Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Наилучшее приближение аналитических функций полиномами в пространстве
1.1. Основные понятия и вспомогательные факты
1. Пространство Харди Нр, 1 < р < со 20
2. Приближение классов функций в пространстве Нр, 1 < р < со 23
3. Задачи о поперечниках 27
1.2. О наилучших приближениях аналитических функций из 30
1.3. Наилучшее приближение аналитических функций, задаваемых модулями непрерывности производной по аргументу 45
1.4. Наилучшее приближение некоторых классов аналитических функций в Щ}1 < р < 2 . 50
Глава II. Значение поперечников некоторых классов функций в пространстве
2.1. Значение поперечников классов W^ и W^a в Щ 59
2.2. Значение поперечников классов К^Ф) и Т4^а(Ф) в if2 68
2.3. О значениях поперечников, зависящих от параметра для классов 76
Литература 81
- О наилучших приближениях аналитических функций из
- Наилучшее приближение аналитических функций, задаваемых модулями непрерывности производной по аргументу
- Значение поперечников классов К^Ф) и Т4^а(Ф) в if2
- О значениях поперечников, зависящих от параметра для классов
Введение к работе
В последние годы в теории приближения интенсивно изучаются задачи наилучшего приближения аналитических в круге функций комплексными полиномами в различных функциональных пространствах. Это связано, в первую очередь, с задачей отыскания значений поперечников классов функций в этих же пространствах. Так, например, в пространствах Харди Нр: р > 1, задачи наилучшего приближения аналитических в единичном круге функций с ограниченной по норме производной изучались в работах К.И.Бабенко, В.М.Тихомирова, Л.В.ТаЙкова, Ж.Шейка, В.И.Белого, М.З.Двейрина, С.Б.Вакарчука.
Вопросы, связанные с точным вычислением поперечников по Колмогорову классов аналитических в круге функций, в определении которых существенную роль играют модули непрерывности или модули гладкости в пространстве Харди, рассматривались в работах Л.В.ТаЙкова, Н.Айнуллоева, С.Б.Вакарчука и М.Ш.Шабозова.
Диссертационная работа посвящена вычислению точных значений колмогоровскнх, линейных и проекционных поперечников классов аналитических в единичном круге функций, у которых г~я производная принадлежит пространству Харди Я2 и удовлетворяет на границе некоторым ограничениям, связанными со скоростью убывания модуля непрерывности m-го порядка.
Основной целью работы является;
1. Найти новые точные неравенства между наилучшими приближениями
комплексными алгебраическими полиномами и интегралами, содержащими модули непрерывности высших порядков граничных значений производных в пространстве Харди.
2. Вычислить точные значение колмогоровских, линейных и проекционных поперечников соответствующих классов аналитических в единичном круге функций.
Результаты, полученные в диссертации, имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Они могут быть использованы при вычислении є -энтропии классов функций, аналитических в единичном круге.
Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах по теории приближения функций в ХоГУ (Хорог, 1999-2003 гг.), на семинарах по теории функций в ТГНУ (Душанбе, 2000-2003 гг.), на международной конференции "Развитие горных регионов в XXI веке"(Хорог, Таджикистан, 26-29 августа 2001 г.), на научно-теоретической конференции посвященной 10-летию ХоГУ (Хорог, 26-28 октября 2002 г.), на международной научной конференции по "Дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами," посвященной 50 - летию кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений ТГНУ (Душанбе, 25-28 октября 2003г.)
Основные результаты опубликованы в работах [42,43;45,46].
Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 46 наименований и занимает 86 страниц машинописного текста. Главы подразделены на 7 параграфов. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они
имеют тройную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.
Перейдем теперь к краткому изложению результатов, полученных в диссертационной работе.
Во введении приведен краткий обзор работ, имеющих непосредственное отношение к теме диссертацинной работы. Дается краткая характеристика изучаемой проблемы и приведены основные результаты работы.
В первой главе диссертации изучаются аппроксимативные и структурные свойства аналитических в единичном, круге функций
/О) = Е с*Л z = рег\ 0 < р < 1, 0 < t < 2тг,
к=0
в метрике пространства Харди Нр, 1 < р < со с конечной нормой
2тг \VP
/| = liin I— /l/(peft)|pdt
J ч.. о-П-0 9.7Г J [J VF Л
}
( і 2тг
V27ro
1/р
< оо, 1 < р < оо,
где F(i] = Де'*) - угловое граничное значение f(z).
В случае р = оо удобно рассматривать аналитические в единичном круге функции, которые непрерывны вплоть до границы с нормой
/ =max{|/(z)| : \z\ < l} = max{|F(i)| : 0 < t < 2тг|
В первом параграфе главы I приведены необходимые для дальнейшего определения и факты из общей теории наилучшего приближения в нормированных пространствах.
Пусть г - целое положительное число. Через F^(t) обозначим граничное значение производной f^r\z), а через F^T\t) - граничное значение производной г - го порядка по аргументу функции fj[\z). При этом
/аМ = &{*)% = f(z)zh
и для г > 2 полагаем: f^\z) = \fa~l\z) г Всюду вводим обозначение
Щ = {/(*) Є Нр : |/«|н < оо}
Если функция f(z) Є Нр имеет непрерывные граничные значения F(t), то их гладкость характеризуем модулем непрерывности т - го порядка
^m(i^K-sup{ Am(F;-,t) : \t\ < h],
'm
а#;^^ЕНГМ^ + й)
1=0
-разность m-го порядка функции F(t). В частности, легко подсчитать, что
ul(FW;t) = 2msup{ Z а2кг\ск\Ч 1-сов {к ~ r)u)m : и Є [0,*]},
Ч=Г+1
где положено
акг = к(к — !)...(& — г + 1), к > г.
Множество всех комплексных полиномов степени < п — 1 обозначим
Wl = \Pn-i(z) ' Pn-i(z) = J2 >kZ \
Величину
En(f)Hp - E(f,Vn-i)H, - inf{ f-pn-i a : Pn-i(z) Є TV-i}
назовем наилучшим приближением функции f(z) Є Нр, 1 < р < оо подпространством Vn-i-
Еслн ЯЯ - некоторый класс функции {/(^)} С НР} то требуется найти величину
Е„№)н, := E(m,V»-i)B, = sup{B„(/)Hp : f є Щ
(1).
Далее, пусть А - некоторый метод приближения f(z) Є Нр, погрешность которого на классе ЙЯ оценивается сверху величиной
(/)*, =sup{ f-Af : feWl}
Если 9Т - линейное многообразие в НР) С(НР1У1) - множество всех линейных операторов А : Нр —> ОТ, то требуется найти
(Ф1, Ш)яР = inf(sup{ / - Л/ : / Є Ж} : А Є (#„, ОТ)} (2)
и указать оператор А* Є (#p,9t), для которого
(Ж, ЭТ)Яр = sup{ / - Л*/ : / Є Ш}.
В этом случае, оператор А* определяет наилучший для класса ТІ линейный метод приближения.
Аналогичным образом, если ^(Нр^УХ) - множество всех операторов А линейного проектирования на подпространство *Я, то требуется найти
^(Ш, 9Т)Яр = inf { sup{ f - Af : f e ЯЛ} : А Є ^( Ot)}. (3)
При вычислении величин (1) - (3) в качестве SUT будем рассматривать конкретные классы аналитических функций из Нр, а в качестве 9Т выбираем подпространство Vn-i- Точные значения указанных величин получаем как следствие вычисления соответствующих поперечников классов SDt С Яр, р> 1.
Пусть X - произвольное нормированное пространство, Мп - класс всех подпространств размерности не более п в X. Если ffi - центрально-симметричное множество в X то величины
dn{m, X) - inf{Е{Ж, Ч1)х: W Є Мп} (4)
Аи(ЯЯ, X) = inf {(ЯГС, У1)х- ЭТ Є Мга} (5)
іг„(аК, X) - inf{f '(аЛ, ОТ)лг : от Є MJ (6)
называют соответственно - колмогоровским, линейным и проекционными поперечниками. Основным результатом второго параграфа первой главы является
Теорема 1.2.2. Пусть для произвольной функции f{z) Є НР,1 < р < 2 ее производные pr\z) Є . имеют непрерывные граничные значения F^r\t) ф const. Тогда для любых натуральных n,m,r\ г < пи любого 0^7^ 2(п — г) Т, [п — s)-1, при h > 0, /3 > 0 таких, что 0 < /3/ь < 7г, справедливо равенство
Slip -7 — P
7 u (>>,*) Bin*/3tdt
о H*
(7)
2 і (l - cos (n - r)t) sin7 /3icft о ,
где аИ7. — п(гг — 1)...(п — r + 1), п > г. Существует функция fo(z) Є Л"^, 1 ^ Р ^ 2, (?лл которой верхняя грань в (7) достигается. Отметим, что из (7) при т = 1,7 = 0 получим результат М.Ш.Шабозова, а при т = 1,7 = 1,/? = n/hyk = 7г/(п — г) результат С.Б.Вакарчука. Кроме перечисленных случаев справедливо
Следствие 1.2.2. Яри выполнении условий теоремы 1.В.В для любых натуральных п,т; r>0,r
<&*%(Пн, ... т + 1
/ея, о
sup * . . ~ 22m+1
7«i(^(rW("-0) sinfcfc
В третьем параграфе первой главы рассматривается задача о наилучшем приближении аналитических функций, задаваемых модулями непрерывности высшего порядка от производной r-го порядка по аргументу. Имеет место следующая
Теорема 1.3.1 Пусть для произвольной f(z) Є Нр, 1 < р < 2 ее производные fa(z) Є . имеют непрерывные граничные значения F>(t) ф const. Тогда для любых натуральных т,п,г; 1 < г < п и любого
О < 7 < 2r — 1 при любих h > 0, (3 > О таких, что О < /3h <тг, справедливо равенство
SUp -г -- Р
4Jul(F?\t) вш*№
о я*
, 1<р<2 (8)
2т j( 1 - cos ni) sin7 fitdt о
Верхняя зрань в (8) реализуется для функции Jq(z) ~ zn Є Нр, 1 < р < 2. В условиях теоремы 1.3.1 имеет место Следствие 1.3.1 Справедливо равенство
n2rEl(f)Hp ml
sup — р —
^}
В четвертом параграфе рассматривается задача о наилучшем приближении некоторых классов аналитических функций в пространстве Нр,1 < р < 2. При решении указанной задачи будем исходить из точных результатов, полученных в предыдущих параграфах.
Пусть Ф{и) - произвольная непрерывная возрастающая при и > О функция такая, что Ф(0) = 0. При любых натуральных т, га, г и j3 > О,
г—1
h > 0,0 < /3h < 7Г, її соответственно 0 < 7 5: 2(п — г) Ц (п — s)_1, 0<7<2г — 1и любом и Є (0,7г] определим классы функций:
И(Ф) := Щт>П>г,7,/3) =
ІЄЩ:[col(F^, t) sin7 -Ptdt < Ф2(и)
^а(Ф):=^10(т,П,г)7)/3) =
= /^: jojl(F^\t) шР-fcdb < Ф2(и)
Мы будем вводить в рассмотрение также не зависящие от мажоранты Ф(и) классы функций:
Wrm = If Є Щ : /W^(F« *) sin^ -/Зі<й < 1 ,
/ Є J35 : /^(if\t) sin* -/3td* < 1
В принятых обозначениях справедлива следующая
Теорема 1.4.1 Для наилучшего приближения классов W^, И7^, И^(Ф) и И^а(Ф) подпространством Vn-i в пространстве Нр, 1 < р < 2, соответственно, при 0 < h < іг/(п — г), n>ruO
En(w^H :=E(w^,Vn.}
-1/2
2mo4 J f 1 - cos (n - r) і J sin7 -tdt о
^(^)я :=S(W(e,7>n-i
-Sfl>
2тг2г Ді - cos ntjm sin7 ^Mt
-1/2
КгаФ))Яр :- ?(ТС(Ф),П-і)д, =
-1/2
2m -а2пт- J{1- cos (n - r)*)m sin7 ~trfi І Ф(Л)
^(^(Ф))*, := Я^,а(Ф),Р»-і)яр =
= hm-n2r/(1-cos n)m sin7-trfil Ф(Ь).
Во второй главе диссертации, состоящей из трех параграфов рассматривается задача определения значений колмогоровских, линейных и проекционных поперечников классов аналитических в единичном круге функций, принадлежащих пространству Нр, 1 < р < 2.
К настоящему времени в задаче о поперечниках классов аналитических функций достигнут определенный прогресс.
Поперечники различных классов функций с ограничениями на производную г-го порядка вычислены в работах В.М.Тихомирова, Л.В.Тайкова, А.Пинкуса, Р.Фишера, К.Миччели, Н.Айнуллоева, С.Б.Вакарчука, М.З.Двей-рина, М.Ш.Шабозова, Х.Х.Пирова.
В то же время известно мало результатов точного вычисления поперечников в функциональных пространствах аналитических функций с интегральными модулями непрерывности. Здесь следует отметить результаты Л.В.Тайкова и Н.Айнуллоева, связанные с точным вычислением поперечников по Колмогорову некоторых классов аналитических функций, в определении которых существенную роль играют модули непрерывности или модули гладкости.
Во второй главе диссертации найдены точные значения колмогоровских, линейных и проекционных поперечников классов функций W^W^a,)^т(Ф) и И^а(Ф), определяемые интегральными модулями непрерывности высших порядков граничных значений производных.
Основной результат первого параграфа второй главы сформулирован в следующей теореме.
Теорема 2 Л.1 ПриО
dn(w^я2) = \n{w^Я2) - 7rn(w^, я2) =
ft m
{2m^r Ді - cos (n - r)t) sin7 ^tdi}
-1/2
^(И^|В) Я2) = Ци^, Я2) = Ци^, Я2) =
7Г , т-1/2
/ (1 — cos пі J sin7 — idt і
Все поперечники реализуются частными суммами Тейлора Xn_i(/, z) = = X) ck% разложения f{z) в круге \z\ < 1.
fc=0
Из теоремы 2.1.1, при /г = тг/(п — г), г < пж h = п/п, вытекает
Следствие 2.1.1 Для любых целых неотрицательных г, натуральных
г-1
m,n, при любых 0 < 7 5= 2(п — г) ХХП ~~ s) « 0 < 7 ^ 2r ~ 1, соответственно справедливы равенства
п — г
Г(т + 7+1)
Г((7+ 1)/2)
iJw н2) = TV + 7+:
V^
а.
1/2
-, г < п
т,(исд)я2) =
Г(т + 7+1)
22т+7Г(ш + (7 + 1)/2)Г((7 + 1)/2)
1/2
г-1 » П 2
где Г (и) - гажжй функция Эйлера, а 7п(') - любой из поперечников dn(-), Хп(-)
U 7Г„(-).
Во втором параграфе второй главы, при некоторых ограничениях на мажоранту Ф(«), вычислены поперечники классов И^(Ф) и И^а(Ф) в пространстве ІІ2-
Положим
(1 — cost) — -Ml — cost) , если і < 7г; 2m, если t > тг\.
Теорема 2.2.1 Если для всех (3 > О, и Є (0, тг] w 0 < Л < 7г/(п — г), г < п функция Ф(и) удовлетворяет условию
Ф20) у М- cos (n-r)t) sm7-/3tdt< < Ф2(и) у (^1 — cos (п - r)ij sin7 /ftlft,
то справедливо равенство
7«(^(Ф),#2) =
{2mogr/(l-cos(n-r)tj sin7 jQidij Ф(Л), о
где 7п(") " любой из поперечников dn(-), Хп(-) и 7Гга(*).
J5ce поперечники реализуются частными суммами Тейлора Tn-i(f,z) разложения f[z) в круге \z\ < 1.
Аналогичный результат получен для класса И^а(Ф).
В частности, из утверждения теоремы 2.2.1, при 7 = 0 и 7 = 1, вытекают равенства
1/2
га!
тг2т(2га- !)!!( а.
,(Т^(Ф),
2 =
н, =
л/га-г д/ 7г п — г
(—),г
7.(^(Ф),
Я,
а,
771+ 1 \/п — Г / Ж
2т\ 2
< га.
В завершающем, третьем параграфе второй главы кайдены точные значения поперечников, зависящих от параметра А (0 < А < 1), для классов
таФ)и^а(Ф).
Приведем основной результат для класса W^(<&).
Теорема 2.3.1 Если для заданного А (0 < А < 1) и для всех fi > 0, и (0,7г] функция Ф(и) удовлетворяет условию
n/U \ г/ \ V
Ф (-AJ / (l - coswj sin—dv <
\m , V
< Ф (и) / f 1 - cost») siiiY^u,
о V J Л
mo Элл целого неотрицательного г и любых натуральных т,п,г < п справедливо равенство
7*(JW).
Я2 =
л/п — гФ(Лтг/(п — г))
У/ Nm t Л
2та\т у (1 - cost) sin-dij
іі7 e частности, при A =
7»
.(И^(Ф),
Я.
(т + 1)(т + 2) д/п — г / ?г \
N 2^+ї апг Щп-г))'1
где 7п(-) любой из поперечников dn(-), A„(-) w 7ГП(-).
О наилучших приближениях аналитических функций из
Это равенство при р — со является результатом К.И.Бабенко [7], при всех 1 р оо доказано Л.В.Тайковым [31]. В дальнейшем оно обобщалось для различных классов аналитических функций из Нр многими авторами. В частности, в работе С.Б.Вакарчука [10] исследован вопрос о наилучшей онстанте в неравенстве Джексона для наилучших приближений Еп{1)нр функции / Є Щ и доказаны соотношения (при F r\t) ф const): Общий результат в этом направлении получен М.Ш.Шабозовым [39]. Пусть для аналитической внутри единичного круга функций f(z) Є Щ, 1 Р 2, ее производные f(r\z) Є #2 имеют непрерывные граничные значения .F (i) const. Тогда при 0 і h 7г/(п—г), г тг справедливо равенство /єя; Непосредственной проверкой легко убедиться, что верхняя грань в (1.2,5) достигается для функции fo[z) = zn Є Щ. Полагая в (1.2.5), в частности, т 1 и h — тг/(п — г), г тг, получаем результат С.Б.Вакарчука (1.2.4). Для соответствующих классов функций из равенств (1.2.3) - (1.2.5) легко записать решение задачи (1.2.2), однако мы на этом не будем останавливаться, поскольку мы их в последующем получим из более общих результатов. Здесь приведем одно общее неравенство типа неравенства А.А.Лигуна [24] между наилучшими приближениями Ді(/)я і 1 Р 2, и усредненного с положительным весом ф{) модуля непрерывности произвольного порядка т - й производной функции F(t). Теорема 1.2.1. Пусть для функции f(z) Є Щ, 1 р 2, ее производные f (z) Є і?2 имравенство при р — со является результатом К.И.Бабенко [7], при всех 1 р оо доказано Л.В.Тайковым [31]. В дальнейшем оно обобщалось для различных классов аналитических функций из Нр многими авторами. В частности, в работе С.Б.Вакарчука [10] исследован вопрос о наилучшей онстанте в неравенстве Джексона для наилучших приближений Еп{1)нр функции / Є Щ и доказаны соотношения (при F r\t) ф const): Общий результат в этом направлении получен М.Ш.Шабозовым [39]. Пусть для аналитической внутри единичного круга функций f(z) Є Щ, 1 Р 2, ее производные f(r\z) Є #2 имеют непрерывные граничные значения .F (i) const.
Тогда при 0 і h 7г/(п—г), г тг справедливо равенство /єя; Непосредственной проверкой легко убедиться, что верхняя грань в (1.2,5) достигается для функции fo[z) = zn Є Щ. Полагая в (1.2.5), в частности, т 1 и h — тг/(п — г), г тг, получаем результат С.Б.Вакарчука (1.2.4). Для соответствующих классов функций из равенств (1.2.3) - (1.2.5) легко записать решение задачи (1.2.2), однако мы на этом не будем останавливаться, поскольку мы их в последующем получим из более общих результатов. Здесь приведем одно общее неравенство типа неравенства А.А.Лигуна [24] между наилучшими приближениями Ді(/)я і 1 Р 2, и усредненного с положительным весом ф{) модуля непрерывности произвольного порядка т - й производной функции F(t). Теорема 1.2.1. Пусть для функции f(z) Є Щ, 1 р 2, ее производные f (z) Є і?2 имеют непрерывные граничные значения F r\t) ф const. Тогда для n vn = 1)2,...; г 0, г п, и ф{Ь) 0, 0 і h справедливо неравенство Доказательство. Для получения оценки сверху в неравенстве (1.2.6) заметим, что для произвольной функции f(z) Є Нру 1 р 2, в силу неравенства Гельдера для интегралов справедливо соотношение По определению модуля непрерывности m-го порядка, если F (і) угловое граничное значение производной f T\z) Є Щ, то согласно равенству Парсе-валя имеем: Используя равенство (1.2.9), получим: откуда с учетом неравенства (1.2.8) следует оценка сверху. Оценка снизу в (1.2.6) вытекает из того факта, что для функции fo(z) = zn Є Щ, г п, при всех р 1, E ifoJHp = 1 (см., напр., [18], лемма 3). Поэтому, при всех значениях 0 h тгеют непрерывные граничные значения F r\t) ф const. Тогда для n vn = 1)2,...; г 0, г п, и ф{Ь) 0, 0 і h справедливо неравенство Доказательство. Для получения оценки сверху в неравенстве (1.2.6) заметим, что для произвольной функции f(z) Є Нру 1 р 2, в силу неравенства Гельдера для интегралов справедливо соотношение По определению модуля непрерывности m-го порядка, если F (і) угловое граничное значение производной f T\z) Є Щ, то согласно равенству Парсе-валя имеем: Используя равенство (1.2.9), получим: откуда с учетом неравенства (1.2.8) следует оценка сверху. Оценка снизу в (1.2.6) вытекает из того факта, что для функции fo(z) = zn Є Щ, г п, при всех р 1, E ifoJHp = 1 (см., напр., [18], лемма 3). Поэтому, при всех значениях 0 h тг/(п — г), г п, имеем:
Наилучшее приближение аналитических функций, задаваемых модулями непрерывности производной по аргументу
В параграфе 1.1 производную г - го порядка функции f(z) рекуррентно определили формулой а ее граничное значение производной равенством Полученные в предыдущем параграфе основные результаты, можно сформулировать для классов аналитических функций f(z) Є Hp, 1 Р 2, которые определяются модулями непрерывности граничных значений производных по аргументу. Справедлива следующая Теорема 1.3.1 Пусть для произвольной функции f(z) Е Нр, 1 р 2 ее производные fa{z) Є Щ имеют непрерывные граничные значения F (t) у const. Тогда для любых натура положено Чтобы доказать теорему 1.3.1, в неравенство 1.3.2 в качестве положительного веса под знаком интеграла возмем функцию ф{р) = sm7/?t для /3 О, О fit 7Г и докажем равенство Для доказательства равенства (1.3,4) достаточно доказать, что для к п функция натурального аргумента строго возрастает по к п г, т.е. \р (к) 0. Выполнив ряд элементарных преобразований относительно интегрирования по частям, и учитывая условия теоремы, получим формулу равенства (1.3.4), и тем самым теорема При рассмотрении задачи наилучшего приближения классов аналитических функций полиномами будем исходить из точных результатов, полученных в предыдущем параграфе. Пусть Ф(и) - произвольная непрерывная возрастающая при и 0 функция такая, что Ф(0) = 0. При любых натуральных т,п, г и /3 0, г—1 h 0, 0 {3h тг, 0 7 2(п - г) (п - s)-1, г п и любом « Є (0,7г], 5=0 определим класс функций: При тех же условиях и 0 у 2r — 1 определим также класс функций Введем в рассмотрение также не зависящие от мажоранты Ф(и) классы Справедливо следующее утверждение Теорема 1.4.1. Для наилучшего приближения классов W и W a подпространством Vn i е пространстве Нру 1 р 2, соответственно, при 0 h тг/(п — r), n ruO ft тт/п справедливы равенства K(W)H := ( - -І)Я = Ctj j» Ті /(1 cos (п r)t) sin7 — сй (1.4.1) Доказательство. Согласно утверждениям теорем 1.2.2 и 1.3.1 для произвольной f(z) Є Щ} 1 р 2, у которой F r)(t) и i )() непрерывны и не равны тождественно постоянным, справедливы точные неравенства Докажем, что существуют функции из соответствующих классов функций, для которых в неравенствах (1.4.5) и (1,4.6) имеет место равенство. Для примера докажем равенство в соотношении (1.4.5).
С этой целью положим и рассмотрим функцию Д(г) = Jnv[ )zn. Покажем, что fi(z) є W . На самом деле, льных п,т,г\ 0 г п и любого О j 2г — 1 при любых h 0, /3 0 таких, что 0 /З/i 7Г, справедливо равенство /5 Для функции fo(z) Є Щ, 1 р 2, верхняя грань в (1.3.1) достигается. Доказательство. Прежде всего заметим, что для произвольной функции f(z) Є Яр, 1 р 2, у которой F \t) const, и произвольной / () О, О і h, справедливо неравенство [38] где положено Чтобы доказать теорему 1.3.1, в неравенство 1.3.2 в качестве положительного веса под знаком интеграла возмем функцию ф{р) = sm7/?t для /3 О, О fit 7Г и докажем равенство Для доказательства равенства (1.3,4) достаточно доказать, что для к п функция натурального аргумента строго возрастает по к п г, т.е. \р (к) 0. Выполнив ряд элементарных преобразований относительно интегрирования по частям, и учитывая условия теоремы, получим формулу равенства (1.3.4), и тем самым теорема При рассмотрении задачи наилучшего приближения классов аналитических функций полиномами будем исходить из точных результатов, полученных в предыдущем параграфе. Пусть Ф(и) - произвольная непрерывная возрастающая при и 0 функция такая, что Ф(0) = 0. При любых натуральных т,п, г и /3 0, г—1 h 0, 0 {3h тг, 0 7 2(п - г) (п - s)-1, г п и любом « Є (0,7г], 5=0 определим класс функций: При тех же условиях и 0 у 2r — 1 определим также класс функций Введем в рассмотрение также не зависящие от мажоранты Ф(и) классы Справедливо следующее утверждение Теорема 1.4.1. Для наилучшего приближения классов W и W a подпространством Vn i е пространстве Нру 1 р 2, соответственно, при 0 h тг/(п — r), n ruO ft тт/п справедливы равенства K(W)H := ( - -І)Я = Ctj j» Ті /(1 cos (п r)t) sin7 — сй (1.4.1) Доказательство. Согласно утверждениям теорем 1.2.2 и 1.3.1 для произвольной f(z) Є Щ} 1 р 2, у которой F r)(t) и i )() непрерывны и не равны тождественно постоянным, справедливы точные неравенства Докажем, что существуют функции из соответствующих классов функций, для которых в неравенствах (1.4.5) и (1,4.6) имеет место равенство. Для примера докажем равенство в соотношении (1.4.5). С этой целью положим и рассмотрим функцию Д(г) = Jnv[ )zn. Покажем, что fi(z) є W . На самом деле, для этой функции имеем: :(г) то, умножая обе части полученного равенства на sin7 —t и интегрируя по h отрезку [0, h], будем иметь откуда и следует, что fi(z) Є W . Согласно лемме 3 работы [18], для р 1
Значение поперечников классов К^Ф) и Т4^а(Ф) в if2
В предыдущем параграфе нами изучены поперечники классов функций W и W a, которые зависят от параметра 7- Эти результаты допускают обобщение для более общих классов И (Ф) и И ДФ), не только зависящих от параметра 75 но также от параметра /3 и мажоранты Ф(и), где Ф(и) произвольная непрерывная возрастающая при и 0 функция такая, что Ф(0) = 0. Напомним, что в параграфе 1.4 для целого неотрицательного г и натуральної ных тип, при /3 0,/i 0, 0 JS/i 7T, 0 7 2(п—г) (та—s) 1, г п, S—о При некоторых ограничениях на мажоранту Ф(и) вычислим поперечники класса И (Ф) в пространстве Яг- С этой целью, следуя [5], введем обозначение При сделанных предположениях имеет место Теорема 2.2.1 Если для всех и Є (0,7г] и 0 h іг/(п — г), г п, функция Ф(и) удовлетворяет условию Все поперечники в (2.2.2) реализуются частными суммам интегрируя по t в промежутке [0, и] для любого рп Sn+i и учитывая (2.2.1), получим Утверждение теоремы 2.2.1 теперь следует из сопоставления неравенств (2.2.3) и (2.2.4). Теорема 2.2.1 доказана. Из доказанной теоремы вытекает Следствие 2.2.1. Для любых целых неотрицательных г и натуральных где Т(и) - гамма - функция Эйлера, а 7п(-) - любой из поперечников Зп{-)Лп{ ) и кп{-)- В частности, при 7 = 0 «7 - 1 из (2.2.5) следуют равенства Для класса Wma($) аналог теоремы 2.2.1 может быть сформулирован следующим образом Теорема 2.2.2 Пусть для целого неотрицательного г и натуральных тип при всех и Є (0,7г], и 0 h тг/n, функция Ф(и) удовлетворяет условию где 7n(") - любой из поперечников dn(-),Xn(-) и 7Г„( ). Все поперечники dn(-),Xn(-) и 7 (-) в равенстве (2.2.7) реализуются оо частными суммами Тейлора Tn i(f,z) Vn-i разлосисепил f(z) = С&;Ї в fc=o единичном круге \z\ 1. Следствие 2.2.2 JTpw выполнении условий теоремы 2.2.2 справедливо равенство Замечание 2.2.1. Отметим, что условия (2.2.1) впервые встречаются при вычислении точных значений колмогоровских поперечников периодических непрерывно дифференцируемых функций, у которых производная / _1 (ж) абсолютно-непрерывна, существует / г)(ж) Є 2[0,2тг], в работе Н.Айнуллоева [1-2]. В этой же работе доказывается, что множество функций {Ф(и)}, удовлетворяющих условию (2.2.1), не пусто. Указанному условию удовлетворяет, например, Ф(и) = иа, при 7Г2/8 + 1 а 3. В этом параграфе для классов И (Ф) и Т ДФ) при 7=1 сформулируем її докажем один результат, когда точные значения поперечников зависят от некоторого параметра А (0 А 1), при каждом фиксированном значении которого получаем ранее известные результаты. Имеет место следующая
Теорема 2.3.1 Если для заданного Л, 0 А 1, и для всех рь О, и Є (0,7г] функция Ф(и) удовлетворяет условию справедливо равенство u, e частности, при X= - имеем: 7„W(#),ff2 = N (m + l)(m + 2) \M гФ(7г/2(п — r)) 2m+1 ra(rc 1)... (n - r+1): (2.3.3) а при A = 7»(И (Ф),Я2)= m + 1 л/п — гФ(тг/(п — г)) 2 n(n где Тп( ) - любой из поперечников dn( ),Xn(-) и тгп(-). Все поперечники в (2.3.2) реализуются частными суммами Tn-.j(f,z) Тейлора разлооюения f(z) в \z\ I, и таким образом, подпространство TV-i в (2.3.2) является экстремальным. Доказательство. Если в утверждении теоремы 1.4.2 полагать 7 = ! /3 — 7г/Л и h = Лтг/(гг — г), г п, то получим оценку сверху для проекционного поперечника С целью получения оценки снизу кол могор овского поперечника dn(-), рассмотрим (п + 1) - мерную сферу комплексных полиномов и Тейлора К— U Доказательство. Оценку сверху для проекционного поперечника получим из теоремы 1.4.2 С целью получения оценки снизу колмогоровского поперечника класса И (Ф) для произвольного полинома оцениваем штЫ?\ t) при условии, что 0 t и h ir/(n — г). Рассмотрим (п + 1) - мерную сферу комплексных полиномов и покажем, что оиа входит в класс И (Ф). Как и при доказательстве теоремы 2.1.1, для произвольного рп Sn+i имеем: 2ma (l-cos (n-r)t)m Pn Йз откуда Полученное неравенство умножим на sin7 —/?i, и интегрируя по t в промежутке [0, и] для любого рп Sn+i и учитывая (2.2.1), получим Утверждение теоремы 2.2.1 теперь следует из сопоставления неравенств (2.2.3) и (2.2.4). Теорема 2.2.1 доказана. Из доказанной теоремы вытекает Следствие 2.2.1. Для любых целых неотрицательных г и натуральных где Т(и) - гамма - функция Эйлера, а 7п(-) - любой из поперечников Зп{-)Лп{ ) и кп{-)- В частности, при 7 = 0 «7 - 1 из (2.2.5) следуют равенства Для класса Wma($) аналог теоремы 2.2.1 может быть сформулирован следующим образом Теорема 2.2.2 Пусть для целого неотрицательного г и натуральных тип при всех и Є (0,7г], и 0 h тг/n, функция Ф(и) удовлетворяет условию где 7n(") - любой из поперечников dn(-),Xn(-) и 7Г„( ). Все поперечники dn(-),Xn(-) и 7 (-) в равенстве (2.2.7) реализуются оо частными суммами Тейлора Tn i(f,z) Vn-i разлосисепил f(z) = С&;Ї в fc=o единичном круге \z\ 1. Следствие 2.2.2 JTpw выполнении условий теоремы 2.2.2 справедливо равенство Замечание 2.2.1. Отметим, что условия (2.2.1) впервые встречаются при вычислении точных значений колмогоровских поперечников периодических непрерывно дифференцируемых функций, у которых производная / _1 (ж) абсолютно-непрерывна, существует / г)(ж) Є 2[0,2тг], в работе Н.Айнуллоева [1-2]. В этой же работе доказывается, что множество функций {Ф(и)}, удовлетворяющих условию (2.2.1), не пусто. Указанному условию удовлетворяет, например, Ф(и) = иа, при 7Г2/8 + 1 а 3. В этом параграфе для классов И (Ф) и Т ДФ) при 7=1 сформулируем її докажем один результат, когда точные значения поперечников зависят от некоторого параметра А (0 А 1), при каждом фиксированном значении которого получаем ранее известные результаты. Имеет место следующая Теорема 2.3.1 Если для заданного Л, 0 А 1, и для всех рь О, и Є (0,7г] функция Ф(и) удовлетворяет условию справедливо равенство u, e частности, при X= - имеем: 7„W(#),ff2 = N (m + l)(m + 2) \M гФ(7г/2(п — r)) 2m+1 ra(rc 1)... (n - r+1): (2.3.3) а при A = 7»(И (Ф),Я2)= m + 1 л/п — гФ(тг/(п — г)) 2 n(n где Тп( ) - любой из поперечников dn( ),Xn(-) и тгп(-). Все поперечники в (2.3.2) реализуются частными суммами Tn-.j(f,z) Тейлора разлооюения f(z) в \z\ I, и таким образом, подпространство TV-i в (2.3.2) является экстремальным. Доказательство. Если в утверждении теоремы 1.4.2 полагать 7 = ! /3 — 7г/Л и h = Лтг/(гг — г), г п, то получим оценку сверху для проекционного поперечника С целью получения оценки снизу кол могор овского поперечника dn(-), рассмотрим (п + 1) - мерную сферу комплексных полиномов
О значениях поперечников, зависящих от параметра для классов
Айнуллоев Н. Значение поперечников некоторых классов дифференцируемых функций в L2 И ДАН Тадж.ССР, т.27, N8, 1984, с.415-418. 2. Айнуллоев Н. О поперечниках дифференцируемых функций в L if ДАН Тадж.ССР, т.28, N6, 1985, с.309-313. 3. Айнуллоев Н. Поперечники классов аналитических функций. // Геометрические вопросы теории функций и множеств. Сборник научных трудов; Калининский госуниверситет, 1986, с. 91-101. 4. Айнуллоев Н. Наилучшее приближение некоторых классов дифференцируемых функций в Li If Применение функционального анализа в теории приближений. Сборник научных трудов. Калининский госуниверситет, 1986, с,3-10. 5. Айнуллоев Н., Тайков Л.В. Наилучшие приближения в смысле А.Н.Колмогорова классов аналитических в единичном круге функций. // Математические заметки, т.40, N3, 1986,с.341-351. 6. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации.-М, : Наука, 1965. 7. Бабенко К,И. О наилучших приближениях одного класса аналитических функций // Изв. АН СССР, сер.матем., 1958, т.22, N5, с.631-640. 8. Белый В.И. К вопросу о наилучших линейных методах приближения функций, аналитических в единичном круге // Укр. матем. журнал, 1967, т.19, N2, с.104-108. 9. Белый В.И., Двейрин М.З. О наилучших лигейных методах приближения на классах функций, определяемых союзными ядрами // В кн: Метрические вопросы теории функций и отображений, вып. 2. Киев, "Науково думка", 1971, с.37-54. 10. Вакарчук СБ. О поперечниках некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди R i // Укр. матем. функций и отображений, вып. 2. Киев, "Науково думка", 1971, с.37-54. 10. Вакарчук СБ. О поперечниках некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди R i // Укр. матем. журнал, 1989, т.41, N26, с.799-802. 11. Вакарчук СБ. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге функций // Укр. матем, журнал, 1990, т.42, N7, с.873-881. 12. Вакарчук СБ. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций, //Математические заметки, 1995, т.57; N1, с.30-39. 13. Вакарчук СБ. О наилучшем полиномиальном приближении аналитических в единичном круге функций // Укр.мат. журнал, 1990, т.42, N6, с.838-843. 14.
Григорян Ю.И. Поперечники некоторых множеств в функциональных пространствах // Математические заметки, 1973, N5, т.22, с.637-644. 15. Двейрин М.З. Задачи наилучшего приближения классов функций, аналитических в единичном круге. // Теория приближения функций. М. Наука, 1977, с. 129-132. 16. Двєйрин М.З. Поперечники и Е - энтропия классов функций, аналитических в единичном круге // Теория функций, функциональный анализ и их приложения, 1975, вып.23, с.32-46. 17. Двєйрин М.З. О приближении функций, аналитических в единичном круге // Метрические вопросы теории функций и отображений, вып.6, Киев "Науково думка", 1975, с.41-54. 18. Двєйрин М.З., Чебаненко И.В. О полиномиальной аппроксимации в банаховых пространствах аналитических функций // Теория отображений и приближение функций. Киев. "Науково думка", 1983, с.62-73. 19. Колмогоров А.Н. Uber die beste Aim&herug von Funktionen einer gegebe-nen Funktionen klasse // Aimalen of Math., 1936, N37, S.107-111. 20. Корнейчук Н.П. Поперечники в Lp классах непрерывных и дифференцируемых функций и оптимальные методы кодирования и восстановлений функций и их производных // Изв. АН СССР. - 1981, т.45, N2, с.266-290. 21. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. - М. "Наука", 1976, 320с. 22. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. - М, "Наука", 1987, 424с. 23. Кусис П. Введение в теорию пространств НР. - М. "Мир", 1984, 364с. 24. Лигун А.А. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве Li //Мат. заметки, 197S, т.24, N6, с.785-792. 25. Лигун А.А. О точных константах в неравенствах типа Джексона // ДАН СССР, 1985, т.281, N1, с.34-37. 26. Привалов Ижурнал, 1989, т.41, N26, с.799-802. 11. Вакарчук СБ. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге функций // Укр. матем, журнал, 1990, т.42, N7, с.873-881. 12. Вакарчук СБ. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций, //Математические заметки, 1995, т.57; N1, с.30-39. 13. Вакарчук СБ. О наилучшем полиномиальном приближении аналитических в единичном круге функций // Укр.мат. журнал, 1990, т.42, N6, с.838-843. 14. Григорян Ю.И. Поперечники некоторых множеств в функциональных пространствах // Математические заметки, 1973, N5, т.22, с.637-644. 15. Двейрин М.З. Задачи наилучшего приближения классов функций, аналитических в единичном круге. // Теория приближения функций. М. Наука, 1977, с. 129-132. 16. Двєйрин М.З. Поперечники и Е - энтропия классов функций, аналитических в единичном круге // Теория функций, функциональный анализ и их приложения, 1975, вып.23, с.32-46. 17. Двєйрин М.З. О приближении функций, аналитических в единичном круге // Метрические вопросы теории функций и отображений, вып.6, Киев "Науково думка", 1975, с.41-54. 18. Двєйрин М.З., Чебаненко И.В. О полиномиальной аппроксимации в банаховых пространствах аналитических функций // Теория отображений и приближение функций. Киев. "Науково думка", 1983, с.62-73. 19. Колмогоров А.Н. Uber die beste Aim&herug von Funktionen einer gegebe-nen Funktionen klasse // Aimalen of Math., 1936, N37, S.107-111. 20. Корнейчук Н.П. Поперечники в Lp классах непрерывных и дифференцируемых функций и оптимальные методы кодирования и восстановлений функций и их производных // Изв. АН СССР. - 1981, т.45, N2, с.266-290. 21. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. - М. "Наука", 1976, 320с. 22. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. - М, "Наука", 1987, 424с. 23. Кусис П. Введение в теорию пространств НР. - М. "Мир", 1984, 364с. 24. Лигун А.А. Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модулями непрерывности в пространстве Li //Мат. заметки, 197S, т.24, N6, с.785-792. 25. Лигун А.А. О точных константах в неравенствах типа Джексона // ДАН СССР, 1985, т.281, N1, с.34-37. 26. Привалов И.Й. Граничные свойства аналитических функций. - М. 1950, 382с.
