Введение к работе
Актуальность темы. Теория приближения функций является одной из наиболее активно развивающихся областей математического анализа и имеет важные приложения в прикладных областях математики. В последние годы в теории приближения интенсивно изучаются задачи наилучшего приближения аналитических в круге функций комплексными полиномами в различных банаховых пространствах.
Задачи наилучшего полиномиального приближения аналитических в круге функций получили широкое развитие в работах А.Н.Колмогорова, А.Хаара, С.Б.Стечкина, К.И.Бабенко, В.М.Тихомирова, Л.В.Тайкова, М.З.Двейрина, Ж.Шейка, А.Пинкуса, С.Д.Фишера, С.Д.Фишера и КА.Миччелли, НАйнуллоева, С.Б.Вакарчука и многих других математиков. Указанными работами полностью сформулирована теория наилучшего приближения аналитических в круге функций полиномами как раздел теории функций в комплексной области.
Методами функционального анализа во многих вопросах найден общий подход к проблемам теории приближения аналитических функций полиномами, благодаря чему удалось объединить многочисленные исследования этой теории в различных банаховых функциональных пространствах. Отметим, что наиболее полно вопросы наилучшего приближения изучались в пространствах Харди Нр, р > 1. Так, задачи наилучшего полиномиального приближения аналитических в единичном круге функций с ограниченным по норме пространством Нр, р > 1 производной изучались в работах К.И.Бабенко, В.М.Тихомирова, Л.В.Тайкова, Ж.Шейка, В.И.Белого, М.З.Двейрина, С.Б.Вакарчука, М.Ш.Шабозова, Г.А.Юсупова, Х.Х.Пирова и др.
Вопросы, связанные с точным вычислением поперечников по Колмогорову классов аналитических в круге функций, в определении которых существенную роль играют модули непрерывности или модули гладкости в пространстве Харди, рассматривались в работах Л.В.Тайкова, Л.В.Тайкова и НАйнуллоева. Аналогичные задачи для классов функций, задаваемых модулями непрерывности ш-го порядка в пространстве Харди, изучались в работах М.Ш.Шабозова и его учеников.
Дальнейшему развитию этой тематики и посвящена данная работа.
Цель работы:
Найти новые точные неравенства между наилучшими полиномиальными приближениями и интегралами, содержащими модули непрерывности высших порядков граничных значений производных в пространстве Харди Нр, 1 < р < 2.
Вычислить точные значения бернштейновских, колмогоровских, гельфандовских, линейных и проекционных п-поперечников классов
аналитических в единичном круге функций, задаваемых усредненными с положительным весом модулями непрерывности высших порядков производных граничных функций в Н^.
Метод исследования. В работе использованы методы теории аналитических функций, конструктивной теории функций комплексного переменного, а также некоторые подходы к решению экстремальных задач теории аппроксимации.
Научная новизна исследований.
Найдены новые связи между наилучшими полиномиальными приближениями и интегралами, содержащими модули непрерывности высших порядков граничных значений производных в пространстве Харди.
Вычислены точные значения бернштейновских, колмогоровских, гельфандовских, линейных и проекционных поперечников некоторых классов функций, заданных усредненными с положительными весами модулями непрерывности высших порядков граничных значений п-ых производных.
Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Они могут быть использованы при вычислении е-энтропии и n-поперечников классов функций, в других банаховых пространствах аналитических функций, например, в весовых пространствах Бергмана.
Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах кафедры математического анализа и теории функций в ТГНУ (Душанбе, 1998-2008 гг.), на семинарах по теории приближения функций (Хорог, 1999-2005 гг.), на семинарах отдела теории функций Института математики АН Республики Таджикистан (Душанбе 2007-2009 гг.), на между народной научной конференции по "Дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами", посвященной 50-летию кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений ТГНУ (Душанбе, 25-28 октября 2003 г.), на международной конференции "Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ", посвященной 80-летию академика АН Республики Таджикистан Л.Г.Михайлова (Душанбе, 2008 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной литературы из 51 наименования и занимает 72 страницы машинописного текста. Для удобства в диссертации применена сквозная нумерация теорем, лемм, следствий и формул. Они имеют тройную нумерацию, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе.
