неоднократно на конференции молодых ученых по математике (Баку —1984, 1986, 1994), а также во Всесоюзной летней математической школе современных проблем конструктивной теории функций (Баку—1989).
