Исследование свойств некоторых интегралов в пространствах C и C^2 Быкова Ольга Николаевна

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Быкова Ольга Николаевна. Исследование свойств некоторых интегралов в пространствах C и C^2 : Дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.01.01 : Москва, 2004 105 c. РГБ ОД, 61:04-1/1256

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА 1. Обобщённый интеграл типа Коши 15

1. Один операторный аналог интеграла типа Коши. Свойства его аналитичности и непрерывности 15

2. Квазианалитические свойства обобщённого интеграла типа Коши и квазигармонические свойства его действительной и мнимой частей 23

ГЛАВА 2. Исследование обобщённого аналога интеграла типа темлякова в пространстве С2 35

3. Обобщённый аналог интеграла типа Темлякова и его представление в виде кратных интегралов в случае единичного бикруга 35

4. Формулы перехода от кратного интегрирования к повторному для обобщённого аналога интеграла типа Темлякова в случае единичного бикруга 42

5. Предельные значения обобщённого аналога интеграла типа Темлякова в точках остова единичного бикруга 47

6. Области аналитичности обобщённого аналога интеграла типа Темлякова в случае единичного бикруга 52

7. Исследование квазианалитических свойств обобщённого аналога интеграла типа Темлякова 61

ГЛАВА 3. Обобщённый интеграл типа Темлякова 68

8. Формулы кратного интегрирования обобщённого интеграла типа Темлякова 68

9. Выражение обобщённого интеграла типа Темлякова через повторные интегралы в различных областях пространства С2 73

10. Предельные значения обобщённого интеграла типа Темлякова в точках остова единичного бикруга 76

11. «Подвижные» области аналитичности обобщённого интеграла типа Темлякова 81

12. Некоторые квазианалитические свойства обобщённого интеграла типа

Темлякова 87

Заключение 94

Литература 96

Квазианалитические свойства обобщённого интеграла типа Коши и квазигармонические свойства его действительной и мнимой частей
Формулы перехода от кратного интегрирования к повторному для обобщённого аналога интеграла типа Темлякова в случае единичного бикруга
Области аналитичности обобщённого аналога интеграла типа Темлякова в случае единичного бикруга
Предельные значения обобщённого интеграла типа Темлякова в точках остова единичного бикруга

Введение к работе

Теория интегральных представлений аналитических функций одного и многих комплексных переменных является быстро развивающейся ветвью одномерного и многомерного комплексного анализа в связи с широким применением результатов исследований при решении прикладных задач в гидроаэродинамике, квантовой теории поля, математической физике и математической статистике. Указанные задачи приводятся к пространственным краевым задачам, теория решения которых формировалась в работах Ф.Д. Гахова, Н.И. Мусхелишвили и др.

Теория интегральных представлений многомерного комплексного анализа включает ряд аналогов формулы Коши одного комплексного переменного (формулы Мартинелли - Бохнера, Бергмана - Вейля и др., а также наиболее общее интегральное представление МЛере).

знаменатель ядра относительно переменных w и z в интегральном представлении Темлякова I рода есть многочлен первой степени;
последний внутренний интеграл этих представлений есть либо интеграл Коши одного комплексного переменного (интегральное представление Темлякова I рода), либо некоторый линейный дифференциальный

оператор этого интеграла (интегральное представление Темлякова II рода).

Позднее И.И. Бавриным был установлен ряд интегральных представлений для аналитических функций одного и нескольких комплексных переменных (см. [67]). В случае одного комплексного переменного были получены общие интегральные представления, являющиеся обобщением классической интегральной формулы Коши, в частности интегральные представления для звёздных и выпуклых областей. На основе этих интегральных представлений А.В. Нелаевым (см., например, [50]) были построены обобщённые операторные аналоги интеграла типа Коши и в ходе исследований выявлен ряд свойств, существенно отличающий рассматриваемые интегралы от интеграла типа Копта (см., например, [52]). В работе [61] Х.Ц. Дзебисов рассмотрел операторный аналог интеграла типа Коши специального вида, исследования которого продолжались и в дальнейшем (см., например, [68], [69]),

Значительный вклад в теорию интегральных представлений Темлякова внёс Л.А. Айзенберг (см [9]-[16]), который, рассмотрев в качестве плотности в интегралах Темлякова произвольную функцию, суммируемую по Лебегу на границе определяющей области, на основе интегральных представлений Темлякова ввёл понятие интегралов типа Темлякова и сделал первые успешные шаги в их изучении. Так, например, для интегралов типа Темлякова им была получена первая формула перехода от кратного интегрирования к повторному, изучались граничные свойства интегралов типа Темлякова и поведение этих интегралов вне области аналитичности и ряд других вопросов.

предельных значений в точках окружностей особенностей интеграла типа Темлякова I рода (см., например, [18], [20]), найдены достаточные условия существования так называемых «подвижных» областей аналитичности указанного интеграла (см. [22]), а, кроме того, получено интегральное представление, которое включило в себя интегральные представления Темлякова обоих родов (см. [23]). Г,Л. Луканкиным было введено более широкое понятие интегралов типа Темлякова, проведено их исследование в точках остова области D типа А (см. [54]), решён целый ряд краевых задач типа задач линейного сопряжения, а также найдены условия представимости функции вне области аналитичности интегралом типа Темлякова.

На протяжении последних десятилетий продолжались исследования интеграла типа Темлякова. Так, например, СЮ. Колягиным были выявлены «подвижные» области аналитичности интеграла типа Темлякова при определённых условиях, налагаемых на его плотность (см., например, [35], [43], [44]) и получены формулы для вычисления предельных значений интеграла типа Темлякова ([32]-[34], [39], [42]).

При исследовании интегралов типа Темлякова вне области аналитичности наиболее эффективным оказался метод линейных дифференциальных операторов, впервые применённый А.Т. Хвостовым (см., например, [26], [27]). Этот метод получил ряд уточнений и дальнейшее развитие в работах А.В. Нелаева (см., [45]-[47], [49], [51], [52]). Кроме того, А.В. Нелаев распространил метод линейных дифференциальных операторов на общий случай п (и > і) комплексных переменных, что позволило провести эффективное

исследование нескольких классов функций одного и многих переменных (см., например, [48]-[50],[52]).

В настоящей диссертации впервые исследуются некоторые интегралы, которые обобщают имеющиеся в научной литературе исследования обобщённых интегралов типа Копти в одномерном случае и интеграла типа Темлякова I рода в случае многомерном, то

есть являются обобщениями известных операторного аналога интеграла типа Коши и интеграла типа Тенлякова I рода, а также изучается обобщённый аналог интеграла типа Темлякова I рода.

Целью работы являются:

Исследование свойств функций, представимых обобщённым интегралом типа Коши;
Изучение обобщённого аналога интеграла типа Темлякова I рода, а также обобщённого интеграла типа Темлякова I рода.

В первой главе объектом исследования выступает обобщённый интеграл типа

Коши, в последующих двух главах — обобщённые интегралы типа Темлякова I

рода.

Предметом исследования являются функции, представимые вышеуказанными

интегралами и обладающие некоторыми выявленными в работе свойствами.

Методами исследований являются;

Аппарат интеграла типа Коши и его многомерных аналогов;
Метод линейных дифференциальных операторов.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, включающих в себя 12 параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 78 наименований. Общий объём работы 105 страниц.

Перейдём к изложению содержания диссертации по главам.

В главе I ( 1, 2) введён в рассмотрение обобщённый операторный аналог интеграла типа Коши

_*w-sWgS*

где плотность <р() - произвольная функция, определённая на контуре

_ L _ Re² Im² ,1

Г = < д є С : —z— + —z— = 1> и удовлетворяющая на нём условию Гёльдера, т -
[ а Ъ \

вещественный параметр, те[а,Р], а, (3 и у- произвольные действительные константы с условиями 0< а < /Ї S 1, у S 1.

Здесь исследованы свойства функций, определяемых этим интегралом, а также выявлена формула дифференциальной связи интеграла F_a/} (z) с классическим интегралом

типа Копта.

В 1 доказано, что функции, определяемые обобщённым интегралом типа Коши

D_t=L

- _ , _ Re²z Im²z 1 1
являются аналитическими в областях Д = { z є С: —=—I =— < —т г ^и

а² Ъ² /З²}

_ f „ Re²z Im²z 1 1 _

D₂=—j—I j— > —j >, непрерывными, но, вообще говоря, неаналитическими

л ^ [ ^ 1 Re²z Im²z 1 1
в области ), =^zeC: —< н < — }.; при дополнительных условиях,

[ /За Ъ а }

налагаемых на плотность исследуемого интеграла, для определяемых им функций получены так называемые «подвижные» области аналитичности.

В 2 при помощи метода линейных дифференциальных операторов вскрываются так называемые квазианалитические свойства обобщённого интеграла типа Коши, а также исследуются квазигармонические свойства этого интеграла.

Вначале параграфа дано краткое описание основных положений используемого метода для случая одного комплексного переменного. Затем доказано, что в области В_ъ интеграл

F_a р (z) можно любое число раз «дифференцировать» обобщённой производной:

₌ (а²-Ь²)-₂-{а² + Ь²уі а ' dz ⁺(a²+^)-2-(^-b²)-z'dz

Эта операция равносильна дифференцированию по z соответствующее число раз ядра интеграла, причём в областях аналитичности D, и D₂ обобщённая производная вырождается в обычную производную

Далее, исходя из того, что в области аналитичности тождественно выполняется уравнение Копти - Римана, рассмотрен вопрос об установлении соответствующей аналогии для исследуемого интеграла F^{z) и найдено такое дифференциальное

уравнение второго порядка в частных производных, которому удовлетворяют функции, определяемые интегралом ^(г):

Л^ ЛцМ_+(y+1)a^(f)₌₀

fern дї¹ ^u ^} ы

В ходе доказательства выявлена формула дифференциальной связи интеграла F_ap (z) с классическим интегралом типа Коши

^ dz Ы 2m(%-fiz 2m*-az

Далее при исследовании квазигармонических свойств действительной и мнимой частей обобщённого интеграла типа Коши в области Д доказана теорема:

Действительная и мнимая части интеграла F_aji удовлетворяют дифференциальным уравнениям третьего порядка с частными производными

Я Я Л ґ)

x—(Au) + y—(Au) + (y + 2)Au = 0_t х—(Av)+y—(Av) + (r + 2)-Av = 0.

Таким образом, действительная и мнимая части интеграла F_a/z) в области Z>₃удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению с частными производными третьего порядка. Это уравнение целесообразно назвать обобщённым

уравнением Лапласа, а удовлетворяющие ему функции и и v — квазигармоническими функциями.

Во второй главе ( 3-7) в случае единичного бикруга исследуется обобщённый аналог интеграла типа Темлякова I рода

где плотностью F{x_l,x₂,%') является суммируемая по Лебегу функция, заданная на топологическом произведении X = {*,, х_г є R, . є С: о, й дг, <, Ь_х, а₂<х₂йЬ₂, Щ = l},

причём F{x_t,x₂+h_2t,) = F{x_l,x_2t,), / = Ь₂-а₂; H = r₁(x₁)we"^l(jri)+(l-f_l(x_l))z;

/, (jc, ) - линейная функция, определяемая условиями t_t (aj ) = 0, f, (і,) = 1, а функция /₂ (х₂) - возрастающая, непрерывная, периодическая со смещением t₂{x₂ + h₂) = t₁{x₂) + 2n,

причём t₂(a₂) = 0, t₂(b₂) = 2л.

В 3 для исследуемого интеграла выведена формула, выражающая его в виде кратных интегралов, а в 4 - формулы повторного интегрирования. Причём получение формул перехода от кратного интегрирования к повторному проведено при различных условиях, налагаемых на функцию t₂(x₂), а именно, в первом случае t₂(x₂) - строго возрастающая на отрезке [а₂,>₂] функция, во втором - возрастающая, но имеющая один отрезок постоянства \р_х,р_г] В последнем случае в точках остова L = {|w| = |zj = і} бикруга получено следующее представление для рассматриваемого интеграла:

что свидетельствует о нарушении непрерывности определяемых им функций. В последней формуле ф*(х х, и) = — f—^^,Хг 'dt если Ы<1; g - функция, обратная сужению

функции t₂(x₂) на промежутки её строгой монотонности; ц* = arg z — arg w;

(6, -а,)¹ -(у, -а,)¹ Щ² -(6, -x,)²tf
= arccos— ~~' .~~^х —~~';,' > ., ' , ' '~~ .

2(^—i)(*k-«i)HW В связи с этим 5 найдены предельные значения исследуемого интеграла в точках остова единичного бикруга, а также установлены формулы, характеризующие скачок функции, представимой этим интегралом, в точке (%г₀)е при подходе к ней из

областей Л/, =|[w|>l,|z|М₂ = |[w[ < 1, \z\ > l| по некоторой двухпараметрической

поверхности а_т = |(w, z) є Q_k: \w\ -1 = m (|r| -l), m < 0].

В 6 сначала доказана теорема о том, что функции, представимые изучаемым
интегралом, являются аналитическими в области A/ = {|M>|il,|z| говоря неаналитическими в замыкании объединения областей

М₀ =||wj^l,[z|^:l,|vfj + [r|>2|, Л/, и M_2t а далее при дополнительных условиях, налагаемых на плотность интеграла, найдены «подвижные» области его аналитичности.

В 7 выявлены квазианалитические в смысле Темлякова свойства исследуемого интеграла.

Здесь доказана теорема:

Если при любых x_l є [а,,6,] и jc₂e[a₂,i₂] плотность F(x_t,x₂,) интеграла является

аналитической в замкнутом единичном круге |( й 1 функцией, то в областях М_а, Л/, и М_г функция f(w,z) представима равномерно и абсолютно сходящимся функциональным рядом

_{/(^) = 11^^^.}

п=0м=0

где его коэффициенты в_тп определяются по формуле

2п{Ь_х-а$ т\{п-т)\

Су 6, ft, ft,

Г, = Jdx_t \dx₂ + jdx, Jdx₂ + \dx_t J dx₂, Fp = FJⁿ⁾(x_t>x₂,0), nєN₉,

[t₃, (w,z)eM_l

С ⁼ \

c,=i , . , c₂ = і

6,, (w,z)<=M₀vM_l'

c.=

r₂, (w_iz)&M₀\jM₂ [r„ (w^JeMjUM,

1. (w,z)eAf, * ⁶ [r_Jt (w,z)eA/₂

Далее для областей неаналитичности с помощью метода линейных дифференциальных операторов получены формулы обобщённьк частных производных исследуемого интеграла. Доказана следующая теорема:

Действие линейных однородных дифференциальных операторов I порядка

ow aw W \ WJOZ

_ д д \ w ( гЛ д

8z ' " dz К z { z jdw' где A = A(w,z,w,z) и {t = ti(w,z,w,z) - произвольные функции, заданные в С²,

К = ^Г ._г\ L ; '—~~'^ L , '~~ ~т, в областях M_ot Л/, и К₂ на функцию /(w,z),

(х,-я,) Н -{,-*,) |г| -(6,-aJ

представимую исследуемым интегралом, равносильно дифференцированию соответственно по w и по z ядра данного интеграла.

Третья глава ( 8-12) содержит исследования обобщённого интеграла типа Темлякова I рода

где FfxpXj.Xj,^) - суммируемая по Лебегу функция, заданная на топологическом
произведении X = {х,,х₂,х₃ eR, є С: a_t йх, й»,, а₂ йх₂ Ь₂, а_% йх₃ Ь₃, \<*\ = і},

F(x_l,x₁,x₃+h₃,) = F(x_l,x_i,x₃,4), ^=Ь_г-а_ъ\ ы = *' ¹ wexpip+^^-zcxpit₃(х₃),

р е [0;2тг], а функция t₃ (*з) " возрастающая, непрерывная, периодическая со смещением h{^xi + th) = t₃(x₃)+2x,причём /₃(a,) = />, t₃(b₃) = p + 2x.

Здесь выявляется ряд аналитических и квазианалитических в смысле Темлякова свойств функций, определяемых этим интегралом. Исследование обобщённого интеграла типа Темлякова проводилось в той же последовательности, что и в случае интеграла, рассмотренного во второй главе. В 8 и 9 выведены формулы кратного и повторного

интегрирования соответственно. Далее доказано, что в случае, когда функция ^(-^з)

имеет единственный промежуток постоянства, в точках остова единичного бикруга нарушается непрерывность функций, определяемых обобщённым интегралом типа Темлякова, а в 10 найдены предельные значения исследуемого интеграла в точках остова при подходе из множеств М, М₀, А/, и М₂ соответственно и непосредственными вычислениями определены формулы, характеризующие скачок функции, представимой обобщённым интегралом типа Темлякова в точке (w₀,z₀) е L.

В 11 по аналогии с исследованиями, проведёнными в 6, определяются «подвижные» области аналитичности обобщённого интеграла типа Темлякова.

Выявлению квазианалитических в смысле Темлякова свойств обобщённого интеграла типа Темлякова посвящен 12 работы. Здесь получено разложение исследуемого интеграла в обобщённый функциональный ряд, о чём свидетельствует следующая теорема:

Если при любых х, є[2є[а_2>6₂] и х₃є[я₃,6₃] плотность F {х^х^х^) обобщённого интеграла типа Темлякова является аналитической в замкнутом единичном

круге |М₀, M_t и М₂ функция f{\v_tz) представима равномерно и абсолютно сходящимся функциональным рядом

fa) я

где его коэффициенты &_тп определяются по формуле

Г, [(*, -о,)" (ft, -х,)""" _е«—ЬЬК-і.]^-)"

Г, =)^^1^3 + ^,^^+}^^ 7 А,, ^=^(^,^,0), лєЛГ₀,

^2jr(*i-«i)"^m!("-^m)^![<&, ГйЬс₂ [i&₃ + J С&! [і

0| 0! 0₃ С] О] Kg С] О] у/!р 2*

^ = argw-argz.

Далее для областей неаналитичности найдены формулы обобщённых частных

производных исследуемого интеграла.

Диссертация носит теоретический характер. Установленные результаты являются важными в теории интегральных представлений аналитических функций одного и многих комплексных переменных, а также в теории квазианалитических функций. Результаты работы могут служить теоретической основой для новых исследований. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [72] - [78] списка литературы.

Результаты диссертации докладывались на ежегодных научных конференциях по итогам НИР Московского педагогического государственного университета, на научных семинарах кафедры математического анализа МПГУ, а также на объединённом семинаре по геометрической теории функций в Казанском государственном университете.

Квазианалитические свойства обобщённого интеграла типа Коши и квазигармонические свойства его действительной и мнимой частей

Значительную роль в этой теории сыграли установленные в 1954 году А.А. Темляковым (см, [1]-[8]) интегральные представления для функций двух комплексных переменных, аналитических в классе параметрически задаваемых ограниченных выпуклых полных двоякокруговых областей, которые впоследствии были названы интегральными представлениями Темлякова I и II родов (см., например, [65]). От других интегральных представлений функций двух комплексных переменных интегральные представления Темлякова I и II родов отличает целый ряд замечательных свойств: 1) знаменатель ядра относительно переменных w и z в интегральном представлении Темлякова I рода есть многочлен первой степени; 2) последний внутренний интеграл этих представлений есть либо интеграл Коши одного комплексного переменного (интегральное представление Темлякова I рода), либо некоторый линейный дифференциальный оператор этого интеграла (интегральное представление Темлякова II рода).

Исследования Л.А. Айзенберга положили начало теории интегралов типа Темлякова, которая получила своё дальнейшее развитие в работах В.И. Боганова (см., например [17]-[24]), Г.Л. Луканкина (см., например [20], [54], [55]) и других авторов. В.И. Богановым была выяснена структура множеств разбиения отрезка интегрирования, получен конструктивный способ их нахождения (см. [19], [21]), начаты исследования предельных значений в точках окружностей особенностей интеграла типа Темлякова I рода (см., например, [18], [20]), найдены достаточные условия существования так называемых «подвижных» областей аналитичности указанного интеграла (см. [22]), а, кроме того, получено интегральное представление, которое включило в себя интегральные представления Темлякова обоих родов (см. [23]). Г,Л. Луканкиным было введено более широкое понятие интегралов типа Темлякова, проведено их исследование в точках остова области D типа А (см. [54]), решён целый ряд краевых задач типа задач линейного сопряжения, а также найдены условия представимости функции вне области аналитичности интегралом типа Темлякова.

При исследовании интегралов типа Темлякова вне области аналитичности наиболее эффективным оказался метод линейных дифференциальных операторов, впервые применённый А.Т. Хвостовым (см., например, [26], [27]). Этот метод получил ряд уточнений и дальнейшее развитие в работах А.В. Нелаева (см., [45]-[47], [49], [51], [52]). Кроме того, А.В. Нелаев распространил метод линейных дифференциальных операторов на общий случай п (и і) комплексных переменных, что позволило провести эффективное исследование нескольких классов функций одного и многих переменных (см., например, [48]-[50],[52]).

Формулы перехода от кратного интегрирования к повторному для обобщённого аналога интеграла типа Темлякова в случае единичного бикруга

Нахождение обобщённой производной интеграла (26) для областей неаналитичности будем проводить методом линейных дифференциальных операторов.

Действие линейного однородного дифференциального оператора I порядка где qi = qi(w,ztw, z) - произвольные функции, 1 = 1,4, на функцию f{w,z), представимую интегралом (26), в областях М0, М, и М2 определяется формулой Доказательство. Покажем, что внесение оператора Q за знак интеграла по переменной в формулах (30), (31), (32), а также (35), (36), (37) не влечёт появления дополнительных слагаемых. Действительно, внутренний интеграл после параметризации единичной окружности / = { = і} ( = ехр/0, ве[0,2л1]) становится интегралом с постоянными пределами интегрирования. Поэтому дифференциальный оператор Q проходит за знак этого интеграла без появления дополнительных ненулевых слагаемых. Согласно обобщению правила Лейбница, сумма S дополнительных слагаемых, возникающих при внесении оператора Q за знак интеграла по переменной х2, в формулах (30)-(32), а также (35)-(37), выражающих f(w,z) в областях М0, Мх и М2 соответственно, с учётом /-периодичности по х2 функции Ф рЛ .ы) может быть записана следующим образом: Так как плотность F(xltx2,} интеграла (26) на единичной окружности І = ІЩ = 1} удовлетворяет условию Гёльдера, то согласно известным формулам Сохоцкого и правилу действия дифференциального оператора Q на сложную функцию, получим S = -—Q{ p)[g { - р) Р{х„8{1//- р),и)+ ( + р)-F(x1,g(i + ),u)]. Сумма дополнительных слагаемых, образующихся в результате прохождения оператора Q за знак внешних интегралов в формулах (30) - (32), а также (35) - (37), равна нулю. Таким образом, формула (59) доказана. Следствие. В областях М0, Л/, и Мг действие оператора Q на функцию f(w,z), представимую интегралом (26), равносильно его действию на ядро данного интеграла тогда и только тогда, когда в областях М0, Мх и М2 сумма 5 равна нулю, то есть Q{ p)[g { - p)-F(xl g{- p)1u) + g(i/ + pyF(xl,g(t/+ip),u)] = 0. (60) Теорема 18. Действие линейных однородных дифференциальных операторов I порядка в областях Л/0, Мх и Л/г на функцию /(и-,г), представимую интегралом (26), равносильно дифференцированию соответственно по w и по z ядра интеграла (26). Доказательство. Определим вид линейных однородных дифференциальных операторов I порядка Dw и Dzi удовлетворяющих требованию Q{ p) = 0, достаточному для выполнения равенства (60), то есть таких, что действие ими на функцию f(wtz), представимую интегралом (26), в областях М0, Л/, и М2 было бы равносильно дифференцированию ядра интеграла (26) по w и по z соответственно.

Области аналитичности обобщённого аналога интеграла типа Темлякова в случае единичного бикруга

Действительно, непосредственной проверкой из формулы (83) следуют формулы (67) - (69), а также (72) - (74) представления функции f{w,z) в областях Мй, Л/, и Мг, полученные при доказательстве теорем 20 и 21.

Пусть, например, (w.z)єМд. Тогда с, = a,, c2=blt с3=с5 = т2, ct=c6 = T,, причём в области Ма а, , тг г, bx, поэтому формула (83) примет вид (67) или (72). Аналогично проверяется справедливость формулы (83) для областей Л/, и Мг. По аналогии с исследованием аналитических свойств интеграла (26) изучим соответствующие свойства интеграла (63). Зафиксируем точку (и ,г)єСг и рассмотрим функции g(x,), g2(JC,) и g3(x,), а также области G,, G2, G,, G4 (см. гл.2, 6 и рис.3 дис). Здесь а є (а,;6,). Единственными нулями функций &( і), 8г{х\) и з(хі) являются соответственно т тг и г3. При этом функции gi(xj) и g2( i) строго возрастают на отрезке [а,,6,], а функция ( i) строго возрастает при и \z\ и строго убывает при \w\ \z\. Теорема 26. Если плотность F(xlfjr2,Xj,) интеграла (63) тождественно равна нулю при всех і є (а,&,], то функция f{w,z), представимая этим интегралом, аналитична в областях G, и G3, причём Если плотность F(X,J:2,I3, ) интеграла (63) тождественно равна нулю при всех х1 є [яр а), то функция / (w, z), представимая этим интегралом, аналитична в областях G2 и ?4, причём если ( w, z) є G2, то Доказательство. Если ( ,2)6 0, ci/pTO функция g3( i) строго возрастает на отрезке [а,, ], а, следовательно, из условия gi{a) 0{:= gifa)) для множества Gx и с учетом того, что в области А/, г, т,, имеем я, а г3 г, А,. Так как в области Л/, с,=с5 = г3; с2 = Ъх\ сг=а{; c4=c6 = rj, то формулу (83) можно записать в следующем виде По условию Vr, є (а,ft,] F(JC,,X2,X3, ) = 0, следовательно, все слагаемые кроме первого правой части равенства (88) обращаются в ноль. Тахим образом, получена формула (84), что и доказывает аналитичность функции f(w,z) в области G,. Пусть теперь (w,z)eG2 сА/2. Тогда функция g3{xt) строго убывает на отрезке [apfy], а, следовательно, из условия #3(л) 0(= з( э)) Д я множества G2 и с учётом того, что в области А/2 г2 г3, получаем V (w, г) є G2 а1 т2 ті а Ь1. Так как в области Мг С\ = { c2=cs = r3; с3=с,=г,; с4=Ьх, то формулу (83) можно записать в следующем виде По условию теоремы Vx, є [аия) F(x„x2,Xj, ) = 0, следовательно, все слагаемые кроме второго правой части соотношения (89) обращаются в ноль. Таким образом, получена формула (86), которая доказывает аналитичность функции /(w,z) в области G2. Остальные утверждения теоремы доказываются аналогично. Зафиксируем произвольные д,6е(о,; ), где а Ьу и рассмотрим следующие области G5, G6 и G1 (см. гл.2, 6 и рис.4 дис.)

Предельные значения обобщённого интеграла типа Темлякова в точках остова единичного бикруга

В областях М0, Му и Мг действие оператора Q на функцию /(w,r), представимую интегралом (63), равносильно его действию на ядро данного интеграла тогда и только тогда, когда в областях М0, Mt и Мг сумма S равна нулю, то есть Действие линейных однородных дифференциальных операторов I порядка представимую интегралом (63), равносильно дифференцированию соответственно по w и по z ядра интеграла (63). Доказательство. Определим вид линейных однородных дифференциальных операторов I порядка Dw и Dt, удовлетворяющих требованию ?(# ) = О, достаточному для выполнения равенства (96), то есть таких, что действие ими на функцию /(w,z), представимую интегралом (63), в областях М0, А/, и М2 бьио бы равносильно дифференцированию ядра интеграла (63) по w и по z соответственно. Так как в области М искомый оператор Dw должен вырождаться в обычный оператор дифференцирования —, то - произвольные функции, определённые в С? =С2\ {wz = 0}. Условие Q( p) = 0 вьшолняется тогда и только тогда, когда или когда Положив Л = /, из последнего равенства имеем w V W Таким образом, искомый оператор Dw принимает вид (97). Аналогичными рассуждениями получаем вид (98) оператора Dz. Заключение Результаты, изложенные в первой главе, показывают, что интеграл (2) определяет новый класс функций Fa0), являющихся: 1) аналитическими в областях Dl и Вг; 2) непрерывными в области Д; 3) неаналитическими, вообще говоря, в области Dit но любое число раз дифференцируемыми в этой области обобщённой производной; 4) удовлетворяющими в области Оъ обобщённому уравнению Копщ - Римана; вещественная и мнимая части интеграла Faz) удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению третьего порядка с частными производными. Во второй главе исследован обобщённый аналог интеграла типа Темлякова I рода (26), а в третьей - рассмотрен общий случай, включающий в себя и интеграл типа Темлякова, и его обобщённый аналог. Для исследуемых интегралов в случае единичного бикруга получены формулы кратного интегрирования в пространстве С2, а также их представления в виде повторных интегралов в различных областях этого пространства.

Доказано, что функции, определяемые данными интегралами, являются аналитическими в единичном бикруге и, вообще говоря, неаналитическими в его замыкании до всего пространства С2. При определённых условиях, налагаемых на плотности исследуемых интегралов, получены так называемые «подвижные» области аналитичности определяемых ими функций.

Рассмотрен случай, в котором в точках остова единичного бикруга наблюдается нарушение непрерывности изучаемых функций, и получены формулы вычисления их предельных значений при приближении к остову из различных областей пространства С , Выявлен ряд квазианалитических в смысле Темлякова свойств, которыми обладают изучаемые интегралы в областях неаналитичности: 1) получены формулы обобщённых частных производных; 2) доказано, что данные интегралы могут быть представимы равномерно и абсолютно сходящимися функциональными рядами.

Исследование свойств некоторых интегралов в пространствах C и C^2 Быкова Ольга Николаевна

Квазианалитические свойства обобщённого интеграла типа Коши и квазигармонические свойства его действительной и мнимой частей

Формулы перехода от кратного интегрирования к повторному для обобщённого аналога интеграла типа Темлякова в случае единичного бикруга

Области аналитичности обобщённого аналога интеграла типа Темлякова в случае единичного бикруга

Предельные значения обобщённого интеграла типа Темлякова в точках остова единичного бикруга

Похожие диссертации на Исследование свойств некоторых интегралов в пространствах C и C^2